2025年高考数学一轮复习课时作业-拓展拔高练五【含解析】

PAGE2025年高考数学一轮复习课时作业-拓展拔高练五【原卷版】(时间:45分钟分值:45分)1.(5分)(一题多法)设a,b都为正数,e为自然对数的底数,若aea+1+b<blnb,则()A.ab>e B.b>ea+1C.ab<e D.b<ea+12.(5分)设实数t>0,若不等式e2tx-ln2+lnxt≥0对x>0恒成立,则t的取值范围为(A.[12e,+∞) B.[1eC.(0,1e] D.(0,13.(5分)已知关于x的不等式ex-mx-lnx-ln(m+1)≥0在(0,+∞)上恒成立,则m的取值范围是()A.(-1,e-1] B.(-1,1]C.(1,e-1] D.(1,e](5分)已知函数f(x)=aex+lnax+2-2(a>0),若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围为(5分)对于任意实数x>0,不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立,则a的取值范围是.

6.(10分)已知函数f(x)=aexlnx(其中e=2.71828…是自然对数的底数),g(x)=x2+xlna(a>0).(1)当a=1时,讨论函数f(x)的单调性;(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),若h(x)<0对任意的x∈(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.7.(10分)已知函数f(x)=1+aexlnx.若不等式f(x)≥ex(xa-x)(a<0),对x∈(1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.2025年高考数学一轮复习课时作业-拓展拔高练五【解析版】(时间:45分钟分值:45分)1.(5分)(一题多法)设a,b都为正数,e为自然对数的底数,若aea+1+b<blnb,则()A.ab>e B.b>ea+1C.ab<e D.b<ea+1【解析】选B.由题意知,a>0,b>0,由aea+1+b<blnb得,aea+1<b(lnb-1),则aea<belnb方法1:构造左侧形式于是aea<lnbeelnbe,设f(x则f(a)<f(lnbe),而lnbe当x>0时,f'(x)=ex+xex>1>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,于是a<lnbe即ea<be,即ea+1<方法2:构造右侧形式于是ealnea<belnbe,设f(x)=xln则f(ea)<f(be),则ea>1,且lnbe>0,即b当x>1时,f'(x)=lnx+1>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增,于是ea<be,即ea+1<方法3:两边同时取对数形式于是elna+a<eln(lnbe)+lnbe,则lna+a<ln(lnbe)+lnbe,设则f(a)<f(lnbe),而lnbe当x>0时,f'(x)=1x+1>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,于是a<lnbe,即ea<be,即ea2.(5分)设实数t>0,若不等式e2tx-ln2+lnxt≥0对x>0恒成立,则t的取值范围为(A.[12e,+∞) B.[1eC.(0,1e] D.(0,1【解析】选B.不等式e2tx-ln2+lnxt≥0对x>0恒成立,即不等式te2tx≥ln(2x)对x>0即不等式2txe2tx≥2xln(2x)对x>0恒成立,令F(x)=xex,则2txe2tx≥2xln(2x)即为F(2tx)≥F(ln(2x)),因为F'(x)=(x+1)ex,当x∈(0,+∞)时,F'(x)>0,所以F(x)在(0,+∞)上单调递增,所以2tx≥ln(2x),所以t≥ln(2x对于函数y=lnmm,y'=由y'>0得0<m<e,由y'<0得m>e,则y=lnmm在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以ymax=lnee=1e,所以ln(2x)2x3.(5分)已知关于x的不等式ex-mx-lnx-ln(m+1)≥0在(0,+∞)上恒成立,则m的取值范围是()A.(-1,e-1] B.(-1,1]C.(1,e-1] D.(1,e]【解析】选A.由ex-mx-lnx-ln(m+1)≥0得ex-mx≥ln(m+1)x,即ex+x≥ln(m+1)x+(m+1)x=eln(m+1)x+ln(m+1)x.令f(x)=ex+x,x∈(0,+∞),则f'(x)=ex+1>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)≥f(ln(m+1)x),则x≥ln(m+1)x在(0,+∞)上恒成立,记g(x)=x-ln(m+1)x,则g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即g(x)min≥0.因为g'(x)=1-1x,则当0<x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x故g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故g(x)min=g(1)=1-ln(m+1)≥0,所以ln(m+1)≤1,即0<m+1≤e,解得-1<m≤e-1,所以m的取值范围是(-1,e-1].4.(5分)已知函数f(x)=aex+lnax+2-2(a>0),若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围为【解析】f(x)=aex+lnax+2-2(函数f(x)的定义域是(-2,+∞).若f(x)>0恒成立,则ex+lna+lna>ln(x+2)+2,两边加上x得到:ex+lna+x+lna>x+2+ln(x+2)=eln(x+2)+ln(x+2).因为y=ex+x单调递增,所以x+lna>ln(x+2),即lna>ln(x+2)-x.令g(x)=ln(x+2)-x(x>-2),则g'(x)=1x+2-1=因为x∈(-2,-1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,x∈(-1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,故lna>g(x)max=g(-1)=1,故a>e.答案:(e,+∞)5.(5分)对于任意实数x>0,不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立,则a的取值范围是.

【解析】不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立等价于2ae2x≥lnxa(x>0)恒成立即2xe2x≥xalnxa(即e2xlne2x≥xalnxa(x当x≤a时,上述不等式恒成立.当x>a时,可得2x+ln2x≥lnxa+ln(lnxa设f(x)=x+lnx(x>0),易得f(x)在(0,+∞)上单调递增,2x+ln2x≥lnxa+ln(lnxa)(x>a),即f(2x)≥f(lnx得2x≥lnxa,即a≥xe2x在(令g(x)=xe2x,则g'(x当0<x<12时,g'(x)>0,g(x)单调递增当x>12时,g'(x)<0,g(x)单调递减易得g(x)max=g(12)=1当a≤12时,只需a≥12e即可,即12e≤a当a>12时,只需a≥g(a)=ae2a,整理可得e2所以a>12综上可得a≥12e,所以a的取值范围是[12e,+∞答案:[12e,+∞6.(10分)已知函数f(x)=aexlnx(其中e=2.71828…是自然对数的底数),g(x)=x2+xlna(a>0).(1)当a=1时,讨论函数f(x)的单调性;【解析】(1)当a=1时,f(x)=exlnx,所以f'(x)=ex(lnx+1x),x∈(0,+∞)令k(x)=lnx+1x,则k'(x)=x当x∈(0,1)时,k'(x)<0,函数k(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,k'(x)>0,函数k(x)单调递增.所以k(x)≥k(1)=1>0,又ex>0,所以f'(x)>0,则f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),若h(x)<0对任意的x∈(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(2)由h(x)<0,得f(x)-g(x)<0,即aexlnx<x2+xlna,所以lnxx<x+ln即ln(aex)aex>设H(x)=lnxx,则H'(x)=所以当x∈(0,1)时,H'(x)>0,函数H(x)单调递增,且H(1)=0,故当x∈(0,1)时,H(x)<0,当x∈(1,+∞)时,H(x)>0,若aex≥1>x,则H(aex)≥0>H(x),若0<aex<1,因为H(aex)>H(x),且H(x)在(0,1)上单调递增,所以aex>x.综上可知,aex>x对任意x∈(0,1)恒成立,即a>xex对任意x∈(0,1)设G(x)=xex,x∈(0,1),则G'(x)=所以G(x)在(0,1)上单调递增,所以G(x)<G(1)=1e,所以a≥1故a的取值范围为[1e,+∞)7.(10分)已知函数f(x)=1+aexlnx.若不等式f(x)≥ex(xa-x)(a<0),对x∈(1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.【解析】不等式f(x)≥ex(xa-x)等价于e-x+x≥xa-alnx⇔e-x-lne-x≥xa-lnxa,设k(t)=t-lnt,即k(e-x)≥k(xa),①因为k'(t)=1-1t=t所以当t∈(0,1)时,k'(t)<0,k(t)在(0,1)上单调递减,t∈(1,+∞)时,k'(t)>0,k(t)在(1,+∞)上单调递增,因为x