高中数学高二（上）期末数学试卷（人教A版选择性必修1-4章）（学生版+解析版）

高二（上）期末数学试卷（选择性必修1-4章）

一、项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的，请将答案涂在答题卡上.

1.（5分）直线/垂直于直线y=x+l,且/在y轴上的截距为我，则直线/的方程是（）

A.x4-y—V2=0B.x+y+l=0C.x+y-1=0D.%4-y+V2==0

TT

2.（5分）已知向量。=(2,1,3),b=Cj2,1-x),若a_Lb,贝ijx=()

A.-5B.5C.4D.-1

X2y2

3.（5分）已知双曲线C：我—记="心°,心°）的离心率为遍，则双曲线C的渐近线方程为（

1

A.y=±-xB.y=±2xC.y=±y/6xD.y=±V5x

J2

4.（5分）已知圆Cl：x2+y2-2x+12y+33=0与圆C2：x2+y2+10x-4y-52=0,则两圆公切线条数为（）

A.1B.2C.3D.4

5.（5分）在各项都为正数的等比数列｛珈｝中，首项m=3,前三项和为21,则03+“4+。5=（）

A.33B.72C.84D.189

x2y2_

6.（5分）已知椭圆下•+次=1短轴的两个端点为4、B,点C为椭圆上异于A、B的一点，

直线AC与直线BC的斜率之积为则椭圆的离心率为（）

A/3-1V3

A.—B.v3C.一D.—

224

7.（5分）已知三棱柱A8C-A向。中，AB=AC=^AAt=1,/AiAC=NAiAB=奈。点是线段A8上靠

近A的一个三等分点，则2）•B；B=（）

2744

A.—B.—□C.—D.一方

3333

8.（5分）已知抛物线C：/=6x的焦点为F,准线为/,A是/上一点，B是直线AF与抛物线C的一个

交点，若易=3而，则|即=（）

75

A.-B.3C."D.2

22

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

%2y2

9.（5分）已知双曲线C：——---=1的离心率£=遮，则下列说法正确的是（）

t9—t

A.f=3或-9

B.双曲线C的渐近线方程为y=±&x

C.双曲线C的实轴长等于2百

D.双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于8

10.（5分）在等差数列｛〃“｝中，a\=-9,as--1.记Tn=a\a2--an（n=L2,则数列｛%1｝（）

A.75=76B.有最大项看C.无最大项D.无最小项

11.（5分）已知直线/：以-y-3a=0上存在相距为4的两个动点A,B,若圆C：（x+1）2+（y-4）2=4

上存在点P使得△BAB是以点尸为直角顶点的等腰直角三角形，则实数。的值可以为（）

A.-2B.-1C.0D.1

12.（5分）已知球。为正方体ABCO-4B1。。的内切球，平面AiCiB截球。的面积为24TT,下列命题

中正确的有（）

A.异面直线AC与8。所成的角为60°

B.BOil.平面4C1B

C.球。的表面积为36TT

D.三棱锥-AC18的体积为288

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡上.

13.（5分）已知在空间四边形Q4BC中，OA=a,OB=b,儿'=六点用在线段OA上，且。%=3MA,

N为BC的中点，用之、b,”表示嬴，则嬴=.

%2y2

14.（5分）椭圆丁+三=1的左、右焦点分别为Fi,F1,过焦点F1的直线交该椭圆于A,B两点，若4

ABF2的内切圆面积为mA,B两点的坐标分别为（xi,yi）,（X2,*）,则△AB尸2的面积5=,

|>'|-的值为.

15.(5分)过点P(3,4)作圆/+丫2=]0的两条切线，设切点分别为A,B,则线段AB=.

16.(5分)在aABC中，/BAC=90°,AB=6,AC=8,。是斜边上一点，以AQ为棱折成60°二面角

C-AD-B,则线段8c最小值为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知四棱锥P-ABC力中，底面ABCD为菱形，PA=PC.

(1)求证：BC〃平面RW；

(2)求证:PB±AC.

18.(12分)已知△ABC三边所在直线方程：IAB：3x-2.y+6=0,IAC：2x+3y-22=0,IBC：3x+4y-m=0

(/wGR,mW30).

(1)判断AABC的形状；

(2)当8c边上的高为1时，求〃?的值.

19.(12分)在①3a2+历+刨=0,②。4=匕4,③S3=-27这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若

问题中的人存在，求实数人的取值范围；若问题中的人不存在，请说明理由.

设等差数列｛祈｝的前〃项和为S”数列｛b｝的前〃项和为心，,〃5=打，47；=3bn-l(neN*),

是否存在实数入，对任意“CN*都有人

20.(12分)己知与x=-1相切的圆C的圆心在射线x-3y=0(x>0)上，且被直线/：3x-4y+5=0截

得弦长为4百.

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C上有且仅有2个点到与/平行的直线/1的距离为2,求直线/1在x轴上截距的取值范围.

21.(12分)三棱柱ABC-481cl中，侧面BBiCiC为菱形，NCB8i=60°,AB±AC,AB=AC,BC=

ABi—2.

(1)求证：面ABUL面881clC；

(2)在线段CiAi上是否存在一点M,使得二面角M-CBi-Ci的大小为2，若存在，求出绊•的值,

6GA]

若不存在，请说明理由.

xyV3

22.(12分)已知椭圆C：—+—=1(a>0,6>0),离心率为一，且椭圆C经过点P(0,1).

a2b22

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线/不经过P点且与椭圆C相交于48两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为-1,试问:

直线/是否经过定点，若经过求出该定点的坐标，若不经过请说明理由.

高二（上）期末数学试卷（选择性必修1-4章）

参考答案与试题解析

一、项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的，请将答案涂在答题卡上.

1.（5分）直线/垂直于直线y=x+l,且/在y轴上的截距为则直线/的方程是（）

A.x4-y—V2=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x4-y+A/2=0

【解答】解：因为直线/垂直于直线y=x+l,

所以设直线/的方程为丁=7+b,

又因为/在），轴上的截距为四，

所以b=V2,

故所求直线/的方程为y=-x+VL即x+y-&=0.

故选：A.

2.（5分）已知向量。=（2,1,3）,b=（x,2,1-x）,若］_Lb,则x=（）

A.-5B.5C.4D.-1

【解答】解：.・•向量a=（2,1,3）,b=（x,2,1-x）,a_Lb,

/.a-h=2x+2+3（1-x）=0,

解得x=5.

故选：B.

X2y2

3.（5分）已知双曲线C：—-77=1（«>0,b>0）的离心率为遥，则双曲线C的渐近线方程为（）

a2b2

1LL

A.y=±-xB.y=±2xC.y=±V6xD.y=±V5x

%?y2

【解答】解：根据题意，双曲线C：—-77=1（a>0,b>0）的离心率为遮，

a2b2

m.i-fc*28a2+b2..b2_

则有e=-7=5—=1+丁=5,

aLQ/Q/

b2

则有一7=4,即b=2a

a2f

22

又由双曲线"x—匕y=1的焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±br,

a2b2a

则该双曲线的渐近线方程为：y=±2x；

故选：B.

4.(5分)已知圆Ci：/+y2-2x+12y+33=0与圆Ci-.x2+_y2+10x-4y-52=0,则两圆公切线条数为()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：圆Ci：f+尸-2x+12)斗33=0,即(x-1)2+(y+6)2=4,圆心Ci(1,-6),半径r=2,

圆Ci-.f+V+lOx-4y-52=0,即(x+5)2+(y-2)2=81»圆心C2(-5,2),半径R=9,

所以圆心距d=7(1+5)2+(-6-2)2=10,

因为9-2<dV9+2,所以两圆相交，

故两圆公切线条数为2.

故选：B.

5.(5分)在各项都为正数的等比数列｛“”｝中，首项小=3,前三项和为21,则.3+44+45=()

A.33B.72C.84D.189

【解答】解：在各项都为正数的等比数列｛%｝中，首项m=3,前三项和为21

故3+3〃+3/=21,

•••等比数列｛“八｝各项都为正数，，4=2,

.,.43+。4+。5=（。1+。2+〃3）"2=21X22=84

故选：C.

X2y2

6.（5分）已知椭圆丁+三=1（〃>6>0）短轴的两个端点为A、3,点C为椭圆上异于A、5的一点，

a2bz

直线AC与直线BC的斜率之积为一上,则椭圆的离心率为（）

V3-1V3

A.—B.v3C.—D.—

224

【解答】解：由题意可得A（0,b）,B（0,-b）,设C（刈，卯），

由C在椭圆上可得笄+岑=1,即有刈2=叭匕声氏，①

a2b2b

由直线AC与BC的斜率之积为-上，

可得泡.型2=」，

%0%。4

即为刈2=4（序-.2）,②

a2

由①代入②可得7T=4,即〃=24

b2

c=yJa2-b2=学可得离心率e=三=苧.

故选：A.

7.（5分）己知三棱柱ABC-A向。中，AB=AC=^AAi=1,/4AC=半。点是线段AB上靠

近A的一个三等分点，则C3-B；B=()

244

A.B.-C.D.

333

【解答】解：如图，・・・A8=AC=1,AA\=2,ZA\AC=ZAMB=J,

・・・2)♦-h)•(-R)=AC-AAr-\AB•^1=lx2x1-ixlx2x1=|.

D。乙KJ乙KJ

故选：A.

8.(5分)已知抛物线C：)?=6x的焦点为尸，准线为/,A是/上一点，B是直线AF与抛物线C的一个

交点，若总1=3而，则|Bg=()

75

-3C-2

A.2B.2D.

【解答】解：由题可知，p=3,

如图所示，过点3作于点C,准线/与1轴交于点£设|3用=机，则|A3|=2m,

Q

由抛物线的定义可知，\BC\=\BF\=m,：.ZABC=60=ZAFE9

：.\AF]=2\EF\=2p=6,

：.\BF\=扣产|=2・

故选：D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得()分.

%2y2

9.(5分)已知双曲线C：一—上一=1的离心率e=遮，则下列说法正确的是()

t9-t

A.f=3或-9

B.双曲线C的渐近线方程为y=±&x

C.双曲线C的实轴长等于26

D.双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于百

【解答】解：>0,.••0«9,

...双曲线的焦点在x轴上，a=4l,b=57,c=3,

离心率e=W=得=V3,

.1=3,即选项A错误；

x2y2

双曲线的方程为二一一=1,

36

渐近线方程为y=±±=土缶，即选项B正确；

实轴长为2a=2h，即选项C正确；

焦点(3,0)到渐近线)，=岳的距离为即选项。错误.

故选：BC.

10.(5分)在等差数列｛〃〃｝中，m=-9,〃5=-1.记Tn=a\ai--an(n=l,2,­••),则数列｛%?｝()

A.75=76B.有最大项看C.无最大项D.无最小项

【解答】解：由题意，设等差数列｛板｝的公差为d,则

〃5=m+4d=-9+4d=-1,

解得d=2,

：.an=-9+2(〃-1)=2n-11,HEN*,

..T\=a\=-9,

T2=T\a2=-9X(2X2-11)=63,

n=T2W=63X(2X3-11)=-315,

T4=T3a4=-315X(2X4-11)=945,

75=746/5=945X(2X5-11)=-945,

T6=T5a6=-945X(2X6-11)=-945,

?5=T6，故选项A正确，

•・•当〃27时，an=2n-11>0,且数列伍〃｝单调递增，

而76=-945<0,

.•.当“27时，数列｛乙｝均小于0,且单调递减，

当族N*时,数列｛£｝的最大项为四=945,

故选项8正确，故选项C错误，

当〃一8时，数列｛。｝越来越小，但无最小项，

故选项。正确.

故选：ABD.

11.（5分）已知直线/：ar-y-3a=0上存在相距为4的两个动点A,B,若圆C：（x+1）2+（y-4）2=4

上存在点尸使得△附8是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则实数。的值可以为（）

A.-2B.-1C.0D.1

【解答】解：根据题意，若AABP为等腰直角三角形，其中P为直角顶点，且［48|=4,

则P到AB的距离为幽=2,

2

若圆C：（x+1）2+4）2=4上存在点P,使得AABP为等腰直角三角形，

则圆心C到直线/的距离4W4,即有!吉^<4,

Va2+1

解得：aWO,

结合选项可得，实数a的值可以为-2,-1,0.

故选：ABC.

12.（5分）己知球。为正方体4BCO-4BICIOI的内切球，平面AiCiB截球。的面积为24m下列命题

中正确的有（）

A.异面直线AC与3。所成的角为60°

B.B£h_L.平面4C1B

C.球0的表面积为36n

D.三棱锥Bi-4C1B的体积为288

【解答】解：由正方体图形可知,

A

对于4,连接4C1,A\B,可知AiCi〃AC,即异面直线AC与BCi所成的角为角Z4C1B,又因三角形

A1CB为正三角形，所以异面直线4c与BC所成的角为60°,故选项A正确；

对于8,由图形可知BO1与8。不垂直，故选项B不正确，

对于C,设正方体的棱长为“，则AiCi=V^a,内切圆的半径为右设内切圆的球心。在平面A1C1B上

的投影为。，由等边三角形的性质可知。I为等边三角形4OB的重心，则。4=叁枭。=枭

又04=凫所以球心。到平面A\C\B的距离为JO42-O]42=%

又球心与截面圆心的连线垂直于截面，所以截面圆的半径为J®-雷以=2小

又截面圆的面积为n(―«)2=24TT,解得“=12,

6

则内切球的半径为6,内切球表面积5=471X62=14411,故C错误；

对于。，由等体积法知/iMQB==6x^x12X12X12=288,故。正确，

故选：AD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡上.

13.(5分)已知在空间四边形O4BC中，OA=a,OB=b,左=2点M在线段OA上，且0%=3MA,

N为BC的中点，用a、b、c表示MN,则MN=-初+3+".

【解答】解：如图空间四边形0ABe中，0A=a,OB=b,0C='c,

•.•点M在OA上，且。％=3而，N为BC的中点，：.0N(OB+0C),

・・・MN=0N_0M=/0B+0C)-10A=一1。+和+>.

故答案为：一|2+*2+2二

B

x2y2

14.(5分)椭圆3+、=1的左、右焦点分别为Fi,F2,过焦点力的直线交该椭圆于4,B两点，若4

ABF2的内切圆面积为mA,8两点的坐标分别为(xi,)，i),(X2,”)，则△ABF2的面积S=6,|yi

XV—

【解答】解：..•椭圆与•+、■=1的左右焦点分别为Fl,尸2,a=3,b=痘,c=2,

过焦点尸1的直线交椭圆于A(xi,yi),B(%2,>'2)两点，

△ABF2的内切圆的面积为m

△A8尸2内切圆半径「=1.

△ABF2面积S=4xlX(AB+AF2+BF2)=2a=6；

：.ABF2面积S=如一”|X2c=如-"1X2义2=6,

得仅1-”1=3.

故答案为：6；3.

15.(5分)过点P(3,4)作圆，+丁=10的两条切线，设切点分别为A,B,则线段AB=2甚.

【解答】解：由切线的性质可知，切点A,B在以P。为直径的圆上，

3

因为尸0的中点坐标为(12),尸0的长度为|尸0|=5,

所以以P。为直径的圆的方程为(x-|)2+(k2)2=竽，

叩x2-3x+/-4y=0,

又切点A,B在圆/-3x+)2-4y=0,也在圆/+)2=10上，

两式相减可得直线AB的方程为3x+4y-10=0,

因为圆/+)?=10的圆心到直线3x+4y-10=0的距离为d=2,

所以线段AB的长度为2,产一统=2所0-4=2通.

故答案为：2伤.

16.(5分)在△ABC中，N84C=90°,AB=6,4c=8,。是斜边上一点，以A力为棱折成60°二面角

C-AD-B,则线段BC最小值为2夕.

【解答】解：如图，过C,3作的垂线，垂足分别为E,F,

故BF_LEF,ECVEF,所以而•还=0,FE-EC=O,

以AD为棱折叠后，则有/'=晶+港+R,

故BC?=(BF+FE+EC)2=BF2+FE2+EC2+2BF-EC+2BF-FE+2FE-EC,

=\BF\2+\FE\2+访2+2BF-EC,

因为以AO为棱折成60°二面角C-AD-8,所以法与R的夹角为120°,

令4BAD=a,则/C4E=90°-a,

在中，SF=?AS,sina=6sina,AF=ABcosa=6cosa,

在RtZ\ACE中，EC=AC・sin(90°-a)=8cosa,AE=AC・cos(90°-a)=8sina,

故FE=AE-AF=8sina-6cosa,

T1

所以18cl2=(6sina)2+(8sina—6cosa)2+(8cosa)2+2-6sina-Scosax(一力

=36(sin2a+cos2a)+64(sin2a+cos2a)-I44sinacosa=100-72sin2a,

故当a=45°时，|盛产有最小值28,

故线段BC最小值为2位.

故答案为：2夕.

c

c

四、解答题：本大题共6小题，共7()分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知四棱锥P-ABCQ中，底面ABCD为菱形，PA=PC.

(1)求证：8c〃平面PAD-.

(2)求证：PBLAC.

J.BC//AD,

PAD,AOu平面BW,

.•.8C〃平面PAD.

(2)设ACQB£>=。，连结OP,•.•底面ABC。为菱形,

：.AC±BD,

；B4=PC,40=C0,

：.AC1PO,

VBDQPO=O,BOu平面PBO,POu平面PBO,

，AC_L平面PBD,

又P3u平面PBD,

J.PBLAC.

18.(12分)已知△ABC三边所在直线方程：IAB：3X-2)+6=0,IAC：2x+3y-22=0,IBC：3x+4y-m=0

(/nGR,mW30).

(1)判断AABC的形状；

(2)当BC边上的高为1时，求〃?的值.

【解答】解：⑴直线AB的斜率为心=|，直线AC的斜率为k4c=一|，

所以kAB・kAC=-1.

所以直线AB与AC互相垂直，

因此，为直角三角形；

⑵解方程组鼠柔滑0,得1；晨，即从(2,6).

由点到直线的距离公式得d=I3x2+4x6-m|=吗皿

5

,,|30-m|„

当d=l时，-------=1,即|30-刑=5,

解得m—25或m=35.

19.(12分)在①3及+例+方4=0,②”4=匕4,③S3=-27这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若

问题中的人存在，求实数人的取值范围；若问题中的人不存在，请说明理由.

设等差数列｛知｝的前〃项和为际,数列｛加｝的前九项和为,a5=bi,4Tn=3bn-l(neN*'),

是否存在实数入，对任意〃eN*都有入WS”？

【解答】解：设等差数列｛〃“｝的公差为d,

当〃=1时，4Ti=3bi-l,得bi=-I,从而。5=-1,

当时，46"=4刀,-4%一1=(3b„-1)-(3/?„।-1)=3hn-3hn-i,

得尻=-3为一1,所以数列｛瓦｝是首项为-1,公比为-3的等比数列，

所以%=-(一3)"-1，由对任意"6N*,都有入WS”

当等差数列｛“”｝的前n项和酣存在最小值时，

假设”=左时，％取最小值.(4分)

(1)若补充条件是①3“2+b2+b4=0,因为历=3,从=27,

1

从而@2=-3(^2+匕4)=-1。，由〃5=〃2+3d得d=3,

所以an=a\+(〃-1)d=〃2+(〃-2)d—-10+3(/?-2)=3〃-16,(8分)

1316

由等差数列｛〃〃｝的前〃项和存在最小值，则，得石Wk4三，

又依N",所以2=5,所以入WS5=-35,故实数人的取值范围为(-8,-35].(12分)

(2)若补充条件是②以=64,

由。4=27,即44=27,又〃5=bi=-1,

所以d=as-。4=-1-27=-28；

所以an=a\+(〃-1)d=〃5+(〃-5)d=-1-28(〃-5)=-28〃+139,(8分)

由于该数列｛板｝是递减数列，所以不存在上使得5〃取最小值，故实数人不存在.

(3)若补充条件是③S3=-27,

由53=。1+。2+。3=3。2=-27,得42=-9,

又a5=b\=-l=42+3d,所以d=，53a2=

QA42

所以an=%+(几一l)d=a2+(n—2)d=-94-(n—2)=n--y,(8分)

由等差数列｛〃〃｝的前〃项和S〃存在最小值，则，

3543

得yk4=又依N*,所以k=5,所以存在人=5,使得S?取最小值，

88

所以;IW55=-羊，故实数入的取值范围为(一8,一象.(12分)

20.(12分)己知与x=-1相切的圆C的圆心在射线x-3)，=0(x>0)上，且被直线/：3x-4)，+5=0截

得弦长为4g.

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C上有且仅有2个点到与/平行的直线/1的距离为2,求直线，在x轴上截距的取值范围.

【解答】解：(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=J(「2())，

此时圆心坐标为(a,b),半径为八

把圆心坐标代入直线x-3y=0中得：a=3b,①

又圆。与x=-1相切，.」=|a+l|,②

又圆被直线/：3x-4y+5=0截得弦长为4百，

.•.(3*+5)2+(2回2=",③

将①②代入③，得(6+1)2+12=(36+1)2,

解得6=-楙(舍去)，或6=1.

・・.4=3X1=3,r=4.

.••圆C的标准方程为(x-3)2+(y-I)2=16；

(2)与直线/平行，，设/'：3x-4y+f=0,

I'与圆心的距离r-2=2时，到/'距离为2有3个点；

I'与圆心的距离汁2=6时，到/'距离为2有1个点；

•、7za.|3x3-4+t||5+t|

..2<arl<6,a—J------g------L=

即2V叵翼V6,解得5V/V25,或-35W-15.

y=0时，3x+r=0,即x=-「，

,3

nrr?5

.•.直线/在x轴上截距的取值范围是(-等，-1)U(5,y).

21.(12分)三棱柱ABC-4BC1中，侧面BBICIC为菱形，NC8Bi=60°,ABLAC,AB=AC,BC=

AB\=2.

(1)求证:面A3C_L面33C1C；

(2)在线段CiAi上是否存在一点M,使得二面角M-CBL。的大小为；若存在，求出值■的值,

6QAi

若不存在，请说明理由.

【解答】（1）证明：取8c的中点0,连AO,BiO,

'：AB=AC,ABLAC,BC=2,

."0=1,AOIBC,

又BC=BBi,ZCBBi=60°,

：.0B\LBC,0B\=V3,

又ABi=2,

22

：.0A+0Bl=ABr,即A0J_0Bi,

,：BCC\0B\=0,BC、OBiu平面8B1C1C,

.\AO±®BB\C\C,

又AOu面ABC,

.•.面