四川省成都市2024-2025学年高三数学下学期第五次质量检测理试题

四川省成都市2024-2025学年高三数学下学期第五次质量检测（理）试题一单项选择题（每题5分，共12道小题，共计60分）1.若z=1+i，则(z+z̅)/z的虚部是（）A.-1 B.1 C.-i D.i2.已知集合A={x∣x^2-4⩽0}，B={x∣√x<2，x∈Z}，则A∩B=（）A.{0，1，2} B.(0，2) C.[0，2) D.{0，1}3.某地区2024年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温柔最低气温，得到如下图表：依据图表推断，以下结论正确的是（）A.8月每天最高气温的极差小于15℃B.8月每天最高气温的中位数高于40℃C.8月前15天每天最高温的方差大于后16天每天最高温的方差D.8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差4.已知拋物线〖C：y〗^2=2x的焦点是F，若点P是C上一点且横坐标为4，则|PF|的值是（）A.2 B.4 C.9/2 D.55.已知(1/√x-x/2)^n的绽开式中存在常数项，则n的可能取值为（）A.4 B.5 C.6 D.86.若直线y=kx+1为曲线y=lnx的一条切线，则实数k的值是（）A.e B.e^2C.1/e D.1/e^27.已知sinβ+cosβ=1/5，β∈(0，π)，则tanβ的值为（）A.3/4 B.4/3C.-4/3 D.-3/48.银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，遗忘了密码的最终1位数字，假如记得密码的最终1位是偶数，不超过2次就按对的概率是（）A.1/4 B.2/5 C.3/5 D.1/39.双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0，b>0)的一个焦点为F，以F为圆心，√(a^2+b^2)为半径的圆与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点(异于原点O)，若四边形OAFB为菱形，则双曲线C的离心率等于（）A.√2 B.2C.√3 D.(2√3)/310.《九章算术》中关于“刍童”(上、下底面均为矩形的棱台)体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有“刍童”ABCD-EFGH，其上、下底面均为正方形，若EF=2AB=8，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为3√2，则该“刍童”的体积为（）A.224 B.448C.224/3D.14711.已知定义在R上的函数f(x)满意f(x)=2-f(-x)，且函数f(x+1)是偶函数，当x∈[-1，0]时，f(x)〖=1-x〗^2，则f(2024/5)=（）A.9/25 B.16/25C.34/25 D.41/2512.若两个正实数x，y满意x(1+lnx)=ye^(y-1)，给出下列不等式：①y<x<1；②1<x<y；③1<y<x；④y<1<x.其中可能成立的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3二填空题（每题5分，共4道小题，共计20分）13.13.在边长为2的正△ABC中，(AC)⃗在(AB)⃗方向上的投影是____________．14.写出访“函数f(x)=cos(2x+φ)为奇函数”的φ的一个取值____________．15.已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为____________．16.在△ABC中，BC=2，AB=2AC，D为BC的中点，则tan∠ADC的最大值为____________．三解答题（共6道小题，共计70分，写清晰必要演算步骤和解题过程）17.（本题满分12分）数列{a_n}的前n项和为S_n满意S_n=-3/2a_(n+1)+3/2，已知a_1=1.（Ⅰ）求a_n；（Ⅱ）在①b_n=a_n+2〖log〗_(1/3)a_n+1；②b_n=a_n^2+n+1这两个条件中任选一个作为条件，求数列{b_n}的前n项和T_n．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.（本题满分12分）强基安排校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲高校，每门科目通过的概率均为1/2；该考生报考乙高校，每门科目通过的概率依次为1/6，2/3，m，其中0<m<1.（Ⅰ）若m=2/3，分别求出该考生报考甲、乙两所高校在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（Ⅱ）强基安排规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙高校的笔试时，求m的取值范围．19.（本题满分12分）如图，在斜三棱柱〖ABC-A〗_1B_1C_1中，AB⊥AC，AB=AC，侧面〖BB〗_1C_1C为菱形，且∠B_1B〖C=60〗^∘，点D为棱A_1A的中点，〖DB〗_1=DC，平面B_1DC⊥平面〖BB〗_1C_1C.设平面B_1DC与平面ABC的交线为l.（Ⅰ）求证：l⊥平面〖BB〗_1C_1C；（Ⅱ）求二面角〖C-B〗_1D-B的余弦值．20.（本题满分12分）已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点F(-1，0)，点P(√6/2，1/2)在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点F的直线l与C交于A，B两点，过点F与l垂直的直线与C交于M，N两点，求(AM)⃗∙(BN)⃗的取值范围．21.（本题满分12分）已知函数f(x)=ae^x-x+lna-2.（Ⅰ）若x=0是f(x)的一个极值点，求f(x)的最小值；（Ⅱ）若函数g(x)=f(x)+x-ln(x+2)有两个零点，求a的取值范围．选做题（22题，23题，选做一题，多做或做错依据第一题计分）22.（本题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{├■(x=√3cosα，@y=sinα)┤(α┤为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ-π/6)-√3m=0.（Ⅰ）写出l的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P(0，2m)，若l与C交于A，B两点，且|PA|PB|=3/2，求m的值．23.（本题满分10分）已知函数f(x)=|x+2|+|x-m|.（Ⅰ）若对∀x∈R，f(x)⩾3恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若f(x)的最小值为5，且正数a，b，c满意a+3b+4c=m.求证〖：a〗^2+〖2ab+5b〗^2+c^2⩾1/2.参考答案及解析1.【答案】A【解析】略2.【答案】A【解析】∵集合A={x|x^2≤4，x∈R}={x|-2≤x≤2}，B={x|√x<2，x∈Z}={0，1，2，3}，∴A∩B={0，1，2}.3.【答案】D【解析】对于B，8月每天最高气温不低于40℃的数据有7个，其它都低于40℃，把31个数据由小到大排列，中位数必小于40，因此8月每天最高气温的中位数低于40℃，故B错误；对于C，8月前半月每天最高气温的数据极差小，波动较小，后半月每天最高气温的极差大，数据波动很大，因此8月前半月每天最高气温的方差小于后半月最高气温的方差，故C错误；对于D，8月每天最高气温的数据极差大，每天最低气温的数据极差较小，每天最高气温的数据波动也比每天最低气温的数据波动大，因此8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差，故D正确.4.【答案】C 【解析】由抛物线〖C：y〗^2=2x，可知2p=2，则p=1，又点P是C上一点且横坐标为4，所以x_P=4，所以依据抛物线定义，可得〖|PF|=x〗_P+p/2=4+1/2=9/2.5.【答案】C【解析】略6.【答案】D【解析】略7.【答案】C【解析】 ∵sinβ+cosβ=1/5，①∴两边平方可得：〖sin〗^2β〖+cos〗^2β+2sinβcosβ=1/25，可得：1+sin2β=1/25，∴sin2β=-24/25，又0<β<π，∴sinβ>0，cosβ<0，∴〖(sinβ-cosβ)〗^2=1-sin2β=49/25，∴sinβ-cosβ=7/5，②由①②得：sinβ=4/5，cosβ=-3/5.∴tanβ=-4/3.8.【答案】B【解析】记得密码的最终1位是偶数，不超过2次就按对的概率：P=1/5+4/5×1/4=2/5.9.【答案】B【解析】略10.【答案】B【解析】略11.【答案】C【解析】略12.【答案】C【解析】因为〖ye〗^(y-1)=x(1+lnx)，所以〖ye〗^(y-1)=(1+lnx)e^((1+lnx-1))，因为y>0，所以〖ye〗^(y-1)>0，则1+lnx>0，令f(y)〖=ye〗^(y-1)，y∈(0，+∞)，则f'(y)=(y+1)e^(y-1)>0，所以f(y)〖=ye〗^(y-1)在(0，+∞)上单调递增，由f(y)=f(1+lnx)，可得y=1+lnx，令g(y)=lny+1-y，则g'(y)=1/y-1=(1-y)/y，所以当0<y<1时g'(y)>0，当y>1时g'(y)<0，所以g(y)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以g〖(y)〗_max=g(1)=0，则g(y)=lny+1-y≤0，即lny+1≤y当且仅当y=1时取等号，即1+lnx≤x当且仅当x=1时取等号，又y=1+lnx，所以y≤x，当且仅当y=x=1时取等号，当x≠1时1<y<x或y<x<1，结合x=lny+1与y=x的图象也可得1<y<x或y<x<1.13.【答案】1【解析】略14.【答案】φ=kπ+π/2(k∈Z)，【解析】∵函数f(x)=cos(2x+φ)是奇函数，∴φ=kπ+π/2，k∈Z，15.【答案】10π【解析】略16.【答案】4/3【解析】以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(-1，0)，C(1，0)，设A(x，y)，由AB=2AC，得√(〖(x+1)〗^2+y^2)=2√(〖(x-1)〗^2+y^2)，整理得x^2+y^2-10/3x+1=0，∴〖(x-5/3)〗^2+y^2=16/9，∴点A的轨迹方程为〖(x-5/3)〗^2+y^2=16/9(x≠0)，当AD与圆〖(x-5/3)〗^2+y^2=16/9(x≠0)相切时，∠ADC最大，记圆心为M，此时AD=1，AM=4/3，∴tan∠ADC=AM/AD=4/3.17.【解析】（Ⅰ）因为S_n=-3/2a_(n+1)+3/2，①所以当n⩾2时，S_(n-1)=-3/2a_n+3/2，②由①，②相减得〖：a〗_n=-3/2a_(n+1)+3/2a_n，即a_(n+1)=1/3a_n，在S_n=-3/2a_(n+1)+3/2中令n=1得，S_1=-3/2a_2+3/2，即a_2=1/3，所以数列{a_n}是以a_1=1为首项，公比为1/3的等比数列，所以a_n=(1/3)^(n-1)；（Ⅱ）若选①．因为b_n=a_n+2〖log〗_(1/3)a_n+1=(1/3)^(n-1)+2〖log〗_(1/3)(1/3)^(n-1)+1=(1/3)^(n-1)+2n-1所以T_n=(1-(1/3)^n)/(1-1/3)+(n(1+2n-1))/2=3/2(1-1/3^n)〖+n〗^2若选②b_n=a_n^2+n+1=(1/3)^(2n-2)+n+1=(1/9)^(n-1)+n+1所以T_n=(1-(1/9)^n)/(1-1/9)+(n(2+n+1))/2=9/8(1-1/3^n)+1/2(n^2+3n).18.【解析】（Ⅰ）设“该考生报考甲高校恰好通过一门笔试科目”为事务A，"该考生报考乙高校恰好通过一门笔试科目”为事务B，依据题意得：P(A)〖=C〗_3^1(1/2)^1(1/2)^2=3/8P(B)=1/6×(1/3)^2+5/6×2/3×1/3×2=7/18；（Ⅱ）设该考生报考甲高校通过的科目数为X，报考乙高校通过的科目数为Y，依据题意可知，X~B(3，1/2)，所以，E(X)=3×1/2=3/2，P(Y=0)=5/6×1/3(1-m)=5/18(1-m)，P(Y=1)=1/6×1/3(1-m)+5/6×2/3(1-m)+5/6×1/3m=11/18-1/3m，P(Y=2)=1/6×2/3(1-m)+1/6×1/3m+5/6×2/3m=1/9+1/2m，P(Y)=3=1/6×2/3m=1/9m.则随机变量Y的分布列为：E(Y)=11/18-1/3m+2/9+m+1/3m=5/6+m，若该考生更希望通过乙高校的笔试时，有E(Y)>E(X)，所以5/6+m>3/2，又因为0<m<1，所以2/3<m<1，所以m的取值范围是(2/3，1).19.【解析】证明（Ⅰ）分别延长B_1D，BA，设BA∩B_1D=E，连接CE，则CE即为平面B_1CD与平面ABC的交线l，因为〖DB〗_1=DC，取B_1C中点F，连接DF，所以DF⊥B_1C，DF⊂平面B_1CD，因为平面B_1CD⊥平面〖BB〗_1C_1C，且交线为B_1C，所以DF⊥平面〖BB〗_1C_1C，因为D为棱A_1A的中点，A_1B_1//AB，所以D为B_1E的中点，所以l//DF，所以l⊥平面〖BB〗_1C_1C；（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知BA=AE，因为∠BA〖C=90〗^∘，AB=AC，所以∠BC〖E=90〗^∘，在平面〖BB〗_1C_1C内过点C作GC⊥BC，垂足为G，则GC⊥平面BCE，分别以CB，CE，CG所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BC=2，则B_1(1，0，√3)，E(0，2，0)，B(2，0，0)，则(〖CB〗_1)⃗=(1，0，√3)，(CE)⃗=(0，2，0)，(BE)⃗=(-2，2，0)，(〖BB〗_1)⃗=(-1，0，√3)，设平面B_1DC的法向量为m=(x，y，z)，则{├■(x+√3z=0@2y=0)┤┤，取m=(√3，0，-1)，设平面B_1DB的法向量为n=(x，y，z)，则{├■(-x+y=0@-x+√3z=0)┤┤，取n=(√3，√3，1)，所以cos⟨m，n⟩=(√3∙√3-1)/(2∙√7)=√7/7，即二面角〖C-B〗_1D-B的余弦值为√7/7.方法二：连接BF，因为四边形〖BB〗_1C_1C为菱形，且∠B_1B〖C=60〗^∘，所以BF⊥B_1C，BF⊂平面B_1CB，因为平面B_1CD⊥平面〖BB〗_1C_1C，且交线为B_1C，所以BF⊥平面B_1CD，过点F作FG⊥B_1E，连接BG，所以BG⊥B_1E，故∠BGF为二面角〖C-B〗_1D-B的平面角，在Rt△B_1DF中，B_1F=1，DF=1/2CE=1，FG⊥B_1E，所以FG=√2/2，在Rt△BFG中，BF=√3，所以BG=√14/2，所以cos∠BGF=√7/7，即二面角〖C-B〗_1D-B的余弦值为√7/7.20.【解析】（Ⅰ）因为P(√6/2，1/2)在C上，所以3/〖2a〗^2+1/〖4b〗^2=1，因为C的左焦点F(-1，0)，所以a^2-b^2=1，所以a^2=〖2，b〗^2=1，C的方程为x^2/2〖+y〗^2=1；（Ⅱ）（1）当直线l与x轴重合时，点A(-√2，0)，B(√2，0)，M(-1，√2/2)，N(-1，-√2/2)，(AM)⃗=(√2-1，√2/2)，(BN)⃗=(-√2-1，-√2/2)，所以(AM)⃗∙(BN)⃗=-3/2（2）当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my-1，代入x^2/2〖+y〗^2=1消去x得(m^2+2)y^2-2my-1=0，因为直线l与C交于点A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2)，所以y_1y_2=-1/(m^2+2)，因为(AM)⃗∙(BN)⃗=((AF)⃗+(FM)⃗)∙((BF)⃗+(FN)⃗)=(AF)⃗∙(BF)⃗+(FM)⃗∙(FN)⃗，所以(AF)⃗∙(BF)⃗=(x_1+1)(x_2+1)〖+y〗_1y_2=(〖1+m〗^2)y_1y_2=-(m^2+1)/(m^2+2)，①当m≠0时，同理可得(FM)⃗∙(FN)⃗=-((-1/m)^2+1)/((-1/m)^2+2)=-(m^2+1)/(〖2m〗^2+1)，(AM)⃗∙(BN)⃗=-(m^2+1)/(m^2+2)-(m^2+1)/(〖2m〗^2+1)=-(3(m^2+1)^2)/(〖2m〗^4+〖5m〗^2+2)=3/2(1/(〖2m〗^2+2/m^2+5)-1)，因为m^2+1/m^2⩾2，所以(AM)⃗∙(BN)⃗的取值范用是(-3/2，-4/3]，②当m=0时，(AM)⃗∙(BN)⃗=-3/2，综上知(AM)⃗∙(BN)⃗的取值范围是[-3/2，-4/3].21.【解析】（Ⅰ）f^'(x)=ae^x-1，因为x=0是函数f(x)的一个极值点，所以f^'(0)=ae^0-1=a-1=0，得a=1，所以f^'(x)=e^x-1，因此f(x)在(-∞，0)上单减，在(0，+∞)上单增，所以当x=0时，f(x)有最小值f(0)=e^0-2=-1；（Ⅱ）方法一：因为g(x)=ae^x-ln(x+2)+lna-2，所以g^'(x)=ae^x-1/(x+2)，则g^'(x)在(-2，+∞)上单增，记x_1=max{ln1/2a，0}，当ln1/2a>0时，g^'(x_1)=ae^(x_1)-1/(x_1+2)=ae^(1/ln2a)-1/(1/ln2a+2)>ae^(1/ln2a)-1/(0+2)=1/2-1/2=0，当ln1/2a<0时，g^'(x_1)=ae^(x_1)-1/(x_1+2)=ae^0-1/(0+2)>ae^(1/ln2a)-1/(0+2)=1/2-1/2=0，记x_2=min{1/a-2，0}，当1/a-2>0时，g^'(x_2)=ae^(x_2)-1/(x_2+2)=ae^0-1/(0+2)<ae^0-1/(1/a-2+2)=0；当1/a-2<0时，g^'(x_2)=ae^(x_2)-1/(x_2+2)=ae^(1/a-2)-1/(1/a-2+2)<ae^0-1/(1/a-2+2)=0；所以存在唯一的x_0∈(-2，+∞)，使得g^'(x_0)=0，当-2<x<x_0时，g^'(x_0)<0；当x>x_0时，g^'(x_0)>0，所以函数g(x)在(〖-2，x〗_0)上单减，在(x_0，+∞)上单增，若函数g(x)有两个零点，只需g(x_0)<0，即g(x_0)=ae^(x_0)-ln(x_0+2)+lna-2<0，又ae^(x_0)-1/(x_0+2)=0，即a=1/(e^(x_0)(x_0+2))，则x_0+2+2ln(x_0+2)-1/(x_0+2)>0，设h(t)=t+2lnt-1/t，则h(t)为增函数，h(1)=0，所以当t>1时，h(t)⩾0，则x_0+2>1，即x_0>-1，令φ(x)=e^x(x+2)(x>-1)，φ^'(x)=e^x(x+3)>0，则φ(x)在(-1，+∞)上单增，由x_0>-1得φ(x_0)>φ(-1)=1/e，所以a=1/(e^(x_0)(x_0+2))∈(0，e)，所以a的取值范围是(0，e).方法二：若g(x)=f(x)+x-ln(x+2)有两个零点，即e^(x+lna)+x+lna=ln(x+2)+x+2有两个解，即e^(x+lna)+x+lna=ln(x+2)+e^(ln(x+2))有两个解，利用同构式，设函数h(x)=e^x+x，问题等价于方程h(x+lna)=h(ln(x+2))有两个解，h^'(x)=e^x+1>0恒成立，即h(x)=e^x+x单调递增，所以x+lna=ln(x+2)，问题等价于方程x+lna=ln(x+2)有两个解，即ln(x+2)-(x+2)+2-lna=0有两个解，设t=x+2，2-lna=m，即lnt-t+m=0有两个解，令φ(t)=lnt-t+m，问题转化为函数φ(t)有两个零点，因为φ^'(t)=1/t-1，当t∈(0，1)时，φ^'(t)>