高中理科数学高考解答题解法总结及专项训练资料

高中理科数学高考解答题解法总结

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的

区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力

的综合型解答题.在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考

中学会怎样解题，是一项重要的内容.从历年高考看这些题型的命制都呈现出显著的特点和

解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的大有人在，针对以上情况，本节就具体的

题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答

题模板”.

“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题,

按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零.强调解题程序化，答题格式化，在

最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化.

【常见答题模板展示】

模板一三角函数的图像与性质

试题特点：通过升、降暴等恒等变形，将所给三角函数化为只含一种函数名的三角函数(一般

化为y=Asin(5+0)+&(A00,/#0),然后再研究三角函数的性质，如单调性、奇偶

性、周期性、对称性、最值等.

求解策略：观察三角函数中函数名称、角与结构上的差异，确定三角化简的方向.

U-J31

例11河北省冀州市高三一轮复习检测一】已知向量加=(cos2x,>—sinx--cosx),

22

«=(1,—sinx--cosx),设函数/(x)=/n邯.

(I)求函数/(x)取得最大值时x取值的集合：

31

(II)设A,B,C为锐角三角形A8C的三个内角.若cosB=g,/(C)=--,求sinA

的值。

思路分析：(I)首先运用三角恒等变换(如倍角公式、两角和与差的正弦余弦公式)对其进

行化简，然后运用三角函数的图像及其性质即可得出/(x)取得最大值所满足的无取值的集合;

(II)由题意可得sin(3-2C)=-且.然后运用已知条件可得出角C的大小，再由同角三角

32

函数的基本关系可得sin8,最后由两角和的正弦公式即可得出所求的结果.

解析：(I)f(x)=cos2x+sinx--cosx)2

C,3.212V3.、1,3c.3.c、

=cos2x+(—sinx+—cosx----sinxcosx)=——(——cos2x-\----sin2x)

442244

=g-告sin(2x-1).要使/(x)取得最大值，须满足sin(2x—取得最小值.

TTTTTT

2x--=2kn--,keZ.x=kTi-—,keZ..•.当/(x)取得最大值时，x取值的集合为

兀

{x\x=kn----,kGZ}.

（II）由题意，得4口（^—2（7）=--^「「‘€（0,；）,_二々一2,€（—专,々）

.4...413石_4+3后

sin£=y...sin/=疝(3+C)=sin8cosc+cos8sinC爹+丁

210

点评：高考对三角函数的图像和性质的考查主要围绕三角函数解析式的确定以及三角函数的

周期性、单调性、对称性的展开，本题在三角函数解析式的确定上呈现的非常好.

【规律总结】答题模板

第一步：三角函数式的化简，一般化成y=/sin（。矛+。）十方的形式或尸/fcos（3x+。）+力

的形式.

71

如：/(x)=2sin(2x+—)+1.

第二步：根据/Xx）的表达式求其周期、最值.

第三步：由sin腔cosx的单调性，将"3叶看作一个整体，转化为解不等式问题.

第四步：明确规范表述结论.

第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.

【举一反三】

1.【湖北】某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（5+e）（。＞0,|?|＜/在某一个周期内的

图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

n3兀

（wc+（p0n271

2T

Tl571

X

3~6

Asin(s+e)05-50

（I）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数/（x）的解析式；

（H）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动夕（。＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象.若

y=g(x)图象的一个对称中心为(正，0),求。的最小值.

【解析】(I)根据表中已知数据，解得A=5,切=2,夕=-四.数据补全如下表:

713兀

CDX+（p0712兀

2T

n717兀5兀13

X—71

12T71~612

Asin（69x+°）

050-50

且函数表达式为/(%)=5sin(2%--).

(II)由(I)知/(x)=5sin(2x-与，得式乃=5sin(2x+20-).因为y=曲工的对称中心为M0),

O0

keZ.

令2x+29一空for,解得“=萼+[-%keZ.由于函数尸g(x)的图象关于点蔡，0)成中心对称，

o21212

令与+言-"*解得尢eZ.由"0可知，当k=l时,B取得最小值9

2121223O

模板二三角变换与解三角形

试题特点：题中出现边与角的关系或者给定向量的关系式，利用正、余弦定理或利用向量的

运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换解三角形.

求解策略：(1)利用数量积公式、垂直与平行的主要条件转化向量关系为三角问题来解决.(2)

利用正、余弦定理进行三角形边与角的互化.

例2【河北省武邑中学高三上学期期末考试】已知A钻C的面积为S,且荏•ZZ'=S.

(1)求tan2A的值;

(2)若8=2,CB-CA=3,求AABC的面积S.

4

思路分析：(1)利用平面向量的数量积运算法则及面积公式化简已知等式，求出tanA的值即

可；(2)由tanA与tanB的值，利用两角和与差的正切函数公式求出tanC的值，进而求出

sinC的值，利用正弦定理求出分的值，再利用三角形面积公式即可求出S.

------1

解析：(1)设&OC的角4夙C所对应的边分别为0,瓦c,,.•45/C=S,.•.从8sx=—治而/,

2

t3n

.".COSJ4=—sinA,tanA=2.tan24=2..=_f.

2l-tau2J3

(2)无一而=3,即|羽=c=3,•.•tanA=2,0<A<W，,sinA=^-,cosA=—.

2A/5V2V5V23M

/.sinC=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB-j------由正弦

525210

定理知：一--=nb=——-sinB=V5,S=—bcsinA=—y/5-3=3.

sinCsinBsinC225

点评：解三角形的两条思路要牢记：边角互化与使用三角恒等变换公式，其中正、余弦定理

是常使用的，其作用就是边角互化，用一句话概括：“化边化角整体待，三角变换用起来”

【规律总结】答题模板

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

第四步：回顾反思，在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部

转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形.

【举一反三】

【湖南】设A4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且8为钝角.

7t

(1)证明：B-A=-；

2

(2)求sinA+sinC的取值范围.

解析：(1)由0二匕由/及正弦定理，得丝且=2=2吆，,5k3=85/,即4。5=向(9+K),

cosAbsinB2

TT"'li'll7T

又5为钝角，因此，+4e(」■㈤，故8=上+4,即劣-4=2•:(2)由(1)知，C=万一(4+3)

2222

'Ji7/_7/

7T-(2A+-)=--2A>Qf于是sinN+sinC=sinZ+sin(，-2⑷

2242

=sinZ+8s2Z=—2sin，X+sin/+1=-2(sin4—I)"+?,<0<X<2>「・0<sinZ<,因此

4842

FyioaPya

^-<-2(siDX--)2+-<-,由此可知sinJ+sinC的取值范围是(一,/・

24o828

模板三离散型随机变量的分布列、期望与方差

试题特点：主要考查古典概型、几何概型，等可能事件的概率计算公式，互斥事件的概率加

法公式，对立事件的概率减法公式，相互独立事件的概率乘法公式，事件在〃次独立重复试

验中恰好发生人次的概率计算公式等五个基本公式的应用及离散型随机变量的分布列和数学

期望、方差等内容.

求解策略：(1)搞清各类事件类型，并沟通所求事件与已知事件的联系.(2)涉及“至多”、

“至少”问题时要考虑是否可通过计算对立事件的概率求解.(3)注意识别特殊的二项分布.(4)

在概率与统计的综合问题中，能利用统计的知识提取相关信息用于解题.

例3【江西省吉安市第一中学高三上学期第四次周考数学理试题】某校校庆，各届校友纷至沓

来，某班共来了〃位校友(〃>8,且〃？N*),其中女校友6位，组委会对这〃位校友登记制

作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为

“最佳组合”..

(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于;，求〃的最大值；

(2)当〃=12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X,求随机变量X的分布列和数

学期望E(X).

思路分析：(1)由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率2=。："RzL

〃(〃一1)2

由此能求出〃的最大值.(2)由题意得，X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，

由此能求出X的分布列和均值.

解析：由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为冬g=毕二，则号“二?>i

巩万一1Jj2

化简得25“+14440,解得9OM16,故”的最大值为16；

(2)由题意可得，X的可能取值为0,b2

贝UP(X=O)=*=(,P(X=1)=等=《j(X=2)=景=(,

X的分布列为

X012

565

P

227722

E")=L

点评：解决概率问题首先要考虑是考查哪种概率类型；其次要弄清互斥事件、相互独立事件

的概率计算；再次在研究概率的前提下找出随机变量的所有可能取值、列出分布列、求解期

望，注意特殊分布的公式的运用.

【规律总结】答题模板

第一步：确定离散型随机变量的所有可能值.

第二步：求出每个可能值的概率.

第三步：画出随机变量的分布列.

第四步：求期望和方差.

第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.如本题可重点查看随机变量的所有可

能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确.

【举一反三】

【湖南】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4

个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的

2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.

（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布

列和数学期望.

【解析】《1）记事件4=（从甲箱中摸出的1个球是红球｝,4=｛从乙箱中摸出的1个球是红球）

4=（顾客抽奖1次获一等奖）,4=（顾客抽奖1次获二等奖）,C=｛顾客抽奖1次能获奖）,由题意，

4与4相互独立，44与44互斥，4与与互斥，且4=44，4=44+44,0=用+%,

，,汽4）=H，汽4）=记=g,，尸区人尸（44）=尸（4）尸（4>=,x[=:，

玳+尸尸尸（》尸（

P（B2）=W值+44）=（44）=^（4）（1-（4））+Q-44）

=W*1—g）+Q一令xg=£,故所求概率为尸（。=尸（4+4）=尸（用）+玳品）=：+2=正：（2）顾

客抽奖3次独立重复试脸，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为:，〜5（3,；）,

于是P（X=0）=C共）。令3=黑,"=1）=展）守=展,

P(X=2)=*呷喧，

141

p(X=3)=C^(-)3(-)0=—,故X的分布列为

X0123

P6448121

125125125125

13

X的数学期望为E(X)=3x-=~.

模板四立体几何中位置关系的证明及空间角的计算问题

试题特点：立体几何解答题主要分两类：一类是空间线面关系的判定和推理证明，主要是证

明平行和垂直；另一类是空间几何量（空间角、空间距离、几何体体积与面积）的计算.

求解策略：（1）利用“线线=线面=面面”三者之间的相互转化证明有关位置关系问题：①

由已知想未知，由求证想判定，即分析法与综合法相结合来找证题思路；②利用题设条件的

性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一.（2）空间几何量的计算，常用方法是依

据公理、定理以及性质等经过推理论证，作出所求几何量并求之.一般解题步骤是“作、证、

求”.

例4【江西省吉安市第一中学高三上学期第四次周考】如图，是圆。的直径，C是圆。

上异于A,8的一个动点，DC垂直于圆。所在的平面，DC//EB,DC=EB=l,AB=4.

（1）求证：QEA平面ACO；

思路分析：（1）由线面垂直得DC1BC,由圆周角性质得AC1BC,从而BC±平面ACD,

由此能证明DEL平面ACO.（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，C。为z轴，建

立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面ABE所成的锐二面角的余弦值.

解析：（1）;6J■面d5c，二DC_L5C,又是圆。的直径，二ACr>DC=C,AC,DC

面/CD,二5cl_面ZCD,又,.•。。〃郎刀。=邱:四边形3CDE是平行四边形，

二DE/ABC二DEJL平面ACD

A(2在0,0),D(0,0,1),B(0,2&,0),E(0,2⑸)

AD=(-2&,0』)，OE=(0,2j5,0),设平面AOE的一个法向量为勺=(x,y,z),则

jnt?AD-2V2x+z=0

1

|nx?DE2y/2y=0'令"=1,得〃|=(1,0,2血),设平面48E的一个法向量为

&=(x,y,z),则

j〃]?A8-l'Jlx+2\[2y=0

jn,?5Ez=0，令％=1，得巧=。,1,0卜

1V2

cos(Hj,n“x〃2

2NIMI，，平面AE。与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为

•

6

点评：寻找立体几何的解题思路重点把握好以下几点：一是要有转化与化归的意识，即将线

线关系、线面关系、面面关系之间的问题相互转化；二是要有平面化的思想，即将空间问题

转化到某一平面处理；三是割补的意识，即将原几何体分割或补形，使之成为新的、更方便

处理的几何体；四是要用好向量这个强有力的工具.

【规律总结】答题模板

第一步：根据条件合理转化.

第二步：写出推证平行或垂直所需的条件，条件要充分.

第三步：写出所证明的结论.

第四步：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标.

第五步：求（或找）两个半平面的法向量.

第六步：求法向量m的夹角或COS〈功，〃2〉（若为锐二面角则求Icos〈〃1,功〉）.

第七步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角.

第八步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.

【举一反三】

【北京】如图，在四棱锥A-EFCB中，为等边三角形，平面的，平面EFCB,

EF//BC,8c=4,EF=2a,ZEBC=ZFCB=60°,。为的中点.

（I）求证：AOIBE；

（ID求二面角广—他一8的余弦值;

(Ill)若8EJ_平面AOC,求a的值.

【解析】

(I)由于平面的_L平面EFCB,△田为等边三角形，。为m的中点，则±EF,

根据面面垂直性质定理，所以4。，平面EFCB,又BEu平面EPCB,则AO_L8E.

(II)取CB的中点D,连接0D,以0为原点，分别以困0从QA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

X0,0弧)，虱a,0,0),M2,2依-扃0),茄=(a,0,-^a),EB=(2-a,2函-扁0),由

于平面物1与y轴垂直，则设平面血的法向量为q=(0,1,0),设平面陋的法向量弓=(矛,y,1),

zjj_LAE,ax=0,x=-Jz,弓A.EB,(2—a)x+(26—&a)y=0,y=—1,则

%=(6,-LI),二面角尸的余弦值cos〈q,q)=3=」=-*,由二面角

同佃加5

F-AE-B为钝二面角，所以二面角H-AE-B的余弦值为一.

5

(III)有(1)知4。_L平面EFCB,则AO1BE,若3EJ_平面AOC,只需应1I0C,

旗=(2-a,2囱—岛,0),又0C=(-2,273-旧a,0),

BE-0C=-2(2-a)+(2囱-6a¥=0,解得a=2或a=由于a<2,则

3

4

a--

3

模板五数列通项公式及求和问题

试题特点：数列解答题一般设两到三问，前面两间一般为容易题，主要考查数列的基本运算,

最后一问为中等题或较难题，一般考查数列的通项和前〃项和的求法、最值等问题.如果涉

及递推数列，且与不等式证明相结合，那么试题难度大大加强.

求解策略：(1)利用数列的有关概念求特殊数列的通项与前〃项和.(2)利用转化与化归思

想（配凑、变形）将一般数列转化为等差、等比数列（主要解决递推数列问题）.（3）利用错位

相减、裂项相消等方法解决数列求和.（4）利用函数与不等式处理范围和最值问题.

例5【江西省吉安市第一中学高三上学期第四次周考】已知数列｛a,,｝的前〃项和为5“，且

2sN）.

（1）求数列｛qj的通项公式；

（2）设/=——,C„求数列｛c,J的前〃项和北.

1吗an+V/7

3

an-\

v即可求出数列｛4｝的通项公式；（2）由（1）可

思路分析:（1）根据an=<

S「S“T，〃N2

得勿=」，，可得C”^=4=-7^，然后再采用裂项相消即可求出结果•

n、n（〃+1）品J〃+l

【解析】（1）当"=1时，由2E=l-a“，得：q=g.由2s,=l-a”①

2以=1—-22）②上面两式相减，得：4=；*（">2）所以数列｛&｝是以首项为；，

公比为g的等比数列，得：4=去（册"）

⑵b=，=1c与-®

“jog,4iog/1'jn''7w（n+1）gv«+i

WM!喘〉（旨好…+（左-就卜一高

点评：高考数列大题常常以等差和等比数列为背景进行设置，以递推式为载体，与相关知识

交汇的力度在加大，总体上难度有所上升.重点考查仍然是数列的通项、求和、累加法、累乘

法、错位相减法、数列与函数的关系、数列与导数的关系、不等式的放缩等.

【规律总结】答题模板

第一步：令〃=1,由S=f（a“）求出国.

第二步：令〃》2,构造a0=S,-用a“代换S—ST（或用£—ST代换&,这要结合题目

特点），由递推关系求通项.

第三步：验证当〃=1时的结论是否适合当〃》2时的结论.

如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示.

第四步：写出明确规范的答案.

第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.本题的易错点，易忽略对〃=1和

分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并.

【举一反三】

【新课标1】S”为数列｛4｝的前〃项和.已知。“>0,a：+a“=4S”+3.

(I)求｛%｝的通项公式;

(II)设d=」一，求数列电｝的前n项和.

q4小

【解析】(I)当〃=1时，d+勿[=4S]+3=4q+3,因为4>0,所以。1=3,当〃22时，

a+a

nn--*=4S”+3-4S”_]-3=4应，即(a„+an_^(an-%)=2(a„+%)，因为

%>0,所以4=2,所以数列｛勺｝是首项为3,公差为2的等差数列，所以为=2〃+1；

(H)由(I)知,-------------=—(-------------)所以数列｛4｝前n项和为

(2n+1)(2〃+3)22〃+12〃+3

,,,_lrJkJL「I1」1

g++2可(丁？+(]■++(五TT赤？'=1而不

模板六圆锥曲线中的探索性问题

试题特点：主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关

系，涉及弦长、中点、轨迹、范围、定值、最值等问题与探索存在性问题.本模板就探索性

问题加以总结

求解策略：突破解答题，应重点研究直线与曲线的位置关系，要充分运用一元二次方程根的

判别式和韦达定理，注意运用“设而不求”的思想方法，灵活运用“点差法”解题，要善于

运用数形结合思想分析问题，使数与形相互转化，根据具体特征选择相应方法.

厂V

例7【山西省康杰中学等四校高三第二次联考】已知椭圆C：F+==1(Q>8>0)的离心

ab~

率为手，以原点0为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x—J^y+6=0相切.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点A,B为动直线y=A(x-2)供#0)与椭圆C的两个交点，问：在X轴上是否存在定

--*2.--*

点£使得EA+EAAB为定值?若存在,试求出点E的坐标和定值;若不存在,请说明理由.

思路分析：(1)确定椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，即列出两个独立条件即可：椭

圆C的长轴长等于圆心到切线的距离，a=I26「屈,又e=Y5,因此c=2,

b2=a2-c2=2（2）存在性问题，一般从假设存在出发，以算代求：假设x轴上存在定点

E（m,0）,贝I」血？+应.而=（豆+而）.血=豆.市，而

EA.EB=（X1-风％）•色-办》2）=（石-㈤&-向+0%=0+1）砧-俾+加）（5+幻+（42+*），到此，

联立直线方程与椭圆方程方程组，利用韦达定理代入求解得（3"-⑵〃+10）K+（--6）,要

1+3公

使上式为定值，即与k无关,须满足3m2-12^+10=3（/n2一6）,解得根=彳.

解析：（1）由6=逅得工=逅，即°=逅。①又以原点0为圆心，椭圆C的长轴长

3。33

为半径的圆为d+y2=/,且与直线2x—J]y+6=0相切，所以△=J22+（五丫="

r2V2

代入①得c=2,所以〃=/_,2=2.所以椭圆C的标准方程为工+2L=1

62

（2）由|不+5■一1得（1+3/）储一12*4+1炉一6=0，设A（xl,yl）、B（x2,y2）,所以

[y=A（x-2）

天+巧=」吗.不改=拦二，根据题意，假设x轴上存在定点E（m,0）,使得

121+3/*1+3/

元/+丽.冠=（血+万）.丽=丽.丽为定值.则

EA-EB=（x]一八必）・（％2—机％）=（玉一㈤（乙一机）十'1%=

（左2+1卜/2-Q左2++*2）+（4左2+/〃？）=6、-lZ:+lg+（加-6）要使上式

7

为定值，即与k无关，3帆2-12m+10=3（加2-6）,得〃?=§.此时，

—1,9—►—►57

EA+石4-/3=机2-6=-§,所以在*轴上存在定点£（彳，0）使得请+应.Q为定值,

且定值为-

点评：解答存在性问题时可以考虑特殊化方法和逆推法，此类问题对运算能力要求较高，在

运算过程中对式子的整理与变形尤为重要，渗透了函数与方程的思想、数形结合思想、转化

与化归思想和分类讨论的数学思想.

【规律总结】答题模板

第一步：假设结论存在.

第二步：以存在为条件，进行推理求解.

第三步：明确规范表述结论.若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，

即否定假设.

第四步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.常常容易忽略A>0这一隐含条件以

及忽略直线AB与X轴垂直的情况.

【举一反三】

【北京】已知椭圆C：三+2=1(〃>6>0)的离心率为冷，点P(0,1)和点A(m,”)(机关0)

都在椭圆C上，直线24交x轴于点

(I)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用加，〃表示)；

(H)设。为原点，点3与点A关于x轴对称，直线依交x轴于点N.问：y轴上是否存在

点2，使得NOQM=NONQ?若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.

【解析】(I)由于椭圆C：「+P佃>»>0)过点P(0,1)目离心率为孝，1=1,〃=1,

3瞪—心I1y2

/=[==1—4=』，/=2,椭圆C的方程为j+/=1.户(0,DU,n),

a2a2a222

直线用的方程为：y=区」*+1,令y=0,*=二四一，：.3(J—,0)；

m1—z?1-z?

(II)-0,1),8(加,一加，直线外的方程为：y="3*+1,直线PB与X轴交于

m

点N'令了=。/=己，则以竹1，0).设。(0,几),

m

-,tan乙ONQ=」-%（1+〃）

tanAOQM=

兀（1-n）y0mm

1+n

m兀（1+n）

AOQM=Z.ONQ,/.tan/OQM=tanZ.ONQ,则,所以

（1-〃）九m

22

九2-----7=—7=2,（注：点A（m,〃）（加WO）在椭圆C上,1）,则

1-77m2

2

y0=土收，存在点Q(0,±扬使得NOQM=NONQ.

模板七函数的单调性、最值、极值问题

试题特点：给定函数含有参数，常见的类型有/(x)=a?+法2+%+。，

f(x)=ax2+bx+c+d\nx,f(x)=(ax2+bx+c)-ex,根据对函数求导，按参数进行

分类讨论，求出单调性、极值、最值.

求解策略：(1)求解定义域；(2)求导(含二次函数形式的导函数)；(3)对二次函数的二次

项系数、△判别式、根的大小进行讨论.

例7【湖南省长沙市雅礼中学高三月考试卷(三)】已知函数/(力=[^-(其中a为常数).

(1)当a=0时，求函数的单调区间；

2

(2)当0＜水1时，设函数/'(X)的3个极值点为%,工2,知且％大式3.证明：石+七＞7=.

思路分析：(1)/(力=邛芋二令尸(x)=O,可得x=JL然后列表即可求出结果;

(2)利用导数结合函数/(x)的3个极值点为“泡，毛，构造函数，利用单调性去判断.

解析：⑴/(力=.(21门―1),令/(月=0,可得犬=&.列表如下：

Inx

X(0>1)(1.轲10(旧+00)

f'(x)--0+

f(X)诚减极小值增

单调减区间为(0,1),(1,；增区间为(五,+8).

（x—21ux+——1j

⑵由题，尸（X）=----J——，对于函数Mx）=2Ex+2-l,有方«）=等0,・•.函数

1DXXX

Mx）在（°目上单调递减，在（|，+8）上单调递增，.:函数〃X）有3个极值点%<%（冯，从而

町m（x）=&（g）=21ng+l<0,所以a<j,当0<a<l时，/i（a）=21D«<0,/i（l）=o—1<0,.'.®

数〃x）的递增区间有（4a）和（孙Xo）,递减区间有（0乌），名），此时，函数〃x）有3个极

21n^+--1=0

值点，且巧“；..•当0<。<1时,与冯是函数Mx）=21nx+3-l的两个零点，即有1不,

21D冯+——1=0

当

令g（x）=2xlnx-x在（0,^■）上递减，在

消去a有2玉InXj-x］=2&ln毛一七

(」,+00］上递增，要证明玉+&>-言=刍>—苞=g（*3）>g一玉），工

g(%)>g(W),即证

g(xj>g(j_xj=g(x)_g(；%-%）>（）,构造函数F（x）=g（尤）-gj-q,

•••尸(十］=0,只需要证明xe0,-k单调递减即可.而

2^-2x1

F'(%)=21n%+21n|-n=3—|+2,1叫”=今（—g>0,.•.尸（x）在0,；上单

r=~X

e

调递增，.../（另〈/（十］=0,.•.当0<a<l时2

,百+£>"7=■.

、Ve

点评：函数的极值、最值问题常常以含参形式出现，要对参数进行讨论，要熟练掌握函数求

导公式、运用导数工具研究单调性的方法.

【规律总结】答题模板

第一步：确定函数的定义域.

第二步：求函数f（x）的导数/（X）.

第三步：求方程f'(x)=0的根.

第四步：利用f(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区

间，并列出表格.

第五步：由f(x)在小开区间内的正、负值判断/Xx)在小开区间内的单调性；求极值、最值.

第六步：明确规范地表述结论.

第七步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.常常容易易忽视定义域，对a不能正

确分类讨论.

【举一反三】【山东省日照市高三12月校际联合检测】已知二次函数

r(x)=av2-C2a-l)x+h(a,。为常数，a)的一个零点是2-L函数

a

g(x)=lnx,设函数/(x)=r(x)—g(x).

(1)求b的值，当a>0时，求函数/(x)的单调增区间：

(2)当。<0时，求函数/(x)在区间1,1上的最小值；

(3)记函数y=/(x)图象为曲线C,设点4(石,乂)，3(9,斗)是曲线C上不同的两点，点

M为线段AB的中点，过点M作X轴的垂线交曲线C于点N.判断曲线C在点N处的切线是否平

行于直线AB?并说明理由.

【解析】(1)由2-,是函数/")=以2—(2l)x+Z?的零点可求得6=0.

a

"，/、/八-、12ax2+(l-26r)x-l(2ax+l)(x-l)「一八八

r(x)=2ax+(l-2a)--二--------------——=--------——因为。>0,x>0,

XXX

所以2女+1>0,解r(x)>(),得x>l,所以/(x)的单调增区间为(1,+8)

(2)当。<0时，由/(力=0,得%=1,①当一工>1,即一：<.<0时，/(x)l±(0,l)

2a2a2

上是减函数，所以/(X)在曰,1］上的最小值为〃D=l-a.②当!二一二二1,即-细，

222a2

y(x)在［L—上是减函数，在』上是增函数,所以y3的最小值为=.

22a2a2a4a

③当即0<T时，/(x)在4」上是增函数，所以/(x)的最小值为巨°+山2.

2a22224

———。+1口2.a<—1

24

综上，函数/(X)在4』］上的最小值［f(x)］吨=1-+皿-2或

24a2

1-42,——<a<0

(3)设MO。,%),则点N的横坐标为飞=正上，直线A8的斜率用=&"二'

2x.-x.

2

--------[a（x^—X2）+（1-2（7）（X1—x2）+lnx2—InxJ

x1—x2

=«(X,+X2)+(1-2«)+.玉%,曲线C在点N处的切线斜率

玉一9

k）=于,（x。）=2av（）+（1—2。）----

=a(玉+々)+(1-2。)一——,假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB,则匕=6，

I

2(空—1)

即y&二屿=一_g_,所以］nX=2(J.!)=-，不妨设$<寇=，>1,

%一九2%+9%%+/［|X2%

大

则ln/=^^，令g(/)=ln-^^(f>l)，^(0=--—=所以

14-Z1+/t(1+/)Z(14~Z)

g(/)在(l,+8)上是增函数，又g(l)=0,所以g(/)>0,即1必=竺』不成立，所以曲线

1+r

C在点N处的切线不平行于直线AB.

模板八含参不等式的恒成立问题

试题特点：主要包括等式恒成立问题和不等式恒成立问题.

求解策略：(1)对于可化为二次函数型的等式与不等式恒成立问题，可借助图象列不等式(组)

求解.(2)通过移项，等式或不等式左右两边的函数图象易画，可画图求解.(3)将等式或不

等式转化为某含待求参数的函数的值域或最值问题求解.

例8【河北省衡水中学高三上学期七调考试】已知函数4x)