2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【含解析】

PAGE2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,则cosA=()A.12 B.-12 C.32 D2.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cosA=23,则b=(A.1 B.2 C.3 D.43.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cosB=74,则A=(A.π6 B.C.5π6 D.π64.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sinA+sinC)=(a+b)cos(π2+B),则C=(A.π6 B.π3 C.2π35.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且bcosC=asinB,则△ABC是()A.等腰直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.直角三角形6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tanC=3,则下列结论正确的是()A.cosB=2c3a B.tanC.tanB=-12 D.B7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.

8.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为9.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为10.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3asinC-ccos(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cosA=5(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cosC=-45中,所有可以选择的条件的序号为(A.① B.①②C.②③ D.①②③13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍14.(10分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=23,2sin(2C-π3)=3(1)若a=22,求角A;(2)求△ABC面积的最大值. 2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,则cosA=()A.12 B.-12 C.32 D【解析】选B.因为sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,所以由正弦定理得a2=b2+c2+bc,则cosA=b2+c22.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cosA=23,则b=(A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccosA=b2+9-4b=5,即b2-4b+4=0,解得b=2.3.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cosB=74,则A=(A.π6 B.C.5π6 D.π6【解析】选A.因为a=2,b=3,cosB=74所以sinB=1-cos因为由正弦定理可得asinA=所以sinA=a·sinBb=又b>a,可得A为锐角,所以A=π64.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sinA+sinC)=(a+b)cos(π2+B),则C=(A.π6 B.π3 C.2π3【解析】选C.在△ABC中,(a-c)(sinA+sinC)=(a+b)cos(π2+B则(a-c)(sinA+sinC)=-(a+b)sinB,由正弦定理可得(a-c)(a+c)=-(a+b)b,所以a2+b2-c2=-ab,则cosC=a2+b2-c22ab=-5.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且bcosC=asinB,则△ABC是()A.等腰直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.直角三角形【解析】选A.因为a2-b2=c2-2bc,即b2+c2-a2=2bc,所以cosA=b2+c2-又A∈(0,π),所以A=π4因为bcosC=asinB,利用正弦定理可得sinBcosC=sinAsinB,由sinB≠0,可得cosC=sinA=22又C∈(0,π),所以C=π4,B=π-A-C=π则△ABC是等腰直角三角形.6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tanC=3,则下列结论正确的是()A.cosB=2c3a B.tanC.tanB=-12 D.B【解析】选ABD.因为c2=3(a2-b2),所以b2=a2-c2所以cosB=a2+c2-由cosB=2c3a可得3acosB所以3sinAcosB=2sin(A+B),3sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB,sinAcosB=2cosAsinB,所以tanA=2tanB,故B正确;因为tanC=3,所以tan(A+B)=tanA+tanB1-得tanB=-12或tanB=1因为cosB=2c3a>0,所以B为锐角,tanB=1,7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.

【解析】因为A=2B,所以sinA=sin2B,故sinA=2sinBcosB,由正弦定理得a=2bcosB,又由余弦定理得a=2b·a2代入b=2,c=3,可得a2=10,故a=10.答案:108.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为【解析】在△ABC中,A=π3,AB=2,AC利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cosA,整理得BC=7,所以BCsinA=2R,解得R=答案:219.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,因为b=3,a-c=2,A=2π3所以(c+2)2=32+c2-2×3c×(-12),解得c则△ABC的面积为S=12bcsinA=12×3×5×32答案:1510.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3asinC-ccos(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC【解析】(1)因为c=3asinC-ccosA所以sinC=3sinAsinC-sinCcosA又sinC≠0,所以1=3sinA-cosA即sin(A-π6)=1又A∈(0,π),所以A=π3(2)因为a=7,b+c=19,A=所以由a2=b2+c2-2bccosA,得7=b2+c2-bc,即7=(b+c)2-3bc,解得bc=4.所以S=12bcsinA=11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cosA=5(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形【解析】(1)因为cos2(π2+A)+cosA=54,所以sin2A+cosA=即1-cos2A+cosA=54,解得cosA=1又0<A<π,所以A=π3(2)因为A=π3,所以cosA=b2+即b2+c2-a2=bc.①又b-c=33a,将②代入①,得b2+c2-3(b-c)2=bc,即2b2+2c2-5bc=0,而b>c,解得b=2c,所以a=3c.所以b2=a2+c2,即△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cosC=-45中,所有可以选择的条件的序号为(A.① B.①②C.②③ D.①②③【解析】选B.在△ABC中,∠B=45°,c=4,若添加条件①,则由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=10,即b=10,即△ABC存在且唯一;若添加条件②,则由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得:a2-42a-4=0,解得a=2(2+3),即△ABC存在且唯一;若添加条件③,则由-45<-22,得C>135°,则B+C>45°+135°=180°,即△即可以选择的条件的序号为①②.13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍【解析】选ABD.由图可知AA'=BB',所以BB'<AB',故A正确;在△ABB'中,sin∠ABB'=5314,而∠所以cos∠ABB'=1-sin2sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=sin60°cos∠ABB'-cos60°sin∠ABB'=3314由正弦定理得BB'sin∠BAB'=AB又因为AA'=BB'=3,所以A'B'=AB'-AA'=2,故B正确;不妨设AB=2A'B'=2,BB'=x,由余弦定理得AB2=BB'2+AB'2-2BB'·AB'cos120°,解得x=5-所以AB'BB'=1+若A'是AB'的中点,则S△ABB'=12BB'·AB'sin120°=B'C'·A'B'sin60°=2S△A'B'C'所以S△ABC=7S△A'B'C',故D正确.14.(10分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=23,2sin(2C-π3)=3(1)若a=22,求角A;(2)求△ABC面积的最大值.【解析】(1)由2sin(2C-π3)=3,得sin(2