广东惠州2021高三数学三模考试试题含答案解析

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广东惠州2021高三数学三模考试试题含答案解析

惠州市2021届高三第三次调研考试

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

I.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写

在答题卡上.

2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的

答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.

3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，作图题可先用铅笔作答，答案必须写在答题

卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分S分，共40分.

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1.设集合A={7,0,1,2},集合B={MH2y8},则AHB=（）.

A.{-1,1）B.{0,1,2}C・{123}D.{1,2；团

2.已知复数2=牛应（其中，为虚数单位），则:在复平面内对应的点位于（）.

V3+/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知正方形力6。的边长为2,£为8C的中点，则荏,防=（）.

A.-2B.0C.yD.2

4.2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔超过8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北

坡登山路线。为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这4

名技术人员中随机安排3人分别去往北坡登山路线中标记为I、II、”的3个崎岖路段

进行信号检测,若甲没有安排去往标记为I的崎岖路段,则不同的安排方法共有（）.

A.12种B.18种C.24种D.6种

5.若双曲线E：■=1（0>/>>0）的一条渐近线被圆（厂2）*=4所截得的弦长为

2石，则双曲线£的离心率是（）.

旦2石

…卓B.G

3

6.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副

''弦图'后人称其为'•赵爽弦图右图是在，,赵爽弦

图”的基础上创作出的一个，数学风车”，其中正方形

力3CD内部为“赵爽弦图”，正方形48CQ外部四个

阴影部分的三角形称为••风叶”.现从该••数学风车”

的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一

片“风叶”的概率为（）.

7.若函数/（x%sin（2叶夕）（心0,Os«Kg）的部分图象如下图所示，则下列叙述正确的是

A.函数九r）的图象可由尸Xsin2丫的图象向左平移/个单位得到

6

B.函数贡X）的图象关于直线尸2对称

C.（-^,0）是函数小）图象的一个对称中心

D.函数加）在区间上单调递增

8.已知0=22,，/>=2.1:,c=In2.1\则。力,c的大小关系为（）.

C.b>a>cD.c>b>a

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分S分，共20分.

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2

分，有选错的得0分.

2

9.无穷等差数列5｝的前〃项和为£,若，〃>0,</<0,则下列结论正确的有（）.

A.数列单调递减B.数列以｝有最大值

C.数列61单调递减D.数列6｝有最大值

10.已知抛物线C:y=加3>0）的焦点F到准线的距离为2,过点厂的直线与抛物线交于RO

两点，O为坐标原点，则下列结论中成立的有（）.

A.抛物线。的准线方程为尸TB.线段也长度的最小值为4

C.D.OPOQ^-3

II.如图所示，在长方体488-48。"，若AB=BC,E、F分

别是/8、8G的中点，则下列结论中成立的有（）.

A.EF工BB\B.EFJ.平面BDDB

C.£尸与GO所成的角为45。巨）D.£7为平面48C。

12.函数小）为定义在/?上的奇函数，当.6）时，府尸心（.1）,下列结论正确的有（）.

A.当内0时，/（x）=e*（.vH）

B.函数有且仅有3个零点

C.若2,则方程/（<）=，〃在xX）上有解

D.Vxpx2eR,)/(x2)二/g)|<2恒成立

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分。

13.已知cos（乙+。尸,则cos（—-o）=___.

636

14.设随机变量t服从正态分布MLa2）,若P（f<2）=0.8,则打0<¥<2尸_.

15.写出一个包含有I，1的偶函数/（."=.

16.在空间中，定义,•点到几何图形的距离'为：这个点到几何图形上各点距离中的最小值.现

有边长为2的正方形/出8,则到定点力距离为1的点围成的几何体的体积为；

该正方形48。区域（包括边界以及内部的点）记为C,则到Q距黑等于1的点所围成

的几何体的体积为.

3

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

已知数列仇，）的前〃项和为S”，满足&=勿“-2.

（1）求数列｛务｝的通项公式；

（2）设求数列｛4｝的前〃项和兀.

18.（本小题满分12分）

在中，内角/、B、C的对边分别为。、b、c,已知片:，A/15C的面积为班，

22

且tanJ+tan^=百（tanJtan^-l）.

（1）求角。的大小；

⑵求疗6的值.

19.（本小题满分12分）

华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.惠州某学校学习小组为了研

究手机用户购买新手机时选择华为品牌是否与年龄有关系，于是随机调查100个2020年购

买新手机的人，得到如下不完整的列联表.定义用户年龄30岁以下为'•年轻用户”，30岁以

上为••非年轻用户二

购买华为购买其他品牌总计

年轻用户28

非年轻用户2460

总计100

（1）请将列联表填充完整，并判断是否至少有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄

有关？

⑵若从购买华为手机用户中采取分层抽样的方法抽出9人，再从中随机抽取3人，其中

年轻用户的人数记为X求X的分布列和数学期望.

附：K2=________幽二忖______

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)

户（。。）0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

20.（本小题满分12分）

已知边长为3的正方体/18S48GD（如图），现用一个平面〃截该正方体，平面a与

棱.44、AB、8C分别交于点E、F、G.若小E=2EA,AF=2FB,CG=2GB.

（1）求面a与面，8CZ）所成锐二面角的余弦值;

（2）请在答题卷的第2个图中作出截面〃与正方体

各面的交线，用字母标识出交线与棱的交点.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆C：I+4=l（a>6>0）的离心率为立，左右顶点分别为人B,右焦点

h22

为G尸为椭圆上异于48的动点，且A4P行面积的最大值为1+3.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设直线/仍与y轴交于M点，过点力作8尸的

平行线交J轴与点N,试探究是否存在定点0

使得以MN为直径的圆恒过定点Q.

22.（本小题满分12分）

已知函数./（X）=Inx—x+sinx+a.

（1）求/（幻的导函数㈤在（0m）上的零点个数；

⑵求证:当一［1,3］时,/（工）有且仅有2个不同的零点.

5

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.

题号12345678

答案BDABDACC

I.懈析】由函数j，=2,单调递增,不等式?*<2<2)解得Outw3,即集合8={x100xw3},

则力fl8={0,1,2}.故选：B.

2.廨析】因为"y=1卢嗅3=①="，所以口手一事，

V3+»(V3+I)X(V3-I)4222

-V3I-

二对应点为(苛,-?),所以:在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D.

3.廨析】由题意，以4B,4。边建立平面直角坐标系，则点4(0,0),8(2,0),0(0,2),

边8c的中点E(2,1),贝IJ鹿=(2,1).丽=(-2,2),.•.公•丽=-2x2+lx2=-2.故

选：A.

4.【解析】分类，若甲没参加，则从剩下的三人选派去3个地方，任意安排有W种；若甲

参加，甲只能从II和川种任选一处安排，再从剩下的三人中选派2人在余下两个地方,

有C；•团。所以共有不同的安排方法为：N=4；+C；/；=18种，故选：B.

5.廨析】取E的一条渐近线历-卬旬，因为g=府=F(/为弦长，R为圆半径，d为圆

心到直线的距离)，其中/=2jJ,R=2,d=7O==叁，所以4-缥=3,所以

力?+〃cc

C2=4h2=4c2-4a2,所以3/=4/,所以e2=。，所以e=¥，故选：D.

3J

6.廨析】从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有C：=28种，其中这两个

顶点取自同一片,•风叶”的基本事件有4C；=12种，故所求概率尸=^|=5.故选：A.

6

5〃,01,..0=2sin(2xyy+(p),

7.【解析】由图可知，<=2,•.函数/(幻经过点

5/r,,r□□•5〃ir\ni、fl

:.—+(p=kn、keZ,BP^=K/T----,k€Z,v0<=l,e=一•

6626

函数/(x)=2sin(2.r+3

对于A.)=2sin2v的图象向左平移:个单位得到

6

>>=2sin2(x+—)=2sin(2x+—)^f(x),即A节吴.

63

对于B,令2x+2=g+A”,AeZ,则x=j+g,4eZ,不存在A使其对称轴为

6262

8.【解析】构造函数/(1)=/,g(x)=2，，如图所示，在xw(2,4)时，/>2"即

/(2.1)>g(2.1),所以2.1?>2?」>2:=4Jn2.l4=4ln12.1v41nle=4,则/>>〃>%

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分。

9101112

全部正确ABDBCDABDABD

9.蹄析】根据等差数列定义可得4"-4="<0,所以数列加力单调递减，A正确;

由数列;4；单调递减，可知数列｛%｝有最大值以s,故B正确；

由口>0,*0,可知等差数列数列;先正后负，所以数列｛S.：先增再减，有最大值,

C不正确，D正确.故选：ABD

7

10.廨析】焦点厂到准线的距离为小2所以抛物线。的焦点为(I,0),准线方程为L1,

则选项A错误：当P0垂直于工轴时长度最小，此时P(1,2),0(1,-2),所以|也|=4,

则选项B正确；设P(XI,y),Q(X2,y2)t直线P0的方程为尸网叶1,联立消去

y可得42)rH=O,消去.v可得『4〃)-4=0,所以xi+x：=4M+2,.W士=4〃，y】产=4,

SM>0=；IOFII必-%1=gx1X,(乂+必)2-4乂%=；XV16/n:+I622,

当m=0时成立，则选项C正确；又A-iX2=l,y\产=-4,所以OP-OQ=x1x2+yty2=-3,

则选项D正确；故选：BCD.

11.廨析】连接48、4G、40,则£为48的中点，

对于A选项，1平面481G2，4Gu平面481Gq,

..叫[E、夕分别为/石、8。的中点，贝IJE"〃,

EF1BBy,A选项正确；

对于B选项，♦.四边形44G。为正方形，则4GlBR,又・・・4于1BB、,

BQ\CBB[=4Gl平面皿饵：EF//AC".EF1悯8。0心,

B迩

对于C选项，易知A4Go为等边三角形,则乙4£。=60\vEF//4G，则即与GD

所成的角为4£O=6(T,C选项错误；

对于D选项，:EFII4G,EF<t平面481G%,力£u平面A^BXCXD[,

・•・EFII平面,D选项正确。故选：ABD.

12.廨析】对于A.函数危)为定义在R上的奇函数，当x<0时，30,

f(x)=-f(-x)=-ex(-x-1)=ex(x+1),A正确；

对于B.当x>0时，*(1)=0,解得日，x<0时,/(x)=e*(x+l)=0,

解得A=l,又./(0尸0,所以/*)有±1和0三个零点，B正确；

对于C.当一《0时,危尸e*(x+l),rw=ex(x+l),当m2时，八刈<0,/(、)递减

-XrOW,八*)>0,.而)递增,「.尸2时，/(x)极小值=/(-2)=-整=_g,x->(r时,

8

f(x)-»-l,x-»0,j'(x)TI,由/(2是奇函数，.r=2时，/(X)极大值=/(2)=p-,

<0)=0,/(x)的值域是(-1,I),若"<1时，方程./(X)F在xX)时无解，C错误；

对于D.由C的讨论知-1</(刈<1,因此对任意的实数小4有-1研比1,

-2<fix>)-A.nXZ,即|f(x,)-f(x2)K2.D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4，J施，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分。

13.―；14.0.6；

15.e'+e\e"G)、|ln(e，)|、///―)『……；

""(xvO)、

“416

16.—n>o8+—n

33

13.嘛析】cos(--a)=cos[/r-(-•+a)]=-cos(y+a)=故答案为：-

666J,

14•【解析】正态分布曲线关于直线Al对称，

则尸(0<f<2)=2P(1<2)=2[P(f<2)-p«<l)]=2x(0.8-0.5)=0.6.

15.【解析】本题为结论开放题，只要能写出满足条件的函数解析式都可以给分,

【注意】：，-尸、9).|"|不满足条件.

16.【解析】(1)与定点力距离等于1的点所围成的几何

体是一个半径为1的球，所以其体积为

(2)分析可知，到Q距离等于1的点所围成的几何体是

I个正方体(棱长为2)、4个半圆柱(高为2,底面半

径为1)以及4个四分之一球(半径为1)所围成的

几何体，所以其体积为：

1I4416

2x2x2+4x—l-x2+4x—x—；rxp=8+4;rhr————/8

24333

416

故答案为：；不8+与〃.

9

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

廨析】(1)当"=1时，q=，=2q-2,得q=2................1分

当">2时，由己知S“=la.-2可得5,.,=la.A-2.............2分

所以S“-S“_]=2a”-2a“i,即=2a“-2a,得%=2a-].......3分

数列｛a.｝为等比数列，首项q=2,公比g=2.................4分

：”eN*时，a“=2・2"'=2"

数列｛a.｝的通项公式为a,=2"............................5分

⑵廨法D设"="•〃"="-2",

所以7；=1x2+2x22+3x2'+…+”-2".....................6分

2。=1x2'+2x2’+3x2"+…+("-】)-2"..............7分

2(2

两式相减得：-T=2+22+25+-+2"=1-^n-2'+1……8分

1-2

=。-")・2"'-2...........................9分

.-.7；=(/1-1)-2*'+2...................................10分

睇法2】设4=小""="-2",

所以7；=1x2+2x22+3x2'+-+n-2".....................6分

=2+2[2-2l+3-22--+n-2"-1]

=2+2((1+1).2'+(l+2)-22-+(l+n-l)-2"

=2+2(2'+22-+2"-']+2[\-2,+2-22-+(n-l)-2"']......7分

2(

7；=2+21~^U2[T,-n-2"]..........................9分

化简得乙=("-»2-"+2................................10分

10

18.(本小题满分12分)

嘛析】瞬法I】(l)tan(4+8)=lan」+tanZ.......................................................1分

1-tan/I-tanB

将己知tan/+tan8=石(tan/•tan8—1)代入上式得lan(4+B)=-VJ,2分

且/I、B、C为A48('内角，0</+8v”,.................................................3分

所以4+8=g.................................................................................................4分

因为/J+B+C=”.............................................................................................5分

所以C=g........................................................................................................6分

・5、+i,,c、tanAtanB.八

嘛法2】tan(/l+^)=-...................................................................................................1分

1-tanJ-tanB

将己知tan4+tan8=V3(tan彳•tan8-1)代入上式得tan(/I+8)=-V3,2分

且/、B、C为内角，从而C=/r-(/+8)...................................3分

所以tanC=VJ.................................................................................................4分

0<C</r.......................................................................................................5分

得C=g............................................................................................................6分

蹄法3］因为当tan4•tan8-1=0时不满足条件，所以tan小tan8-1#0........1分

由tan4+tanB=V3(tan14•lan8-1)得.11"+由8=,

I-tan/•tan8

即tan(4+8)=一6..........................................................................................2分

且4、B、C为A48C内角，从而C=〃-(/+8),..................................3分

所以tanC=VJ..................................................................................................4分

0<C</r.......................................................................................................5分

得C=g............................................................................................................6分

(2)【解法1】由1K.=；"sinC,得挈=；"sing..........................................7分

所以=6..................................................................................................................8分

又由余弦定理cost?=..........................................................................9分

n

(a+b)2-lab-c2

得.....................................................................................10分

cos—=2^b~~

101

将己知代人可得(a+6)2=.....................................................................................11分

4

因为a+b>0,所以a+b=U..................................................................................12分

2

廨法2】由3叱=」必sinC,得举=L"sinX............................................7分

2223

所以ab=6...①，...............................................8分

又由余弦定理cosC=Q+窑厂............................................................................9分

7?

得/+〃=上……②...................................10分

4

联立©^得或L3.............................................................................II分

6=4-2

所以。+6=?...............................................................................................12分

2

19.（本小题满分12分）

廨析】⑴列联表为:

购买华为购买其他品牌总计

年轻用户122840

非年轻用户243660

总计3664100

....................................1分【任何一个数据错误，本得分点不得分】

假设移动支付与年龄无关，则8'=幽蟾标鬻变

,2分

25

=243分

=1.042.....................................................................4分

1.042<2.706...........................................................................................................................5分

所以没有把握认为购买手机时选择华为与年龄有关..............................6分

12

(2)由9x^=3,9x^=6,即年轻用户抽取3人，非年轻用户抽取6人.......7分

3636

所以X所有可能的取值为0,I,2,3.................................................................8分

p,y6C；C：5c©15

P(X=0)=-^-=-(P(X=l)=-q-=—,

p(X=2)=与&=之，P(X=3)=笔，……9分【任何一个正确可得I分】

514%84

所以X的分布列为：

X0123

51531

P

2\2884

..............10分

【注本得分点为有列表且数据全部正确】

所以/(XbOx^+lx"+ZxN+Bx-i-

.................................................11分

Zl281484

=1

所以X的数学期望值为1.......................................................................................12分

20.(本小题满分12分)

廨析】(1)嘛法1](几何法)

过/作/41R7,连接£/7.......................................

由三垂线定理知无..............

由二面角的定义可知，4EHA为面〃与面ABCD

所成锐二面角的平面角。......................3分月与一)年

正方形的边长为3,则力〃=2,

由M.为等腰直角三角形得AH=E.....................4分

4E=1,EH=

则』+⑻=退......................5分

所以cosNEHA=理=小=半........

..................6分

EHG3

综上，面。与面.48CD所成锐二面角的余弦值为坐

-..............................7分

【注：无此步骤本得分点不得分】

13

懈法2](向量法)

以D4,DC,0A分别为xj,z,

建立如图空间直角坐标系D-xyz..........I分

•：AB=3,则/尸=2,AE=\,CG=2

由E(3,0J),尸(3,2,0),G(2,3.O)

则FE=(0,-2,1),FE=(-1,1.0).........................................2分

—m,FE=0[―2y+z=0

设〃J=(x,y,z)为平面ER7的一个法向量，则｛______，即(……3分

mFG=Ql-x+y=0

令”1,则x=l,z=2..面£AG的一个法向量蔡=(1,1,2)...............4分

面.48co的一个法向量n=(0,0,1)5分

综上，面。与面48CO所成锐二面角的余弦值为乎..........................7分

⑵

.....................12分

【评分说明1]作图结果中，标识R约为三等分点可得2分，标识P、约为六等分点可得2分,

交线全部正确得1分。点和线的位置允许有少量偏差(不扣分)。标识的字母可自由定义，

不重复即可.

【评分说明2]d位置在D点到DDi中点之间或DD.线段外则定义为位置严重错误(须扣分),

P4位置在C.点到CG中点之间或CC.线段外则定义为位置严重错误(须扣分).

【评分说明3】作图结果为与正确解答类似的五边形，至少可得3分.

【评分说明4】作图结果为非五边形，至多可得2分.

【注释I］作图步骤：

步骤1：延长GF,交直线DA于点Pi,

步骤2：延长FG,交直线DC于点8,

步骤3：延长PE交直线DD于点％,

步骤4：连结P：P，,交直线CU于点儿

步骤5：连结P’G.

【注释2】位置说明：

如图所示，截面。与正方体各面的5条交线分别为EE、FG、G乙、P*P、、P、E,

面面力=面面48。。=月G,面面A8CC=G乙，

面面CCQ-64，面面/«。。=勺£，

且DP、=5肛域D\D=6PQJ,CR=2PQ(或GC=3〃C).

21.（本小题满分12分）

嘛析】（I）由题意知，当。在•「轴时，八4程面积最大,I分

所以;（a+c）b=1+坐①...................................2分

又e=£=乎②................................................3分

a/

敷®得"=2,b=l,c=6.................................................................4分

所以椭圆C的方程为?+/=1............................................................5分

⑵设户（%,%）,其中乂,#0,则人”=等2，*”=抬，

所以直线AP的方程为V=遂5+2）............................................................6分

令…•得”符即何（°铠）.....................................7分

又ANUBP,所以直线/N的方程为r=—(x+2),

Ao/

15

令x=0,得？=第，即、(°，的)....................................8分

所以，以肋V为直径的圆的方程为：

/+1-第1尸第)=0........................................9分

又第I”第)*+人普"招=。

且〃(.%/(.)在椭圆上，所以务+丁：=1,

代入方程整理得圆的方程为x2+/+^-y-l=O...................10分

ZO

令J，=o,则*=±1,..............................................11分

所以存在点。(土1,0),使得以MN为直径的圆恒过点Q.................12分

22.(本小题满分12分)

嘛析】(1)因为八幻=1111一》+$桁.1+。，所以r(x)=L-l+cosx.........1分

X

设g(x)=/'(x)=，-l+cosx,

,

当.iw(0,〃)时，g(x)=-sinx--!?<0,所以/'(x)在(0,〃)上单调递减，

.................2分

即当xw(0,〃)时，存在/((}/'(1)v°.................4分

【注：无此步骤本得分点不得分】

且J=/'(x)的图象连续，所以/'(')在(0,〃)上有且仅有I个零点.

...............5分

16

(2)廨法1】由己知“e[13],/(x)定义域为(0.+8),

且由(1)可知存在％e后,?，使/'(%)=0,

①由⑴知，当xe(0,x。)时，/,(x)>0,/卜)在(0,%)上单调递增；

当时，/,(x)<0,/(x)在(.％,”)上单调递减,

所以/(x)在(0.”)上存在唯一的极大值点<x„<.............................6分

所以/(%)>=^+1+«>2-^->0,

因为/(x0)<0,所以/(x)在(