人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：5. 1 . 2 弧度制

5.1.2弧度制

【学习目标】1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系2理解“1弧度的角”

的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数.

知识梳理梳理教材夯实基础

-------------------------------------------------------------N------------------

知识点一度量角的两种制度

定义用度作为单位来度量角的单位制

角度制

1度的角等于周角的志

1度的角

定义以弧度作为单位来度量角的单位制

弧度制

1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角

知识点二弧度数的计算

思考比值;与所取的圆的半径大小是否有关？

『答案』一定大小的圆心角«所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无

关.

知识点三角度与弧度的互化

角度化弧度弧度化角度

360。=勿ad2兀rad=360°

180o=ra*ad兀rad=180°

<18C•)°七57.30°

10—1801ad^0.01745radIrad七

詈）。=度数

度数弧度数弧度数xf

1oU

知识点四弧度制下的弧长与扇形面积公式

设扇形的半径为R,弧长为/,a（0<a<2兀）为其圆心角，则

（1）弧长公式：l=aR.

(2)扇形面积公式：S=；/R=&R2.

思考扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？

『答案』扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上，扇形可看作是一曲边三角形,

弧是底，半径是底上的高.

预习小测自我检验

1.18°=rad.

『答案』75

2-10=-------------

『答案』54°

3.若a=；,则a是第象限角.

『答案』一

4.圆心角环弧度，半径为6的扇形的面积为.

『答案』6兀

1JT

『解析』扇形的面积为3X62X^=671.

题型探究----------探-究-重-点、-提-升-素-养

一、角度制与弧度制的互化

例1把下列角度化成弧度或弧度化成角度：

(1)72°；(2)-300°；(3)2；(4)-y.

解(1)720=72XTTT=~;

1oUJ

兀5兀

⑵一300。=-300义而=一9；

⑶2=2X(噌。=(攀)。；

⑷奇一管噌。=-40°.

反思感悟角度与弧度互化技巧

7T

在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式兀rad=180。是关键，由它可以得到：度数义不彳=孤

1oU

度数，弧度数x(祟)。=度数.

TT77r

跟踪训练1已知Q=15。，夕=诃，尸1，夕=105。，8=五，试比较。，6,仇9的大小•

"Ji

解ot—15°—15Xgg="p7>6=105°=105XY^=J^,

'哈端<1喑，:.a<B<y<9=(p.

二、用弧度制表示有关的角

例2将一1125。写成a+2E(ACZ)的形式，其中0Wa<2兀并判断它是第几象限角？

解一1125°=-1125X念

1OU

257r,7?t

=一丁=一版o+了

其中37学r7予7r2r,因为7牛7r是第四象限角，

所以一1125。是第四象限角.

延伸探究

若在本例的条件下，在『一4兀，4兀』范围内找出与a终边相同的角的集合.

解依题意与a终边相同的角为g7兀+2E,Jtez,

7兀

由一4兀<彳+2攵兀忘4兀，kGZ,

知左=-2,—1,0,1,

所以所求角的集合为｛一号，一今午，号小

反思感悟用弧度制表示终边相同角的两个关注点

(1)用弧度制表示终边相同的南2E+a(&WZ)时，其中2E是兀的偶数倍，而不是整数倍.

(2)注意角度制与弧度制不能混用.

跟踪训练2(1)用弧度制表示与150。角终边相同的角的集合为()

A.｛夕夕=—•+2&兀，｝

B"/?=y+jt-360°,kRZ1

C”£=争+2版,kez)

D.jySQ="+2E,kRZ(

『答案』D

『解析』1500=150X3=浮故与150°角终边相同的角的集合为

1oUO

看票+2E,kGZ).

(2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角0的集合.

解终边落在射线OA上的角为。=135。+k360。，kWZ,

3兀

即。=丁+2%兀，%£Z.

终边落在射线上的角为6=—30。+2・360。,kRZ,

即。=-搭+2航，&GZ,

O

故终边落在阴影部分的角e的集合为，卜5+2EWJW竽+2E,MZ

三、扇形的弧长、面积

例3(1)已知一扇形的圆心角是72。，半径为20,求扇形的面积.

解设扇形弧长为/,

因为圆心角72°=72X[.c=.rad,

1oUJ

所以扇形弧长，=心|/=胃乂20=8兀，

于是，扇形的面积S=T/-r=3x87tX2O=8O兀

(2)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求扇形圆心角的弧度数.

解设扇形圆心角的弧度数为。(0<*2兀)，弧长为/cm,半径为Rem,

7+2/?=10,①

依题意有h„

泮=4.②

①代入②得R2-5R+4=0,解得Q=l,&=4.

当R=1时，/=8,此时，9=8rad>27n*ad舍去.

21

当H=4时，1=2,此时，8=w=2(rad).

综上可知，扇形圆心角的弧度数为|rad.

延伸探究

已知一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？

解设扇形圆心角的弧度数为伏0<*2兀)，孤长为/,半径为r,面积为S,

则/+2r=4,所以/=4—2/[W<y2）,

所以S=2^r=2X（4—2r）Xr=

—r2+2r=—（r—1）2+1,

所以当-=1时，S最大，且Smax=l,

,/4—2X1

因此，。=；=---[---=2（rad）.

（学生）

反思感悟扇形的弧长和面积的求解策略

⑴记公式：弧度制下扇形的面积公式是5=品=界2（其中/是扇形的弧长，R是扇形的半径,

a是扇形圆心角的弧度数，0<a<2n）.

（2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中

已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解.

跟踪训练3若扇形的圆心角为216。，弧长为30兀，求扇形的半径及面积.

解设扇形的半径为r,孤长为/,面积为S,

216°-216,

1oUJ

.•./=a-r=£r=30n,解得r=25,

S4TX30兀X25=375兀

随堂演练-----------基-础-巩-固、学-以-致--用

1.下列说法中，错误的是（）

A.半圆所对的圆心角是itrad

B.周角的大小等于27t

C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

『答案』D

『解析』根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确，D错误.

2.若a=-2rad,则a的终边在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

『答案』C

3.时针经过一小时，转过了（）

,兀.

A.^rad