工程力学复习知识点

一、静力学

1.静力学基本概念

（1）刚体

刚体：形状大小都要考虑的，在任何受力情况下体内任意两点之间的距离始

终保持不变的物体。在静力学中，所研究的物体都是指刚体。所以，静力学也叫

刚体静力学。

（2）力

力是物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态改变（外效应）

和形状发生改变（内效应）。在理论力学中仅讨论力的外效应，不讨论力的内效

应。力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点，因此力是定位矢量，

它符合矢量运算法则。

力系：作用在研究对象上的一群力。

等效力系：两个力系作用于同一物体，若作用效应相同，则此两个力系互为

等效力系。

（3）平衡

物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动。

（4）静力学公理

公理1（二力平衡公理）作用在同一刚体上的两个力成平衡的必要与充分条

件为等大、反向、共线。

公理2（加减平衡力系公理）在任一力系中加上或减去一个或多个平衡力系，不

改变原力系对刚体的外效应。

推论（力的可传性原理）作用于刚体的力可沿其作用线移至杆体内任意点，

而不改变它对刚体的效应。

在理论力学中的力是滑移矢量，仍符合矢量运算法则。因此，力对刚体的

作用效应取决于力的作用线、方向和大小。

公理3（力的平行四边形法则）作用于同一作用点的两个力，可以按平行四

边形法则合成。

推论（三力平衡汇交定理）当刚体受三个力作用而平衡时，若其中任何两个

力的作用线相交于一点，则其余一个力的作用线必交于同一点，且三个力的作用

线在同一个平面内。

公理4（作用与反作用定律）两个物体间相互作用力同时存在，且等大、反

向、共线，分别作用在这两个物体上。

公理5（刚化原理）如变形物体在已知力系作用下处于平衡状态，则将此物

体转换成刚体，其平衡状态不变。可见，刚体静力学的平衡条件对变形体成平衡

是必要的，但不一定是充分的。

（5）约束和约束力

1）约束：阻碍物体自由运动的限制条件。约束是以物体相互接触的方式构

成的。

2）约束力：约束对物体的作用。约束力的方向总与约束限制物体的运动方

向相反。表4.1-1列出了工程中常见的几种约束类型、简图及其对应的约束力的

表示法。其中前7种多见于平面问题中，后4种则多见于空间问题中。

表4.1-1工程中常见约束类型、简图及其对应约束力的表示

约束类约束简图约束力矢量图约束力描述

型

作用点：物体接触点

方位：沿柔索

x

[方向：背离被约束物体

柔索类大小：待求

A______——A__

这类约束为被约束物体提供拉力。

G%

单面约束：

作用点：物体接触点

土方位：垂直支撑公切面

方向：指向被约束物体

大小：待求

,这类约束为物体提供压力。

光滑面葭

接触

双面约束：假设其中一个约束面与物体接触，绘制约束力，

N

a不能同时假设两个约束面与物体同时接触。

：作用点：物体接触点

方位：垂直共切面

方向：指向被约束物体

大小：待求

这类约束为物体提供压力。

作用点：物体接触点

短链杆47方位：沿链杆两较点的连线

（链杆）广A方向：不定

大小：待求

作用点：物体接触点，过较中心

方位：不定

中间较

方向：不定

（连接'

大小：待求

较）)4

用两个方位互相垂直，方向任意假设的分力，

表示该约束处的约束力

作用点：物体接触点，过较中心

A二方位：不定

固定较1方向：不定

大小：待求

用两个方位互相垂直，方向任意假设的分力，表示该约束处的约束力

辐轴支J-t作用点：物体接触点，过钱中心

座（活动方位：垂直支撑面

钱）方向：不定

大小：待求

在约束面内既不能移动也不能转动，用两个

方位互相垂直、方向任意假设的两个分力表

.J____________J

固定端45nCT

'1'示限制移动的力，用作用面与物体在同一平

面内的、转向任意假设的集中力偶表示限制

转动的力偶。

-X_Y向可微小移动，用方位互相垂直、方向任

向心轴意假设的两个分力，表示限制径向的移动

4CJ_______I

承4

三个方向都不允许移动，用三个互相垂直的

I

J力表示限制的移动。

止推轴

承卜

Xy

Z*空间任意方向都不允许移动，用方位相互垂

直，方向任意的三个分力来代替这个约束力

球形较必

X.

三个轴向都不允许移动和转动，用三个方位

空间固Z,、相互垂直的分力来代替限制空间移动的约束

4

定端X忆,力，并用三个矢量方位相互垂直，转向任意

X的力偶代替限制转动的约束力偶

（6）受力分析图

受力分析图是分析研究对象全部受力情况的简图。其步骤是：

1）明确研究对象，解除约束，取分离体；

2）把作用在分离体上所有的主动力和约束力全部画在分离体上。

（7）注意事项

画约束力时，一定按约束性质和它们所提供的约束力的特点画，并在研究对

象与施力物体的接触处画出约束力；会判断二力构件和三力构件，并根据二力平

衡条件和三力汇交定理确定约束力的方位；对于方向不能确定的约束力，有时可

利用平衡条件来判定；若取整体为分离体时，只画外力，不画内力，当需拆开取

分离体时，内力则成为外力，必须画上；一定注意作用力与反作用力的画法，这

些力的箭头要符合作用与反作用定律；在画受力分析图时，不要多画或漏画力，

要如实反映物体受力情况；画受力分析图时，应注意复校（链接两个或两个以上

物体的较）、作用于钱处的集中力和作用于相邻刚体上的线分布力等情况的处理

方法。

2.力的分解、力的投影、力对点之矩与力对轴之矩

（1）力沿直角坐标轴的分解和力在轴上的投影

F=F；+F；+F；=Fj+Fyj+F:k

式中：7、无分别是沿直角坐标轴x、y、z轴的基矢量；底、耳、豆分

别为声沿直角坐标轴的分力；以、G、工分别为声在直角坐标轴X、y、Z轴

上的投影，且分别为（如图4.1-1）

Fx=Fcosa=Fxycos<4=Fsinycos0

Fy=FcosP=F“sin°=Fsin7sin°

F,-Fcos/

式中：a、夕、/分别为F与各轴正向间的夹角；网则为尸在。到平面上的投

影，如图4.1-1所示。

（2）力对点之矩（简称力矩）

在平面问题中，力声对矩心。的矩是个代数量，即

Mo（F）=±Fa

式中。为矩心点至力户作用线的距离，称为力臂。通常规定力使物体绕矩心转动

为逆时针方向时，上式取正号，反之则取负号。

在空间问题中，力对点之矩是个定位矢量，如图4.1-2,其表达式为

图4.1-2

z=M

^o^)o=rxF=(yF2-zFy)'i+(zFx-xFz)j+(<xFy-yFx)k

力矩的单位为N•加或利•加。

(3)力对轴之矩

力F对任一z轴之矩为力F在垂直z轴的平面上的投影对该平面与z轴交点。之

矩,即

M1{F）=Mo[F^=±Fxya=±2AOA'B'

其大小等于二倍三角形04所的面积，正负号依右手螺旋法则确定，即四指与力

声的方向一致，掌心面向轴，拇指指向与z轴的指向一致，上式取正号，反之取

负号。显然，当力声与矩轴共面（即平行或相交）时，力对轴之矩等于零。其单

位与力矩的单位相同。

从图4.1-3中可见，夕的面积等于△。钻面积在049平面（即。xy面）

上的投影。由此可见，力户对z轴之矩“二（国等于力声对z轴上任一点。的矩

Mo（F）在z轴上的投影，或力F对点0的矩（邛在经过。点的任一轴上的投

影等于力声对该轴之矩。这就是力对点之矩与对通过该点的轴之矩之间的关系。

即

"仍）=["。㈤]=俎-ZF,

"㈤=["。伍）]=密-组

（4）合力矩定理

当任意力系合成为一个合力盘时，则其合力对于任一点之矩（或矩矢）或任

一轴之矩等于原力系中各力对同点之矩（或矩矢）或同轴之矩的代数和（或矢量

和）。

"（蜃）=Z底'（瓦）力对点之矩矢

“（外）=»&＞（耳）力对点之矩

以（耳）=»"（4）力对轴之矩

3.汇交力系的合成与平衡

（1）汇交力系:诸力作用线交于一点的力系。

（2）J「交力系合成结果

根据力的平行四边形法则，可知汇交力系合成结果有两种可能：其一，作用

线通过汇交点的一个合力耳，为耳=工6；其二，作用线通过汇交点的一个合力

可等于零，即耳=Z4=0,这是汇交力系平衡的充要条件。

（3）汇交力系的求解

求解汇交力系的合成与平衡问题各有两种方法，即几何法与解析法，如表

4.1-2所示。对于空间汇交力系，由于作图不方便一般采用解析法。

表4.1-2求解汇交力系的两种方法

合力耳平衡条件耳=（）

几何法按力的多边形法则，得汇交力系的力的多边形示意力的多边形自行封闭

图，其开口边决定了合力的大小和方位及指向，指向

是首力的始端至末力的终端

解析平面汇交力瓦=(Z&A+(ZG)7

法系2X=o

*，—(外)E%=o

cos(%,=^/cos(%1/)=^/X、y轴不相互平行；有两个

独立方程，可解两个未知量

空间汇交力

系IX=0

3*+")2+孚)2

cos(外,'=之cos(与,/)=¥/

x、y、z轴不共面；有三个

COS(FR©=3Z

独立方程，可解三个未知量

4.力偶理论

（1）力偶与力偶矩

1）力偶（冗声）：等量、反向、不共线的两平行力组成的力系。

2）力偶的性质：力偶没有合力，即不能用一个力等效，也不能与一个力平衡。

力偶对物体只有旋转效应，没有移动效应。力偶在任一轴上的投影为零。力偶只

能与力偶等效或平衡。

3）力偶矩：力偶的旋转效应决定于力偶矩，其计算如表4.1-3所述。

表4.1-3力偶矩的计算

平面力偶矩空间力偶矩矢

m=±Fd大小：Fd

逆时针转向取正号；反之取负号方位：依右手螺旋法则，即四指与力的方向一致，掌

心面向矩心，拇指指向为力偶矩矢的矢量方向。

代数量自由矢量

力偶矩的单位：N•加或A7V•根

力偶的等效条件：

等效的力偶矩矢相等

推论1：只要力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任意转动或移动，或从刚体的一个平面移

到另一个相互平行的平面上，而不改变其对刚体的旋转效应。

推论2：在力偶矩大小和转向不变的条件下，可任意改变力偶的力的大小和力偶臂的长短，

而不改变其对刚体的旋转效应。

力偶矩与力对点之矩的区别：力偶矩与矩心位置无关，而力对点之矩与矩心位置有关

表中，尸为组成力偶的力的大小，。为力偶中两个力作用线间的垂直距离，称为

力偶臂。

（2）力偶系的合成与平衡

力偶系合成结果有两种可能，即一个合力偶或平衡。具体计算时，通常采用

解析法，如表4.1-4所述。

表4.1-4力偶的合成与平衡的解析法

平面力偶系空间力偶系

合成合力

MM=Z"=Z组7+

偶

平衡

M=£仍=0M=£网=£”/+£%j+EM=o

平衡方程

Z叫=oZ2y=oE叫『0

可求解一个未知量

X、y、z轴不共面；可求解三个未知量

表中，加女、小小、，既分别为力偶矩矢班在相应坐标轴上的投影。

注意，力偶中两个力声和下，对任一X轴之矩的和等于该力偶矩矢记在同一轴

上的投影，即

机＜（/^+团、=叫=mcosa

式中，a为质矢量与x轴的夹角。

（3）汇交力系和力偶系的平衡问题

首先选取分离体；然后画分离体受力分析图，在分析约束力方向时，注意利

用力偶只能与力偶相平衡的概念来确定约束力的方向；接下来，列写平衡方程，

对于力的投影方程，尽量选取与未知力垂直的坐标轴，使参与计算的未知量的个

数越少越好，尽量使一个方程求解一个未知量，而力偶系的平衡方程与矩心的选

取没有关系，注意区分力偶的矢量方向或是转向，确定好投影的正方向；最后求

出结果，结果的绝对值表示大小，正负号表示假设方向是否与实际的指向一致，

正号代表一致，负号则表示相反。

5.一般力系的简化与平衡

（1）力线平移定理

作用在刚体上的力，若其向刚体上某点平移时，不改变原力对刚体的外效应,

必须对平移点附加一个力偶，该附加力偶矩等于原力对平移点之矩。

同理，根据力的平移定理可得：共面的一个力尸和一个力偶〃?可合成为一个

合力尸，合力厂的大小、方向与原力相等，其作用线离原力作用线的距离为

〃=|%。

（2）任意力系的简化

1）简化的一般结果

根据力线平移定理，可将作用在刚体上的任意力系向任一点0（称为简化中

心）简化，得到一个作用在简化中心的共点力系和一个附加力偶系，进而可以合

成为一个力和一个力偶。该力等于原力系向简化中心简化的主矢，该力偶的力偶

矩等于原力系对简化中心的主矩。

主矢耳=z左作用线通过简化中心。

［空间:皈立而闾

主矩/一、

1［平面：

注：主矢的方向和大小与简化中心无关，只与原力系中各个分力相关，其作用线

仍通过简化中心；主矩一般与简化中心的位置有关。

2）简化的最后结果

任意力系向一点简化后的最后结果，见表4.1-5。

表4.1-5任意力系向一点的简化的最后结果

主矢主矩最后结说明

果

平衡任意力系的平衡条件

耳=27，=。皈=0或乩=0

合力偶此主矩与简化中心无关

西,0或此w0

合力合力的作用线过简化中心

耳=工瓦。。皈=0或

皈HO用

合力的作用线离简化中心的距离为d=

力螺旋力螺旋中心轴（力的作用线）过简化中心

皈,0耳〃豆

力螺旋中心轴（力的作用线）离简化中心的距离为

FR与Mo成a

角

Msina/|

d=o

3）平行分布的线载荷的合成

①平行分布线载荷和线载荷集度

平行分布线载荷：沿物体中心线分布的平行力，简称线载荷。

线载荷集度：沿单位长度分布的线载荷，以q表示，其单位为%或

②同向线荷载合成结果

同向线荷载合成结果为一个合力耳，该合力的大小和作用线位置依据合力

投影定理和合力矩定理求得。

均匀分布和线性分布的线载荷合成结果如表4.1-6所述。

表4.1-6线载荷合成结果

均匀分布的线载荷线性分布的线载荷

火中R

力学简R

*

图

I

一

合成结作用在分布线长度中点的一个合力，其作用线的作用在距离线载荷集度为零的分布长度的2

果方向与线载荷的方向一致3

处，也就是距离线载荷集度最大的分布长度的

工处，其作用线的方向与线载荷的方向一致

3

大小

R—qlR=-ql

2

（3）力系的平衡条件与平衡方程

任意力系平衡条件：力系向任一点简化的主矢和主矩都等于零，即

1匹=2匹（耳）=0

表4.1-7列出了各力系的平衡方程。但应当指出，在空间力系和空间平行力系的

平衡方程组中，其投影方程亦可用对轴的力矩方程来替代。当然，该力矩方程必

须是独立的平衡方程，即可用它来求解未知量的平衡方程。

表4.1-7力系的平衡方程

力系名■

平衡方程的表示形式

称的数目

标准式一力矩式二力矩式2

"=0IX闾=0

IX闯=0

4YFiy=0

说（X、y轴不平行，不重合）（A点和汇交点0的（A、8连线不能通过汇交点。）

明连线不能垂克X轴）

Jj

Z/=01

偶

系

平

标准式二力矩式2

行

力2X=。2>/月)=。

系

ZX(K)=°1X(耳)=。

说（Z轴不能垂直各力）

（A、8连线不能和各力平行）

明

任标准式二力矩式三力矩式3

-x*r.

忌2X=。SX(K)=oZX(K)=o

力

系

2X=°2X(号)=。£%(耳)力

1X(E)=°F=oZX(E)=o

Y—ix

说

（X、y轴不平行，不重合）（A、5连线不（4、8、C三点不共线）

明

能垂直x轴）

汇

空标准式一力矩式二力矩式三力矩式3

交

间

力2X=。zx=。2>闾=02X(司=0

力

系

系

%=。=02X(K)=o2X(K)=o

-YFiy

%=。1X(耳)=0YF=o1X(耳)旬

说（任意两根轴不能平行、重（Z轴不能通过汇（y、z轴不能通过（X、）、Z三轴没有共同交点：如有一直线经过

汇交点：不能在y、

明合）交点：Z轴不能垂汇交点且和x、y两轴有交点，则此宜线不能为z

直8轴和y轴所Z轴上轴；z轴也不能和绎过汇交点且和*,y两轴有交

组成的平面；z轴找到两点A、6,使点的直线平行或相交；从汇交点不能引一直线

和汇交点所组成和x、y,z三轴相交）

A,B和汇交点°

的平面不能垂直

%轴和y轴组成共线：如y、z轴有

的平面）交点，则》轴不能垂

直此交点和汇交点的

连线）

力

标准式

偶3

系

=0

2X(习

=。

闾

IX

6)=°

1X(

平

矩式

三力

标准式

行3

力

)=o

2X(K

。

(讣

2X

耳)=o

2X(

)=0

系1X(耳

耳)=0

1X(

）

直z轴

,面垂

行各力

（Z轴平

说

x

和

轴不能

.则z

为L

直线

力的

行各

点平

过°

°，经

交点