安徽省合肥六校联盟2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省合肥六校联盟2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.若复数z满足，则（）A.1 B.5 C.7 D.25〖答案〗B〖解析〗由题意有，故．故选：B．2.的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.3.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与都是红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球 D.至少有一个黑球与至少有一个红球〖答案〗C〖解析〗依题意，记2个红球为，2个黑球为，则从中任取2个球的总的基本事件为，对于A，至少有一个黑球的基本事件为，都是黑球的基本事件为，显然两个事件有交事件，所以不为互斥事件，故A错误；对于B，至少有一个黑球的基本事件为，都是红球的基本事件为，显然两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；对于C，恰有一个黑球的基本事件为，恰有两个黑球的基本事件为，显然两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；对于D，至少有一个黑球的基本事件为，至少有一个红球的基本事件为，显然两个事件不是互斥事件，故D错误.故选：C.4.已知命题p：，命题q：，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A.[﹣1，2] B.（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D.（﹣1，2）〖答案〗B〖解析〗由得或，因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，所以，解得或.故选：B.5.已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（）A.4 B.5 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗函数在递增，且，，所以函数存在唯一的零点，故.故选：C.6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D若，，，则〖答案〗D〖解析〗，.故选：D.7.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为.故选：B.8.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则（）A.平面 B.该二十四等边体的体积为C.ME与PN所成的角为 D.该二十四等边体的外接球的表面积为〖答案〗D〖解析〗依题意，补齐正方体，如下图，对于A，假设平面，平面，，，二十四等边体就是一种半正多面体，由对称性可知，六边形为正六边形，，这与“”矛盾，所以假设不成立，A错误；对于B，，正方体的棱长为，该二十四等边体的体积为正方体体积去掉个三棱锥体积，即，B错误；对于C，，为异面直线与所成角（或补角），在等边中，，C错误；对于D，如图，取正方形对角线交点为，即为该二十四等边体的外接球球心，在等腰中，，在正方形中，，即外接球半径，该二十四等边体的外接球的表面积，D正确.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.向量与夹角的取值范围是C.与共线的单位向量为 D.存在，使得〖答案〗ABD〖解析〗对于A，若，则，即，又，则，故A正确；对于B，设向量与的夹角为，则，因为，则，所以，即，又，所以，即向量与夹角的取值范围是，故B正确；对于C，与共线的单位向量为或，即或，故C错误；对于D，假设存在，使得，则，即，则，所以，即，又，则，故D正确.故选：ABD.10.如图为国家统计局公布的2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，则（）A.2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出均呈增长趋势B.2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为27535C.2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差D.2017~2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例均大于80%〖答案〗BC〖解析〗对于选项A：由图知2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入呈增长趋势，但人均消费支出2020年比2019年少，故A不正确；对于选项B：由图可知2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为，故B正确；对于选项C：2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差为，人均消费支出的极差为，因为，所以人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差，故C正确；对于选项D：2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例为，小于80%，故D不正确.故选：BC.11.关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|的叙述正确的是（）A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间单调递增C.f(x)在[－π，π]有4个零点 D.f(x)的最大值为2〖答案〗AD〖解析〗A：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确；B：当时，f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝2sinx，f(x)在单调递减，故B错误；C：当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝2sinx＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数，∴f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故C错误；D：∵sin|x|≤1，|sinx|≤1，当或时两等号同时成立，∴f(x)的最大值为2，故D正确．故选：AD.12.已知正方体，则（）A.直线与所成的角为60° B.直线与所成的角为90°C.直线平面所成的角为45° D.直线与平面所成的角为45°〖答案〗ABC〖解析〗对于A，连接，，由正方体的性质知：，直线与所成的角即为与所成的角，因为为等边三角形，所以直线与所成角为60°，故A正确；对于B，连接，因为平面，平面，所以，又因，，所以，平面，所以平面，平面，所以，所以直线与所成的角为90°，故B正确；对于C，因为平面，所以直线平面所成的角为，，所以直线平面所成的角为45°，故C正确；对于D，连接交于点，因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，所以直线与平面所成的角为，设正方体的边长为，所以，，所以，所以，所以直线与平面所成的角为，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的最小值为______．〖答案〗〖解析〗因为，令，则，则，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故〖答案〗为：.14.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为__________.〖答案〗〖解析〗因为，故，即，由于，故，因为，故.故〖答案〗为：.15.在中，若，则的形状为_________.〖答案〗等腰或直角三角形〖解析〗，由正弦定理可得，所以，即，，或，，或，因此为等腰或直角三角形.故〖答案〗为：等腰或直角三角形.16.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为___________.〖答案〗〖解析〗从2至8的整数有2，3，4，5，6，7，8，互质的两个数有2和3，2和5，2和7，3和4，3和5，3和7，3和8，4和5，4和7，5和6，5和7，5和8，6和7，7和8，共14对，所以随机取2个数，互质的概率为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知一个圆锥的底面半径为，高为，在其内部有一个高为的内接圆柱．（1）求圆柱的侧面积；（2）求圆柱的侧面积的最大值及此时的值．解：（1）设圆锥顶点为，底面圆心为，圆柱的底面半径为，作出圆锥和圆柱的轴截面如下图所示，，，则，圆柱侧面积.（2）由（1）知：，当时，圆柱侧面积取得最大值.18.已知向量，，.（1）求的值；（2）若，，且，求的值.解：（1）根据题意，由于向量，那么可知.（2）根据题意，由于且，那么.19.定义在上的奇函数，已知当时，．（1）求在上的〖解析〗式；（2）若使不等式成立，求实数m的取值范围．解：（1）因为是定义在上的奇函数，时，，所以，解得，所以时，，当时，，所以，又，所以，，即在上的〖解析〗式为.（2）因为时，，所以可化为，整理得，令，根据指数函数单调性可得，与都是减函数，所以也是减函数，，所以，故实数的取值范围是.20.在中，内角的对边分别为，设的面积为，满足.（1）求角；（2）若，求周长最大值.解：（1）因为，所以，因为，所以，所以，由余弦定理，得，整理得，由余弦定理，得，因为，所以.（2）因为，所以根据正弦定理，得，所以，在中，由余弦定理，得，整理得，因为，所以，整理可得即，当且仅当时等号成立，所以取得最大值是，当时取到，所以周长的最大值为.21.随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人500人．年龄在的老年人300人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）．（1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第95百分位数；（2）已知年龄在的老年人年收入的方差为3，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在的老年人年收入的方差．解：（1）频率分布直方图中，该地年龄在的老年人年收入的平均数约为：，由频率分布直方图，年收入在万元以下的老年人所占比例为，年收入在万元以下的老年人所占比例为，因此，第95百分位数一定位于内，由，可以估计该地年龄在的老年人年收入的第95百分位数为.（2）设年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为，由（1）得，由题意得，，，，则，由，可得，即估计该地年龄在的老年人的年收入方差为3.22.如图，是半球的直径，为球心，依次是半圆上的两个三等分点，是半