高中数学必修2期末模拟卷04（解析版）

期末模拟卷4

一.选择题（共8小题）

1.在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上

出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A.0.450.45B.0.50.5C.0.50.45D.0.450.5

【分析】出现正面的频率是45・100=0.45,出现正面的概率是0.5.

【解答】解：出现正面的频率是45・100=0.45,出现正面的概率是0.5,

故选：£>.

2.己知i是虚数单位，则复数z=^乌的实部和虚部分别是（）

i

A.-7,3B.7,-3iC.7,-3D.-7,3z

【分析】宜接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答］解：V=^3+7i）（-i）=7_3if

i-i2

复数z及0的实部和虚部分别是7,-3.

i

故选：C.

3.在某次测量中得到的A样本数据如下：42,43,46,52,42,50,若8样本数据恰好是

A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）

A.平均数B.标准差C.众数D.中位数

【分析】根据样本A,3中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和标准差的定义

即可得到结论.

【解答】解：设样本A中的数据为w则样本8中的数据为M=XL5,

则样本数据8中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差5,

只有标准差没有发生变化，

故选：B.

4.如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）

【分析】直接把正方体的展开面图复原为空间图，进一步求出结果.

【解答】解：根据正方体的表面展开图，复原成正方体.

其中“者”在最里面，“有”在最外面.构成对面关系.

故选：A.

5.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于

如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400N,则

该学生的体重（单位：kg）约为（）

（参考数据：取重力加速度大小为g=10m/$2,遍七1.732）

【分析】由题意知笆=&=400,夹角8=60°,计算］=-（3+既）的模长，再求

出体重即可.

【解答】解：由题意知，吊「=下*=400,夹角。=60°,

r1r2

所以蕾钉+司=1，

即/=-（钉+及）；

所以/2=（"+q）2=4002+2X400X400Xcos60°+4（X）2=3X4002；

而=40（）«（N）,

则该学生的体重（单位：kg）约为40T=40XI.732-69（依），

故选：B.

6.已知向量三不共线,c=3a+b»d=ma+(m+2)b»若cIId，则加=()

A.-12B.-9C.-6D.-3

【分析】由向量平行的性质得3a+b=A/na+入(〃?+2)b，由此能求出"九

【解答】解：:向量ZE不共线，c=3a+b，d=ma+(m+2)b，cBd.

—•—•—•—♦

・・3a+b=^a+入(〃?+2)b，

.13=入m

i1=人(m+2)

解得A=-1,m=-3.

故选：D.

7.如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5,10),[10,15),

115,20].估计样本数据的第60百分位数是()

A.14B.15C.16D.17

【分析】由频率分布直方图，根据样本数据的百分位数列方程求出即可.

【解答】解：由频率分布直方图知，第1组的频率为0.04X5=0.2,

第2组的频率为0.10X5=0.5,

设样本数据的第60百分位数是x,则0.2+0.10(x-10)=0.6,

解得x=14,

所以估计样本数据的第60百分位数是14.

故选：A.

8.己知正方体ABCD-4B1C1DI棱长为4,P是A4中点，过点作平面a,满足CP_L

平面a,则平面a与正方体ABCO-AIBICIOI的截面周长为()

A.4A/5+6V2B.12V2C.8&+8D.85/5

【分析】取AD中点E,AB中点F,连接PD,D\E,EF,B\F,B\D\,AC,先证明E,

凡3i,Di四点共面，再由EFVCP,D\ELCP证明CPJ_平面EFBiDi可知平面EFB\D\

为平面a与正方体ABCD-A\B\C\D\的截面，根据正方体的棱长即可求得EFB\D\的

周长.

【解答】解：取AD中点E,AB中点F,连接尸。，DiE,EF,B\F,B\D\,AC,

如下图所示：

E为AD中点，F为AB中点，贝ijEF//BD,BD//B\D\

所以EF//B\D\

所以E,F,Bi,四点共面.

根据正方形性质可知8,平面ADD\A\,

而OiEu平面4力。历1,所以CDLD\E,

AADiDE丝/\DAP,可知/EZ?iO=NPOA,

而/P£>A+NPO£>1=90°,所以/£»M+NPODi=90°,

即PD1D\E

为CDQPD=D,所以£>1E_L平面PDC,

而CPU平面PDC,所以DiEXCP；

E为中点，尸为AB中点，由正方形和正方体性质可知

EFLAC,PAA.EF,且PAnAC=A,

所以EF_L平面PAC,而CPu平面PDC,

所以EFLCP,又因为DiElCP,DiECEF=E

所以CP_L平面EFB\D\

即平面EFBiDi为平面a与正方体A8CQ-AIBICIQI的截面,

正方体A3C£>-A181C1。棱长为4

所以EFB\D\的周长为B\D\+D\E+EF+B\F

=472+V42+22+2V2+^42+22

=W5+W2>

故选：A.

二.多选题（共4小题）

9.某城市为了解二手房成交价格的变化规律，更有效地调控房产经济，收集并整理了2019

年1月至2019年12月期间二手房成交均价（单位：元/平方米）的数据（均价=销售总

额+销售总面积），绘制了下面的折线统计图，那么下列结论中正确的有（）

A.月均价的极差大于4000元/平方米

B.年均价一定小于18000元/平方米

C.月均价高峰期大致在9月份和10月份

D.上半年月均价变化相对下半年，波动性较小，变化比较平稳

【分析】数据分析题目，可根据定义进行分析判断.

【解答】A.极差等于极大值-极小值.根据折线统计图，可得极大值>19000,极小值

<15000,所以极差>19000-15000=4000元/平方米，故A正确；

B.由于每月的成交数量未知，因此平均价无法确定，故8错误：

C.根据折线图可得，月均价高峰期大致在9月份和10月份，故C正确；

D.根据折线图，可知1-6月份极差<18000-15000=3000元/平方米，7-12月份极差

>4000元/平方米，所以可判定上半年月均价变化相对波动性较小，变化比较平稳.故力

正确.

故选：ACD.

10.在aABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,下列结论正确的是（）

A.若62+/-〃2>0,则△ABC为锐角三角形

B.若A>B,贝ijsinA>sinB

C.若%=3,4=60°,三角形面积5=3«,贝！J4=百§

D.若acosA=Z?cos8,则△ABC为等腰三角形

【分析】A，根据余弦定理，判定命题A为锐角；

B,由大角对大边，及正弦定理判定；

C,利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可得出：

D,据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得

sin2A=sin2B,进而推断A=8,或A+2=90°,即可判定.

【解答】解：对于4若射+/-/〉。，贝ijcosA>0,A为锐角，不能判定aABC为锐角

三角形，故错；

对于8,在△ABC中，若a>b,则2Rsin4>2Rsin8,则sinA>sin8,故正确；

对于C,A=60°,b—3,面积S=3遥，即有•^•bcsinA=3后，解得c=4.

.".a2=b2+c2-2/>CCOSA=32+42-2X3X4cos60°=13.故正确；

对于£）,VacosA=bcosB,sin^cosA=sinBcosB,

；.sin2A=sin28,：.A=B,或2A+28=180°B|JA+B=90Q,

...△ABC为等腰或直角三角形，故不正确.

故选：BC.

11.下列说法正确的是（）

A.对于任意两个向量；，z，若|Z|>|初且Z与E同向，则

B.已知R|=6,彳为单位向量，若%>得^，则:在Z上的投影向量为一班彳

C.设％,;为非零向量，则”存在负数入，使得、=人三”是“孟/；<0”的充分不必要

条件

D.若z・E<o,则2与E的夹角是钝角

【分析】利用向量的定义判断4向量的投影判断8；向量的数量积与充要条件判断C；

向量的数量积的符号判断》

【解答】解：对于任意两个向量之，b-若|二|〉|3,且；与石同向，

但是不能说因为向量不能比较大小，所以A不正确；

已知|Z|=6,彳为单位向量，若<；,e>-32L,

4

则:在W上的投影为：芸旦=-3加，投影向量为一入历所以8正确；

lei

存在负数入，使得、=人彳，则益与W反向共线，夹角为180°,此时孟三<0成立，

当、•W<0成立时，则：与二夹角满足90°<0W180°,则7与W不一定反向共线，

即“存在负数入，使得\=入7”是“h・二<0”的充分而不必要条件成立，故C正确，

若Z.E<0,则Z与E的夹角是钝角或平角，所以。不正确；

故选：BC.

12.如图，正方体4BC£)-4BiCiZ)i的棱长为1,动点E在线段4。上，尸、〃分别是4。、

C£>的中点，则下列结论中正确的是()

B.8W_L平面CCF

C.存在点E,使得平面BE尸〃平面CCiOiD

D.三棱锥B-CEF的体积为定值

【分析】本题利用中位线定理以及线面垂直，三棱锥的特征求解.

【解答】解：A：M分别是A。，C。的中点，

：.FM//AC//A\Ci,故4正确；

B：由平面儿何得2MJ_CF,乂8M_LCiC,

平面CCiF,故8正确；

C：8尸与平面CCiCi。有交点，

二不存在点E,使平面8EF〃平面C。。。，故C错误；

D：三棱锥B-CEF以面BCF为底，则高是定值，

三棱锥B-CEf•的体积为定值，故D正确.

故选：ABD.

三.填空题(共4小题)

13.甲、乙两人参加''社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为

2和3,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概

34

率为-L.

~12~

【分析】设事件事件A表示“甲参加知识竞赛”，事件B表示“乙参加知识竞赛”，则P

(A)=2,P(B)-1,利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求

34

出这两个人中恰有一人获得一等奖的概率.

【解答】解：设事件事件A表示“甲参加知识竞赛”，事件8表示“乙参加知识竞赛”，

则P(4)=2,P(B)=3,

34

•.•甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，

.•.这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为：

P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(3)

=巨

五.

故答案为：_L.

12

14.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十

八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡

人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三

面要征调300人，而北面共征调108人(用分层抽样的方法)，则北面共有8100人.”

【分析】根据分层抽样时抽取的比例相等，列方程求出结果.

【解答】解：设北面有x人，根据题意得

x_108

x+7488+6912300"

解得x=8100.

故答案为:8100.

15.如图，为测量山高例M选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得例点

的仰角NMAN=60°,C点的仰角/C4B=45°以及NM4C=75°；从C点测得NMCA

=60°.已知山高8c=100”，则山高150

【分析】由题意，可先求出4C的值，从而由正弦定理可求AM的值，在中，

AM=100«w,NMAN=60",从而可求得MN的值.

【解答】解：在8c中，ZCAB=45",BC=100m,所以AC=10()J5〃?.

在△AMC中，ZMAC-75°,/MCA=60°,从而NAMC=45°,

由正弦定理得，一^―=~因此

sin45sin60

在中，AM=100百〃，ZMAN=60°,由典=sin60。

AM

得MN=1OOA/SX返=150m.

2

故答案为：150.

16.在底面为等腰梯形的四棱锥P-ABC。中，AD//BC,AB=AD=CD=3,BC=6,PA=

8,以_L平面ABC£>,该四棱锥的各个顶点都在球。的球面上，则球。的半径为5,

球。的体积与四棱锥P-ABCD的体积的比值为生2返n.

-81―

【分析】由题意可得底面等腰梯形的外接圆的半径，过底面外接圆的圆心E作垂直于底

面的直线，则外接球的球心在此直线上，在两个三角形中求出外接球的半径，进而求出

球的体积，及体积之比.

【解答】解：如图，取8c的中点E,过E作面AC,

因为办JL面AC,所以附〃0E

因为A8=CO,AD//BC,AB=AD=CD=3,8c=6,

所以AABC为等边三角形，ZABC=60°NC4B=90°,

所以£为梯形ABCD的外接圆的圆心，则外接圆的半径r=3,

取。为外接球的球心，设外接球的半径为R,过。作0“，以于”,

则四边形0HAE为矩形，

所以0E=AE=BE=r=3,AH=OE,

连接OB,0P,则0P=0B=R,

在△OBE中，OB2=R2=OE^+BE1=0d+9①,

在△OP”中，OP?=W=0语PH2=AE?+(PA-AH)2=9+(8-OE)2②,

由①②可得0E=4,所以片=9+42=25,所以R=5,

所以丫咪=且兀区3=且％,

33

V>-4BC£>=2S底A8CD•勿=上・a(3+6)・2^・3,8=18«,

3322

500„

所且V球_可兀_250匹兀

Vp-ABCD18«81

故答案分别为：5,25喳死

81

四.解答题（共6小题）

17.已知不共线向量彳与E，其中Z=（2,m）,b=<1>2）.

（I）若（a-b）b，求根的值；

（II）若向量2a-b与a+2b^线，求机的值.

【分析】（I）可求出？_芯=（1,m-2＞从而根据（Z-E）lE即可得出（Z-E），E=O,

进行数量积的坐标运算即可求出m的值；

（II）可求出2之大=（3,2m-2）＞；+2b=（4,m+4），然后根据22V与之+2石共线即

可得出关于根的方程，解出“7即可.

【解答】解：（I）a-b=（l,m-2）1

,•*(a-b)J_b>

A(a-b)»b=l+2(m-2)=0»解得1n=且：

(U)2a-b=(3,2m-2)*a+2b=(4,m+4>

又2：-%与Z+2%共线,

A3（w+4）-4（2w-2）=0,解得，〃=4.

18.如图，在四棱锥S-ABC。中，底面ABC。为菱形，SA_L平面ABCC.

（1）求证：CO〃平面SAB；

（2）求证：BD±SC.

【分析】（1）推导出AB〃C£＞,由此能证明CQ〃平面SA从

（2）连结AC,推导出SA_LB。，AC±BD,从而8。J_平面SAC,由此能证明BQ_LSC.

【解答】证：（1）在四棱锥S-A8CD中，底面A8CD为菱形,

所以AB〃C。，...（2分）

VABcYjfiSAB,CD0TffiSAB,

〃平面SAB...（4分）

(2)连结AC."SAmABCD,2£>u平面A8C£),

：.SA1BD.......（6分）

•••底面ABC。为菱形，

J.ACLBD,

•.•4CnS4=A,AC,SAu平面SAC,

.♦.8D_L平面勒C,又SCu平面SAC.......（9分）

19.20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图.

（1）求频率分布直方图中〃的值；

（2）分别求出成绩落在［50,60）与［60,70）中的学生人数：

（3）从成绩在［50,70）的学生中任选2人，求这两人的成绩都在［60,70）中的概率.

【分析】（1）根据频率分布直方图求出。的值：

（2）由图可知,成绩在［50,60）和［60,70）的频率分别为0.1和0.15,用样本容量20

乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求.

（3）分别列出满足［50,70）的基本事件，再找到在［60,70）的事件个数，根据古典概

率公式计算即可.

【解答】解：(1)根据直方图知组距=10,由(2a+3“+6a+7a+2a)X10=1,解得“=0.005.

(2)成绩落在［50,60)中的学生人数为2X0.005X10X20=2,

成绩落在［60,70)中的学生人数为3X0.005X10X20=3.

(3)记成绩落在［50,60)中的2人为A,B,成绩落在［60,70)中的3人为C,D,E,

则成绩在［50,70)的学生任选2人的基本事件有A8,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,

CE,DE共10个,

其中2人的成绩都在［60,70)中的基本事件有CD,CE,DE共3个，

故所求概率为

10

20.如图，在三棱柱ABC-481cl中，A4i_L平面ABC,AB=AAi=6,AC=8,D,E分别

是AC,CO的中点.

(1)求证：AB1〃平面MC1；

(2)若异面直线AB与4cl所成的角为30°,求三棱锥Ci-BDE的体积.

【分析】(1)如图，连接BC,交于点F,连接。凡由已知结合三角形中位线定理

可得力F〃A8i,再由直线与平面平行的判定定理，证明45〃平面8。。；

(2)由4C〃41c1,可得N84C即为异面直线A8与4cl所成的角为30°,求三角形

ABC的面积，得到三角形DBC的面积，然后分别求出三棱锥。-BCD,E-BCD的体

=V

枳‘但"t-BDECrBCD7E-BCD求解.

【解答】解：(1)证明：如图，连接小C,交于点F,连接OF,

在△AC8i中，由于D为AC的中点，/为B1C的中点

二。尸为△ACS的中位线，：,DF//AB\,

,.•QFu平面BDC\,AB1C平面BDCi,

...AB1〃平面BDCi；

(2)•.,AC〃4Ci,即为异面直线AB与4。所成的角，

•异面直线A8与4。所成的角为30°,二N8AC=30°,

・1/11

••S/kABc4AB•AOsin/BAC号X6X8X,=：12，

.R是AC的中点一."△DBCSSA曲=6,

又：CCi_L平面ABC,CCi=6,E是CCi的中点.

•.11、八，八

V三棱锥巳-比口二^^^风口*CC1=^X6X6=12-

V三棱锥E-D：D《SABCD，CE《X6X3=6，

V三棱锥c：-BDE=V三棱椎CjBCD-V三棱锥E-ECD=12-6=6-

即三棱锥Ci-BDE的体积为6.

21.已知△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.

（1）证明acosB+bcosA—a

（2）在①比包_5②ccosA=2反osA-acosC,③2a-bcosC=ccosB这三个条件

cosBcosAcosAcosA

中任选一个补充在下面问题中，并解答.若〃=7,b=5,,求△ABC的周长.

【分析】（1）由余弦定理化简已知等式即可证明.

（2）选择多个条件分别解答，先求4的值，进而再求。的值，即可得解.

222222

【解答】解：（1）证明：由余弦定理可得：acos8+&cosA=a・1-七&二-+f-a

2ac2bc

2c

即acosB-^-hcosA=c,证毕.

(2)第一步：求4.

选①：

・•・-2-c---b-二---a--，

cosBcosA

*#•2ccosA=bcosA+acos8,

二.由(1)中所证结论可得：2ccosA=c,可得cosA=」~,

VA6(0,ii),

选②：

ccosA=2bcosA-acosC,

2bcosA=6/COSC+CCOSA,

由（1）中的证明同理可得：acosC+ccosA=bf

/.2bcoA=b,可得cosA=,

2

VAG（0,IT）,

3

选③：

••_bcosC_ccosB

cosAosA

2acosA=bcosC+ccosB,

由（1）中的证明过程同理可得bcosC+ccos8=〃，

2acoA=a,可得cosA=A,

2

VAG（0,TT）,

3

第二步：求c

在△ABC中，由余弦定理可得：a1=b1+（r-2bccosA—25+c2-10c,A=49,即c?-5c-

2

24=0,解得c=8,或c=-3（舍去），

所