高中数学教案设计范例9篇

高中数学教案设计范例优秀9篇

数学是一门日常都要使用的学科，所以要拥有好的教案才干充分教

育同学们如何使用数学，这里给大家共享一些关于高中数学教案设计

范例，便利大家学习。这次美丽的为亲带来了9篇高中数学教案设计

范例，假如对您有一些参考与协助，请共享给最好的伴侣。

数学教案篇一

两角差的余弦公式

【使用说明】1、复习教材P124-P127页，40分钟时光完成预习学

案

2、有余力的同学可在完成探索案中的部分内容。

【学习目标】

学问与技能：理解两角差的余弦公式的推导过程及其结构特征并能

灵便运用。

过程与办法：应用已学学问和办法思量问题，分析问题，解决问题

的能力。

情感态度价值观：利用公式推导引领同学发觉数学逻辑，培养同学

的创新意识和学习数学的爱好。

。【重点】利用探究得到两角差的余弦公式以及公式的灵便运用

【难点】两角差余弦公式的推导过程

预习自学案

一、学问链接

1、写出的三角函数线：

2、向量，的数量积，

①定义：

②坐标运算法则：

3、，，那么是否等于呢？

下面我们就探讨两角差的余弦公式

二、教材导读

1、、两角差的余弦公式的推导思路

如图，建立单位圆0

(1)通过单位圆上的三角函数线

设

则

又OM=OB+BM

=OB+CP

=0A+AP

从而得到两角差的余弦公式：

(2)通过两点间距离公式

如图，角的终边与单位圆交于A()

角的终边与单位圆交于B()

角的终边与单位圆交于P()

点T()

AB与PT关系如何？

从而得到两角差的余弦公式:

(3)通过平面对量的学问

用表示向量，

=(,)=(,)

贝IJ。=

设与的夹角为

①当时：

从而得出

②当时明显此时已经不是向量的夹角，在范围内，是向量夹角

的补角。我们设夹角为，则+=

此时=

从而得出

2、两角差的余弦公式

三、预习检测

1、通过余弦公式计算的值。

2、怎样求的值

你的怀疑是什么？

探索案

例1.通过差角余弦公式求的值。

例2.已知，是第三象限角，求的值。

训练案

一、基础训练题

1、

2、

3、

二、综合题

高中数学教案模板篇二

教学目标

1、明确等差数列的定义。

2、把握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的

问题

3、培养同学观看、归纳能力。

教学重点

1、等差数列的概念；

2、等差数列的通项公式

教学难点

等差数歹旷等差〃特点的理解、掌握和应用

教具预备

投影片1张

教学过程

(I)复习回顾

师：上两节课我们共学生习了数列的定义及给出数列的两种办法通

项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面

看一些例子。(放投影片)

(回)讲授新课

师：看这些数列有什么共同的特点？

1,2,3,4,5,6;@

10,8,6,4,2,...；②

生：乐观思量，找上述数列共同特点。

对于数列①(BnW6)；(2<n<6)

对于数列②-2n(n21)(n22)

对于数列③(n21)(n22)

共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常

数。

师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差"相等”的特点。具有

这种特点的数列，我们把它叫做等差数。

一、定义：

等差数列：普通地，假如一个数列从第2项起，每一项与空的前一

项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫

做等差数列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1,-2,o

二、等差数列的通项公式

师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数

列的首项是，公差是d,则据其定义可得：

若将这n-l个等式相加，则可得：

即：即：即:……

由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项

和公差d,便可求得其通项。

如数列①（1"46）

数列②：（命1）

数列③：（命1）

由上述关系还可得：即：贝I」：=如：三、例题讲解

例1：⑴求等差数列8,5,2…的第20项

（2卜4。1是不是等差数列-5,-9,-13…的项？假如是，是第几项？

解：（1）由n=20,得⑵由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要

回答是否存在正整数n,使得-401=-5-4（n-l）成立解之得n=100,即-401

是这个数列的第100项。

（勖课堂练习

生：（口答）课本P118练习3

（书面练习）课本P117练习1

师：组织同学自评练习（同桌研究）

（回）课时小结

师：本节主要内容为：①等差数列定义。

BP（n>2）

②等差数列通项公式（论1）

推导出公式：

（V）课后作业

一、课本P118习题3.21,2

二、1.预习内容：课本P116例2P117例4

2、预习提纲：

①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题？

②等差数列有哪些性质？

高中数学教案篇三

教学目的：

（1）使同学初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法

（2）使同学初步了解"属于〃关系的意义

（3）使同学初步了解有限集、无限集、空集的意义

教学重点：集合的基本概念及表示办法

教学难点：运用集合的两种常用表示办法一一列举法与描述法，正

确表示一些容易的集合

授课类型：新授课

课时支配：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

集合是中学数学的一个重要的基本概念在学校数学中，就渗透了集

合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表达一些问题例

如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集至于

规律，可以说，从开头学习数学就离不开对规律学问的把握和运用，

基本的规律学问在日常生活、学习、工作中，也是熟悉问题、讨论问

题不行缺少的工具这些可以协助同学熟悉学习本章的意义，也是本

章学习的基础把集合的初步学问与简易规律学问支配在高中数学的

最开头，是由于在高中数学中，这些学问与其他内容有着密切联系，

它们是学习、把握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概

念与性质，就离不开集合与规律。

本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合

的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了

集合的常用表示办法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合

的例子。

这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是启发同

学的学习爱好，使同学熟悉学习本章的意义本节课的教学重点是集

合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开头接触

集合的概念时，主要还是利用实例，对概念有一个初步熟悉教科书

给出的“普通地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称

集〃这句话，只是对集合概念的描述性说明。

教学过程：

一、复习引入：

1、简介数集的进展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数;

2、教材中的章头引言；

3、集合论的创始人一一康托尔（德国数学家）（见附录）；

4.“物以类聚”，”人以群分〃;

5.教材中例子（P4）

二、讲解新课：

阅读教材第一部分，问题如下：

（1）有那些概念？是如何定义的？

（2）有那些符号？是如何表示的？

（3）集合中元素的特性是什么？

（一）集合的有关概念：

由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成

的。我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的

对象集在一起就成为一个集合，也简称集。集合中的每个对象叫做这

个集合的元素。

定义：普通地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合.

1、集合的概念

（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素

2、常用数集及记法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N,

（2）正整数集：非负整数集内排解。的集记作N*或N+

（3）整数集：全体整数的集合记作Z,

（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q,

（5）实数集：全体实数的集合记作R

注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包

括数0

（2）非负整数集内排解。的集记作N*或N+Q、Z、R等其它数集

内排解0的集，也是这样表示，例如，整数集内排解0的集，表示成

Z*

3、元素对于集合的隶属关系

（1）属于：假如a是集合A的元素，就说a属于A,记作a国A

（2）不属于：假如a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作

4、集合中元素的特性

（1）确定性：根据明确的推断标准给定一个元素或者在这个集合里，

或者不在，不能模棱两可

（2）互异性：集合中的元素没有重复

（3）无序性：集合中的元素没有一定的挨次（通常用正常的挨次写

出）

5、国集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通

常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

国“国”的开口方向，不能把a团A颠倒过来写

三、练习题：

1＞教材P5练习1、2

2、下列各组对象能确定一个集合吗？

(1)全部很大的实数(不确定)

(2)好心的人(不确定)

(3)1,2,2,3,4,5.(有重复)

3、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是——2,

0,2_

4、由实数x,—x,1x1,所组成的集合，最多含(A)

(A)2个元素(B)3个元素(C)4个元素(D)5个元素

5、设集合G中的元素是全部形如a+b(a国乙b取)的数，求证：

(1)当x国N时，X0G；

(2)若x国G,y团G,则x+y回G,而不一定属于集合G

证实(1)：在a+b(a国乙b0Z)中，令a=x团N,b=0,则x=x+

0*=a+b0G,即xBIG

证实(2)：MG,y0G,

[?lx=a+b(a取，b团Z),y=c+d(c0Z,d团Z)

回x+y=(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)

回a国Z,b团Z,c回Z,dlEZ

团(a+c)田Z,(b+d)取

国x+y=(a+c)+(b+d)回G,

又回=且不一定都是整数，

国=不一定属于集合G

四、小结：本节课学习了以下内容：

1、集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于）

2、集合元素的性质：确定性，互异性，无序性

3、常用数集的定义及记法

高中数学教案篇四

教学预备

教学目标

把握等差数列与等比数列的概念，通项公式与前n项和公式，等差

中项与等比中项的概念，并能运用这些学问解决一些基本问题。

教学重难点

把握等差数列与等比数列的概念，通项公式与前n项和公式，等差

中项与等比中项的概念，并能运用这些学问解决一些基本问题。

教学过程

等比数列性质请学生们类比得出。

【办法逻辑】

1、通项公式与前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类

最基本的运算题。方程观点是解决这类问题的基本数学思想和办法。

2、推断一个数列是等差数列或等比数列，常用的办法使用定义。特

殊地，在推断三个实数

a,b,c成等差（比）数列时，常用（注：若为等比数列，则a,b,c均不为

0）

3、在求等差数列前n项和的最大（小）值时，常用函数的思想和办法

加以解决。

【示范举例】

例1:

(1)设等差数列的前n项和为30,前2n项和为100,则前3n项和

为。

(2)一个等比数列的前三项之和为26,前六项之和为728,则al=,

q=。

例2：四数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两

项之和为21,中间两项之和为18,求此四个数。

例3：项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44,偶数项之和为33,

求该数列的中间项。

高中数学教案设计范例篇五

【教学目标】

1、会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构

特征。

2、能按照几何结构特征对空间物体举行分类。

3、提升同学的观看能力；培养同学的空间想象能力和抽象括能力。

【教学重难点】

教学重点：让同学感触大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、

球的结构特征。

教学难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

【教学过程】

1、情景导入

老师提出问题，引领同学观看、举例和互相沟通，提出本节课所学

内容，展示课题。

2、出示目标、检查预习

3、合作探索、沟通出示

（1）引领同学观看棱柱的几何物体以及棱柱的图片，说出它们各自

的特点是什么？它们的共同特点是什么？

（2）组织同学分组研究，每小组选出一名学生发表本组研究结果。

在此基础上得出棱柱的主要结构特征。有两个面相互平行；其余各面

都是平行四边形；每相邻两上四边形的公共边相互平行。概括出棱柱

的概念。

（3）提出问题：请列举身边的棱柱并对它们举行分类

（4）以类似的办法，让同学思量、研究、概括出棱锥、棱台的结构

特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

（5）让同学观看圆柱，并实物模型演示，概括出圆柱的概念以及相

关的概念及圆柱的表示。

（6）引领同学以类似的办法思量圆锥、圆台、球的结构特征，以及

相关概念和表示，借助实物模型演示引领同学思量、研究、概括。

（7）老师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆

锥与棱锥统称为锥体。

4、质疑答辩，排难解惑，进展思维，老师提出问题，让同学思量。

（1）有两个面相互平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是

棱柱（举反例说明）

（2）棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？

（3）圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到,

圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？

（4）棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？

（5）绕直角三角形某一边的几何体一定是圆锥吗？

5、典型例题

例：推断下列语句是否正确。

国有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥。

国有两个面相互平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱柱。

答案AB

6、课堂检测：

课本P8,习题1.1A组第1题。

7、归纳收拾

由同学收拾学习了哪些内容

高中数学教案设计范例篇六

教学目标

1、把握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决容易的问题。

（1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等

差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；

（2）用方程思想熟悉等差数列前项和的公式，通过公式求；等差

数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三

个量求另两个值；

（3）会通过等差数列通项公式与前项和的公式讨论的最值。

2、利用公式的推导和公式的运用，使同学体味从特别到普通，再从

普通到特别的思维逻辑，初步形成熟悉问题，解决问题的普通思路和

办法。

3、利用公式推导的过程教学，对同学举行思维灵便性与广大性的训

练，进展同学的思维水平。

4、利用公式的推导过程，呈现数学中的对称美；利用有关内容在实

际生活中的应用，使同学再一次感触数学源于生活，又服务于生活的

有用性，引领同学要擅长观看生活，从生活中发觉问题，并数学地解

决问题。

教学建议

（1）学问结构

本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用，首先利用详细的例

子给出了求等差数列前项和的思路，而后导出了普通的公式，并加

以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问

题。

（2）重点、难点分析

教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用，难点是公式推导的

思路。

推导过程的出示体现了人类解决问题的普通思路，即从特别问题的

解决中提炼普通办法，再试图运用这一办法解决普通状况，所以推导

公式的过程中所蕴含的思想办法比公式本身更为重要。等差数列前

项和公式有两种形式，应按照条件挑选适当的形式举行计算；另外反

用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程

(组)思想。

高斯算法表现了大数学家的才智和巧思，对普通同学来说有很大难

度，但大多数同学都听说过这个故事，所以难点在于普通等差数列求

和的思路上。

(3)教法建议

①本节内容分为两课时，一节为公式推导及容易应用，一节侧重于

通项公式与前项和公式综合运用。

②前项和公式的推导，建议由详细问题引入，使同学体味问题源

于生活。

③强调从特别到普通，再从普通到特别的思量办法与讨论办法。

④补充等差数列前项和的值、最小值问题。

⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式。

等差数列的前项和公式教学设计示例

教学目标

1、利用教学使同学理解等差数列的前项和公式的推导过程，并能

用公式解决容易的问题。

2、利用公式推导的教学使同学进一步体味从特别到普通，再从普通

到特别的思想办法，利用公式的运用体味方程的思想。

教学重点，难点

教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用，难点是获得推导

公式的思路。

教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑。

教学办法

讲授法。

教学过程

一。新课引入

提出问题（播放媒体资料）：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放

一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100

支。这个V形架上共放着多少支铅笔？（课件设计见课件出示）

问题就是（板书）

这是学校时就知道的一个故事，高斯的算法十分高超，回忆他是怎

样算的。（由一名同学回答，再由同学研究其高超之处）高斯算法的

高超之处在于他发觉这100个数可以分为50组，第一个数与最后一

个数一组，其次个数与倒数其次个数一组，第三个数与倒数第三个数

一组，…，每组数的和均相等，都等于101,50个101就等于5050

了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，快速精确得到了结

果。

我们希翼求普通的等差数列的和，高斯算法对我们有何引发？

二。讲解新课

（板书）等差数列前项和公式

1、公式推导（板书）

问题（幻灯片）：设等差数列的首项为，公差为，由同学研究,

讨论高斯算法对普通等差数列求和的指导意义。

思路一：运用基本量思想，将各项用和表示，得

,有以下等式

，问题是一共有多少个，似乎与的奇偶有关。这个思路似乎举行

不下去了。

思路二：

上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，，两式左

右分离相加，得

于是有：。这就是倒序相加法。

思路三：受思路二的引发，重新调节思路一，可得，于是。

于是得到了两个公式（投影片）：和。

2、公式记忆

用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式，这里对图形举行了害h

补两种处理，对应着等差数列前项和的两个公式。

3、公式的应用

公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一。

例1.求和：⑴；

（2）（结果用表示）

解题的关键是数清项数，小结数项数的办法。

例2.等差数列中前多少项的和是9900?

本题实质是反用公式，解一个关于的一元二次函数，注重得到的

项数必需是正整数。

三。小结

1、推导等差数列前项和公式的思路；

2、公式的应用中的数学思想。

四。板书设计

高中数学教案篇七

教学预备

教学目标

1、数学学问：把握等比数列的概念，通项公式，及其有关性质；

2、数学能力：利用等差数列和等比数列的类比学习，培养同学类比

归纳的能力；

归纳一一猜测一一证实的数学讨论办法；

3、数学思想：培养同学分类研究，函数的数学思想。

教学重难点

重点：等比数列的概念及其通项公式，如何利用类比通过等差数列

学习等比数列；

难点：等比数列的性质的探究过程。

教学过程

教学过程：

1、问题引入:

前面我们已经讨论了一类特别的数列一一等差数列。

问题1:满足什么条件的数列是等差数列？如何确定一个等差数列？

（同学口述，并投影）：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前

一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

要想确定一个等差数列，只要知道它的首项al和公差d。

已知等差数列的首项al和d,那么等差数列的通项公式为：（板书）

an=al+（n-l）do

师：事实上，等差数列的关键是一个"差"字，即假如一个数列，从

第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就

叫做等差数列。

（第一次类比）类似的，我们提出这样一个问题。

问题2：假如一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的……等

于同一个常数，那么这个数列叫做……数列。

（这里以填空的形式引领同学发挥自己的主意，对于"和‘'与"积"的状

况，可以通过详细的例子予以说明：假如一个数列，从第2项起，每

一项与它的前一项的"和"（或"积"）等于同一个常数的话，这个数列

是一个各项重复浮现的“周期数列"，而与等差数列最相像的是"比"为

同一个常数的状况。而这个数列就是我们今日要讨论的等比数列了。）

2、新课：

1）等比数列的定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一

项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫

做公比。

师：这就牵涉到等比数列的通项公式问题，回忆一下等差数列的通

项公式是怎样得到的？类似于等差数列，要想确定一个等比数列的通

项公式，要知道什么？

师生共同简要回顾等差数列的通项公式推导的办法：累加法和迭代

法。

公式的推导：（师生共同完成）

若设等比数列的公比为q和首项为al,则有：

办法一：（累乘法）

3）等比数列的性质：

下面我们一起来讨论一下等比数列的性质

利用上面的讨论，我们发觉等比数列和等差数列之间似乎有着相像

的地方，这为我们讨论等比数列的性质提供了一条思路：我们可以通

过等差数列的性质，利用类比得到等比数列的性质。

问题4：假如｛an｝是一个等差数列，它有哪些性质？

（按照同学实际状况，可引领同学利用详细例子，寻觅逻辑，如：

3、例题巩固：

例1、一个等比数列的其次项是2,第三项与第四项的和是12,求

它的第八项的值。

答案：1458或128。

例2、正项等比数列｛an｝中，a6-al5+a9-al2=30,则

Iogl5ala2a3...a20=_10.

例3、已知一个等差数列：2,4,6,8,10,12,14,16,……，

2n,……，能否在这个数列中取出一些项组成一个新的数列｛cn｝,使得

｛cn｝是一个公比为2的等比数列，若能请指出｛cn｝中的第k项是等差数

列中的第几项？

（本题为开放题，没有唯一的答案，如对于｛cn｝：2,4,8,16,……，

2n,……,则ck=2k=2x2k-l,所以｛cn｝中的第k项是等差数列中的第2k-l

项。关键是对通项公式的理解）

1、小结：

今日我们主要学习了有关等比数列的概念、通项公式、以及它的性

质，利用今日的学习

我们不仅学到了关于等比数列的有关学问，更重要的是我们学会了

由类比一一猜测一一证实的科学思维的过程。

2、作业：

P129：1,2,3

思量题：在等差数列：2,4,6,8,10,12,14,16,……，2n,.，

中取出一些项:6,12,24,48,……,组成一个新的数列｛cn｝,｛cn｝

是一个公比为2的等比数列，请指出｛cn｝中的第k项是等差数列中的

第几项？

教学设计说明：

1、教学目标和重难点：首先作为等比数列的第一节课，对于等比数

列的概念、通项公式及其性质是同学接下来学习等比数列的基础，是

必需要落实的；第二，数学教学除了要传授学问，更重要的是传授科

学的讨论办法，等比数列是在等差数列之后学习的因此对等比数列的

学习必定要和等差数列结合起来，利用等比数列和等差数列的类比学

习，对培养同学类比一一猜测一一证实的科学讨论办法是有利的。这

也就成了本节课的重点。

2、教学设计过程：本节课主要从以下几个方面绽开：

1）利用复习等差数列的定义，类比得出等比数列的定义；

2）等比数列的通项公式的推导；

3）等比数列的性质；

故意识的引领同学复习等差数列的定义及其通项公式的探求思路，

一方面使同学回顾旧

学问，另一方面使同学利用联想，为类比地探究等比数列的定义、

通项公式奠定基础。

在类比得到等比数列的定义之后，再对几个详细的数列举行鉴别，

旨在遵从"特别一一普通一一特别"的熟悉逻辑，使同学体味观看、类

比、归纳等合情推理办法的应用。培养同学应用学问的能力。

在得到等比数列的定义之后，探究等比数列的通项公式又是一个重

点。这里利用问题3的设计，使同学产生不得不考虑通项公式的心理

倾向，造成同学认知上的矛盾，从而使同学主动完成对学问的接受。

利用等差数列和等比数列的通项公式的比较使同学初步体味到等差

和等比的相像性，为下面类比学习等比数列的性质，做好铺垫。

等比性质的讨论是本节课的高峰，利用类比

关于例题设计：重学问的应用，具有开放性，为使同学更好的把握

本节课的内容。

高中数学教案设计范例篇八

一、复习内容

平面对量的概念及运算法则

二、复习重点

向量的概念及运算法则的运用及其用向量学问，实现几何与代数之

间的等价转化。

三、详细教学过程

1、同学预备课前预习回家做作业。其详细步骤是：相应学问的系统

梳理；典型例题的摘录;搜集平常作业,测验作业中存在的典型错误；

提出针性训练的练习题；预备思量题，以及家庭作业。同学的预备可

以从中挑选一项，学有余力的学生可以多选。

2、同学可以分为出题组、答题组和归纳组（每组3〜4人），三个小

组又可构成一个大的探索组，各小组的角色在其过程中可以互换；老

师从旁引领，控制教学节奏，并有机、适时地对有争议的问题或引起

认知矛盾的部分作相应的释疑，最后选出具有代表性的题目和表述最

完整的归纳出示给同学。

出题组：在老师的引领下，确立出题意图后，可以自编或在课本、

资料中寻觅适当的例题。

答题组：快速给出题目答案或解题思路步骤（由同学自己讲解），同

时确立该题所考察的学问点和办法，并相互研究解题过程中的易错点

和简单忽略的问题。

归纳组：对比相应的问题，归纳出解决问题的关键和办法及其需要

注重的事项。并以书面的形式给出，可充分通过投影的方式出示给同

学。

3、教学中老师按上述环节挨次，让每一环节预备相同内容，同学自

己挑选一人担任主讲，其余学生组成评议组，主讲讲解完后，由评议

组补充、完美或评价、矫正……。

4、老师控制教学节奏，并有机、适时地对有争议的问题或引起认知

矛盾的部分作相应的释疑。

5、在同学自己完成这一复习环节后，师生共同完成老师的精选题例

题的讲解，同样采纳引发研究式，尽可能地让同学自己完成问题的解

答。

6、课尾老师举行点评、归纳、小结（由同学自己完成），并评比本

课"主讲明星"与"评议"。

四、案例分析及其反思

1、让同学走上讲台，既为同学提供出示才华的舞台，满足其表现欲，

试试胜利感，又让同学亲历学问把握的构建过程。

2、因为要自己完成课前的预备作业和讲解内容，迫使同学举行章节

的全面复习，对学问举行系统收拾，这一复习环节，却真正达到了同

学自觉地学习，使同学由被动学习转化为主动学习，提升学习效率。

3、组织这样的课堂教学流程，培养了同学口才、组织能力、规律思

维能力、应变能力、心理承受能力等等，促使同学的共性达到良性的

进展。

4、因为转变了课堂的传统座位排法，同学得到了相互协助的机会,

学习较差的同学能直接得到学有余力的学生的协助和指导，更简单把

握和理解所学的学问，调动爱好，提升了学习能力。互帮互学为同学

营造了一个轻松、开心的学习氛围。打破老师出题，同学解答的单调

教学模式。利用同学自己变式，充分体现同学的主体性，使他们对一

类问题有根本性地把握，起到以点带面的效果。利用以组题的形式让

同学利用有目的的联想，探究习题之间的内在联系，明确问题产生的

背景，领悟问题的实质，进而找到相应的解题策略，培养同学的思维

的灵便性和广大性，进一步完美、深入同学的认知结构。

5、教学模式恰当，引人入胜

"探索研究式”是一种常用的教学办法。然而，本课探究“向量的应用"

却颇有难度，尤其是几何与代数之间的问题转化。为了突破这一难点,

首先复习旧学问，准备铺垫，接着设计容易的几何图形中的代数求值

问题。老师在思想办法上的点拔，思维层次上的递进，让同学共享自

己成绩的乐趣，体现了〃同学是数学学习的仆人，老师是数学学习的

组织者、引导者与合。”的教学理念。囱冏教学设计，思路清晰，层

次转换自然，点拨准时，自然流畅，引人入胜。

6、体现先进理念，合作探究

建构主义认为：同学的学习不是被动的接受，而是一种主动的学习，

一种学问的重组或重新建构的过程。因此，学习方式的改变，对同学

的学习至关重要，也是二期课改成败的要害。本课注意同学学习方式

的改变，教者适时点拨，发觉问题，培养探究精神。从轻易混淆的性

质入手，让同学发觉问题，浮现迷惑，接着，对向量平行充要条件的

讨论，培养了同学思维的深刻性，利用概念的辨析，使同学对向量有

了更深的理解，此时推出综合应用题，过渡自然，符合认知逻辑。学

生探索，思维得到进一步的升华，攻克难点，培养了合作精神。利用

出示讨论成绩，让同学感到兴趣盎然而布满探究求知的愿望，同学的

主体地位得到了淋漓尽致的发挥。体悟胜利的喜悦，共享欢乐，提升

了学习的乐观性。

熟知，课堂教学"以老师为主导，以同学为主体”这句话好说难做。

如何落在实处，本课做了有益的试试。案例的设计，具有时代气息，

以问题为先导，直接引领同学进入思量的境界。教案的设计说明，体

现了教者“以同学进展为本的教学理念〃。

《数学课程标准》指出："老师应激活同学的乐观性，向同学提供充

分从事数学活动的机会，协助他们在自主探究和合作沟通的过程中真

正理解和把握基本的数学学问与技能……这就是一次很好的机会，

老师要鼓舞、引领同学敢于质疑、敢于实践，培养同学主动探索问题

的能力，改变同学学习方式，即变单一的传授方式为同学自主体悟、

探索等学习方式。

复习课上都有一个突出的冲突，那就是时光太紧，既要处理足量的

题目，又要充分出示同学的思维过程，二者似乎是很难兼顾。老师可

采纳"焦点访谈"法较好地解决这个问题，如：例2和例2的变式1的

探索，因题目是"入口宽，上手易〃，但在延续探索的过程中，在两种

办法会得出两个相反的答案这一点上搁浅受阻（这一点被称为"焦点〃,

其余的则被称为"外围"）。这里老师不必在外围处花精力去举行浅表

性的引发诱导，好钢要用在刀刃上，而要在焦点处发动同学探寻突破

口，利用沟通"访谈"，集中同学的才智，让同学的思维在关键处闪光，

能力在要害处增长，弱点在隐蔽处裸露，意志在细微处磨砺。

数学教案篇九

指数与指数募的运算教案

整体设计

教学分析

我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幕的概念和运算性质。

从本节开头我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n

次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。进而推广到有理数指数,

再推广到实数指数，并将事的运算性质由整数指数幕推广到实数指数

事。

教材为了让同学在学习之外就感触到指数函数的实际背景，先给出

两个详细例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题。前一个问题，

既让同学回顾了初中学过的整数指数幕，也让同学感触到其中的函数

模型，并且还有思想教导价值。后一个问题让同学体味其中的函数模

型的同时，激活同学探索分数指数幕、无理数指数幕的爱好与欲望,

为新学问的学习作了铺垫。

本节支配的内容蕴涵了许多重要的数学思想办法，如推广的思想（指

数幕运算律的推广）、类比的思想、靠近的思想（有理数指数幕靠近

无理数指数幕）、数形结合的思想（用指数函数的图象讨论指数函数

的性质）等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价

值。

按照本节内容的特点，教学中要注重发挥信息技术的力气，尽量通

过计算器和计算机创设教学情境，为同学的数学探索与数学思维提供

支持。

三维目标

1、利用与初中所学的学问举行类比，理解分数指数基的概念，进而

学习指数幕的性质。把握分数指数幕和根式之间的互化，把握分数指

数累的运算性质。培养同学观看分析、抽象类比的能力。

2、把握根式与分数指数幕的互化，渗透"转化”的数学思想。利用运

算训练，养成同学严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让同学了解数学

来自生活，数学又服务于生活的哲理。

3、能娴熟地运用有理指数幕运算性质举行化简、求值，培养同学严

谨的思维和科学正确的计算能力。

4、利用训练及点评，让同学更能娴熟把握指数幕的运算性质。出示

函数图象，让同学利用观看，进而讨论指数函数的性质，让同学体悟

数学的简洁美和统一美。

重点难点

教学重点

（1）分数指数幕和根式概念的理解。

（2）把握并运用分数指数基的运算性质。

（3）运用有理指数幕的性质举行化简、求值。

教学难点

(1)分数指数幕及根式概念的理解。

(2)有理指数幕性质的灵便应用。

课时支配

3课时

教学过程

第1课时

：路致芳

导入新课

思路1.学生们在预习的过程中能否知道考古学家如何推断生物的进

展与进化，又怎样推断它们所处的年月？(考古学家是利用对生物化

石的讨论来推断生物的进展与进化的，其次个问题我们不太清晰)考

古学家是根据这样一条逻辑推想生物所处的年月的。老师板书本节课

题：指数函数一一指数与指数幕的运算。

思路2.学生们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四

次方根、五次方根...n次方根呢？答案是绝对的，这就是我们本堂课

讨论的课题：指数函数一一指数与指数幕的运算。

推动新课

新知探索

提出问题

(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方

根呢？

(2)如x4=a,x5=a,x6=a,按照上面的结论我们又能得到什么呢?

（3）按照上面的结论我们能得到普通性的结论吗？

（4）可否用一个式子表述呢？

活动：老师提醒，引领同学回忆初中的时候已经学过的平方根、立

方根是如何定义的，对比类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,

对问题（2）的结论举行引申、推广，互相沟通研究后回答，老师准时引

发同学，详细问题普通化，归纳类比出n次方根的概念，评价同学的

思维。

研究结果：（1）若x2=a,则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两

个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2,负数没有平方根，同理，

若x3=a,则x叫做a的立方根，一个数的立方根惟独一个，如：-8

的立方根为-2.

（2）类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a,则这

个数叫a的四次方根。一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次

方根。一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根。

（3）类比⑵得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根。

（4）用一个式子表述是，若xn=a,则x叫a的n次方根。

老师板书n次方根的意义：

普通地，假如xn=a,那么x叫做a的n次方根（nthroot）,其中nl

且应正整数集。

可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。

提出问题

（1）你能按照n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？（多媒体

显示以下题目)。

①4的平方根；@±8的立方根；(3)16的4次方根；032的5次

方根；⑤-32的5次方根；⑥。的7次方根；⑦a6的立方根。

(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分离对应

的方根的指数是什么数，有什么特点？4,±8,16,-32,32,0,a6

分离对应什么性质的数，有什么特点？

(3)问题⑵中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还

有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结普通逻辑呢？

(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢？

活动：老师提醒同学切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次

方根，就是求出的那个数的n次方等于a,准时点拨同学，从数的分

类考虑，可以把详细的数写出来，观看数的特点，对问题⑵中的结

论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的同学准时表扬，对回

答不精确的同学提醒引领考虑问题的思路。

研究结果：⑴由于±2的平方等于4,±2的立方等于士8,±2的4次方

等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,

a2的立方等于a6,所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，

32的5次方根，-32的5次方根，。的7次方根，a6的立方根分离是

±2,±2,±2,2,-2,S.20,a2.

(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数。总的来看，这

些数包括正数，负数和零。

(3)一个数a的奇次方根惟独一个，一个正数a的偶次方根有两个，

是互为相反数。0的任何次方根都是0.

(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就

不存在，由于没有一个数的偶次方是一个负数。

类比前面的平方根、立方根，结合刚才的研究，归纳出普通情形，

得到n次方根的性质：

①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的

n次方根用na表示，假如是负数，负的n次方根用-na表示，正的n

次方根与负的n次方根合并写成士na(aO)。

②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一

个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零。

上面的文字语言可用下面的式子表示：

a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个为na,n为偶数，a

的n次方根有两个为士na.

a为负数：n为奇数，a的n次方根惟独一个为na,n为偶数，

a的n次方根不存在。

零的n次方根为零，记为n0=0.

可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例。

思量

按照n次方根的性质能否举例说明上述几种状况？

活动：老师提醒同学对方根的性质要分类把握，即正数的奇偶次方

根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡察

同学，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，

看是否故意义，注重观看方根的形式，准时订正同学在举例过程中的

问题。

解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5

次方根为5-27,而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根,

它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称一一根式。

根式的概念：

式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数。

如3-27中，3叫根指数，-27叫被开方数。

思量

nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立吗？假如不一定成立，

那么nan等于什么？

活动：老师让同学注重研究n为奇偶数和a的符号，充分让同学多

举实例，分组研究。老师点拨，注重归纳收拾。

（如3（-3）3=3-27=-3,4（-8）4=|-81=8）。

解答：按照n次方根的意义，可得：（na）n=a.

利用探索得到：n为奇数，nan=a.

n为偶数，nan=|a|=a,-a,a>0,aO.

因此我们得到n次方根的运算性质：

①（na）n=a.先开方，再乘方（同次），结果为被开方数。

②n为奇数，nan=a.先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数。

n为偶数，nan=|a|=a,-a,a>0,aO.先偶次乘方,再开方（同次），

结果为被开方数的肯定值。

应用示例

思路1

例求下列各式的值：

(l)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-n)4;(4)(a-b)2(ab)o

活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是

什么，都用到哪些学问，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题

目认真分析。观看同学的解题状况，让同学出示结果，抓住同学在解

题过程中浮现的问题并对症下药。求下列各式的值实际上是求数的方

根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清晰运算挨次，目的是把被

开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，假如是奇数，无

需考虑符号，假如是偶数，开方的结果必需是非负数。

W：(1)3(-8)3=-8;

(2)(-10)2=10;

(3)4(3-71)4=兀-3;

(4)(a-b)2=a-b(ab)o

点评：不注重n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题浮现

的一个重要缘由，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用。

变式训练

求出下列各式的值：

(1)7(-2)7;

(2)3(3a-3)3(a<l)；

(3)4(3a-3)4.

解：⑴7(-2)7=-2,

(2)3(3a-3)3(a<l)=3a-3,

(3)4(3a-3)4=

点评：本题易错的是第⑶题，往往忽略a与1大小的研究，造成错

解。

思路2

例1下列各式中正确的是()

A.4a4=a

B.6(-2)2=3-2

C.aO=l

D.10(2-l)5=2-l

活动：老师提醒，这是一道挑选题，本题考查n次方根的运算性质，

应首先考虑按照方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又

要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体味方根运算的实质，同学先

思量哪些地方简单出错，再回答。

解析：(l)4a4=a,考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写

nan=|a|,故A项错。

(2)6(-2)2=3-2,本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，按照运

算挨次也应如此，结论为6(-2)2=32,故B项错。

⑶aO=l是有条件的，即awO,故C项也错。

(4)D项是一个正数的偶次方根，按照运算挨次也应如此，故D项正

确。所以答案选D.

答案：D

点评：本题因为考查n次方根的运算性质与运算挨次，有时极易选

错，选四个答案的状况都会有，因此解题时千万要精心。

例23+22+3-22=.

活动：让学生们乐观思量，沟通研究，本题乍一看内容与本节无关，

但认真一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，

去掉一层根号，按照方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号

下面的式子化成一个彻低平方式就更为关键了，从何处入手？需通过

和的平方公式与差的平方公式化为彻低平方式。正确分析题意是关键,

老师提醒，引领同学解题的思路。

解析：由于3+22=1+22+⑵2=(1+2)2=2+1,

3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1,

所以3+22+3-22=22.

答案：22

点评：不难看出3-22与3+22形式上有的特点，即是对称根式，是

A±2B形式的式子，我们总能找到方法把其化成一个彻低平方式。

思量

上面的例2还有别的解法吗？

活动：老师引领，去根号经常通过彻低平方公式，有时平方差公式

也可，学生们观看两个式子的特点，具有对称性,再考虑并沟通研究，

一个是"+〃，一个是去掉一层根号后，相加正巧抵消。同时借助

平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平

方即可，探讨得另一种解法。

另解：通过整体思想,x=3+22+3-22,

两边平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8,所以

x=22.

点评：对双重二次根式，特殊是A±2B形式的式子，我们总能找到

方法将根号下面的式子化成一个彻低平方式，问题迎刃而解，另外对

A+2B±A-2B的式子，我们可以把它们看成一个整体通过彻低平方公式

和平方差公式去解。

变式训练

若a2-2a+l=a-l,求a的取值范围。

解：由于a2-2a+l=a-l.,而a2-2a+l=(a-l)2=|a-l|=a-l,

即a-l>0,

所以a>l.

点评：通过方根的运算性质转化为去肯定值符号，是解题的关键。

知能训练

(老师用多媒体显示在屏幕上)

1、以下说法正确的是()

A.正数的n次方根是一个正数

B.负数的n次方根是一个负数

C.0的n次方根是零

D.a的n次方根用na表示(以上nl且n团正整数集)

答案：c

2、化简下列各式：

(1)664;(2)4(-3)2;⑶4x8;⑷6x6y3;⑸(x-y)2.

答案：(l)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。

3、计算7+40+7-40=.

解析：7+40+7-40

=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

=(5+2)2+(5-2)2

=5+2+5-2

=25.

答案:25

拓展提高

问题：nan=a与(间11=2(111,n团N)哪一个是恒等式,为什么？请举例

说明。

活动：组织同学结合前面的例题及其解答，举行分析研究，解决这

一问题要紧扣n次方根的定义。

利用归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数

时研究一下。再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时研究一下，就

可得到相应的结论。

解：

(l)(na)n=a(nl,n0N)o

假如xn=a(nl,且n回N)故意义，则无论n是奇数或偶数，x=na一定

是它的一个n次方根，所以(na)n=a恒成立。

例如:(43)4=3,(3-5)3=-5.

(2)nan=a,|a|,当n为奇数，当n为偶数。

当n为奇数时，a回R,nan=a恒成立。

例如：525=2,5(-2)5=-2.

当n为偶数时，a回R,an>0,nan表示正的n次方根或0,所以假如

a>0,那么nan=a.例如434=3,40=0;假如a0,那么nan=|a|=-a,如

(-3)2=32=3,

即(na)n=a(nl,n团N)是恒等式，nan=a(nl,n团N)是有条件的。

点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解。

课堂小结

同学认真沟通研究后，在笔记上写出本节课的学习心得，老师用多

媒体显示在屏幕上。

1>假如xn=a,那么x叫a的n次方根，其中nl且n团正整数集。用

式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数。

(1)当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n

次方根用na表示，假如是负数，负的n次方根用-na表示，正的n

次方根与负的n次方根合并写成士na(aO)。

(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一

个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

(3)负数没有偶次方根。0的任何次方根都是零。

2、把握两个公式：n为奇数时，(na)n=a,n为偶数时，nan=|a|=a,

-a,a>0,a0.

作业

课本习题2.1A组1.

补充作业：

1、化简下列各式：

⑴681;⑵15-32;⑶6a2b4.

解：⑴681=634=332=39;

(2)15-32=-1525=-32;

⑶6a2b4=6(|a|?b2)2=3|a|?b2.

2、若5a8,则式子(a-5)2-(a-8)2的值为.p=

解析:由于5a8,所以(a-5)2-(a-8)2=a-5-8+a=2a-13.p=

答案:2a-13

3.5+26+5-26=.

解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑惟独在开方

的前提下才可能解出，由此提醒我们想方法去掉一层根式，

不难看出5+26=(3+2)2=3+2.

同理5-26=(3-2)2=3-2.

所以5+26+5-26=23.

答案:23

设计感想

同学已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推

广，本节课因为方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概

念时，要结合已学内容，列举详细实例，根式na的讲解要分n是奇

数和偶数两种状况来举行，每种状况又分aO,aO,a=0三种状况，并

结合详细例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵便处理

这些题目，协助同学加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学。

第2课时

：郝云静

导入新课

思路1.碳14测年法。本来宇宙射线在大气层中能够产生发射性碳

14,并与氧结合成二氧化碳后进入全部活组织，先为植物汲取，再为

动物汲取，只要植物和动物生存着，它们就会不断地汲取碳14在机

体内保持一定的水平。而当有机体死亡后，即会停止汲取碳14,其

组织内的碳14便以约5730年的半衰期开头衰变并消逝。对于任何

含碳物质只要测定剩下的发射性碳14的含量，便可判断其年月（半

衰期：经过一定的时光，变为本来的一半）。引出本节课题：指数与

指数幕的运算之分数指数累。

思路2.学生们，我们在初中学习了整数指数幕及其运算性质，那么

整数指数幕是否可以推广呢？答案是绝对的。这就是本节的主讲内容,

老师板书本节课题一一指数与指数基的运算之分数指数幕。

推动新课

新知探索

提出问题

（1）整数指数幕的运算性质是什么？

（2）观看以下式子，并总结出逻辑：a0,

①；

②a8=(a4)2=a4=,；

(3)4al2=4(a3)4=a3=；

④2al0=2(a5)2=a5=。

(3)通过⑵的逻辑，你能表示下列式子吗？

,,,(xO,m,n团正整数集，且nl)。

(4)你能用方根的意义来解释⑶的式子吗？

(5)你能推广到普通的情形吗？

活动：同学回顾初中学习的整数指数幕及运算性质，认真观看，特

殊是每题的开头和最后两步的指数之间的关系，老师引领同学体味方

根的意义，用方根的意义加以解释，指点引发同学类比(2)的逻辑表示，

借鉴⑵(3),我们把详细推广到普通，对写正确的学生准时表扬，其

他同学鼓舞提醒。

研究结果：(1)整数指数幕的运算性质：an=a?a?a?...?a,aO=l(a#O)；

00无意义；

a-n=lan(a^O)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

(2)①a2是alO的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是

al2的4次方根;④a5是alO的2次方根。实质上①5a10=,②a8=,

③4a12=,@)2al0=结果的a的指数是2,4,3,5分离写成了105,82,

124,105,形式上变了，本质没变。

按照4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被

根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数惠形式)。

（3）通过⑵的逻辑，453=,375=,5a7=,nxm=。

（4）53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是,xm

的n次方根是。

结果表明方根的结果和分数指数幕是相通的。

（5）假如aO,那么am的n次方根可表示为nam=,即=nam（aO,

m,n团正整数集，nl）o

综上所述，我们得到正数的正分数指数幕的意义，老师板书：

规定：正数的正分数指数幕的意义是=nam（aO,m,n回正整数集，

nl）o

提出问题

（1）负整数指数幕的意义是怎样规定的？

（2）你能得出负分数指数累的意义吗？

（3）你认为应怎样规定零的分数指数幕的意义？

（4）综合上述，如何规定分数指数幕的意义？

（5）分数指数幕的意义中，为什么规定aO,去掉这个规定会产生

什么样的后果？

（6）既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数

指数幕的运算性质是否也适用于有理数指数累呢？

活动：同学回想初中学习的情形，结合自己的学习体味回答，按照

零的整数指数事的意义和负整数指数幕的意义来类比，把正分数指数

事的意义与负分数指数幕的意义融合起来，与整数指数幕的运算性质

类比可得有理数指数幕的运算性质，老师在黑板上板书，同学合作沟

通，以详细的实例说明aO的须要性，老师准时作出评价。

研究结果：⑴负整数指数幕的意义是：a-n=lan（awO）,n团N+。

（2）既然负整数指数幕的意义是这样规定的，类比正数的正分数指

数累的意义可得正数的负分数指数幕的意义。

规定：正数的负分数指数幕的意义是==lnam（aO,m,n0=N+,nl）o

（3）规定：零的分数指数幕的意义是：零的正分数次幕等于零，零

的负分数指数募没故意义。

（4）老师板书分数指数哥的意义。分数指数累的意义就是：

正数的正分数指数幕的意义是=nam（aO,m,成正整数集，nl）,正

数的负分数指数事的意义是==lnam（aO,m,n团正整数集，nl）,零

的正分数次第等于零，零的负分数指数幕没故意义。

（5）若没有aO这个条件会怎样呢？

如=3-1=-1,=6（-1）2=1具有同样意义的两个式子浮现了截然不同的

结果，这只说明分数指数幕在底数小于零时是无意义的。因此在把根

式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无aO的条件，比如式

子3a2=,同时负数开奇次方是故意义的，负数开奇次方时，应把负

号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幕，也就是说，负分

数指数幕在故意义的状况下总表示正数，而不是负数，负数只是浮现

在指数上。

（6）规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到

了有理数指数。

有理数指数幕的运算性质：对随意的有理数r,s,均有下面的运算

性质：

①ar?as=ar+s(aO,r,s国Q),

(2)(ar)s=ars(aO,r,s团Q),

(3)(a?b)r=arbr(a0,bO,也Q)。

我们通过分数指数幕的意义和有理数指数幕的运算性质可以解决一

些问题，来看下面的例题。

应用示例

例1求值：⑴;(2)；(3)12-5;(4)o

活动：老师引领同学考虑解题的办法，通过幕的运算性质计算出数

值或化成最简根式,按照题目要求，把底数写成幕的形式,8