2023九年级数学下册 第1章 二次函数1.2 二次函数的图象与性质第3课时 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质教案 （新版）湘教版

2023九年级数学下册第1章二次函数1.2二次函数的图象与性质第3课时二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质教案（新版）湘教版主备人备课成员教学内容2023九年级数学下册第1章“二次函数”的1.2节“二次函数的图象与性质”中的第3课时，聚焦于二次函数y=a(x-h)^2(a≠0)的图象与性质。本节课内容主要包括以下要点：

1.探索并掌握二次函数y=a(x-h)^2的图象特征；

2.分析并理解二次函数y=a(x-h)^2的开口方向、顶点坐标、对称轴与a的取值关系；

3.研究二次函数y=a(x-h)^2在不同a值下的性质，如最大（小）值；

4.应用二次函数图象与性质解决相关问题，如给定区间内的最值问题。核心素养目标1.培养学生运用数学语言和符号表达二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质，提升数学抽象能力；

2.培养学生通过观察、分析、归纳二次函数图象，发展逻辑推理和数学建模的核心素养；

3.培养学生运用二次函数性质解决实际问题时，强化数学运算和数据分析的能力；

4.通过对二次函数性质的学习，激发学生的探究精神，培养创新意识，提高问题解决能力。重点难点及解决办法重点：

1.掌握二次函数y=a(x-h)^2的图象特征及其性质。

2.理解a值对二次函数图象开口方向和形状的影响。

3.应用二次函数性质解决实际问题。

难点：

1.顶点式与一般式的转换。

2.对称轴和顶点坐标的确定。

3.不同a值下函数性质的理解。

解决办法与突破策略：

1.利用数形结合，通过绘制不同a值的二次函数图象，直观展示顶点坐标和对称轴的变化。

2.设计互动环节，让学生小组合作，通过折叠、旋转等方法动手操作，加深对对称轴的理解。

3.引导学生归纳总结顶点式与一般式的转换方法，通过例题讲解和练习，巩固知识点。

4.创设生活情境，设计实际问题，让学生在实际应用中发现问题、解决问题，提高对函数性质的理解和应用能力。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：结合二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质，通过生动的语言和图示，为学生讲解二次函数的基本概念和性质，确保学生掌握基础知识点。

2.讨论法：针对二次函数的图象特征和性质，组织学生进行小组讨论，鼓励学生提出问题、分享观点，培养其合作学习和问题解决能力。

3.实验法：利用教学软件（如GeoGebra等）或实物操作，让学生通过动手绘制二次函数图象，观察不同a值对图象的影响，加深对二次函数性质的理解。

教学手段：

1.多媒体设备：运用PPT、教学视频等多媒体资源，展示二次函数图象的动态变化，使抽象的数学概念形象化，便于学生理解。

2.教学软件：利用GeoGebra、Excel等教学软件，让学生亲自动手操作，探究二次函数的性质，提高学生的实践操作能力。

3.网络资源：整合网络上的优质教学资源，如在线教育平台、数学论坛等，为学生提供更多学习途径，拓宽知识视野。

结合教学内容和学生特点，本节课将采用以下教学策略：

1.创设情境：以生活中的实际例子引入二次函数，激发学生的兴趣和探究欲望。

2.分层次教学：针对不同学生的学习水平，设计不同难度的问题和练习，使每位学生都能在原有基础上得到提高。

3.激励评价：注重过程性评价，及时表扬学生的优点，激发学生的学习积极性和自信心。

在教学过程中，教师将密切关注学生的学习状态，适时调整教学方法和手段，确保教学效果和效率。通过本节课的学习，使学生能够熟练掌握二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质，并能在实际问题中灵活运用。教学流程（一）课前准备（5分钟）

1.教师准备：制作PPT，收集生活中的二次函数实例，设计预习任务。

2.学生准备：预习教材，完成预习任务，提前思考二次函数在生活中的应用。

（二）课中教学（40分钟）

1.导入新课（5分钟）

呈现具体分析和举例：

通过展示生活中的抛物线运动（如投篮、跳伞等）视频，引导学生观察并思考这些现象背后的数学原理，从而引出二次函数y=a(x-h)^2。

2.基础知识讲解（10分钟）

呈现具体分析和举例：

利用PPT和黑板，讲解二次函数y=a(x-h)^2的顶点式与一般式的转换，强调顶点坐标、对称轴的概念及其对图象的影响。

3.动手实践（10分钟）

呈现具体分析和举例：

学生分组，利用GeoGebra软件绘制不同a值的二次函数图象，观察并记录顶点坐标、对称轴、开口方向等特征，讨论a值对图象的影响。

4.重难点讲解与突破（10分钟）

呈现具体分析和举例：

针对顶点式与一般式的转换、对称轴和顶点坐标的确定等重难点，通过讲解典型例题，引导学生掌握解决方法。

5.应用拓展（5分钟）

呈现具体分析和举例：

创设实际问题，如给定区间内的二次函数最值问题，让学生运用所学知识解决问题，巩固二次函数的性质。

（三）课后巩固（45分钟）

1.课堂小结（5分钟）

呈现具体分析和举例：

教师引导学生总结本节课所学内容，强调二次函数y=a(x-h)^2的图象特征和性质。

2.布置作业（40分钟）

呈现具体分析和举例：

根据学生的掌握情况，布置不同难度的作业，包括基础知识的巩固练习、拓展应用题等，提高学生对二次函数的理解和应用能力。

（四）教学反思（不限时）

教师在课后对教学过程进行反思，了解学生对本节课内容的掌握程度，针对学生的反馈调整教学方法，以提高教学效果。拓展与延伸1.拓展阅读材料：

-《二次函数的应用》：介绍二次函数在物理学、经济学等领域的实际应用，加深学生对二次函数作用的认识。

-《抛物线与二次函数》：探讨抛物线与二次函数之间的关系，理解抛物线在数学和科学中的重要性。

-《数学家与二次函数》：介绍历史上研究二次函数的数学家及其贡献，激发学生对数学学科的兴趣。

2.课后自主学习和探究：

-研究二次函数的顶点式与一般式之间的转换方法，尝试解决更复杂的问题。

-探索不同a值下二次函数图象的形状变化，总结规律，并尝试用数学语言进行描述。

-搜集生活中的二次函数实例，分析其图象和性质，将数学知识应用于实际情境。

-学习其他类型的函数（如一次函数、指数函数等），比较它们的图象和性质，理解各类函数的特点和适用场景。

-尝试利用计算机软件（如GeoGebra、MATLAB等）绘制和模拟二次函数图象，体验数学与技术的结合。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质，重点掌握了以下知识点：

1.二次函数y=a(x-h)^2的顶点式与一般式的转换。

2.顶点坐标和对称轴的确定方法。

3.a值对二次函数图象开口方向和形状的影响。

4.二次函数在实际问题中的应用。

当堂检测：

一、选择题

1.下列哪个选项不是二次函数y=a(x-h)^2的性质？

A.开口方向由a值决定

B.对称轴为x=h

C.顶点坐标为(h,k)

D.a值越大，图象越平缓

2.若二次函数y=a(x-h)^2的图象开口向上，则a的取值范围是？

A.a>0

B.a<0

C.a=0

D.a≠0

二、填空题

1.二次函数y=2(x-3)^2的顶点坐标是______，对称轴是______。

2.当x=5时，二次函数y=3(x-4)^2+2的值为______。

三、解答题

1.已知二次函数y=a(x-h)^2的图象开口向上，顶点坐标为(2,-3)。求该二次函数的解析式，并指出其对称轴。

2.某二次函数的图象开口向下，且在x=1时取得最大值5。求该二次函数的解析式。

四、应用题

1.一辆汽车从静止开始加速，其速度v（m/s）与时间t（s）的关系为v=2(t-1)^2。求：

（1）汽车在2秒时的速度。

（2）汽车从静止加速到4m/s需要多长时间。

2.有一抛物线y=-(x-2)^2+4，表示物体从高度为4米的位置自由下落。求：

（1）物体落地的时间。

（2）物体下落过程中的最大速度。教学反思与总结在教授二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质这节课时，我采用了讲授、讨论和实验相结合的教学方法，尝试让学生在理解抽象概念的同时，能够动手实践，增强对知识的体验。从整个教学过程来看，学生在课堂上的参与度较高，能够积极投入到小组讨论和软件操作中。我发现，通过实际操作来探索二次函数的性质，比单纯的理论讲解更能激发学生的兴趣。

然而，我也注意到，在讲解重难点时，部分学生对顶点式与一般式的转换掌握不够扎实，需要我在今后的教学中更加关注这部分学生的需求，可能需要设计更多的例题和练习来巩固这一知识点。此外，对于课堂时间的分配，我意识到在实践环节可以适当延长，让学生有更多的时间去探索和发现。

从学生的表现来看，他们在知识掌握方面有了明显的进步，能够理解二次函数的图象特征和性质，并在实际问题中运用。在技能方面，学生通过使用教学软件，提高了动手操作能力和问题解决能力。情感态度上，学生对数学学习的兴趣有所提升，课堂氛围活跃。

针对教学中存在的问题，我计划在接下来的课程中采取以下改进措施：

1.对于重难点知识，我将设计分层教学，通过不同难度的题目，让每位学生都能在原有基础上得到提高。

2.增加课堂互动，鼓励学生提问和分享，提高他们的课堂参与度。

3.在实践环节，我将提供更多的探索机会，让学生在操作中发现问题、解决问题，从而加深对二次函数性质的理解。典型例题讲解例题1：求二次函数y=a(x-h)^2的顶点坐标和对称轴。

解：对于二次函数y=a(x-h)^2，其顶点坐标为(h,0)，对称轴为x=h。

例题2：已知二次函数y=2(x-3)^2的顶点式，求其一般式。

解：将顶点式y=2(x-3)^2展开，得到一般式y=2x^2-12x+18。

例题3：已知二次函数y=3(x-4)^2+2在x=5时的值为22，求a的值。

解：将x=5代入函数表达式中，得到22=3(5-4)^2+2，解得a=3。

例题4：二次函数y=-2(x+1)^2的最大值是多少？

解：由于a<0，二次函数开口向下，其最大值出现在顶点处，即y=-2(0+1)^2=0。

例题5：某二次函数的图象开口向上，且在x=1时取得最小值-3。求该二次函数的解析式。

解：由题意知，顶点坐标为(1,-3)，设二次函数为y=a(x-1)^2-3。由于开口向上，a>0。最小值出现在顶点处，故解析式为y=a(x-1)^2-3。由于最小值为-3，所以a取正值，例如取a=1，得到y=(x-1)^2-3。

例题6：已知二次函数y=4(x-2)^2-5的图象，求其与x轴的交点坐标。

解：将y=0代入函数表达式，得到4(x-2)^2-5=0，解得x=2±√5/2。故与x轴的交点坐标为(2-√5/2,0)和(2+√5/2,0)。

例题7：某二次函数的图象开口向下，且顶点坐标为(3,4)。求该二次函数在x=2时的值。

解：设二次函数为y=a(x-3)^2+4。由于开口向下，a<0。将x=2代入得到y=a(2-3)^2+4=-a+4。由于顶点坐标为(3,4)，代入得到4=a(3-3)^2+4，解得a=0。但a<0，故取a=-1，得到y=-(x-3)^2+4。将x=2代入，得到y=-1+4=3。

例题8：求二次函数y=-(x+1)^2+2的图象与y轴的交点坐标。

解：将x=0代入函数表达式，得到y=-(0+1)^2+2=1。故与y轴的交点坐标为(0,1)。

例题9：已知二次函数y=2(x-1)^2-3在x=0时的值为-1，求该函数的解析式。

解：将x=0代入函数表达式，得到-1=2(0-1)^2-3，解得2=-2a，即a=-1。故该函数的解析式为y=-2(x-1)^2-3。

例题10：求二次函数y=5(x-2)^2+1的图象与x轴的交点个数。

解：由于a>0，二次函数开口向上，顶点坐标为(2,1)。因此，图象与x轴有两个交点。板书设计1.二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质

2.顶点式与一般式的转换

3.顶点坐标(h,k)和对