初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习5.1 任意角和弧度制（教师版）

第五章《三角函数》5.1任意角和弧度制【知识梳理】知识点一角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．知识点二弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.(3)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.其中r是半径，α(0<α<2π)为弧所对圆心角．【基础自测】1．判断正误．（1）小于的角都是锐角．()（2）终边与始边重合的角为零角．()（3）大于的角都是钝角．()（4）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是．()【答案】

（1）

×；

（2）×；

（3）×；

（4）×

2．角的弧度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用公式可求角的弧度数.【详解】角对应的弧度数为，故选：B.3．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}【答案】D【详解】终边在坐标轴上的角大小为90°或90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．故选D.4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_______．【答案】{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}【详解】观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．5．已知扇形的圆心角为，且圆心角所对的弦长为，则圆心角所对的弧长为___________，该扇形的面积为___________.【答案】

【分析】由条件求扇形的半径，再由弧长公式和面积公式求扇形的弧长及面积.【详解】由已知可得，，连接圆心与弦的中点，则，，，∴，即扇形的半径为4，∴

圆心角所对的弧长，扇形的面积，故答案为：，.【例题详解】一、任意角的概念例1下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．【答案】②【详解】①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③小于90°的角可以是零角，也可以是负角，故③不正确；④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；⑤0°角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．跟踪训练1经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（

）.A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°【答案】B【分析】根据旋转方向确定角的正负，由旋转的大小确定角的绝对值，即可得解.【详解】钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.故选：B二、终边相同的角及象限角例2(1)将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1020°.【详解】(1)420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．(2)－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．(3)1020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1020°是第四象限角．(2)下列说法中正确的序号有________．①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．【答案】①②③④【分析】根据象限角的表示，分别表示形式，即可得到结论.【详解】由题意，①是第四象限角，是正确的；②是第三象限角，是正确的；③，其中是第二象限角，所以为第二象限角是正确的；④，其中是第一象限角是正确的，所以正确的序号为①②③④【点睛】本题主要考查了象限角的表示及判定，其中解答中熟记象限角的表示，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.(3)在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在轴的非负半轴上；(2)终边在上．【答案】(1)；(2).【分析】(1)在0°～360°内求出终边在轴的非负半轴上的角，再直接写出角的集合.(2)在0°～360°内求出终边在上的角，再直接写出角的集合.【详解】(1)在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个，它是0°，所以终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为.(2)在0°～360°范围内，终边在y=x(x≥0)上的角有一个，它是45°，所以终边在y=x(x≥0)上的角的集合为.跟踪训练2(1)将化为的形式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接由终边相同的角的概念求解即可.【详解】由知.故选：B.(2)下列各角中，与160°角是同一象限角的是（

）A．600° B．520° C．－140° D．－380°【答案】B【分析】由象限角的概念对选项一一判断即可得出答案.【详解】160°角是第二象限角，600°角是第三象限角，520°角是第二象限角，角是第三象限角，角是第四象限角.故选：B.三、区域角的表示例3(1)已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围．【答案】【分析】根据题意先求解终边在30°，角的终边所在直线上的角的集合，再结合图形书写即可.【详解】解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为．(2)终边在第四象限的角的集合是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据任意角的定义即可写出答案.【详解】终边在第四象限的角的集合是或.故选：C.跟踪训练3如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．

【分析】（1）结合图像，先分别表示终边落在两块区域的角的集合，再取并集即可；（2）先写出在的范围内，阴影部分对应的角，再表示即可【详解】（1）这是对顶角区域的表示问题，结合图像终边落在阴影部分的角的集合可表示为：或（2）在的范围内，阴影部分为终边落在阴影部分的角的集合可表示为：四、确定nα及eq\f(α,n)所在的象限例4已知角的终边在第四象限.（1）试分别判断、是哪个象限的角；（2）求的范围.【答案】（1）是第二或第四象限的角，是第三或第四象限或轴的非正半轴的角；（2）（）.【分析】（1）先写出的范围，再求出和的范围，即可求解；（2）由写出的范围，再求出的范围，再判断即可.【详解】是第四象限的角，，，当时，此时是第二象限；当时，此时是第四象限；又此时是第三象限或第四象限或轴的非正半轴；（2）跟踪训练4已知是锐角，那么是（

）．A．第一象限角 B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角【答案】C【分析】由题知，故，进而得答案.【详解】因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角.其中D选项不包括，故错误.故选：C五、弧度制的概念例5下列说法正确的是()A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角【答案】A【详解】对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．跟踪训练5(1)下列说法中，错误的是（

）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．的角是周角的的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关【答案】D【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可.【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确；1rad的角是，故C正确；无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误.故选：D(2)4弧度的角的终边所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据弧度和任意角的定义即可判断.【详解】∵4rad≈rad，∴，故其终边在第三象限.故选：C.六、角度制与弧度制的互化例6将下列角度化为弧度，弧度转化为角度(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【答案】(1)弧度；(2)π弧度；(3)弧度；(4)；(5)；(6)【分析】利用弧度即可得出，即角度化弧度乘以，弧度化角度乘以，需注意单位为度．【详解】(1)解：弧度弧度，(2)解：弧度弧度，(3)解：弧度弧度．(4)解：弧度，(5)解：弧度，(6)解：弧度．跟踪训练6已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．【答案】α<β<γ<θ＝φ.七、与扇形的弧长、面积有关的计算例7已知扇形的圆心角是，半径为.（1）若，求扇形的弧长.（2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）；（2），扇形的面积取得最大值25.【分析】（1）根据弧长公式计算可得；（2）根据扇形的弧长公式和面积公式可以直接求最值．【详解】解：（1），.（2）由已知得，，所以，所以当时，取得最大值25，此时，.【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式，属于中档题．跟踪训练7已知扇形的周长为20cm，面积为cm，求扇形圆心角的大小.【答案】【解析】设圆心角和半径，根据周长和面积建立方程组，即可得解.【详解】扇形的周长为20cm，面积为cm，设扇形圆心角，，半径r，则，解得或8（舍去）所以.【点睛】此题考查扇形的周长和面积公式的辨析应用，关键在于熟练掌握周长和面积公式，建立等量关系求解方程组.【课堂巩固】1．下列说法中，正确的是（

）A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角C．是第二象限的角 D．是终边相同的角【答案】D【分析】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解【详解】对于A：当角为是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误；对于B：分别取第一象限的角为，第二象限角，此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误；对于C：是第三象限的角，故C错误；对于D：因为，所以是终边相同的角，故D正确；故选：D2．若是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角【答案】D【分析】根据题意求出的范围即可判断.【详解】由题意知，，，则，所以，．当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．所以是第二或第四象限角.故选：D.3．已知角与的顶点均在原点，始边均在x轴的非负半轴上，终边相同，且，则__________．（用角度表示）【答案】630°【分析】根据题目条件得到，求出，列出不等式组，求出.【详解】由题意得，，即，而，即，解得：，，所以.故答案为：630°.4．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．【答案】【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.【详解】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积所以莱洛三角形的面积是.故答案为：5．当是锐角时，试判断是哪个象限的角．【答案】第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的角.【分析】根据锐角范围求出2α范围，根据任意角的分类即可判断.【详解】因为为锐角，所以，，为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的角.6．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).【答案】，【分析】先利用弧度制写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角即可.【详解】因为，由图（1）知：以射线为终边的角的集合为，角的终边与即的角的终边相同，以为终边的角为，所以终边落在阴影部分内的角的集合为：.因为，，由图（2）知：以射线为终边的角为，以射线为终边的角为，所以终边在直线上的角为：，同理终边在轴上的角为，所以终边落在阴影部分内的角的集合.7．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角.（1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）的角.【答案】（1）;（2）;（3）【分析】化简得，再令可得;令可得与角终边相同的最小正角;令得,取可得.【详解】因为，所有与终边相同的角可表示为：则，则则，则令得，从而，代入得.【点睛】本题考查终边相同的角.所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：或8．将下列角度与弧度进行互化.(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】对于（1）、（2）根据，可将角度转化为弧度；对于（3）、（4）根据，可将弧度转化为角度.【详解】(1);(2);(3);(4);9．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l，若，R=10，求：（1）扇形的面积；（2）扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.【答案】（1）；（2）扇形弧长，该弧所在弓形的面积.【分析】（1）由扇形面积公式，即可求面积.（2）由扇形弧长公式、弓形的面积扇形面积减去由半径和弦所成三角形的面积，即可求弧长、弓形的面积.【详解】（1）由扇形面积公式，知：.（2）由扇形弧长公式，知：，该弧所在弓形的面积.【课时作业】1．下列与角的终边一定相同的角是（

）A． B．)C．) D．)【答案】C【分析】终边相同角的表示【详解】与角终边相同角可以表示为对A，由找不到整数让，所以A错误对B，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误，C项正确，对D项，当时，角为，当时，角为，得不到角，故D错误，故选：C.2．若={α|，B={第一或第四象限角}，则A、B关系为（

）A．A=B B．AB C．AB D．非A、B、C结论【答案】D【分析】在集合与中举例说明即可判断.【详解】集合中，若，不属于第一或第四象限角，即.集合中，若，是第一象限角，但.综上，集合与没有关系.故选：D3．终边落在轴上的角的集合是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用象限角、周线角的定义依次判断选项即可.【详解】A表示的角的终边在x轴非负半轴上；B表示的角的终边x轴上；C表示的角的终边在y轴上；D表示的角的终边在y轴非负半轴上.故选：C4．将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据任意角的概念计算可得.【详解】解：将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢分钟，转过的角为．故选：C5．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.【详解】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A6．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解．【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得故选：C．7．某圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设圆锥的母线长和底面圆半径，表示出底面圆的周长和面积，计算圆锥的侧面积，由已知写出等式，得到母线长与半径的关系，用圆心角的公式计算即可.【详解】设圆锥的母线长为，底面圆半径为，则底面圆面积为，底面圆周长为；又圆锥的侧面展开图为扇形，其侧面积为；由圆锥的侧面积是底面积的2倍得：，所以所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为，故选：C.8．设圆的半径为，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上）.现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出示意图，分析可知当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次，计算出点每次滚动时点所走过的路程，即可得解.【详解】由图可知，圆的半径为，正方形的边长为，以正方形的边为弦所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次，设第次滚动时，点的路程为，则，，，，因此，点所走过的路程为.故选：B.9．（多选）下列结论中不正确的是（

）A．终边经过点的角的集合是B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角D．，，则【答案】BC【分析】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D．【详解】对于选项A：终边经过点的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是，正确；对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是，错误；对于选项C：若，不是第一象限角，错误；对于选项D：而表示的奇数倍，，而表示的整数倍，所以，正确．故选：BC10．（多选）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角或轴负半轴上【答案】BD【分析】因为是第二象限角，得到，结合选项和角的表示方法，逐项判定，即可求解.【详解】因为是第二象限角，可得,对于A中，可得，此时位于第三象限，所以A错误；对于B中，可得，当为偶数时，位于第一象限；当为奇数时，位于第三象限，所以B正确；对于C中，可得，即，所以位于第一象限，所以C不正确；对于D中，可得，所以位于第三、第四象限角或轴负半轴，所以D正确.故选：BD11．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________.【答案】{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}【分析】写出终边在阴影部分的边缘的角即得解.【详解】解：终边落在阴影部分第二象限最左边的角为,终边落在阴影部分第四象限最左边的角为.所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，