2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第3节 平面向量的数量积及其应用含答案

2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第3节平面向量的数量积及其应用含答案第三节平面向量的数量积及其应用课标解读考向预测1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.预计2025年高考，平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点，会以选择题或填空题的形式出现.必备知识——强基础1．向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\x(\s\up1(01))∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量eq\x(\s\up1(02))|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作eq\x(\s\up1(03))a·b，即eq\x(\s\up1(04))a·b＝|a||b|cosθ．规定：零向量与任一向量的数量积为0.3．平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量beq\x(\s\up1(05))投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的eq\x(\s\up1(06))投影向量，记为|a|cosθe.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝eq\x(\s\up1(07))b·a．(2)(λa)·b＝eq\x(\s\up1(08))λ(a·b)＝eq\x(\s\up1(09))a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝eq\x(\s\up1(10))a·c＋b·c．提醒：(1)平面向量的数量积不满足乘法结合律，即(a·b)c≠a(b·c)(这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线)．(2)平面向量的数量积不满足乘法消去律，即a·b＝a·cb＝c(如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥(b－c))．5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝eq\x(\s\up1(11))x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0eq\x(\s\up1(12))x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤eq\r(（xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)）（xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)）)1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论已知向量a，b，(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0；(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(2)若a·b>0，则a与b的夹角为锐角．()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．()答案(1)×(2)×(3)√2．小题热身(1)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为()A．eq\f(63,65) B．eq\r(65)C．eq\f(\r(13),5) D．eq\r(13)答案A解析|a|＝eq\r(32＋42)＝5，|b|＝eq\r(52＋122)＝13.a·b＝3×5＋4×12＝63.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(63,5×13)＝eq\f(63,65).故选A.(2)(人教A必修第二册6.2练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________．答案－eq\f(3,4)e解析向量b在向量a上的投影向量为eq\f(a·b,|a|)e＝－eq\f(3,4)e.(3)(人教B必修第三册8.1.2例2改编)已知|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝2，则〈a，b〉＝________．答案60°解析由|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝4，得a·b＝1，即|a||b|cos〈a，b〉＝1，则cos〈a，b〉＝eq\f(1,2)，故〈a，b〉＝60°.(4)(人教A必修第二册习题6.2T24改编)在⊙C中，弦AB的长度为4，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________．答案8解析取AB的中点M，连接CM，则CM⊥AB，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos∠BAC＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝8.考点探究——提素养考点一平面向量数量积的运算例1(1)(2024·江苏淮安模拟)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则(a＋b)·c＝________，a·b＝________．答案03解析如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，∴a＋b＝(4，0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)在平面四边形ABCD中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，P为CD上一点，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))的夹角为θ，且cosθ＝eq\f(2,3)，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝________．答案－2解析如图所示，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为平行四边形，∵eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝3，cosθ＝eq\f(2,3)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝4×3×eq\f(2,3)＝8，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)\o(AB,\s\up6(→))－\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(3,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\f(3,16)×42＋eq\f(1,2)×8－9＝－2.【通性通法】计算平面向量数量积的主要方法提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cosθeq\f(b,|b|)＝eq\f(（a·b）b,|b|2).【巩固迁移】1．设向量e1＝(1，0)，e2＝(0，1)．若a＝－2e1＋7e2，b＝4e1＋3e2，则a·b＝________，向量a在向量b上的投影向量为________．答案13eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(52,25)，\f(39,25)))解析因为向量e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，所以a＝－2e1＋7e2＝－2(1，0)＋7(0，1)＝(－2，7)，b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，所以a·b＝－2×4＋7×3＝13.由a＝(－2，7)，b＝(4，3)可得，|a|＝eq\r(4＋49)＝eq\r(53)，|b|＝eq\r(16＋9)＝5，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(13,\r(53)×5)，向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)＝eq\r(53)×eq\f(13,\r(53)×5)×eq\f(b,5)＝eq\f(13,25)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(52,25)，\f(39,25))).2．在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．若eq\o(BD,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，则x＋y＝________；eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝________．答案eq\f(3,4)1解析∵M是BC的中点，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∵D是AM的中点，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,4)，∴x＋y＝eq\f(3,4).∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，∴AM⊥BC，且BM＝1，∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(BM,\s\up6(→))|cos∠DBM＝|eq\o(BM,\s\up6(→))|2＝1.考点二平面向量数量积的应用(多考向探究)考向1平面向量的模例2(1)(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝()A．2 B．3C．4 D．5答案D解析因为a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝eq\r(42＋（－3）2)＝5.故选D.(2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝eq\r(3)，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．答案eq\r(3)解析解法一：因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为|a－b|＝eq\r(3)，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝eq\r(3).解法二：设c＝a－b，则|c|＝eq\r(3)，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b，由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝eq\r(3).【通性通法】求平面向量的模的方法【巩固迁移】3.(2024·山东兖州阶段考试)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为60°，则|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝________．答案eq\f(\r(13),2)解析因为M为BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以|eq\o(MA,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,4)(|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)×(1＋9＋2×1×3cos60°)＝eq\f(13,4)，所以|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(13),2).考向2平面向量的夹角例3(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝()A．－6 B．－5C．5 D．6答案C解析c＝(3＋t，4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即eq\f(9＋3t＋16,5|c|)＝eq\f(3＋t,|c|)，解得t＝5.故选C.【通性通法】求平面向量的夹角的方法【巩固迁移】4．(2024·湖南岳阳阶段考试)已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，设向量eq\o(AE,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))的夹角为θ，则cosθ＝________．答案－eq\f(\r(10),10)解析解法一：因为2eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×22－22＝－2，所以cosθ＝eq\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→)),|\o(AE,\s\up6(→))||\o(BD,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2,\r(5)×2\r(2))＝－eq\f(\r(10),10).解法二：因为2eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，2)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cosθ＝eq\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→)),|\o(AE,\s\up6(→))||\o(BD,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2,\r(5)×2\r(2))＝－eq\f(\r(10),10).考向3平面向量的垂直例4(1)(2024·福建福州开学考试)下列向量中，与(3，2)垂直的向量是()A．(－4，6) B．(2，3)C．(3，－2) D．(－3，2)答案A解析对于A，∵(3，2)·(－4，6)＝－12＋12＝0，∴A符合题意；对于B，∵(3，2)·(2，3)＝6＋6＝12≠0，∴B不符合题意；对于C，∵(3，2)·(3，－2)＝9－4＝5≠0，∴C不符合题意；对于D，∵(3，2)·(－3，2)＝－9＋4＝－5≠0，∴D不符合题意．(2)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ＝________．答案eq\f(7,12)解析因为eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.又eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0，即(λ－1)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，所以(λ－1)|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos120°－λ|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝0，所以(λ－1)×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－9λ＋4＝0，解得λ＝eq\f(7,12).【通性通法】有关平面向量垂直的两类题型(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题(2)已知两个向量的垂直关系求参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．【巩固迁移】5．(2023·河南安阳模拟预测)在△ABC中，点D在边AC上，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝λ|eq\o(BC,\s\up6(→))|，若eq\o(BD,\s\up6(→))⊥(3eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))，则λ＝()A．eq\f(4,3) B．3C．2 D．1答案B解析由题意知，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BA,\s\up6(→))，则eq\o(BD,\s\up6(→))·(3eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)\o(BC,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(BA,\s\up6(→))))·(3eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(9,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BA,\s\up6(→))2＝0，即9|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2，则|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝3|eq\o(BC,\s\up6(→))|，即λ＝3.故选B.考向4最值、范围问题例5(1)已知e1，e2是两个单位向量，且夹角为eq\f(π,3)，则e1＋te2与te1＋e2的数量积的最小值为()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(\r(3),6)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),3)答案A解析由题意得，(e1＋te2)·(te1＋e2)＝teeq\o\al(2,1)＋(t2＋1)e1·e2＋teeq\o\al(2,2)＝t|e1|2＋(t2＋1)|e1||e2|·coseq\f(π,3)＋t|e2|2＝eq\f(1,2)t2＋2t＋eq\f(1,2)，∴当t＝－2时，取得最小值，为eq\f(1,2)×4－4＋eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2).故选A.(2)(2022·天津高考)在△ABC中，eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，D是AC的中点，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(BE,\s\up6(→))，试用a，b表示eq\o(DE,\s\up6(→))为________，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，则∠ACB的最大值为________．答案eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)aeq\f(π,6)解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝b－a.解法一：eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))⇒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)b－\f(1,2)a))·(b－a)＝0，3b2＋a2＝4a·b⇒cos∠ACB＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3b2＋a2,4|a||b|)≥eq\f(2\r(3)|a||b|,4|a||b|)＝eq\f(\r(3),2)，当且仅当|a|＝eq\r(3)|b|时取等号，而0<∠ACB<π，所以∠ACB∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))).解法二：如图所示，建立平面直角坐标系．设|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝1，A(x，y)，则E(0，0)，B(1，0)，C(3，0)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x＋3,2)，－\f(y,2)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))⇒eq\f(x＋3,2)(x－1)＋eq\f(y2,2)＝0⇒(x＋1)2＋y2＝4，所以点A的轨迹是以M(－1，0)为圆心，r＝2为半径的圆，当且仅当CA与⊙M相切时，∠ACB最大，此时sin∠ACB＝eq\f(r,CM)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，∠ACB＝eq\f(π,6).【通性通法】利用数量积求最值、范围的方法方法一用数量积的运算转化为代数问题求最值方法二利用向量三角不等式求最值方法三利用向量数量积运算转化之后分析几何图形特征，利用数形结合求最值【巩固迁移】6．已知点A，B在单位圆上，∠AOB＝eq\f(3π,4)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))(x∈R)，则|eq\o(OC,\s\up6(→))|2的最小值是()A．2 B．3C．5－2eq\r(2) D．4答案A解析|eq\o(OC,\s\up6(→))|2＝(2eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→)))2＝4eq\o(OA,\s\up6(→))2＋x2eq\o(OB,\s\up6(→))2＋4x|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|coseq\f(3π,4)＝x2－2eq\r(2)x＋4＝(x－eq\r(2))2＋2≥2，因此|eq\o(OC,\s\up6(→))|2≥2.故选A.7．已知eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,t)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝t，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4)).若P是△ABC所在平面内一点，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，13))解析由题意建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(0，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)，0))，C(0，t)，∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4\o(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AC,\s\up6(→))|))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|))＝(0，4)＋(1，0)＝(1，4)，∴P(1，4)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－1，－4))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－1，t－4)，eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－1))×(－1)＋(－4)×(t－4)＝－eq\f(1,t)＋1－4t＋16＝－eq\f(1,t)－4t＋17≤－2eq\r(\f(1,t)·4t)＋17＝13，当且仅当t＝eq\f(1,2)时，等号成立，又当t＝eq\f(1,4)时，eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝12，当t＝4时，eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)，所以eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，13)).课时作业一、单项选择题1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则()A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1答案D解析因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.2．已知a，b为非零向量，且eq\r(3)|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为()A．eq\f(\r(3),8) B．eq\f(\r(3),16) C．eq\f(\r(6),8) D．eq\f(\r(6),16)答案B解析将等式|a＋2b|＝|2a－b|两边平方，得8a·b＋3b2＝3a2，设a与b的夹角为θ，即8|a|·|b|cosθ＋3|b|2＝3|a|2，将|a|＝eq\f(2,\r(3))|b|代入8|a||b|cosθ＋3|b|2＝3|a|2，得cosθ＝eq\f(\r(3),16).故选B.3．(2023·河北邯郸模拟)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，则向量a－2b在向量b上的投影向量为()A．b B．－2bC．－eq\f(1,2)b D．－b答案B解析因为a，b是两个互相垂直的单位向量，所以a·b＝0，且|a|＝|b|＝1，所以(a－2b)·b＝a·b－2b2＝a·b－2|b|2＝－2，所以向量a－2b在向量b上的投影向量为eq\f(（a－2b）·b,|b|)·eq\f(b,|b|)＝－2b.故选B.4．(2023·湖北黄冈质检)圆内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A．12 B．－12C．20 D．－20答案B解析如图所示，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos∠BDA－|eq\o(DC,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos∠BDC＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＝4－16＝－12.故选B.5．(2024·湖北荆州中学摸底)已知向量a＝(m，2)，b＝(1，1)，若|a＋b|＝|a|＋eq\r(2)，则实数m＝()A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案A解析因为b＝(1，1)，则|b|＝eq\r(2)，由已知可得|a＋b|＝|a|＋|b|，等式|a＋b|＝|a|＋|b|两边平方可得a2＋2a·b＋b2＝a2＋2|a||b|＋b2，则a·b＝|a||b|，故a与b同向，所以m＝2.故选A.6．(2023·全国甲卷)向量|a|＝|b|＝1，|c|＝eq\r(2)，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝()A．－eq\f(1,5) B．－eq\f(2,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(4,5)答案D解析因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0.如图，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，由题意知，OA＝OB＝1，OC＝eq\r(2)，△OAB是等腰直角三角形，AB边上的高OD＝eq\f(\r(2),2)，AD＝eq\f(\r(2),2)，所以CD＝CO＋OD＝eq\r(2)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),2)，tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)＝eq\f(1,3)，cos∠ACD＝eq\f(3,\r(10))，cos〈a－c，b－c〉＝cos∠ACB＝cos(2∠ACD)＝2cos2∠ACD－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(10))))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(4,5).故选D.7．(2024·湖南岳阳模拟)在一个边长为2的等边三角形ABC中，若点P是平面ABC内的任意一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值是()A．－eq\f(5,2) B．－eq\f(4,3)C．－1 D．－eq\f(3,4)答案C解析如图，以AC的中点为原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝x2－1＋y2＝x2＋y2－1≥－1，当且仅当P在原点时取等号．故eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值是－1.故选C.8．(2024·山东日照模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，且eq\o(DE,\s\up6(→))＝3eq\o(EF,\s\up6(→))，则eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值为()A．－eq\f(1,12) B．eq\f(1,12)C．1 D．－8答案B解析如图所示，把△ABC放在直角坐标系中，由于△ABC的边长为1，故B(0，0)，C(1，0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∵D，E分别是边AB，BC的中点，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，设F(x，y)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－\f(\r(3),4)))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)，y))，∵eq\o(DE,\s\up6(→))＝3eq\o(EF,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＝3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，,－\f(\r(3),4)＝3y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,12)，,y＝－\f(\r(3),12)，))∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，－\f(\r(3),12)))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,12)，－\f(7\r(3),12)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,12).故选B.二、多项选择题9．下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是()A．(a＋b)·c＝a·c＋b·cB．(a·b)·c＝a·(b·c)C．a·b≤|a||b|D．|a－b|≤|a|＋|b|答案ACD解析根据数量积的分配律可知A正确；B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；根据数量积的定义，可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，故|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确．故选ACD.10．定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·b，当a，b不共线时，,|a－b|，当a，b共线时))(a，b是任意两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，下列结论中正确的是()A．a⊗b＝b⊗aB．λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)C．(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗cD．若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1答案AD解析当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故A正确；当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故B错误；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C错误；当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|<|a||e|<|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，则|a|＝|u|，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1＝|a|＋1，故D正确．故选AD.11．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值可能为()A．－5 B．－4C．0 D．2答案BCD解析在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图．则A(3，0)，B(0，4)，C(0，0)，设P(x，y)，因为PC＝1，所以x2＋y2＝1，又eq\o(PA,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，4－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－x(3－x)－y(4－y)＝x2＋y2－3x－4y＝－3x－4y＋1，设x＝cosθ，y＝sinθ，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(3cosθ＋4sinθ)＋1＝－5sin(θ＋φ)＋1，其中tanφ＝eq\f(3,4)，当sin(θ＋φ)＝1时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))有最小值－4；当sin(θ＋φ)＝－1时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))有最大值6，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[－4，6]．故选BCD.三、填空题12．若向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)解析当a与b共线时，此时－2＝－λ⇒λ＝2，当λ＝2时，a＝－b，此时a与b方向相反，当a与b的夹角为钝角时，则需a·b＜0且a与b不反向，所以－2λ－1＜0且λ≠2，解得λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．13.(2024·四川树德中学阶段练习)如图，直径AB＝4的半圆，D为圆心，点C在半圆弧上，∠ADC＝eq\f(π,3)，线段AC上有动点P，则eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))的取值范围为________．答案[4，8]解析过点P作AB的垂线，交AB于点H，可得eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝|eq\o(DH,\s\up6(→))||eq\o(BA,\s\up6(→))|.当P在C点时，eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))取最小值4，当P在A点时，eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))取最大值8，故eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))的取值范围为[4，8]．14．已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(2－2λ)eq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值为________．答案5解析取BC的中点O，∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，则以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－2，0)，C(2，0)，A(0，2eq\r(3))，设P(x，y)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y－2eq\r(3))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－2eq\r(3))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－2eq\r(3))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(2－2λ)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4－6λ，2eq\r(3)λ－4eq\r(3))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4－6λ，,y＝2\r(3)λ－2\r(3)，))∴P(4－6λ，2eq\r(3)λ－2eq\r(3))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝(6λ－4，4eq\r(3)－2eq\r(3)λ)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(6λ－2，2eq\r(3)－2eq\r(3)λ)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝(6λ－4)·(6λ－2)＋(4eq\r(3)－2eq\r(3)λ)(2eq\r(3)－2eq\r(3)λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，当λ＝eq\f(3,4)时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))取得最小值5.15．(2024·河南开封五校高三期末联考)已知a，b是不共线的两个向量，|a|＝2，a·b＝4eq\r(3)，若∀t∈R，|b－ta|≥2，则|b|的最小值为()A．2 B．4C．2eq\r(3) D．4eq\r(3)答案B解析由|b－ta|≥2，得|b－ta|2≥4，即|b|2－2ta·b＋t2|a|2≥4.因为|a|＝2，a·b＝4eq\r(3)，所以|b|2－8eq\r(3)t＋4t2＝|b|2＋4(t－eq\r(3))2－12≥4，所以|b|2≥－4(t－eq\r(3))2＋16.令f(t)＝－4(t－eq\r(3))2＋16，则f(t)max＝16.又∀t∈R，|b－ta|≥2恒成立，所以|b|2≥f(t)max＝16，所以|b|≥4，即|b|的最小值为4.故选B.16．(多选)已知O为坐标原点，点A(1，0)，P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，则下列结论正确的是()A．|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up6(→))|B．|eq\o(AP2,\s\up6(→))|＝|eq\o(P1P3,\s\up6(→))|C．eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))＝eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))D．eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→))答案ABD解析由题意eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(OPi,\s\up6(→))的坐标等于Pi的坐标(i＝1，2，3)，|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up6(→))|＝1，A正确；|eq\o(AP2,\s\up6(→))|＝eq\r(（cosβ－1）2＋（sinβ－0）2)＝eq\r(2－2cosβ)，|eq\o(P1P3,\s\up6(→))|＝eq\r([cos（α－β）－cosα]2＋[sin（α－β）－sinα]2)＝eq\r(\a\vs4\al(2－2[cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）]))＝eq\r(2－2cosβ)，所以|eq\o(AP2,\s\up6(→))|＝|eq\o(P1P3,\s\up6(→))|，B正确；eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))＝cosα，eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝cosβcos(α－β)＋sinβsin(α－β)＝cos(2β－α)，C错误；eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝cos(α－β)，eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→))＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，D正确．故选ABD.17．(多选)(2023·潍坊模拟)已知向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1，2)，将eq\o(OP,\s\up6(→))绕原点O旋转－30°，30°，60°到eq\o(OP1,\s\up6(→))，eq\o(OP2,\s\up6(→))，eq\o(OP3,\s\up6(→))的位置，则下列说法正确的是()A．eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝0B．|eq\o(PP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(PP2,\s\up6(→))|C．eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→))D．点P1的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)，\f(1＋2\r(3),2)))答案ABC解析由题意，作图，如图所示，∵eq\o(OP1,\s\up6(→))⊥eq\o(OP3,\s\up6(→))，∴eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝0，故A正确；∵PP1与PP2所对的圆心角相等，∴|eq\o(PP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(PP2,\s\up6(→))|，故B正确；∵eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝|eq\o(OP,\s\up6(→))||eq\o(OP3,\s\up6(→))|cos60°＝eq\f(5,2)，eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→))＝|eq\o(OP1,\s\up6(→))||eq\o(OP2,\s\up6(→))|cos60°＝eq\f(5,2)，故C正确；若点P1的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)，\f(1＋2\r(3),2)))，则|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2\r(3),2)))\s\up12(2))≠eq\r(5)，故D错误．故选ABC.18．在△ABC中，满足eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，则eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))的最小值为________．答案－eq\f(1,2)解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴△ABC为等腰直角三角形，以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系，如图所示，∴A(0，0)，B(eq\r(2)，0)，C(0，eq\r(2))，∵M是BC的中点，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，O是线段AM上任意一点，∴可设O(x，x)，0≤x≤eq\f(\r(2),2)，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)－x，－x)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－x，－x＋eq\r(2))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－x，－x)，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(eq\r(2)－2x，eq\r(2)－2x)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝(－x)(eq\r(2)－2x)＋(－x)·(eq\r(2)－2x)＝4x2－2eq\r(2)x＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),4)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)，故当x＝eq\f(\r(2),4)时，eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))的最小值为－eq\f(1,2).19．在△ABC中，O为其外心，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\r(3)，且eq\r(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\r(7)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则边AC的长是________．答案eq\r(3)－1解析设△ABC外接圆的半径为R，∵O为△ABC的外心，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝R，又eq\r(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\r(7)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则eq\r(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\r(7)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴3eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\o(OC,\s\up6(→))2＋2eq\r(3)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝7eq\o(OB,\s\up6(→))2，从而eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),2)R2，又eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\r(3)，∴R2＝2，又eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|cos∠AOC＝R2cos∠AOC＝eq\r(3)，∴cos∠AOC＝eq\f(\r(3),2)，∴∠AOC＝eq\f(π,6)，在△AOC中，由余弦定理得AC2＝OA2＋OC2－2OA·OCcos∠AOC＝R2＋R2－2R2×eq\f(\r(3),2)＝(2－eq\r(3))R2＝4－2eq\r(3)，∴AC＝eq\r(3)－1.20．(2022·浙江高考)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则eq\o(PA1,\s\up6(→))2＋eq\o(PA2,\s\up6(→))2＋…＋eq\o(PA8,\s\up6(→))2的取值范围是________．答案[12＋2eq\r(2)，16]解析以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A1(0，1)，A2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，A3(1，0)，A4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，A5(0，－1)，A6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，A7(－1，0)，A8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).设P(x，y)，于是eq\o(PA1,\s\up6(→))2＋eq\o(PA2,\s\up6(→))2＋…＋eq\o(PA8,\s\up6(→))2＝8(x2＋y2)＋8，因为cos22.5°≤|OP|≤1，所以eq\f(1＋cos45°,2)≤x2＋y2≤1，故eq\o(PA1,\s\up6(→))2＋eq\o(PA2,\s\up6(→))2＋…＋eq\o(PA8,\s\up6(→))2的取值范围是[12＋2eq\r(2)，16]．第四节复数课标解读考向预测1.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.2.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．复数是高考的必考内容，主要考查复数的加、减、乘、除运算及复数的几何意义．预计2025年高考会考查复数运算，题型以选择题、填空题为主，分值为5分或6分.必备知识——强基础1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中eq\x(\s\up1(01))a是实部，eq\x(\s\up1(02))b是虚部，i为虚数单位．(2)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b\x(\s\up1(03))＝0），,虚数（b\x(\s\up1(04))≠0）（当a\x(\s\up1(05))＝0时为纯虚数）.))(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔eq\x(\s\up1(06))a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔eq\x(\s\up1(07))a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作eq\x(\s\up1(08))|z|或eq\x(\s\up1(09))|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一对应),\s\do5())复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一对应),\s\do5())平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝eq\x(\s\up1(10))(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝eq\x(\s\up1(11))(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝eq\x(\s\up1(12))(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．5．复数z的方程在复平面内表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，a和b为半径的两圆所夹的圆环．(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b.()(2)复数可以比较大小．()(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(2023·全国甲卷)eq\f(5（1＋i3）,（2＋i）（2－i）)＝()A．－1 B．1C．1－i D．1＋i答案C解析eq\f(5（1＋i3）,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(5（1－i）,5)＝1－i.故选C.(2)(人教A必修第二册习题7.2T2改编)在复平面内，向量eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up6(→))对应的复数是－1－3i，则向量eq\o(CA,\s\up6(→))对应的复数是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4i答案D解析∵eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－1－3i－2－i＝－3－4i.故选D.(3)若a＋bi(a，b∈R)是eq\f(1－i,1＋i)的共轭复数，则a＋b＝________．答案1解析由eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(（1－i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝－i，得a＋bi＝i，即a＝0，b＝1，则a＋b＝1.(4)(人教B必修第四册习题10－1AT2改编)已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虚数单位，则a＋b＝________；若复数z＝a＋bi，则z在复平面内对应的点位于第________象限．答案0二解析由(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，得a－2－(1＋2a)i＝－3＋bi，由复数相等的充要条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2＝－3，,－（1＋2a）＝b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))所以a＋b＝0，z＝－1＋i，所以复数z在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限．考点探究——提素养考点一复数的有关概念例1(1)(2023·苏州期末)设i为虚数单位，若复数(1－i)(1＋ai)是纯虚数，则实数a的值为()A．－1 B．0C．1 D．2答案A解析∵(1－i)(1＋ai)＝1＋ai－i＋a＝1＋a＋(a－1)i为纯虚数，∴1＋a＝0，且a－1≠0，∴a＝－1.故选A.(2)若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则eq\o(z,\s\up6(－))的实部为()A．1 B．－1C．2 D．－2答案C解析由题意，得z＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(（4＋3i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝2＋i，故eq\o(z,\s\up6(－))的实部为2.故选C.【通性通法】解决复数概念问题的两个注意事项【巩固迁移】1．(2024·衡水中学模拟)已知eq\f(x,1＋i)＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为()A．2＋i B．2－iC．1＋2i D．1－2i答案B解析由eq\f(x,1＋i)＝1－yi，得eq\f(x（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1－yi，即eq\f(x,2)－eq\f(x,2)i＝1－yi，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝1，,\f(x,2)＝y，))解得x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共轭复数为2－i.故选B.2．复数z＝(3＋i)(1－4i)，则复数z的实部与虚部之和是________．答案－4解析z＝(3＋i)(1－4i)＝7－11i，则z的实部为7，虚部为－11，故复数z的实部与虚部之和是7－11＝－4.考点二复数的运算例2(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝eq\f(1－i,2＋2i)，则z－eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．－i B．i C．0 D．1答案A解析因为z＝eq\f(1－i,2＋2i)＝eq\f(（1－i）（1－i）,2（1＋i）（1－i）)＝eq\f(－2i,4)＝－