2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第二章第3节 随机事件与概率含答案

2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第二章第三节随机事件与概率课标解读考向预测1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.3.了解随机事件的并、交与互斥的含义，会求随机事件的并、交运算.4.掌握随机事件概率的运算法则，了解两个互斥事件的概率加法公式.5.理解古典概型及其概率计算公式.近几年的高考以考查随机事件的频率与概率、古典概型为主，其中古典概型常与排列组合知识交汇考查．预计2025年高考以上题型均可能出现，其中随机事件的频率与概率的题目以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及古典概型以选择题、填空题的形式出现，难度中档.必备知识——强基础1．样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的eq\x(\s\up1(01))基本结果称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的eq\x(\s\up1(02))子集称为随机事件，简称事件．②表示：大写字母A，B，C，….③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．2．事件的运算定义表示法图示并事件事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)eq\x(\s\up1(03))A∪B(或A＋B)交事件事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)eq\x(\s\up1(04))A∩B(或AB)3．事件的关系定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件Beq\x(\s\up1(05))一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)eq\x(\s\up1(06))B⊇A(或A⊆B)互斥事件如果事件A与事件Beq\x(\s\up1(07))不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)若A∩B＝∅，则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中eq\x(\s\up1(08))有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq\o(A,\s\up8(－))若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立4.概率与频率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用可以用eq\x(\s\up1(09))频率fn(A)来估计概率eq\x(\s\up1(10))P(A)．5．概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝eq\x(\s\up1(11))P(A)＋P(B)；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝eq\x(\s\up1(12))1－P(B)；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1；性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝eq\x(\s\up1(13))P(A)＋P(B)－P(A∩B)．6．古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：样本空间的样本点只有eq\x(\s\up1(14))有限个．(2)等可能性：每个样本点发生的可能性eq\x(\s\up1(15))相等．7．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\x(\s\up1(16))eq\f(k,n)＝eq\f(n（A）,n（Ω）).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．1．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．()(3)从装有3个大球、1个小球的袋中取出一球的试验是古典概型．()(4)若A∪B是必然事件，则事件A与B是对立事件．()(5)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三个结果是等可能事件．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第二册习题10.1T14改编)从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.8答案B解析由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.(2)一个射手进行射击，记事件A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”．则在上述事件中，互斥而不对立的事件是()A．A1与A2 B．A1与A3C．A2与A3 D．以上都不对答案B解析射手进行射击时，事件A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”，事件A1与A2不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件A1与A2互斥且对立，A不正确；事件A1与A3不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件A1与A3互斥不对立，B正确；事件A2与A3可以同时发生，即事件A2与A3不互斥不对立，C不正确，显然D不正确．(3)把语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，则语文书和英语书不相邻的概率为()A．eq\f(1,6) B．1C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)答案C解析根据题意，语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，有Aeq\o\al(4,4)＝24种不同的排法，若语文书和英语书不相邻，其排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12种，则语文书和英语书不相邻的概率P＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).考点探究——提素养考点一随机事件(多考向探究)考向1随机事件的关系及运算例1(1)(2024·广东梅州中学月考)“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，分别为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器．某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑匣子”，事件C为“至多研究一个黑匣子”，事件D为“两个黑匣子都研究”．则()A．A与C是互斥事件B．B与D是对立事件C．B与C是对立事件D．C与D是互斥事件答案D解析事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”；事件B为“至少研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；事件C为“至多研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或“两个黑匣子都不研究”；事件D为“两个黑匣子都研究”，即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”．对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确；对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确；对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确；对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件，故D正确．故选D.(2)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”；F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是()A．C1与C2对立 B．D1与D2不互斥C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)答案BC解析对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故A不正确；对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点数是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故B正确；对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生时F一定发生，所以D3⊆F，故C正确；对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故D不正确．【通性通法】事件关系判断的策略判断事件的互斥、对立关系一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．反之互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生判断事件的交、并关系一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件【巩固迁移】1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是()A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件答案D解析对于A，A∪B与C是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A错误；对于B，B∪C与D是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B错误；对于C，A∪C与B∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A∪C)＋P(B∪D)＝1，故C错误；对于D，A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正确．考向2随机事件的频率与概率例2某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.【通性通法】频率与概率的关系区别频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值联系利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率【巩固迁移】2．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94)[94，98)[98，102)[102，106)[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94)[94，98)[98，102)[102，106)[106，110]频数412423210(1)分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2，t<94，,2，94≤t<102，,4，t≥102，))估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品中每件产品的平均利润．解(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为eq\f(22＋8,100)＝0.3，所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为eq\f(32＋10,100)＝0.42，所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为eq\f(100－4,100)＝0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96.用B配方生产的100件产品中每件产品的平均利润为eq\f(1,100)×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68元．考点二互斥事件与对立事件的概率例3(1)人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的．设X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①X→X；②O→X；③X→AB.已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照上述规则，若受血者为A型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为()A．0.31 B．0.48C．0.65 D．0.69答案D解析若受血者为A型血，则O型血和A型血可以为这位受血者输血，所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为0.41＋0.28＝0.69.(2)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为________，他至多参加2个小组的概率为________．答案eq\f(3,5)eq\f(13,15)解析记“恰好参加2个小组”为事件A，“恰好参加3个小组”为事件B，随机选取一名成员，恰好参加2个小组的概率P(A)＝eq\f(11,60)＋eq\f(7,60)＋eq\f(10,60)＝eq\f(7,15)，恰好参加3个小组的概率P(B)＝eq\f(8,60)＝eq\f(2,15)，则至少参加2个小组的概率为P(A)＋P(B)＝eq\f(7,15)＋eq\f(2,15)＝eq\f(3,5)，至多参加2个小组的概率为1－P(B)＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).【通性通法】求互斥事件概率的一般方法直接法将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算间接法先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up8(－)))求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法比较简便【巩固迁移】3．已知袋子中有10个小球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取出红球为事件A，取出黑球为事件B，随机事件C与B对立．若P(A∪B)＝0.5，则P(C)＝()A．0.3 B．0.6C．0.7 D．0.8答案C解析由题意可知，P(A)＝eq\f(2,10)＝0.2.因为A与B互斥且P(A∪B)＝0.5，所以P(B)＝0.3.又因为随机事件C与B对立，所以P(C)＝1－0.3＝0.7.4．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围为________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))解析由题意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜P（A）＜1，,0＜P（B）＜1，,P（A）＋P（B）≤1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜2－a＜1，,0＜4a－5＜1，,3a－3≤1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＜a＜2，,\f(5,4)＜a＜\f(3,2)，,a≤\f(4,3)，))解得eq\f(5,4)＜a≤eq\f(4,3).故实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3))).考点三古典概型例4(1)(2024·南通质检)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为()A．eq\f(3,56) B．eq\f(3,28)C．eq\f(1,7) D．eq\f(1,5)答案D解析大于3且不超过20的素数为5，7，11，13，17，19，共6个，随机选取2个不同的数，分别为(5，7)，(5，11)，(5，13)，(5，17)，(5，19)，(7，11)，(7，13)，(7，17)，(7，19)，(11，13)，(11，17)，(11，19)，(13，17)，(13，19)，(17，19)，共15种选法，其中恰好是一组孪生素数的有(5，7)，(11，13)，(17，19)，共3种，故随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)已知a，b∈{－2，－1，1，2}，若向量m＝(a，b)，n＝(1，1)，则向量m与n所成的角为锐角的概率是()A．eq\f(3,16) B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,8) D．eq\f(7,16)答案B解析向量m与n所成的角为锐角等价于m·n>0，且m与n的方向不同，即m·n＝(a，b)·(1，1)＝a＋b>0，且a≠b，则满足条件的向量m有(－1，2)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，共4种，又m的取法共有4×4＝16种，则向量m与n所成的角为锐角的概率是eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).(3)已知m，n∈{1，2，3，4}，且m≠n，则方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．答案eq\f(1,2)解析方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m>n>0，有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共6种，在题设条件下，方程有Aeq\o\al(2,4)＝12种，所以所求概率为P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).【通性通法】公式法求解古典概型问题的步骤【巩固迁移】5．将3名男生、1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是()A．eq\f(1,12) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,6)答案D解析分配方案的总数为Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)，恰好一名女生和一名男生分到甲社区的分法有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)种，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是P＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3))＝eq\f(1,6).6．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．答案eq\f(6,35)解析从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝Ceq\o\al(4,8)＝70种取法，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12种取法，故所求概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).7．已知函数y＝x2，集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，现从A中任意取出若干个元素组成函数y＝x2的定义域D，则函数y＝x2的值域为{1，4}的概率为________．答案eq\f(9,127)解析易知集合A的非空子集有27－1＝127个，即样本点的总数为127，记“函数y＝x2的值域为{1，4}”为事件M，“D中含有2个元素且函数y＝x2的值域为{1，4}”为事件M1，“D中含有3个元素且函数y＝x2的值域为{1，4}”为事件M2，“D中含有4个元素且函数y＝x2的值域为{1，4}”为事件M3，易知M1＋M2＋M3＝M，则M1中含有的样本点为(－1，－2)，(－1，2)，(1，－2)，(1，2)，共4个；M2中含有的样本点为(－1，－2，1)，(－1，－2，2)，(－2，1，2)，(－1，1，2)，共4个；M3中含有的样本点为(－2，－1，1，2)，只有1个．所以P(M)＝P(M1＋M2＋M3)＝P(M1)＋P(M2)＋P(M3)＝eq\f(4,127)＋eq\f(4,127)＋eq\f(1,127)＝eq\f(9,127).考点四古典概型与统计的交汇问题例5为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用．为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：新药疲乏症状合计无疲乏症状有疲乏症状未使用新药15025t使用新药xy100合计225m275(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否判断有无疲乏症状与是否使用该新药有关？(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率．附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)由数表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175，零假设为H0：有无疲乏症状与是否使用该新药无关．根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝eq\f(275×（150×25－25×75）2,175×100×225×50)＝eq\f(275,56)≈4.911＞3.841＝x0.05.根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为有无疲乏症状与是否使用该新药有关．(2)从使用新药的100人中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人的抽样比为eq\f(4,100)＝eq\f(1,25)，则抽取有疲乏症状的人数为eq\f(1,25)×25＝1，无疲乏症状的人数为3，记“这2人中恰有1人有疲乏症状”为事件M，于是P(M)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，所以这2人中恰有1人有疲乏症状的概率是eq\f(1,2).【通性通法】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．复杂事件的概率问题可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．【巩固迁移】8．为了调查国企员工对现行个税法的满意程度，研究人员在某地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a＝4b.(1)求a，b的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；(计算结果保留两位小数)(2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从[50，60)，[60，70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，60)的概率．解(1)依题意，得(a＋b＋0.008＋0.027＋0.035)×10＝1，所以a＋b＝0.03，又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006，所以中位数为70＋eq\f(0.5－0.08－0.24,0.035)≈75.14.(2)依题意，知分数在[50，60)的员工抽取了2人，记为a，b，分数在[60，70)的员工抽取了6人，记为1，2，3，4，5，6，所以从这8人中随机抽取2人的所有的情况有(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，5)，(b，6)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共28种，其中满足条件的有(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，5)，(b，6)，共13种，设“至少有1人的分数在[50，60)”为事件A，则P(A)＝eq\f(13,28).课时作业一、单项选择题1．抛掷一枚骰子，记“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或2或3D．A∩B表示向上的点数是1或2或3答案C解析由题意，可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C.2．从装有若干个红球和白球(除颜色外其余均相同)的黑色布袋中随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球．若事件“两个球都是红球”的概率为eq\f(2,15)，“两个球都是白球”的概率为eq\f(1,3)，则“两个球颜色不同”的概率为()A．eq\f(4,15) B．eq\f(7,15)C．eq\f(8,15) D．eq\f(11,15)答案C解析设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则P(A)＝eq\f(2,15)，P(B)＝eq\f(1,3)，且eq\o(C,\s\up8(－))＝A∪B.因为A，B，C两两互斥，所以P(C)＝1－P(eq\o(C,\s\up8(－)))＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－eq\f(2,15)－eq\f(1,3)＝eq\f(8,15).故选C.3．(2023·广东东莞模拟)在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是()A．eq\f(1,21) B．eq\f(2,21)C．eq\f(1,42) D．eq\f(1,7)答案B解析不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17，随机选取两个不同的数有Ceq\o\al(2,7)＝21种，和等于16的有3＋13＝16，5＋11＝16，共2种，所以和等于16的概率是eq\f(2,21).4．《三十六计》是中华民族珍贵的文化遗产之一，是一部传习久远的兵法奇书，与《孙子兵法》合称我国古代兵法谋略学的双璧，三十六计共分胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计、败战计六套，每一套都包含六计，合三十六个计策，如果从这36个计策中任取2个计策，则这2个计策都来自同一套的概率为()A．eq\f(1,21) B．eq\f(1,14)C．eq\f(1,7) D．eq\f(1,42)答案C解析从这36个计策中任取2个计策，基本事件总数n＝Ceq\o\al(2,36)＝630，这2个计策都来自同一套包含的基本事件的个数m＝6Ceq\o\al(2,6)＝90，则这2个计策都来自同一套的概率为P＝eq\f(m,n)＝eq\f(90,630)＝eq\f(1,7).故选C.5．设条件甲：事件A与事件B是对立事件，结论乙：概率满足P(A)＋P(B)＝1，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.但P(A)＋P(B)＝1，A，B不一定是对立事件，如投掷一枚硬币3次，事件A＝“至少出现一次正面”，事件B＝“出现3次正面”，则P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．故甲是乙的充分不必要条件．6．(2024·海南华侨中学模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲、乙两人安排在不同舱内的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,6)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)答案B解析从甲、乙、丙、丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝6×2＝12种可能，要使得甲、乙在同一个舱内，由题意，甲、乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有Aeq\o\al(2,2)＝2种可能．所以甲、乙两人安排在同一个舱内的概率P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).则甲、乙两人安排在不同舱内的概率P＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).7．已知a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是()A．eq\f(5,12) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)答案A解析因为a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，所以样本点总数n＝3×4＝12.函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；②当a≠0时，需要满足eq\f(b,a)≤1，符合条件的有(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，(2，1)，共4种．所以函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是eq\f(5,12).8．(2024·“西南汇”联考)已知某校高三年级共1400人，按照顺序从1到1400编学号．为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有2个黑球和3个白球的不透明盒子中随机取出1个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二．问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级1400人全部参与调查，经统计，有972人回答“否”，其余人回答“是”．则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为()A．8 B．20C．148 D．247答案B解析根据题意，回答问题一的学生约有1400×eq\f(3,5)＝840人，回答问题二的学生约有1400×eq\f(2,5)＝560人，840人中约有420人回答“否”，则560人中约有972－420＝552人回答“否”，8人回答“是”，则问题二回答“是”的人数约占eq\f(1,70)，该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数约为1400×eq\f(1,70)＝20.二、多项选择题9．包含甲、乙的若干人站成一排，其中不是互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”答案BCD解析排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．故选BCD.10．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：所需时间(分钟)30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是()A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一D．若小张上下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04答案BD解析“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，故A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分钟，故B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应选线路二，故C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，故D正确．故选BD.三、填空题11．在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件A∪eq\o(B,\s\up8(－))发生的概率为________．答案eq\f(2,3)解析抛掷一枚骰子的试验有6种等可能的结果，依题意知P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\o(B,\s\up8(－)))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，因为eq\o(B,\s\up8(－))表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与eq\o(B,\s\up8(－))互斥，从而P(A∪eq\o(B,\s\up8(－)))＝P(A)＋P(eq\o(B,\s\up8(－)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).12．北斗七星自古是我国人民辨别方向、判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为________．答案eq\f(11,21)解析因为玉衡和天权都没有被选中的概率为P＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为1－eq\f(10,21)＝eq\f(11,21).13．(2024·湖南名校联考)某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动．现有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、篮球、足球、羽毛球、网球五项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人中恰有两人参加同一活动的概率为________．答案eq\f(72,125)解析根据题意，每个人有5种选择，四人共54种选法，其中恰有两人参加同一种活动，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,4)种选法，故四人中恰有两人参加同一种活动的概率为eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,4),54)＝eq\f(72,125).14．(2023·石家庄二中模拟)数学上有种水仙花数，它是指各位数字的立方和等于其本身的三位数．水仙花数共有4个，其中仅有1个在区间(150，160)内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则从集合{147，152，154，157，“水仙四妹”}的5个元素中任意取3个整数，则这3个整数中含有“水仙四妹”，且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是________．答案eq\f(1,2)解析设“水仙四妹”为150＋x且0<x<10，x∈Z，依题意，知13＋53＋x3＝150＋x，即有(x－1)x(x＋1)＝24，可得x＝3，即“水仙四妹”为153，所以集合为{147，152，153，154，157}，从该集合中任取3个元素，该试验的样本空间Ω＝{(147，152，153)，(147，152，154)，(147，152，157)，(147，153，154)，(147，153，157)，(147，154，157)，(152，153，154)，(152，153，157)，(152，154，157)，(153，154，157)}，共有10个样本点．记事件A表示“取出的3个整数中含有153，且其余两个整数至少有一个比153小”，则事件A包含的样本点有(147，152，153)，(147，153，154)，(147，153，157)，(152，153，154)，(152，153，157)，共5个，故P(A)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).四、解答题15．某种产品的质量以其质量指标衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：质量指标值mm＜185185≤m＜205m≥205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：(1)根据以上抽样调查的数据，能否认为该企业生产这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的92%的规定”？(2)在样本中，按产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率．解(1)根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0．200＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝0.875，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的92%的规定”．(2)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375，0.5和0.125，故在样本中，一等品有3件，二等品有4件，三等品有1件；再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率为P＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(3,7).16．(2023·南京模拟)有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是()A．“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B．“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C．“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D．“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率答案C解析对于A，B，两事件能同时发生，不是互斥事件，故A，B错误；对于C，“至少取到1个红球”的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.9，“至少取到1个蓝球”的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.7，故C正确；对于D，“至多取到1个红球”的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.7，“至多取到1个蓝球”的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.9，故D错误．17．将一枚骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次，使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝eq\f(137,144)的内部，则实数m的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,18)，\f(7,18)))解析对于a与b各有6种情形，故总数为36种．两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，所以P1＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18)；两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，所以P2＝eq\f(33,36)＝eq\f(11,12)，因为点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝eq\f(137,144)的内部，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,18)－m))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,12)))eq\s\up12(2)＜eq\f(137,144)，解得－eq\f(5,18)＜m＜eq\f(7,18).故实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,18)，\f(7,18))).18．随着第二轮企业出海潮的到来，某品牌手机公司积极拓展海外市场，在海外共设了30多个分支机构，需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按比例分配的分层随机抽样的方式从80后和90后的员工中随机调查了200位，得到数据如下表：愿意被外派不愿意被外派合计80后40408090后8040120合计12080200(1)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断是否愿意被外派与年龄是否有关，并说明理由；(2)该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的80后、90后员工参加.80后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x；90后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y，求x>y的概率．参考数据：α0.100.050.010xα2.7063.8416.635参考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.解(1)零假设为H0：是否愿意被外派与年龄无关．根据2×2列联表及参考公式可得χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(200×（40×40－40×80）2,80×120×120×80)＝eq\f(（40－80）2,12×12×2)＝eq\f(50,9)≈5.556<6.635，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为是否愿意被外派与年龄无关．(2)“x>y”包含“x＝2，y＝1”“x＝3，y＝1”“x＝3，y＝2”三个互斥事件，因为P(x＝2，y＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,6))×eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(9,100)，P(x＝3，y＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,6))×eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,100)，P(x＝3，y＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,6))×eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,100)，所以P(x>y)＝eq\f(9＋1＋3,100)＝eq\f(13,100).第四节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式课标解读考向预测1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概型，利用独立性计算概率.2.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.3.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.4.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.5.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.6.了解贝叶斯公式.预计2025年高考将会以事件独立性的判断或条件概率、全概率公式计算在小题中单独考查，或与随机变量的分布列、数字特征相结合融合在解答题中考查.必备知识——强基础1．事件的相互独立性事件A与事件B相互独立对任意的两个事件A与B，如果P(AB)＝eq\x(\s\up1(01))P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立性质若事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立，P(B|A)＝eq\x(\s\up1(02))P(B)，P(A|B)＝eq\x(\s\up1(03))P(A)2.条件概率条件概率的定义设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝eq\x(\s\up1(04))eq\f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率条件概率的性质(1)P(Ω|A)＝1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝eq\x(\s\up1(05))P(B|A)＋P(C|A)；(3)设B与B互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(B|A)3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq\x(\s\up1(06))eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)，我们称上面的公式为全概率公式．1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．2．计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数．3．P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．4．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.()(2)若A，B相互独立，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则A，B都不发生的概率为0.3.()(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面向上”为事件A，“第二枚为正面向上”为事件B，则A，B相互独立．()(4)P(A)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为()A．1 B．0.629C．0 D．0.74或0.85答案B解析由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，所以甲、乙两根保险丝都熔断的概率为0.85×0.74＝0.629.(2)(人教B选择性必修第二册4.1.1例2改编)根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为()A．0.8 B．0.625C．0.5 D．0.1答案A解析设“发生中度雾霾”为事件A，“刮四级以上大风”为事件B，由题意知，P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.2，则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.2,0.25)＝0.8.(3)(2023·河南安阳二模)某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为0.3，0.4，0.3，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为0.4，0.2，0.5，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为()A．0.25 B．0.35C．0.65 D．0.75答案C解析他们参观党史博物馆的当天下雨的概率为0.3×0.4＋0.4×0.2＋0.3×0.5＝0.35，所以不下雨的概率为1－0.35＝0.65.(4)(多选)(人教A选择性必修第三册7.1.1练习T3改编)一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是()A．若不放回地摸球2次，则第一次摸到红球的概率为eq\f(3,10)B．若不放回地摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为eq\f(1,2)C．若有放回地摸球3次，则仅有前2次摸到红球的概率为eq\f(18,125)D．若有放回地摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为eq\f(54,125)答案BCD解析对于A，第一次摸到红球的概率为eq\f(3,5)，故A错误；对于B，不放回地摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，故B正确；对于C，有放回地摸球3次，则仅有前2次摸到红球的概率为eq\f(3,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(18,125)，故C正确；对于D，有放回地摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,5)＝eq\f(54,125)，故D正确．故选BCD.考点探究——提素养考点一事件的相互独立性(多考向探究)考向1事件独立性的判定例1(2023·江苏常州一中期初检测)袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”，B表示事件“第二次取出的球上数字是2”，C表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出()A．B与D相互独立 B．A与D相互独立C．B与C相互独立 D．C与D相互独立答案C解析由题意可得P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,4)，有放回地随机取两次，每次取1个球，两次取出的球上数字之和是5的情况有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4种，所以P(C)＝eq\f(4,4×4)＝eq\f(1,4)；两次取出的球上数字之和是6的情况有(2，4)，(4，2)，(3，3)，共3种，故P(D)＝eq\f(3,4×4)＝eq\f(3,16).对于A，P(BD)＝eq\f(1,4×4)＝eq\f(1,16)，P(B)P(D)＝eq\f(1,4)×eq\f(3,16)＝eq\f(3,64)，则P(BD)≠P(B)P(D)，故B与D不是相互独立事件，故A错误；对于B，P(AD)＝0，P(A)P(D)＝eq\f(1,4)×eq\f(3,16)＝eq\f(3,64)，则P(AD)≠P(A)P(D)，故A与D不是相互独立事件，故B错误；对于C，P(BC)＝eq\f(1,4×4)＝eq\f(1,16)，P(B)P(C)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，则P(BC)＝P(B)P(C)，故B与C是相互独立事件，故C正确；对于D，P(CD)＝0，P(C)P(D)＝eq\f(1,4)×eq\f(3,16)＝eq\f(3,64)，则P(CD)≠P(C)P(D)，故C与D不是相互独立事件，故D错误．【通性通法】判断两个事件是否相互独立的方法(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率．(2)定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．(3)转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与B，A与B，A与B也相互独立．【巩固迁移】1.(2024·河北唐山模拟)已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示．其中n(Ω)＝12，n(A)＝6，n(B)＝4，n(A∪B)＝8，则事件A与事件B()A．是互斥事件，不是独立事件B．不是互斥事件，是独立事件C．既是互斥事件，也是独立事件D．既不是互斥事件，也不是独立事件答案B解析因为n(Ω)＝12，n(A)＝6，n(B)＝4，n(A∪B)＝8，所以n(A∩B)＝2，n(A∩B)＝4，n(B)＝8，所以事件A与事件B不是互斥事件；P(AB)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(A)P(B)＝eq\f(6,12)×eq\f(8,12)＝eq\f(1,3)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与事件B是独立事件．故选B.考向2相互独立事件的概率例2(2023·山西太原二模)某产品需要通过两类质量检验才能出货．已知该产品第一类检验单独通过率为eq\f(3,4)，第二类检验单独通过率为p(0<p<1)，规定：第一类检验不通过则不能进入第二类检验，每类检验未通过可修复后再检验一次，修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次，且各类检验间相互独立．若该产品能出货的概率为eq\f(5,6)，则p＝()A．eq\f(2,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)答案C解析设Ai表示第i次通过第一类检验，Bi表示第i次通过第二类检验(i＝1，2)，由题意得P(A1B1＋A1A2B1＋A1B1B2＋A1A2B1B2)＝eq\f(5,6)，即eq\f(3,4)p＋eq\f(1,4)×eq\f(3,4)p＋eq\f(3,4)×(1－p)p＋eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×(1－p)p＝eq\f(5,6)，解得p＝eq\f(2,3)或p＝eq\f(4,3)(舍去)．【通性通法】求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【巩固迁移】2．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)()A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案ABD解析对于A，依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1收到1，发送0收到0，发送1收到1这3个事件的积事件，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1收到1，发送1收到0，发送1收到1这3个事件的积事件，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的和事件，它们两两互斥，由选项B知，所求的概率为Ceq\o\al(2,3)(1－β)2β＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，C错误；对于D，由C项知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5，因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，D正确．故选ABD.考点二条件概率例3现有甲、乙、丙、丁4人到九嶷山、阳明山、云冰山、舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件A为“4人去的景点各不相同”，事件B为“只有甲去了九嶷山”，则P(A|B)＝()A．eq\f(5,9) B．eq\f(4,9)C．eq\f(2,9) D．eq\f(1,3)答案C解析由题意，4人去4个不同的景点，总样本点数为4×4×4×4＝256，事件B包含的样本点数为1×3×3×3＝27，则事件B发生的概率为P(B)＝eq\f(27,256)，事件A与事件B的交事件AB为“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三个不同的景点”，事件AB包含的样本点数为1×Aeq\o\al(3,3)＝6，则事件AB发生的概率为P(AB)＝eq\f(6,256)＝eq\f(3,128)，即P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(\f(3,128),\f(27,256))＝eq\f(2,9).【通性通法】求条件概率的常用方法(1)定义法：P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）).(2)样本点法：P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．【巩固迁移】3．(多选)(2024·滨州模拟)为庆祝建党节，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是()A．P(A)＝eq\f(3,5) B．P(AB)＝eq\f(3,10)C．P(B|A)＝eq\f(1,2) D．P(B|eq\o(A,\s\up8(－)))＝eq\f(1,2)答案ABC解析P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(1,5))＝eq\f(3,5)，故A正确；P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)，故B正确；P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2)，故C正确；P(eq\o(A,\s\up8(－)))＝1－P(A)＝1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)，P(eq\o(A,\s\up8(－))B)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)，P(B|eq\o(A,\s\up8(－)))＝eq\f(P（\o(A,\s\up8(－))B）,P（\o(A,\s\up8(－))）)＝eq\f(\f(3,10),\f(2,5))＝eq\f(3,4)，故D错误．考点三全概率公式的应用例4某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是()A．0.155 B．0.175C．0.016 D．0.096答案B解析设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%.设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30.由全概率公式，得P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(3),\s\do8(i＝1))P(Bi)·P(A|Bi)＝20%×0.05＋50%×0.15＋30%×0.30＝0.175.【通性通法】利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)．(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)．(3)代入全概率公式计算．【巩固迁移】4．葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰葫芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实20～80颗.2024年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为________．答案0.4825解析设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设事件B表示“从这批种子中任选一颗，所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实”，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.4825.课时作业一、单项选择题1．甲、乙两个袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概率为()A．eq\f(5,12) B．eq\f(5,6)C．eq\f(1,9) D．eq\f(13,18)答案C解析由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球”两个事件相互独立，从甲袋中取出红球的概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，从乙袋中取出红球的概率为eq\f(1,6)，故所求事件的概率为eq\f(2,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,9).2．若P(AB)＝eq\f(1,9)，P(eq\o(A,\s\up8(－)))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，则事件A与B的关系是()A．互斥 B．对立C．相互独立 D．既互斥又相互独立答