初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习专题强化2 不等式恒成立、能成立问题（教师版）

强化专题2不等式恒成立、能成立问题【方法技巧】在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．一、“Δ”法解决恒成立问题(1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))二、数形结合法解决恒成立问题结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．三、分离参数法解决恒成立问题通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．四、主参换位法解决恒成立问题转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．五、利用图象解决能成立问题结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．六、转化为函数的最值解决能成立问题能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围．【题型目录】一、“Δ”法解决恒成立问题二、数形结合法解决恒成立问题三、分离参数法解决恒成立问题四、主参换位法解决恒成立问题五、利用图象解决能成立问题六、转化为函数的最值解决能成立问题【例题详解】一、“Δ”法解决恒成立问题1．不等式的解集为R，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分类讨论和两种情况，结合一元二次不等式的解法求解即可.【详解】当时，原不等式为满足解集为R；当时，根据题意得，且，解得．综上，的取值范围为．故选：B．2．若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】只需要满足条件即可.【详解】由题意，整理可得，，解得.故选：C.3．（多选）不等式对任意的恒成立，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】将原不等式转化为一元二次不等式恒成立问题，根据二次函数的性质求解.【详解】可整理为，根据二次函数的性质有：，故A正确；当时，满足，即原不等式成立，B错误；由，得，所以，C正确；，D正确；故选：ACD．4．若“，”是假命题，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】求出给定命题的否定，再由所得命题为真命题，求解作答.【详解】命题“，”的否定是：，，依题意，命题“，”为真命题，当时，成立，则，当时，不等式恒成立，则，解得，综上得：，所以实数的取值范围是.故答案为：二、数形结合法解决恒成立问题1．（多选）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（

）A．1 B． C．3 D．【答案】AB【分析】求出二次函数的对称轴为，分别对和进行分类讨论，即可得到答案【详解】解：二次函数的对称轴为，①若即，如图，由图像可知当时随的增大而增大，且时，即满足题意；②若时，如图，由图像可知的最小值在对称轴处取得，则时，，解得，此时，，综上，，故选：AB．2．已知不等式的解集，若对任意，不等式恒成立．则的取值范围是__________．【答案】【分析】根据一元二次不等式的解集确定系数，则在上恒成立，利用二次函数的性质有即可求结果.【详解】由题设，且，可得，所以在上恒成立，而在上递增，故只需即可，所以.故答案为：3．当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．【详解】令y＝x2＋mx＋4.∵y<0在[1,2]上恒成立．∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1上，另一个大于2.如图，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＋4<0，,4＋2m＋4<0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋5<0，,2m＋8<0.))∴m的取值范围是{m|m<－5}．三、分离参数法解决恒成立问题1．对任意的，恒成立，则的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最大值，即可得解.【详解】解：因为对任意的，恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，因为，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以.故选：C2．已知命题p：“，”为真命题，则实数a的最大值是___．【答案】【分析】分离参数，将问题转化为，然后利用均值不等式求出最小值即可得答案.【详解】解：由题意，，恒成立，因为，当且仅当时等号成立，所以，即a的最大值是．故答案为：.3．写出使不等式恒成立的一个实数的值__________．【答案】不少于的任意一个实数【分析】对不等式全分离,即恒成立,只需,对二次函数配方即可求得最大值,进而求得结果.【详解】解:因为恒成立,所以,即只需,因为,所以,故只需即可.故答案为:不少于的任意一个实数4．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.【答案】【分析】先求得存在量词命题的否定，然后利用分离常数法，结合二次函数的性质来求得的取值范围.【详解】由题意得，“，”是真命题，则对恒成立，在区间上，的最小值为，所以，即a的取值范围是.故答案为：5．函数，若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为___________．【答案】【分析】由命题“”是假命题，可得其否定为真命题，再分离参数，即可得解.【详解】因为命题“”是假命题，所以命题“”是真命题，即在上恒成立，因为当时，，所以在上恒成立，而，所以，所以实数a的取值范围为.故答案为：.四、主参换位法解决恒成立问题1．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题，即“”为真命题．令，则，即，解得，所以实数x的取值范围为.故选：C2．若不等式对任意成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题得不等式对任意成立，解不等式组即得解.【详解】由题得不等式对任意成立，所以，即，解之得或.故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到“反客为主”，把“”看作自变量，把“”看作参数，问题迎刃而解.3．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B． C．D．【答案】A【分析】令，利用一次函数的单调性分讨论可得答案.【详解】令，对一切均大于0恒成立，所以，或，或，解得或，，或，综上，实数的取值范围是，或.故选：A.五、利用图象解决能成立问题1．命题“”是假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【分析】先写出原命题的否定，然后结合判别式以及对分类讨论来求得的取值范围.【详解】命题“”是假命题，所以“”是真命题，当时，不成立，不符合题意，所以，所以或，所以或.故选：B2．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.【详解】若关于的不等式有解,则，解得.故选：C.3．若命题，是真命题，则实数a的取值范围为______.【答案】【分析】依题意可得二次函数与轴有交点，转化为判别式的关系进行求解.【详解】已知命题，是真命题，则二次函数图像与轴有交点，所以，解得或.所以实数a的取值范围为.故答案为：.4．若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】根据题意可知，需对二次项系数进行分类讨论，并结合判别式的符号做出判断即可求出实数的取值范围【详解】由题意可知，①若，即或，当时，不等式为，显然不成立；当时，不等式为，显然，使成立，即符合题意；②若，即，此时不等式对应的一元二次函数开口向下，满足条件；③若，即或，此时不等式对应的一元二次函数开口向上，若要满足题意，则需方程由两个不相等的实数根，即，解得，即满足条件时；综合①②③可得，实数的取值范围为故答案为：六、转化为函数的最值解决能成立问题1．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.【详解】解：因为命题“，”为真命题，所以，命题“，”为真命题，所以，时，，因为，，所以，当时，，当且仅当时取得等号.所以，时，，即实数的取值范围是故选：C2．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由关于的不等式在区间内有解，可得在区间内有解，从而大于在区间的最小值，结合二次函数的性质即可得出结果．【详解】由关于的不等式在区间内有解，得在区间内有解，从而大于在区间的最小值.令，，函数图像抛物线开口向上，对称轴方程为，则在上单调递减，在是单调递增则，，得，所以实数的取值范围是．故选：C．3．若命题“”为假命题，则实数的取值范围___________．【答案】或【分析】转化为命题“，使得成立”为真命题，利用不等式有解,左边的最小值小于右边