全称量词与存在量词 讲义（知识点 考点 练习）人教A版（2019）高一数学必修第一册

1.5全称量词与存在量词

一、全称量词

1.(universalquantifier)：所有的、任意一个，用V表示

2.含有全称量词的命题叫做全称量词命题(universalproposition),X/xeM,p(x)

3.全称量词的否定是存在量词：3xeM,rp(x)

二、存在量词

1.(existentialquantifier)：存在一个、至少有一个，用三表示

2.含有存在量词的命题叫做存在量词命题(existentialproposition),记为

Bx&M,p(%)

3,存在量词的否定是全称量词：VxeMJpCr)

思考1全称量词命题中的“x,M与Mx)”表达的含义分别是什么？

思考2"一元二次方程1=0有实数解”是存在量词命题还是全称量词

命题？请改写成相应命题的形式.

思考3用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？

思考4对省略量词的命题怎样否定?

考点一：全称量词的判断

例1（2020•全国高一课时练习）下列命题含有全称量词的是（）

A.某些函数图象不过原点B.实数的平方为正数

C.方程/+2工+5=0有实数解D.素数中只有一个偶数

1.1（2019•全国高一课时练习）下列命题中，全称量词命题的个数为（）

①平行四边形的对角线互相平分；

②梯形有两条边的长度不相等；

③存在一个菱形，它的四条边不相等；

④高二（1）班绝大多数同学是团员.

A.0B.1C.2D.3

考点二：存在量词的判断

例2（2019•鱼台县第一中学高一月考）下列语句是存在量词命题的是（）

A.整数〃是2和5的倍数B.存在整数〃，使〃能被11整除

7

C.若3*-7=0,则x=]D.WxeM,p（x）

2.1（2020•全国高一课时练习）下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱

形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意xeR,总有一一能1；存在

量词命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

考点三：全称量词命题和存在量词命题真假的判断

例3(2020•全国高一课时练习)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命

题，然后写出对应的否定命题，并判断真假：

(1)不论加取何实数,关于％的方程d+尤一根=。必有实数根；

(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；

(3)某些梯形的对角线互相平分；

(4)函数y="图象恒过原点.

3.1(2020•浙江高一课时练习)下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是

()

A.斜三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数X,使f>0

C.任一无理数的平方必是无理数D.存在一个负数次,使1>2

X

3.2(2020•全国高一)用符号“V”与“十'表示下列含有量词的命题，并判断真假：

(1)任意实数的平方大于或等于0；

(2)对任意实数a,二次函数y=公+。的图象关于丁轴对称；

(3)存在整数x,丹使得2x+4y=3；

(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.

考点四：命题的否定

例4(2020•全国高一课时练习)设A是奇数集，8是偶数集，则命题“VxeA,

的否定是（）

A.3xGA,2xeBB.HrA,2xGB

C.VxA,2xBD.Vx促A,2xeB

4.1（2020•全国高一课时练习）下列命题的否定为假命题的是（）

A.BxeZ,l<4x<3B.HreZ,5x+1=0

22

c.VxeR,x-1=0D.ELreR,x+3x+2=0

4.2（2020•全国高一课时练习）用量词符号表述下列命题，并判断真假.

（1）对所有实数a，b,方程"+〃=0恰有一个解；

（2）一定有整数x,、使得3x-2y=10成立；

（3）所有的有理数X都能使gi+?+1是有理数

考点五：命题求参数

例5.（2020•浙江高一课时练习）若命题“七6氏/-6+1<0”是真命题，则实

数。的取值范围是（）.

A.{a|-2<a<2}B.{a\a<-2^a>2}

C.{«|-2<a<2}D.{a\a<-2^a>2]

5.1（2020•全国高一课时练习）命题“已知y=N-l,VxeR都有〃出二是真命

题，则实数力的取值范围是（）

A.m>—1B.m>—\C.m<—\D.m<—1

5.2（2020•江西省都昌县第一中学高二期中（文））已知命题〃：击wH,

（W+1）（X2+1）<O,命题4：Vxe/i,f一如+i>0恒成立.若〃人“为假命题,

则实数力的取值范围为（）

A.m>2B.m<—2或〃z>—1

C.m<—2或之2D.—1<m<2

课后练习

1.（2020高二下•双流月考）命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是（）

A.所有奇数的立方不是奇数

B.不存在一个奇数，它的立方是偶数

C.存在一个奇数，它的立方是偶数

D.不存在一个奇数，它的立方是奇数

2.（2020高三上•北京月考）命题“Vx20,sinxW1”的否定是（）

A.Vx<0,sin%>1B.Vx<0,sinx>1

C.Bx<0,sin%>1D.>0,sinx>1

3.命题“对任意的/?,/—/+iwo”的否定是（）

A.不存在％ER,x3—x2+1<0

B.存在％ER,x3—x2+1<0

C.存在％G/?,%3—%2+1>0

D.对任意的％GR,x3—%2+1>0

4.（2020高二下•开鲁期中）命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反

证法证明，则下列假设正确的是（）

A.假设至少有一个钝角

B.假设至少有两个钝角

C.假设三角形的三个内角中没有一个钝角

D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角

5.（2017.怀化模拟）若命题p："VxG（-oo,0）,x2>0,,»则-'p为—.

6.（2020高一上•镇江月考）命题P：“VxeR,/+2x—3?0"，命题P的

否定：___•

7.（2017高二下•南昌期末）已知命题p：“VxGR,3mGR,使

4x+2x・m+l=0”.若命题p为真命题，则实数m的取值范围是_.

8.（2017高一上•上海期中）已知x£R,命题“若2VxV5,则x?-7x+10V0”

的否命题是—.

9.（2021高三上•安徽月考）命题“Vx>1,/+%一1?o，，的否定是_

10.（2021高三上•泗县开学考）已知命题p：“V%e[1,2],x2-a>

u

0"，命题c?：3x0e/?,就+2ax0+2-a=0"，若"p且q”为

真命题，求实数a的取值范围.

11.(2020高一上.云南月考)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命

题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明.

(I)末尾数是偶数的数能被4整除；

(II)方程/一5%-6=0有一个根是奇数.

12.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的

否定并判断真假.

(1)三角形的内角和为180°；

(2)每个二次函数的图象都开口向下；

(3)存在一个四边形不是平行四边形；

(4)p：Vx6R,x2+2>0;

2

(5).p：Bx06R,X0+1=0

精讲答案

思考1

答案元素X可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相

应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的

性质.如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“VxCN,x>0\

思考2

答案是存在量词命题，可改写为“存在xGR,使ax2+2x+l=0”.

思考3

答案不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的

菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.

思考4对省略量词的命题怎样否定？

答案对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命

题.一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任

意”，它的否定是存在量词命题.反之，亦然.

例1

【答案】B

【解析】“某些函数图象不过原点''即"存在函数，其图象不过原点”；“方程

/+2%+5=0有实数解”即“存在实数%，使d+2x+5=0”；“素数中只有一个

偶数''即"存在一个素数，它是偶数“，这三个命题都是存在量词命题，“实数的

平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全

称量词“所有的“，所以正确选项为B.

1.1

【答案】C

【解析】①可改写为“任意平行四边形的对角线互相平分”，为全称量词命题

②可改写为“任意梯形均有两条边的长度不相等“，为全称量词命题

③为存在量词命题

④可改写为“高二(1)班有的同学不是团员:为存在量词命题

・••全称量词命题为：①②本题正确选项：C

例2

【答案】B

【解析】对于A,无特称量词.对于B,命题：存在整数〃，使〃能被11整

除，含有特称量词“存在”,故8是特称命题.对于C,无特称量词.对于D,无

特称量词.故选：B.

2.1

【答案】B

【解析】命题①中含有存在量词，是存在量词命题；命题②中全称量词省略，

可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③中全称量词省

略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而

命题④中有全称量词“总有”，是全称量词命题故有1个存在量词命题；故选：

B.

例3

【答案】见解析

【解析】(1)即“所有meR，关于%的方程f+工一机=0都有实数根”，是全称量

词命题，其否定为“存在实数〃J使得方程f+x一机=。没有实数解"，真命

题;

(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”,

假命题；

(3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；

(4)即“所有AeR,函数旷=后图象都过原点“，是全称量词命题，其否定为“存在

实数々，使函数y=近图象不过原点“，是假命题.

3.1

【答案】B

【解析】选项A,C中的命题是全称命题，选项D中的命题是特称命题，但是假

命题.只有B既是特称命题又是真命题，选B.

3.2

【答案】(l)Vxe/?,x2..o.真命题；

(2)V«€R，二次函数y=丁+。的图象关于y轴对称，真命题；

⑶3xeZ,yeZ,2%+4y=3假命题；

3

(4)5xedRe,x60,真命题.

【解析】(l)VxeR,/,是真命题；

(2)VaeR，二次函数y=必+a的图象关于y轴对称，真命题，；

⑶士eZ,yeZ,2x+4y=3假命题，因为2x+4y=2(x+2y)必为偶数；

(4)3xe工屋Q.真命题，例如x=也,J=2wQ.

例4

【答案】A

【解析】“VxeA,2xe3”即“所有xeA,都有2x^3”，它的否定应该是“存

在xeA,使2xe8”，所以正确选项为A.

4.1

【答案】D

【解析】对A,命题的否定为假命题等价于该命题是真命题，由l<4x<3得

13

-<x<4,这样的整数x不存在，故A为假命题，其否定为真命题，故A错

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误；

对B,5x+l=0,x=-^Z,故B为假命题，其否定为真命题，故B错误；

对C,%2_]=onx=±l,故C为假命题，其否定为真命题，故C错误；

对D,存在工=-1或x=—2,使丁+3%+2=(》+1)。+2)=0,故D为真命

题，从而D的否定是假命题，故D正确.故选：D.

4.2

【答案】⑴Va,bwR,ax+6=o恰有一个解；假命题.

(2)3x,>'eZ,3x-2j=10；真命题.

(3)VxeQ,+5X+I是有理数；真命题.

【解析】(1)wR,分+〃=0恰有-一个解；假命题.

(2)3x,yeZ,3x-2y=10；真命题.

(3)VxeQ»gx?+5X+I是有理数；真命题.

例5

【答案】B

【解析】命题FxwR,/-ox+140”是真命题，则需满足△=/一420,解得

。上2或oM—2.故选：B.

5.1

【答案】C

【解析】由已知丁=禺一1,得yN—1,要使也wR,都有加4y成立，只需

m<-\,所以正确选项为C.

5.2

【答案】B

【解析】当命题〃为真时，m+l<0,解得64—1；

当命题4为真时，A=/?22-4xlxl<0.解得—2vm<2,

当命题。与命题4均为真时，则有

-2<m<2

命题〃A"为假命题，则命题4与命题P至少有一个为假命题.

所以此时加=-2或故选：B.

练习答案

1.【答案】C

【考点】命题的否定

［解析］由于命题“所有奇数的立方是奇数”是一个全称命题，

所以命题“所有奇数的立方是奇数''的否定是“存在一个奇数，它的立方是偶数

故选：C

【分析】利用全称命题的否定解答即可.

2.【答案】D

【考点】命题的否定

【解析】因为全称命题的否定是特称命题，sinx<1的否定是sinx>1,

所以命题“Vx>0,sinx<1”的否定是3%>0,sinx>1

故答案为：D

【分析】根据全称命题的否定是特称命题，sinx<1的否定是sinx>1,即

可得到答案.

3.【答案】C

【考点】命题的否定

【解析】全称命题的否定是特称命题，只需将任意改为存在，并将结论否

定，；窥的否定是/-*默，所以命题的否定为:存在

x：<e腰"--x*#1;»■狱，选C.

【分析】全称命题VxeM.^(x)的否定是特称命题三&足鬣，一贯撼。

4.【答案】B

【考点】命题的否定，反证法

【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证

命题”三角形的内角至多有一个钝角''的否定为"三角形的内角至少有两个钝

角“，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，

故答案为：B.

【分析】由反证法结合命题的否定对选项逐一判断即可得出答案

5.【答案】3xoG(-oo,0),xo2<O

【考点】命题的否定

【解析】解：命题是全称命题，

则一'p为："mx()G(-oo,0),xo2<O,

2

故答案为：“mxoG(-co,0),x0<0

【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.

6.【答案】3%GR,x2+2%-3<0

【考点】全称量词命题，命题的否定

【解析】命题P：uVxeR,x2+2x-3>0”的否定是3x£R,x2+2x-3<

0.

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.

7.【答案】（-8,-2]

【考点】全称量词命题

【解析】解：因为p为真命题，即方程4x+2x・m+l=0有实数解，

/.-m=2x+白>2,

m<-2,

故m的取值范围是（-8,-2].

故答案为：（-8,-2].

【分析】先将命题P转化为方程4'+2*”+1=0有实数解，再分离参数，利用基

本不等式可得m的取值范围.

8.【答案】若x<2或x>5,则x2-7x+10>0

【考点】全称量词命题，命题的否定

【解析】解：原命题为：“若2VXV5,则x2-7X+10V0”,

否定它的条件和结论，得：

否命题为：“若烂2或xN5,则X2-7X+10N0”，

故答案为：若xW2或后5,则x2-7x+10N0.

【分析】原命题：若P则q,否命题：若「P则「q.

9.【答案】3x0>1,XQ+x0-1<0

【考点】命题的否定

【解析】命题“Vx>l,，+%一120”的否定是“,x1+x0-

1<0”,

故答案为：3x0>1,以+&—1<0.

【分析】利用特称称命题的否定全称称命题即可求出.

10.【答案】解：若p是真命题.则a<x2,Vxe[1,2],Aa<1；

若q为真命题，则方程x2+2ax+2-a