高考高中数学必考解答题：圆锥曲线-定点问题-解析版

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高考高中数学必考解答题：圆锥曲线-定点问题-解析版

走进高骞

【例】【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：/=-2勿经过点（2,-1）.

（I）求抛物线。的方程及其准线方程：

（2）设。为原点，过抛物线。的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线。于两点N,直线尸T分

别交直线。历，ON于点力和点8.求证：以为直径的圆经过），轴上的两个定点.

【答案】:I）抛物线0的方程为/=-4y,准线方程为y=l：（2）见解析.

【解析】（I）由抛物线C:/=_2⑷经过点（2,-1）,得p=2

所以抛物线。的方程为/=-4y.其准线方程为y=l

2）抛物线C的焦点为F（0,一1）设立线/的方程为y="-1（〃工0）

由「八1’得犬+4触一4=0设〃（%,凹）”（七,必）,则邛2=-4

[x~=-4y

直线的方程为y=*x.令y=-l.得点」的横坐标乙=-2■.同理得点8的横坐标乙=-2.

玉M必

设点0（0,"）,则方=（一1,一1-〃）丽=（一手,一1-"）.

2

DADB=^-+（n+\）=-，t2八+（〃+1）2=生+（”+1）2=_4+（〃+1）。

一7卜乳闻、吊

令=0,即-4+（〃+1）2=0.则〃=1或〃=一3

综上，以/出为直径的圆经过y轴上的定点（0/）和（0,-3）

【名师点睛】本题主要考在抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及

其应用等知识，意在考杳学生的转化能力和计算求解能力.

【例】【2019年高考北京卷文数】已知椭圆C：I+；=1的右焦点为（1,0），且经过点4（0,1）.

a2b2

<1)求椭圆。的方程：

(2)设。为原点，直线八^二6+«，工±1)与椭圆。交于两个不同点P,Q,直线力尸与x轴交于点

M,直线彳。与x轴交于点M若［0MI0N|=2,求证：直线/经过定点.

【答案】<I)—+y2=l：<2)见解析.

2?

【解析】<1)由题意得，护=1，t=l.所以标=护+/=2.所以帏圆。的方程为］+y2=i

乂-11

，2>设尸,VH>'|),O32,”)，则直线IP的方程为y=」-X+1

再

令尸0,得点M的横坐标X”=一黄1.乂x=h1+7,从而|OA/|二NM=|二：

j=Ax+/,

|O^|=|-I.由《彳2阳1+2公)/+4加+2/_2=0.

同理,

IOC2+1-[-----J.=1

Aki2/2-2

则…二一百,中

21+2A2

*

-------------H-------------1_।----------------------------------------------

所以ICMHCNQ22

kx1+t-]kx2+t-\kxlx2+^(/-l)(x,+x2)+(/-l)

2r-2

-|1+2r|=2|必

女心+Af.(—*+(->J

1+2公八1+2〃

又|OM|・|ON|=2,所以2|上吆|=2.解得『0,所以直线/经过定点(0,0).

1T

【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件:

(2)强化有关直线与椭恻联立得出一元二次方程后的运算能力,用视根与系数之间的关系、弦长、斜率、

三角形的面积等问题.

【例】【年高考全国卷理数】已知曲线：。为直线尸一^

2019IHCj=y,上的动点，过。作。的两条切

线，切点分别为力，B

(1)证明：直线过定点：

(2＞若以E(0,|)为圆心的圆与直线/I8相切，且切点为线段48的中点，求四边形XO8E的面积.

1答案】I'见详解：(2)3或4人

[解析1I＞设。。4(3,必)，则X；=2jv由于.所以切线£M的斜率为一故上1

k2；玉必十弓

----

整理得2历一2乂+1=0.设3(天,%),同理可得2%-2必+1=0故直线"的方程为

2A^-2»+1=0,所以直出18过定点(0,；)

(2)由1)得直线的方程为^二田十^.由,可得戈2-2a一1二0

丁•是》+32=2/,x1x2=-1,必+%='（$+/）+1=2?+L

2212

|AB|=Jl+上-x2\=>]\+txJ（XI+X2）-4%七=2（/+1）

S=g|力6|(4+4)=(J+3)炉TT设”为线段力8的中点，则M[)由于国」.在.

而由=«/-2),而与向量(1,/)平行，所以f+(r-2)l=0.解得-0或/=±1”=0时，＞3：

当，=±1时,S=4&.因此，四边形力加跖的面积为3或40

【名师点睛】此题第•问是阿锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求

解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.

【例】(2017•全国卷I)已知椭圆C：三+1=1(«＞6＞0),四点8(1,1),P(0J),P

2\a/乱

恰有三点在椭圆。上。

(I)求。的方程。

(2)设直线/不经过户2点且与。相交于/，B两点。若直线与直线巴8的斜率的和为一1，证明：/过定

点。

【解析】(1)由于P”?4两点关于F轴对称，故由题设知椭圆C经过户”八两点。又由1+另+2知，C

tr解得匕二赠故C的方程为手+炉=1。

不经过点所以点A在。上。因此］3

ar4〃

(2)证明：设直线2M与直线尸28的斜率分别为为，3如果/与x轴垂直，设/：x=h由题设知“，11|/|<2,

可得48的坐标分别为［用卜用

则&i+A?=—1»得/=2,不符合题设。从而可设/：y=b+m(/n#l)。

将丁=匕+小代入］+炉=1,得(4尸+12+弘心+4加!-4=0,由题设可知4=16(4公一加+30。

4m2—4

设/(xi,yi),8(&,")，则xi+x2=-一；---,X\X2=-7

4h+l4A2+1

kx\+m-1,Ax：+/w_I__2kx\X2^~(m-l)(xi+x»

!--------十---------=-------------------1

由题设知鬲+的=-1,故(2A+1MX2+SLIXH+X2)=0。即(24+1)警—+(附—1)三吧=0・

4Ar+l4A-+I

解得《=一仁tl。当且仅当标>一1时，d>0,于是/：y=一竺乜

22

即y+l=—2),所以/过定点(2,—I).

【例】(2017新课标H)设。为坐标原点，动点M在椭圆C：y+/=l±,过”做X轴的垂线，垂足

为N,点P满足而=0两.

(1)求点P的轨迹方程：

<2>设点。在直线x=-3上，且丽•而=1.证明：过点P且垂直于OQ的直线/过C的左焦点F.

【解析】⑴设P(x,y),M(x0,y„),则N(x0,0),NP=(x-x0,y),W=(O.yo).

由NP=&NA/符x0=x,y0=^-y.因为"(x。,%)在C匕所以,+

因此力.P的轨迹方程为丁+y2=2.

(2)由愿意知/(-1,0).设。(-3J),P(m,n),则丽=(-3j),PF=,

OQ-PF=3+3m-tn.OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n),

由OPPQ=1得-3/w-/w2+f2=1.又由(I)知/w?+/=2,故3+3加一/〃=0.

所以而•丽=0,即而_L而.又过点尸存在唯•直线垂直与。。，所以过点尸且垂直于。。

的直线/过。的左焦点厂.

典例分析

线过定点与几何证明相结合：

【例】已知圆M:(x+2)2+y2=i,圆N：(x-2)2+y2=49,动圆户与圆M外切并且与圆N内切，圆心

P的轨迹为曲线C

(1)求曲线。的方程：

(2)设不经过点0(0,2退)的直线/与曲线C相交于4，8两点，直线Q4与直线。8的斜率均存在且斜率

之和为-2,证明：直线/过定点.

【答案】(1)—+^=1：(2)证明见解析

1612

【解析】⑴设动圆户的半径为「•因为动网?。网V外切,所以1PMi=1+1’因为动圆尸与黑、内切，

所以|PN|=7—r,则|PA/|+|PN|=(r+l)+(7-r)=8>|MV|=4,由椭圆定义可知，曲线C是以

M(-2,0)、N(2,0)为左、G焦点，长轴长为8的椭国，设椭网方程为1+==[(。>6>0).

crb'

则。=4,c=2.故〃=/-c?=]2，所以曲线C的方程为土■+匕=I

1612

y=kx+rn

2)①当直线/斜率存在时，设直线/:夕=履+加，m*±2y/3.联汇二+J/

1612

-8km

得(3+4公卜2+8〃心+4阳2-48=0,设点/(xJi),8(占,必),则

4m2-48

中2=Z—77i-

y「2拒+必2后_x>(kxi+m)-2y/3x2+玉(机+劝一2苏丹_2Axi毛+("?-26乂％+%)_?

%&

8

所以(2%+2)x吊+(卅-2石)伍+&)=0,l!|l(2Jt+2)4ff，-t+(>»-2^~)~8A，W,=0.

3+4K3+4K

得布一12+2麻阳一12%=。.则(加+26)(m—2A/J)+26(〃L2G)=0.

因为m*2上,所以/w+2jJ+2&=0.即机=一2四一2石，

直线/:y=履-2®-=A(x-2石)-2百.所以直线/过定点(2瓜-20

I当直线/斜率不存在时,《it线/:x=«30),IL-4c<4,则点，

-J12-步2£茅*26=_述=_2,解得,=26

所以直线/:x=2"也过定力：(26,一26),综上所述,直线/过定点(2后一2&)

【例】已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点力(1,2)为抛物线。上一点。

(1)求抛物线。的方程。

(2)若点6(1,—2)在抛物线C上，过点8作抛物线。的两条弦8P与8。，若依尸加0=-2,

求证：直线尸。过定点。

【解析】(I)若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为/=如，代入点41.2),

可得。=4,所以抛物线方程为炉=4x。

若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为<=啊、代入点41,2),

可得用=L所以抛物线方程为/=多。

综上所述，抛物线C的方程是y=4x或

(2)证明：因为点例1,一2)在抛物线C上，所以由(I)可得抛物线C的方程是炉=4x。

易知直线BP,80的斜率均存在，设直线82的方程为y+2=*x-|),将直线8P的方程代入

炉=4%，消去v,得A*—设P(xi,vi)»则

k~

仲+2>2A+41

所以Ak2・kJ.用一:替换点尸坐标中的A,可得。(伏一1尸，2-2%),从而直线尸。的

K

-2+2〃

W4-4A

斜率为-------------

空_伏7>一炉+2K+4A+4—K+2A+2'

k~

2

故直线PO的方程是广-2+2A=―/——[x-[k-\)]9

—1+2A+2

在上述方程中，令x=3,解得y=2,所以直线尸。恒过定点(3,2)。

有关圆过定点的问题:

【例】【河北省张家口市2020届高三】已知点Q是圆G：x2+y2=4上一动点，线段OQ与圆C2：x2+y2=3

相交于点7.直线d经过Q,并且垂直于%轴，7在d上的射影点为E.

(1)求点E的轨迹C的方程:

(2)设圆G与4轴的左、右交点分别为4,8,点P是曲线C上的点(点P与48不重合)，出线4P,BP与直

线I：工=4分别相交于点M,N,求证：以MN直径的圆经过定点.

+=1

【答案】(1)v4T3(2)见证明

【解析】(1)设点E(x,y),QGQJQ).当yQ=0时,易得E(±2,0)：

节为H0时，彳q=y.所以％=强又XQ=X.所以Q(%,曾代入C1的方程，

做2+偌)2=4,吟+9=1.

(2)证明：设直线4P,8P的斜率分别为k.k[,记P(%,yp).

则如=急•卷=券=4

直线4P的方程为y=k(%+2),所以M(4,6k).直线BP的方程为y=—今(％—2),所以N(4,—粉

以MN为宜径的圆的方程为(4-4)2+(y-6k)(y+专)=0.

整理，得12yk2-[2(x-4)2+Zy2-18k-3y=0.

令｛(1C-18=0解啧=0,或C]所以以MN为直径的圆过定点(1。(7.0).

定点问题与探索问题相结合：

【例】【山东省德州市2020高一】已知椭圆。多+芸=1(。>8>0),点叭-琮)在椭圆。上，椭圆C的离

心率是最

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)设点A为椭圆长轴的左端点，P,Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点,记直线APMQ斜率分别为自水2,

若k#2=-%请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.

【答案】(1>5+9=1<2)过定点(1,0)

【解析】⑴由点M(-吗)在椭MC」:，且椭圆C的离心率是aM得?:可解即［二；

故椭圆C的标准方程为5+3=1.

<2)设点P,Q的坐标分别为(4,%),(次,)2)，

(i)当宜线PQ斜率不存在时，由睡总知，直线方程和曲线方程联*:得：P(l,j).(2(1,-j).

(ii，当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为旷=卜丫+巾，

评y2-

联。［7+1"-1,消去y得：(4k2+3)x2+8kmx+(4m2—12)=0.

(y=kx+m

由4=64k2m2—4(4依+3)(4评—12)=48(4/—m2+3)>0.有4k2+3>m2.

由韦达定理得：*1+X2=-5瑞，%1%2=

故〃也=滥可得：4yly2+。1+2)&+2)=0，

可得:4(5+m)(kx2+m)+(的+2)(xz+2)=0.

2

隹理为:(4/+l)x1x2+(4/cm+2)(xi+x2)+4m+4=0.

故有(4m+1)崂言-(4km+2)黑+4mZ+4=0.

化简整理得：m2-km-2k2-0,解得：血=24或巾=一匕

当m=2A时直线PQ的方程为y=H+2%即y=k(x+2),过定点(-2,0)不合题意,

当m=-k时直线PQ的方程为y=心:一k,即、=攵。-1),过定点(1,0).

综上，由(i)(ii)知，直线PQ过定点(1,0).

【例】(2020河北唐山高三)已知点尸到直线^二一3的距离比点尸到点力(0,1)的距离多2

(1)求点尸的轨迹方程：

(2)经过点。(0.2)的动直线/与点尸的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得NA侬=NNHQ?

若存在，求出点H的坐标：若不存在，请说明理由.

【答案】(1)x2=4y(2)存在满足条件的定点R(0,-2)：

【解析】

【分析】

(I)根据抛物线的定义可得解：

(2两角的相等关系转化到直线的斜率的关系,进而转化到交点的坐标的关系求解.

【详解】

(1)由题知.|尸旬二点。到“线)，二-1的距琢故P点的轨迹是以4为焦点、y=T为准线的抛物线,

所以其方程为犬=4,：

2根据图形的对称性知.若存在.满足条件的定点R，则点R必在歹轴上，可设其坐标为(0,广).

此时NMHQ=NNRQu>幻眼+2=0，设A/(X”M),N(W，必)，则=

X]x2

I.设其方程为丁=6+2,q/=4y联＞得/一4去-8=0.

则％+电=44.X1X2=-8,

M-r।必-「=1+2-/।依+2-r=24+(2-r)(x,+xJ_2k_心，)一0.

X[x2Xx2X1x22

故「二一2,即存在满足条件的定点R(0,-2)

【点睛】本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的关系，对于第二小问是常规题，转化成坐标的关系是关

键，并且能最终转化成与韦达定理的关系，属于中档题.

高考颈测

I.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:、+/=i.如图所示，斜率为〃伏＞0)且不过原点的直线/交

椭圆C于4,B两点，线段的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D(-3,w).

＜1)求加+M的最小值：(II)若|06『=|。。卜|。£|,求证：直线/过定点;

y=kx+t,

【解析】(1)设直线/的方程为y=云+”>0),由题意，，>0.由方程组行

y+J=l

(3Zr2+l)jr2+6to+3/2-3=0,由题意A>0,所以女2+1>/

设力区,凹),仇士，必)，由韦达定理得M+々=-*，、所以乂+必=J'

由于E为线段AB的中点，因此、£=-^-,y£=—^―,此时%=江=-占.

3k+13k+1xE3k

所以OE所在直线方程为》=-，7卷乂由题设知0，-3,m).

3k

令x=-3,得zw=L即/成=],所以加+〃222MA=2,

k

当且仅当〃7=A=1时上式等号成立，此时由△>0得0</v2,

因此当加=〃=1且0<1<2时，/^+公取最小值2.

<II>由<1)知。。所在克线的方程为丁=-4苍将其代入椭圆。的方程，并由〃>0,

3k

弘1弘，1

解得6(_7聆=,亍^)又E♦三一，阳\),。(-33).

V3P+1J3/+13V+13F+1k

由距离公式及，>0得

由|OG『=|||OE|得/=%,因此，直线/的方程为y="(x+1).所以，直线/恒过定点(-1,0).

2.已知抛物线<7/2=2川(0>0)的焦点为尸，4为C上异于原点的任意一点，过点4的直线/交C于

另一点B,交x轴的正半轴于点。，且有|以|=|尸。|,当点《的横坐标为3时，A4O尸为正三角形。

(I)求C的方程：

(11)若直线//〃，且4和C有且只有一个公共点E,证明直线4E过定点，并求出定点坐标；

【解析】(1)由题意知尸皮,0),设O(/,0X，>0)，则尸。的中点为(与Mo)

因为|E4|=|FD|,由抛物线的定义可知3+5=|，-g.解得，=3+p或，=-3(舍去)

由勺义-3,解符p=2.所以抛物线C的方程为炉=4x.

(II)(i)由<I)知F(1,O).设4*0，%乂%%=0).D(XD,OXXD>0)

因为|E4|=|ED|,则k“一1|=%+1,

由x〃>0得Xo=%+2,故£»(Xo+2,0),故直线4B的斜率《#=-/■,因为直线&和直线ZB平

行.

设直线4的方程为y=-4、+6,代入抛物线的方程用/+—^--=0,

2%%

6432b244

由题意A=~y+---=0,得6=----,设£(>「》£),则>^=----,XE=F

%Joy0^Jo%

当用x4时/公=匕二生二孚大可用直线4E的方程为由尤=4x0,

xE-x„K-4y；-4

整理狗>=骂5-1),直线4E恒过点F(l,0)，当点=4时，直线4E的方程为x=l,过点尸(1,0).

此一4

所以直线4E过定点/(1,0).

3.如图，在平面宜角坐标系中，已知点尸(1,0),过直线I：x=2左侧的动点P作PH1

1于点H,ZHPF的角平分线交力轴于点M,且山H|=V2|MF|,记动点P的轨迹为曲

线r.

(1)求曲线r的方程：

(2)过点/作直线m交曲线r于4,8两点，点C在，上，且8C〃X轴，试问：直线4c是否恒过定点？请说明理

由.

【答案】(1)9+必=卜⑵答案见解析.

【解析】⑴设P(3).由题可知附F|=|PF|.所以翳=翳=争即"票=字

化简整理得援+丫？=1，即曲线r的方程为措+yZ=i.

<2)山已知可用直线m的斜率不为0,.,.可设直线m的方程为¥=»1丫+1.

x=ny+1

(二+必=1消去x得(储+2)y2+2ny-l=0,4>0恒成立，

记4。"1),8(孙力),则”2,%)，则yi+丫2=-号/必=-+，*1=nyt+1.

二花线4c的斜率为k=咤.直线4c的方程为y-yz=咤(x-2).

即¥=组在［4_2+丝生殳］.乂尔k2)=吗？厂9=，2：左二士

孙-2yi-y2y\-yz~^2yi2(k力)2

・,・直线AC的方程为y="2+；)=号(x—,),J直线4c过定点N(?,0).

Xj—ZZXi-Zzz

4.已知抛物线C:炉=2px(p>0)的焦点为广，直线y=4与y轴的交点为p,与抛物线C的交点为0,

B.\QF\=2\PQ\.

(I)求P的值：

(2)已知点T«,-2)为C上一点，M,N是C上异于点7■的两点，且满足直线和直线77V的

0

斜率之和为-1，证明直线MM恒过定点，并求出定点的坐标.

【笞案】(I>4：,2>证明过程见解析，直线MN恒过定点(-1,-1)

【解析>1，设。(%,4),由抛物线定义知|。石=*,+勺乂|。石=2归。|.|尸。|=x°.

所以2%=%+勺解狗毛=勺将点。停4)代入抛物线方程，解得p=4

<2>由”>知，C的方程为V=8x,所以点r坐标为设直线MV的方程为x=my+”.

一/\\x=my+n.

:

点N（x2,yj,由J2—8》得了—8〃少-8〃二0J=64/w+32w>0

..y,+2y,+2y,+2y+2

2-

所以M+必=&〃・弘必=一8〃•所以ky+kNT=-----+一~=~p―j~+~^2―j

X'~2'2"2T"2T-2

_8f8_8（M+必）-3264m-328.

必-2y2-2必为_2（乂+必）+4-8w-I6m+43

所以直线MN的方程为X+1=加(y+1),恒过定点(一1,-1).

5.已知中心在原点o的椭圆c的左焦点为々（-i,o）,c与y轴正半轴交点为力，旦

（1）求椭圆c的标准方程：

（2）过点A作斜率为k,、质（/"0）的两条直线分别交C于异于点A的两点M、N.证明：当自=4

与一1

时，直线MV过定点.

【答案】⑴工+亡=1：<2）见解析.

43

【解析】I）在用&4E。中，|。1|=6"。个=，=1,\AF}\=yj\OA^+\OF^=a.

vZJ/^O=NO/G=g，/•a=|<£|=2|0耳|=2.:.b=址.c'=6,

36

因此，椭圆c的标准方程为工+片=1：

43

（2，由题不妨设=b+m.设点乂（工2,%）

x2y2

—।—=1

联立43消大V化简徨（4A:+3）/+8kmx+4m:-12=0,

y=kx+m

8km4m2-12

且$十七二

4〃+3

,,k=h.kk-k+k•工力一6_丫「百]%一退

k「1%x2$x2

・・・代入乂=a+加。=1,2）,化简得

（尸_2A）邛2+（A-1乂〃7-G）（X[+x2）+nr-26〃+3=0,

化简得815〃（m一6）=3（/w-JJ），,//〃工,二•8=3（m-班）..•.ni=七十百，

直线MN:y=h+等因此，直线MV过定点卜苧，6）

6.已知椭圆C：4+4-=!（a>b>0）的左，右焦点分别为£、该椭圆的离心率为迎，以原点

a~b22

为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线、=工+及相切.

（1）求椭圆C的方程:

（11>如图，若斜率为的直线/与X轴，椭圆C顺次交于尸,2,R（p点在椭01左顶点的左侧）且

NRF£=NPFQ,求证：宜线/过定点.

1答案】（Dy+/=l;F）证明见解析.（-¥，o）u[o.¥）

【解析】（I）解：椭圆的左，石焦点分别为6（8,0）,5（c,0）,椭圆的离心率为巫，即有£=立，即

2a2

a=y/2c-b=y/a2-c2=c-以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆方程为一+V.

直线y=x+6■与圆相切,则有固=1=/,.即有a=JL则椭例C的方程为1+产=1：

722

<n>证明：设2（不必）,口（马,%），£（_1），°，

由NR£B=NPG。，可得直线。々和g关于'轴对称，即行坛"+4*=0,即*I+』I=O.

即有玉%+必+$乂+乂=0.①，设直线户Q:y=h+/,代入椭圆方程，可得

（l+2*2）^2+4te+2/2-2=0,判别式A=16r『-4（1+2好）（2/-2）>0,即为r-2-<1②，

-4*t2产-2,-、.

X、+*=不主/抵=③"=®+，,％=&+，,

代入①可得，（k+，）a+xJ+2，+2faqx2=0,将③代入，化简可#"=23

则在线/的方程为y=h+2hR|）y=A:（x+2）.即加X线/恒过定点（一2,0）.

7.已知椭圆C:x2+3K=6的右焦点为F.

（1）求点F的坐标和椭圆C的离心率:

(2)直线/:y=h+m(k，O)过点F,且与椭圆。交于P,。两点，如果点P关于x轴的对称点为P，

判断直线尸。是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标：如果不经过，说明理由.

1答案】,1)焦点广(2,0),离心率e=^<2>是过x轴1:的定点；定点(3,0)

【解析】(1),椭圆(?：三+乙=1..•./=/-6=4,解得c=2,.•.焦点F(2,0),离心率e=在

623

2)直线/：y=h+a(%w0)过点E.•.m二一24，/./:丁二“5一？)

由卜+,V孩，存(3储+1)/-12/X+1242-6=0(依题意4>0，

|y=X(x-2)''

设P(x“M),0(覆，%)，则占+三二^^，

jK+1JK+I

•.•点P关于X轴的对称点为p’.则"(士,一乂)直线PQ的方程可以设为歹+乂=.

X2-X\

kx(Xj-2)+AX](x-2)2xx-2(x+x)

令…，户文*+再二里1军也22i2[2

乂+%乂+必〃(国+与-4)(为+%一4)

12r-612k2

3必+1-干上'■=3直线尸Q过X轴上定点(3,0)

(12k2

|,3F+1

8,已知椭圆C：£■+号=l(a>/>>0)的离心率为"，点P(0,1)和点/(m,")(,"#0)都在椭圆C上，直

ab~2

线P/交x轴于点M.

(I)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，〃表示)：

(0)设。为原点，点5与点力关于x轴对称，直线户8交x轴于点N.问：y轴上是否存在点。，使

得NO0W=/QV2?若存在，求点。的坐标；若不存在，说明理由.

b=l,

【解析】(1)由题意得,£=,，解得/=2.故椭圆C的方程为三+/=1.

a22

a2=b2+c2.