2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第二章第7节 第1课时 抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质含答案

2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第二章第七节抛物线第1课时抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质课标解读考向预测1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.近三年高考考查了抛物线的定义和标准方程以及抛物线的准线，以选择题、填空题为主．预计2025年高考本部分内容仍以基础知识为考点，注意几何性质的应用.必备知识——强基础1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离eq\x(\s\up1(01))相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的eq\x(\s\up1(02))焦点，直线l叫做抛物线的eq\x(\s\up1(03))准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形范围eq\x(\s\up1(04))x≥0，y∈Req\x(\s\up1(05))x≤0，y∈Req\x(\s\up1(06))y≥0，x∈Req\x(\s\up1(07))y≤0，x∈R焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\x(\s\up1(08))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，,0))Feq\x(\s\up1(09))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，,\f(p,2)))Feq\x(\s\up1(10))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，,－\f(p,2)))准线方程eq\x(\s\up1(11))x＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(12))x＝eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(13))y＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(14))y＝eq\f(p,2)开口方向向eq\x(\s\up1(15))右向eq\x(\s\up1(16))左向eq\x(\s\up1(17))上向eq\x(\s\up1(18))下对称轴eq\x(\s\up1(19))x轴eq\x(\s\up1(20))y轴顶点eq\x(\s\up1(21))(0，0)离心率e＝eq\x(\s\up1(22))11．抛物线方程一般首先转化为标准形式．2．在抛物线的标准方程中，焦点的位置与一次项系数的正负保持一致．3．焦点到原点的距离的4倍为一次项系数的绝对值．4．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．()(2)在抛物线的方程中，字母p的几何意义是焦点到抛物线顶点的距离．()(3)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0)．()(4)以(0，1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.3T1改编)抛物线y＝2x2的准线方程为()A．y＝－eq\f(1,8) B．y＝－eq\f(1,4)C．y＝－eq\f(1,2) D．y＝－1答案A解析由y＝2x2，得x2＝eq\f(1,2)y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq\f(1,8).故选A.(2)(人教A选择性必修第一册习题3.3T31改编)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x答案B解析由题意，可得|MF|＝xM＋eq\f(p,2)，则3＋eq\f(p,2)＝4，即p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x.(3)(人教A选择性必修第一册习题3.3T4改编)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．答案y2＝±4eq\r(2)x解析由题意可知双曲线的焦点为(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则eq\f(p,2)＝eq\r(2)，所以p＝2eq\r(2)，所以抛物线C的方程为y2＝±4eq\r(2)x.(4)(人教A选择性必修第一册习题3.3T8改编)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案2eq\r(6)解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x0，－3)，代入x2＝－2y中，得x0＝eq\r(6)，故水面宽2eq\r(6)米．考点探究——提素养考点一抛物线的定义及其应用例1(1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A．直线 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线答案D解析设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1.又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D.(2)(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝()A．7 B．6C．5 D．4答案D解析因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D.【通性通法】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径．注意：“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．【巩固迁移】1．动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，则点P的轨迹方程是()A．y2＝16x B．y2＝－16xC．x2＝16y D．x2＝－16y答案B解析依题意，动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，所以动点P到直线x－4＝0的距离与它到点M(－4，0)的距离相等，所以点P的轨迹是以M为焦点，直线x＝4为准线的抛物线．故点P的轨迹方程是y2＝－16x.故选B.2．(2023·江西抚州质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝3，则点M到y轴的距离为________．答案2eq\r(2)解析设点M的坐标为(xM，yM)，由x2＝4y，得p＝2，根据抛物线的定义，知|MF|＝yM＋eq\f(p,2)＝yM＋1＝3，解得yM＝2，代入x2＝4y，得xM＝±2eq\r(2)，所以点M到y轴的距离为2eq\r(2).考点二抛物线的标准方程与简单几何性质例2(1)(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是()A．y2＝eq\f(9,2)x B．x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝－eq\f(9,2)x D．x2＝－eq\f(4,3)y答案BC解析设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－eq\f(9,2)，m＝eq\f(4,3)，所以y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y.(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．答案x＝－eq\f(3,2)解析解法一：不妨设点P在第一象限，如图，由已知可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，所以kOP＝2，又PQ⊥OP，所以kPQ＝－eq\f(1,2).所以直线PQ的方程为y－p＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))).令y＝0，得x＝eq\f(5,2)p.所以|FQ|＝eq\f(5,2)p－eq\f(p,2)＝2p＝6，所以p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq\f(p,2)＝－eq\f(3,2).解法二：由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).【通性通法】1．求抛物线标准方程的方法定义法若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可待定系数法若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论2.抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．【巩固迁移】3．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．答案x2＝4y解析因为△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(m2,2p)))，则点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，－\f(p,2))).因为焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，△FPM是等边三角形，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m2,2p)＋\f(p,2)＝4，,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋\f(p,2)))\s\up12(2)＋m2)＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＝12，,p＝2，))因此抛物线的方程为x2＝4y.4．(2024·吉林长春期末)已知抛物线y＝mx2过点(2，1)，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．答案2解析因为抛物线y＝mx2过点(2，1)，所以4m＝1，m＝eq\f(1,4)，所以抛物线的方程为x2＝4y.由于焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝2py，其焦点到准线的距离为p，因此2p＝4，p＝2，即该抛物线的焦点到准线的距离为2.考点三与抛物线有关的最值问题(多考向探究)考向1到焦点与到定点(动点)距离之和最小问题例3(2024·四川南充零模)若点A在焦点为F的抛物线y2＝4x上，且|AF|＝2，点P为直线x＝－1上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为()A．2eq\r(5) B．2＋eq\r(5)C．2＋2eq\r(2) D．4答案A解析设点A的坐标为(xA，yA)，抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线x＝－1，|AF|＝xA＋1＝2，xA＝1，则yeq\o\al(2,A)＝4，yA＝±2，不妨设A(1，2)，F(1，0)关于直线x＝－1的对称点为F′(－3，0)，由于|PF|＝|PF′|，所以当A，P，F′三点共线时|PA|＋|PF|最小，所以|PA|＋|PF|的最小值为eq\r(（1＋3）2＋（2－0）2)＝2eq\r(5).故选A.【通性通法】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离或利用对称性进行距离之间的转化，再利用“三点共线”解决．【巩固迁移】5．已知点M(20，40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值为________．答案42或22解析当点M(20，40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋eq\f(p,2)＝41，解得p＝42；当点M(20，40)位于抛物线外时，如图②，当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得eq\r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(p,2)))\s\up12(2))＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.考向2到定直线的距离最小问题例4(2024·浙江金丽衢十二校联考)已知直线l1：3x－4y－6＝0和直线l2：y＝－2，拋物线x2＝4y上一动点P到直线l1、直线l2的距离之和的最小值是()A．2 B．3C．eq\f(11,5) D．eq\f(37,16)答案B解析拋物线x2＝4y的焦点F(0，1)，准线l：y＝－1，设动点P到直线l，l1，l2的距离分别为d，d1，d2，点F到直线l1的距离为d3，则d3＝eq\f(|3×0－4×1－6|,\r(32＋（－4）2))＝2，则d2＝d＋1＝|PF|＋1，可得d1＋d2＝d1＋|PF|＋1≥d3＋1＝3，当且仅当点P在点F到直线l1的垂线上且P在F与l1之间时，等号成立，即动点P到直线l1、直线l2的距离之和的最小值是3.故选B.【通性通法】将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．【巩固迁移】6．(2023·山西阳泉期末)已知点P为抛物线y2＝2px(p>0)上一动点，点Q为圆C：(x＋1)2＋(y－4)2＝1上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若|PQ|＋d的最小值为2，则p＝()A．eq\f(1,2) B．1C．3 D．4答案D解析如图，圆C：(x＋1)2＋(y－4)2＝1的圆心C(－1，4)，半径r＝1，抛物线的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).根据抛物线的定义可知d＝|PF|－eq\f(p,2)，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|－eq\f(p,2)，由图可知，当C，Q，P，F共线，且P，Q在线段CF之间时，|PQ|＋|PF|最小，而|CF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋1))\s\up12(2)＋16)，故有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|PQ|＋|PF|－\f(p,2)))eq\s\do7(min)＝|CF|－r－eq\f(p,2)＝2，即eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋1))\s\up12(2)＋16)－1－eq\f(p,2)＝2，解得p＝4.故选D.课时作业一、单项选择题1．(2024·江苏南通调研)抛物线y＝4x2的焦点坐标是()A．(0，1) B．(1，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0))答案C解析抛物线y＝4x2的标准方程为x2＝eq\f(1,4)y，其焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))).故选C.2．(2023·山东枣庄模拟)已知点(1，1)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，则C的焦点到其准线的距离为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．1 D．2答案B解析由点(1，1)在抛物线上，易知1＝2p，p＝eq\f(1,2)，故焦点到其准线的距离为eq\f(1,2).故选B.3．(2023·湖南名校模拟)已知抛物线x2＝my(m>0)上的点(x0，1)到该抛物线的焦点F的距离为2，则m＝()A．1 B．2C．4 D．6答案C解析由x2＝my(m>0)，可得其焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(m,4)))，准线方程为y＝－eq\f(m,4)，因为点(x0，1)到该抛物线的焦点F的距离为2，所以点(x0，1)到抛物线准线的距离为2，则1＋eq\f(m,4)＝2，解得m＝4.故选C.4．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PQ⊥l，垂足为Q，若|PF|＝4，则∠FQP＝()A．30° B．45°C．60° D．75°答案C解析设P(x0，y0)，则|PQ|＝y0＋1，由抛物线的定义可得|PQ|＝|PF|，即y0＋1＝4，则y0＝3，又xeq\o\al(2,0)＝4y0，则xeq\o\al(2,0)＝12，不妨令P位于第一象限，则x0＝2eq\r(3)，即P(2eq\r(3)，3)，因此Q(2eq\r(3)，－1)，所以|QF|＝eq\r(12＋4)＝4，所以|PQ|＝|PF|＝|QF|，因此△FQP为等边三角形，所以∠FQP＝60°.故选C.5．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(m，2)是抛物线C上一点，且|MF|＝3，点P在抛物线C上运动，则点P到直线l：y＝x－2的最小距离是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．1 D．eq\r(2)答案B解析因为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(m，2)是抛物线C上一点，且|MF|＝3，所以2＋eq\f(p,2)＝3，解得p＝2，所以抛物线C：x2＝4y，设P(2x，x2)，则点P到直线l：y＝x－2的距离为eq\f(|2x－x2－2|,\r(2))＝eq\f(x2－2x＋2,\r(2))，所以当x＝1时距离最小，最小值为eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).故选B.6．(2024·福建福州质检)已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝()A．3 B．4C．5 D．6答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，抛物线y2＝2x，则Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，焦点F恰好是△ABC的重心，则x1＋x2＋x3＝3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，故|FA|＋|FB|＋|FC|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,2)))＝x1＋x2＋x3＋eq\f(3,2)＝3.故选A.7．(2024·广东南粤名校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝3，FM的延长线交y轴于点N，若M为线段FN的中点，则p＝()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．6答案C解析过点M作MA⊥y轴于点A，交抛物线的准线于点B，由题意得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n2,2p)，n))，由抛物线定义可知，|MF|＝|MB|＝eq\f(n2,2p)＋eq\f(p,2)＝3，因为M为线段FN的中点，所以|AM|＝eq\f(1,2)|OF|，所以eq\f(n2,2p)＝eq\f(p,4)，将其代入eq\f(n2,2p)＋eq\f(p,2)＝3，解得p＝4.故选C.8.(2023·福建厦门双十中学校考模拟预测)如图，抛物线C：y2＝－8x的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))的最小值为()A．2 B．3C．4 D．5答案B解析因为抛物线C：y2＝－8x，所以焦点F(－2，0)，如图所示，连接MN，过M作MQ垂直准线x＝2于点Q，则在Rt△NFM中，cos∠NFM＝eq\f(|FN|,|FM|)，所以eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝|eq\o(FM,\s\up6(→))||eq\o(FN,\s\up6(→))|cos∠NFM＝|FM||FN|cos∠NFM＝|FM||FN|·eq\f(|FN|,|FM|)＝|FN|2＝|FM|2－|MN|2＝|FM|2－1，由抛物线的定义，得|FM|＝|MQ|，则由图可得|MQ|的最小值即抛物线顶点O到准线x＝2的距离，即|MQ|min＝2，所以(eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→)))min＝(|FM|2－1)min＝(|MQ|2－1)min＝3.故选B.二、多项选择题9．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2eq\r(2)，则p的值可以是()A．2 B．6C．4 D．8答案AC解析设点M的横坐标为x，由题意，得x＋eq\f(p,2)＝3，2px＝8，解得p＝2或p＝4.故选AC.10．已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程是()A．y2＝16x B．x2＝－8yC．x2＝16y D．x2＝8y答案AB解析对于A，抛物线y2＝16x，开口向右，焦点坐标为(4，0)，在直线x－2y－4＝0上；对于B，抛物线x2＝－8y，开口向下，焦点坐标为(0，－2)，在直线x－2y－4＝0上；对于C，抛物线x2＝16y，开口向上，焦点坐标为(0，4)，不在直线x－2y－4＝0上；对于D，抛物线x2＝8y，开口向上，焦点坐标为(0，2)，不在直线x－2y－4＝0上．故选AB.三、填空题11．(2023·全国乙卷)已知点A(1，eq\r(5))在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．答案eq\f(9,4)解析由题意可得(eq\r(5))2＝2p×1，则2p＝5，抛物线C的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－eq\f(5,4)，所以A到C的准线的距离为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)))＝eq\f(9,4).12．(2024·河南周口模拟)已知抛物线y2＝4x上有一动点M，则M与点N(4，0)之间距离的最小值为________．答案2eq\r(3)解析设M(x，y)，则|MN|2＝(x－4)2＋y2＝(x－4)2＋4x＝(x－2)2＋12(x≥0)，当x＝2时，|MN|2取得最小值12，故|MN|min＝2eq\r(3).13．已知点A(2，0)，B，C在y轴上，且|BC|＝4，则△ABC的外心的轨迹方程为________．答案y2＝4x解析设△ABC的外心为G，且G(x，y)，B(0，a)，C(0，a＋4)，由点G在BC的垂直平分线上，知y＝a＋2.由|GA|2＝|GB|2，得(x－2)2＋y2＝x2＋(y－a)2，故(x－2)2＋y2＝x2＋22，即△ABC的外心的轨迹方程为y2＝4x.14．(2023·福建莆田校考模拟预测)已知抛物线C：x2＝2y的焦点为F，准线为l，A，B是C上异于点O的两点(O为坐标原点)，若∠AFB＝60°，过AB的中点D作DE⊥l于点E，则eq\f(|AB|,|DE|)的最小值为________．答案1解析过点A作AA1⊥l于点A1，过点B作BB1⊥l于点B1，设|AF|＝m，|BF|＝n，所以|DE|＝eq\f(|AA1|＋|BB1|,2)＝eq\f(m＋n,2)，因为|AB|2＝m2＋n2－2mncos∠AFB＝m2＋n2－mn＝(m＋n)2－3mn≥(m＋n)2－eq\f(3（m＋n）2,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))eq\s\up12(2)＝|DE|2，所以|AB|≥|DE|，则eq\f(|AB|,|DE|)的最小值为1，当且仅当m＝n时，等号成立．故eq\f(|AB|,|DE|)的最小值为1.四、解答题15．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M(O为坐标原点)．(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝2.∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意，得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)．又F(1，0)，∴kFA＝eq\f(4,3)，∵MN⊥FA，∴kMN＝－eq\f(3,4)，∴直线FA的方程为y＝eq\f(4,3)(x－1)，①直线MN的方程为y－2＝－eq\f(3,4)x，②联立①②，解得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，∴点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).16．(2023·河北邯郸模拟)已知动圆过定点(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值．解(1)设圆心的坐标为(x，y)，则半径r＝eq\r(（x－4）2＋y2)，又动圆在y轴上截得的弦长为8，所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化简，得y2＝8x，即动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线y＝x＋4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，F到直线y＝x＋4的距离为|FF1|，由抛物线的定义，可知|PP2|＝|PF|－2，所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，由图可知|PP1|＋|PF|的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离，所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝eq\f(6,\r(1＋1))＝3eq\r(2)，所以|PP1|＋|PP2|的最小值为3eq\r(2)－2.17．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，点N(0，3)，若|MF|＝10，且NM⊥NF，则抛物线C的方程可以为()A．y2＝3x B．y2＝4xC．y2＝36x D．y2＝18x答案BC解析设M(x1，y1)，因为|MF|＝10，所以x1＋eq\f(p,2)＝10，因为NM⊥NF，所以eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(NF,\s\up6(→))＝0，即(x1，y1－3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－3))＝0，所以eq\f(p,2)x1－3(y1－3)＝0，所以eq\f(yeq\o\al(2,1),4)－3(y1－3)＝0，解得y1＝6，所以36＝2px1＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝18，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝36x.故选BC.18．(多选)(2024·江苏盐城学情分析)设抛物线y2＝8x的顶点为O，焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点，直线OM交抛物线的准线于点N，下列结论正确的是()A．若|MF|＝4，则|OM|＝2eq\r(5)B．若|MF|＝4，则O为线段MN的中点C．若|MF|＝8，则|OM|＝4eq\r(5)D．若|MF|＝8，则|OM|＝3|ON|答案ABD解析由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2，0)，准线为x＝－2.对于A，设M(x1，y1)，若|MF|＝4，根据抛物线的定义，可得|MF|＝x1＋2＝4，解得x1＝2，可得yeq\o\al(2,1)＝16，可得|OM|＝eq\r(22＋16)＝2eq\r(5)，所以A正确；对于B，由yeq\o\al(2,1)＝16，得y1＝±4，不妨设M(2，4)，则直线OM的方程为y＝2x，令x＝－2，可得y＝－4，即N(－2，－4)，所以O为线段MN的中点，所以B正确；对于C，设M(x2，y2)，若|MF|＝8，根据抛物线的定义，可得|MF|＝x2＋2＝8，解得x2＝6，则yeq\o\al(2,2)＝48，可得|OM|＝eq\r(62＋48)＝2eq\r(21)，所以C不正确；对于D，由yeq\o\al(2,2)＝48，可得y2＝±4eq\r(3)，不妨设M(6，4eq\r(3))，则直线OM的方程为y＝eq\f(2\r(3),3)x，令x＝－2，可得y＝－eq\f(4\r(3),3)，即Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(4\r(3),3)))，则|ON|＝eq\r(（－2）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(21),3)，所以|OM|＝3|ON|，所以D正确．故选ABD.19.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为点P(1，2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA＝eq\f(y1－2,x1－1)(x1≠1)，kPB＝eq\f(y2－2,x2－1)(x2≠1)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yeq\o\al(2,1)＝4x1，,yeq\o\al(2,2)＝4x2，))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①,②))所以eq\f(y1－2,\f(1,4)yeq\o\al(2,1)－1)＝－eq\f(y2－2,\f(1,4)yeq\o\al(2,2)－1)，所以y1＋2＝－(y2＋2)，所以y1＋y2＝－4.由①－②，得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，所以kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝－1(x1≠x2)．20．(2024·广东信宜摸底)已知抛物线E：x2＝2py(p>0)上的一点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xM，\f(3,4)))到准线的距离为1.(1)求抛物线E的方程；(2)若正方形ABCD的三个顶点A，B，C在抛物线E上，求此正方形面积的最小值．解(1)抛物线E的准线方程为y＝－eq\f(p,2)，由抛物线上点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xM，\f(3,4)))到准线的距离为1，得eq\f(3,4)＋eq\f(p,2)＝1，∴p＝eq\f(1,2)，∴抛物线E的方程为x2＝y.(2)如图，设三个顶点有两个在y轴的右侧(包括y轴)，设在抛物线y＝x2上的三个点A，B，C的坐标分别为(x1，xeq\o\al(2,1))，(x2，xeq\o\al(2,2))，(x3，xeq\o\al(2,3))，x1<x2<x3，直线BC的斜率为k(k>0)，则有xeq\o\al(2,3)－xeq\o\al(2,2)＝k(x3－x2)，xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝－eq\f(1,k)(x1－x2)，即x3＋x2＝k，x1＋x2＝－eq\f(1,k)，∴x3＝k－x2，x1＝－eq\f(1,k)－x2，①又|CB|＝|AB|，∴(xeq\o\al(2,3)－xeq\o\al(2,2))2＋(x3－x2)2＝(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))2＋(x1－x2)2，即(x3－x2)2[(x3＋x2)2＋1]＝(x1－x2)2·[(x1＋x2)2＋1]，将①式代入，得(2x2－k)2(k2＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2＋\f(1,k)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1))，即k2(2x2－k)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2＋\f(1,k)))eq\s\up12(2).∵2x2＋eq\f(1,k)＝2x2－(x1＋x2)＝x2－x1>0，2x2－k＝2x2－(x2＋x3)＝x2－x3<0，k>0，∴k(2x2－k)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2＋\f(1,k)))，化简得x2＝eq\f(\f(k3－1,k),2k＋2)＝eq\f(k3－1,2k（k＋1）)，∴正方形的面积为S＝|AB|2＝(2x2－k)2(k2＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k3－1,k2＋k)－k))eq\s\up12(2)(k2＋1)＝eq\f(（k2＋1）2,k2（k＋1）2)·(k2＋1)，∵k2＋1≥2k，∴(k2＋1)2≥4k2，当且仅当k＝1时，等号成立，∴2(k2＋1)≥k2＋1＋2k＝(k＋1)2，即k2＋1≥eq\f(1,2)(k＋1)2，∴S＝eq\f(（k2＋1）2,k2（k＋1）2)·(k2＋1)≥eq\f(4k2,k2（k＋1）2)·eq\f(1,2)(k＋1)2＝2.∴正方形面积的最小值为2.第2课时直线与抛物线的位置关系课标解读考向预测1.会判断直线与抛物线的位置关系.2.会求直线与抛物线相交所得的弦长.3.能解决与抛物线的切线相关的简单几何问题.从近几年高考来看，直线与圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点，高考试题中加大了思维能力的考查，以及二级结论的考查，减少了对复杂运算的考查．预计2025年高考对直线与抛物线综合问题考查的难度会增加，平时应注意二级结论的应用.必备知识——强基础1．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系(2)设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋(2km－2p)x＋m2＝0.①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线eq\x(\s\up1(04))相交，有eq\x(\s\up1(05))两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线eq\x(\s\up1(06))相切，有eq\x(\s\up1(07))一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线eq\x(\s\up1(08))相离，eq\x(\s\up1(09))无交点．②若k＝0，直线与抛物线eq\x(\s\up1(10))只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的eq\x(\s\up1(11))必要不充分条件．2．弦长问题设直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)(k为直线的斜率，k≠0)．3．抛物线的焦点弦问题若MN为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)，则焦点弦长为|MN|＝eq\x(\s\up1(12))x1＋x2＋p(x1，x2分别为M，N的横坐标)．设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式如下表．标准方程弦长公式y2＝2px(p>0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p>0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p>0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p>0)|AB|＝p－(y1＋y2)4.抛物线的切线(1)过抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x1，y1)的切线方程是y1y＝p(x＋x1)．(2)抛物线y2＝2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y＝kx＋eq\f(p,2k)(k≠0)．抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦，长度为2p；(8)过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点．设直线l1的倾斜角为α，则|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，|DE|＝eq\f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))＝eq\f(2p,cos2α).1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点．()(2)已知过抛物线C：y2＝x的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若直线l垂直于x轴，则|AB|＝1.()(3)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2＝2.()答案(1)×(2)√(3)×2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册3.3例4改编)斜率为eq\r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝()A．eq\f(8,3) B．eq\f(16,3)C．5 D．3eq\r(3)答案B解析由题意得，抛物线的焦点为F(1，0)，直线AB的方程为y＝eq\r(3)(x－1)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)（x－1），,y2＝4x，))得3x2－10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(10,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝eq\f(16,3).(2)(人教A选择性必修第一册习题3.3T12改编)过定点P(0，1)且与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点的直线有________条．答案3解析当斜率不存在时，直线方程为x＝0，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝8x，))得k2x2＋(2k－8)x＋1＝0，当k＝0时，直线方程为y＝1，只有一个公共点，符合题意；当k≠0时，令Δ＝(2k－8)2－4k2＝0，解得k＝2，即直线与抛物线有一个公共点，符合题意．所以满足题意的直线有3条．(3)过点P(4，－3)作抛物线y＝eq\f(1,4)x2的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为________________．答案2x－y＋3＝0解析设切点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，又y′＝eq\f(1,2)x，则切线PA的方程为y－y1＝eq\f(1,2)x1(x－x1)，即y＝eq\f(1,2)x1x－y1，同理，切线PB的方程为y＝eq\f(1,2)x2x－y2，由P(4，－3)是PA，PB的交点可知，－3＝2x1－y1，－3＝2x2－y2，由两点确定一条直线，可得过A，B的直线方程为－3＝2x－y，即2x－y＋3＝0.(4)(2024·山东济南模拟)已知A，B为抛物线C：x2＝4y上的两点，M(－1，2)，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，则直线AB的方程为________________．答案x＋2y－3＝0解析由题意知点M(－1，2)在抛物线内，且M(－1，2)是线段AB的中点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,1)＝4y1，,xeq\o\al(2,2)＝4y2，))两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝4(y1－y2)，即kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝－eq\f(1,2)，则直线AB的方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x＋1)，即x＋2y－3＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3＝0，,x2＝4y，))消去y，得x2＋2x－6＝0，Δ＝22－4×(－6)＞0，故斜率为－eq\f(1,2)符合题意．因此直线AB的方程为x＋2y－3＝0.考点探究——提素养考点一抛物线的切线例1(1)过抛物线x2＝4y上一点(4，4)的抛物线的切线方程为()A．2x－y－4＝0 B．2x＋y－4＝0C．x－2y＋4＝0 D．x＋2y＋4＝0答案A解析解法一：设切线方程为y－4＝k(x－4)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－4＝k（x－4），,x2＝4y))⇒x2＝4(kx－4k＋4)⇒x2－4kx＋16(k－1)＝0，由Δ＝(－4k)2－4×16(k－1)＝0，得k2－4k＋4＝0.∴k＝2.故切线方程为y－4＝2(x－4)，即2x－y－4＝0.解法二：由x2＝4y，得y＝eq\f(x2,4)，∴y′＝eq\f(x,2).∴y′|x＝4＝eq\f(4,2)＝2.∴切线方程为y－4＝2(x－4)，即2x－y－4＝0.(2)(2023·四川成都适应性考试)已知A，B为抛物线y＝x2上两点，以A，B为切点的抛物线的两条切线交于点P，过点A，B的直线斜率为kAB，若点P的横坐标为eq\f(1,3)，则kAB＝________．答案eq\f(2,3)解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线斜率分别为kA，kB，由y＝x2，得y′＝2x，故kA＝2x1，kB＝2x2，所以切线PA的方程为y－xeq\o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，即xeq\o\al(2,1)－2x1x＋y＝0.同理可得，切线PB的方程为xeq\o\al(2,2)－2x2x＋y＝0.设点P的坐标为(x0，y0)，所以xeq\o\al(2,1)－2x1x0＋y0＝0，xeq\o\al(2,2)－2x2x0＋y0＝0，所以x1，x2为方程x2－2x0x＋y0＝0的两根，故x1＋x2＝2x0，x1x2＝y0，则kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝x1＋x2＝2x0＝eq\f(2,3).【通性通法】求抛物线切线方程的方法方法一首先设出切线方程，然后与抛物线方程联立，利用判别式求解方法二首先求导得出切线的斜率，然后由点斜式得出切线方程方法三过抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为y0y＝p(x＋x0)【巩固迁移】1．(多选)(2023·辽宁名校联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线l的方程为y＝－1，过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，以A，B为切点分别作C的两条切线，且两切线交于点M，则下列结论正确的是()A．C的方程为x2＝2yB．∠AMB＝90°C．M恒在l上D．|MF|2＝|AF|·|BF|答案BCD解析由题得－eq\f(p,2)＝－1，所以p＝2，因此C的方程为x2＝4y，A错误；由题意可知AB的斜率存在，F(0，1)，设AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.由y＝eq\f(1,4)x2得y′＝eq\f(1,2)x，所以AM的斜率为kAM＝eq\f(1,2)x1，所以AM的方程为y－y1＝eq\f(1,2)x1(x－x1)，即y－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)x1(x－x1)①，同理BM的斜率为kBM＝eq\f(1,2)x2，所以BM的方程为y－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,2)＝eq\f(1,2)x2(x－x2)②，所以kAM·kBM＝eq\f(1,4)x1x2＝－1，即AM⊥BM，所以∠AMB＝90°，B正确；由①②得(x2－x1)y＝eq\f(1,4)x1x2(x2－x1)，因为x1≠x2，所以y＝－1，将y＝－1代入①②得x＝eq\f(x2＋x1,2)＝2k，所以点M的坐标为(2k，－1)，又C的准线l的方程为y＝－1，所以M恒在l上，C正确；当AB的斜率k不为零时，则kMF＝eq\f(－1－1,2k)＝－eq\f(1,k)，所以kAB·kMF＝－1，所以AB⊥MF，当AB的斜率k＝0时，点M的坐标为(0，－1)，显然AB⊥MF，在Rt△ABM中，由△AMF∽△MBF得eq\f(|MF|,|AF|)＝eq\f(|BF|,|MF|)，所以|MF|2＝|AF|·|BF|，D正确．故选BCD.考点二焦点弦问题例2(1)(2024·河北邯郸模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝()A．4 B．eq\f(9,2)C．5 D．6答案B解析解法一：易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设点A，B的横坐标分别为xA，xB，则xAxB＝1①，因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1②，由①②解得xA＝2，xB＝eq\f(1,2)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq\f(9,2).解法二：由对称性，不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝eq\f(|AE|,|AB|)＝eq\f(1,3)，所以sin2θ＝eq\f(8,9).又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式，得|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(9,2).解法三：因为|AF|＝2|BF|，所以eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,2|BF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(3,2|BF|)＝eq\f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq\f(3,2)，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(9,2).(2)(多选)(2023·湖北鄂州市教学研究室期末)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线l与y轴的交点为D，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点．下列结论正确的是()A．存在点A，B，使∠AOB≤eq\f(π,2)B．|AB|的最小值为4C．DF平分∠ADBD．若点M(2，3)是弦AB的中点，则直线m的方程为x－y＋1＝0答案BCD解析抛物线C的焦点F的坐标为(0，1)，由题意分析可知，直线m的斜率一定存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线m的方程为y＝kx＋1，与抛物线C：x2＝4y联立，得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋eq\f(xeq\o\al(2,1),4)·eq\f(xeq\o\al(2,2),4)＝－4＋1＝－3<0，所以∠AOB为钝角，故A错误；|AB|＝y1＋y2＋2＝kx1＋1＋kx2＋1＋2＝k(x1＋x2)＋4＝4k2＋4≥4(当且仅当k＝0时，等号成立)，故B正确；因为点D(0，－1)，kDA＋kDB＝eq\f(y1＋1,x1)＋eq\f(y2＋1,x2)＝eq\f(kx1＋2,x1)＋eq\f(kx2＋2,x2)＝eq\f(2kx1x2＋2（x1＋x2）,x1x2)＝eq\f(2k×（－4）＋2×4k,x1x2)＝0，即直线DA和直线DB的倾斜角互补，所以DF平分∠ADB，故C正确；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,1)＝4y1，,xeq\o\al(2,2)＝4y2，))两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)，因为点M(2，3)是弦AB的中点，所以x1＋x2＝4，所以直线m的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝1，所以直线m的方程为x－y＋1＝0，故D正确．故选BCD.【通性通法】解决焦点弦问题的策略(1)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解．(2)利用与抛物线焦点弦有关的二级结论求解．【巩固迁移】2．(2024·山东聊城质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为()A．y2＝eq\f(12,5)x B．y2＝eq\f(24,5)xC．y2＝12x D．y2＝6x答案B解析因为直线l的方程为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，即y＝2x－p，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝2x－p，))消去y，得4x2－6px＋p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(3p,2)，又因为弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，所以|AB|＝6，而|AB|＝x1＋x2＋p，所以x1＋x2＝6－p，故eq\f(3p,2)＝6－p，解得p＝eq\f(12,5)，所以抛物线的方程为y2＝eq\f(24,5)x.故选B.3．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－eq\r(3)(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()A．p＝2B．|MN|＝eq\f(8,3)C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形答案AC解析对于A，直线y＝－eq\r(3)(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，所以eq\f(p,2)＝1，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，A正确；对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＞x2，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)（x－1），,y2＝4x，))消去y并化简，得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋eq\f(1,3)＋2＝eq\f(16,3)，B错误；对于C，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝eq\f(1,2)(d1＋d2)＝eq\f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq\f(1,2)|MN|，即A到直线l的距离等于|MN|的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C正确；对于D，由上述分析可知y1＝－eq\r(3)×(3－1)＝－2eq\r(3)，y2＝－eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1))＝eq\f(2\r(3),3)，所以|OM|＝eq\r(32＋（－2\r(3)）2)＝eq\r(21)，|ON|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(13),3)，所以△OMN不是等腰三角形，D错误．故选AC.考点三直线与抛物线的综合问题例3(2023·重庆统考模拟预测)如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，F为其焦点，点A(2，y0)在C上，△OAF的面积为4.(1)求抛物线C的方程；(2)过点P(m，0)(m>0)作斜率为－1的直线l1交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线l2，且l2∥l1，求△MNQ的面积．解(1)由题意，可知抛物线C的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，将A(2，y0)代入抛物线C的方程，得yeq\o\al(2,0)＝4p，且p>0，则|y0|＝2eq\r(p)，因为△OAF的面积为eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×2eq\r(p)＝eq\f(p\r(p),2)＝4，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)由(1)可得抛物线C的方程为y2＝8x，焦点F(2，0)，设直线l1：x＝－y＋m(m>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－y＋m，,y2＝8x，))消去x，得y2＋8y－8m＝0，则Δ＝64＋32m>0，可得y1＋y2＝－8，y1y2＝－8m，因为点M(x1，y1)在抛物线上，则yeq\o\al(2,1)＝8x1，即x1＝eq\f(yeq\o\al(2,1),8)，所以直线MF的方程为x＝eq\f(x1－2,y1)y＋2＝eq\f(\f(yeq\o\al(2,1),8)－2,y1)y＋2＝eq\f(yeq\o\al(2,1)－16,8y1)y＋2，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(yeq\o\al(2,1)－16,8y1)y＋2，,y2＝8x，))消去x，得y2＋eq\f(16－yeq\o\al(2,1),y1)y－16＝0，可得y1y3＝－16，即y3＝－eq\f(16,y1)，则x3＝eq\f(yeq\o\al(2,1)－16,8y1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,y1)))＋2＝eq\f(32,yeq\o\al(2,1))，即Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32,yeq\o\al(2,1))，－\f(16,y1)))，因为l2∥l1，可设l2：x＝－y＋n，代入Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32,yeq\o\al(2,1))，－\f(16,y1)))，得eq\f(32,yeq\o\al(2,1))＝eq\f(16,y1)＋n，即n＝eq\f(32,yeq\o\al(2,1))－eq\f(16,y1)，所以l2：x＝－y＋eq\f(32,yeq\o\al(2,1))－eq\f(16,y1)，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－y＋\f(32,yeq\o\al(2,1))－\f(16,y1)，,y2＝8x，))消去x，得y2＋8y＋8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,y1)－\f(32,yeq\o\al(2,1))))＝0，因为l2为抛物线C的切线，则Δ＝64－32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,y1)－\f(32,yeq\o\al(2,1))))＝0，整理得yeq\o\al(2,1)－8y1＋16＝0，解得y1＝4，又因为y1＋y2＝－8，y1y2＝－8m，y1y3＝－16，可得y2＝－12，m＝6，y3＝－4，即Q(2，－4)，l1：x＝－y＋6，可得|MN|＝eq\r(2)×|4－(－12)|＝16eq\r(2)，点Q(2，－4)到直线l1：x＋y－6＝0的距离d＝eq\f(|2－4－6|,\r(2))＝4eq\r(2)，所以S△MNQ＝eq\f(1,2)|MN|·d＝eq\f(1,2)×16eq\r(2)×4eq\r(2)＝64.【通性通法】解决直线与抛物线综合问题的策略(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线y2＝2px的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则一般用弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【巩固迁移】4．(2023·甘肃张掖高台县第一中学统考期末)已知点A(x0，－2)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，且A到C的焦点F的距离与到x轴的距离之差为eq\f(1,2).(1)求抛物线C的方程；(2)当p<2时，M，N是C上不同于点A的两个动点，且直线AM，AN的斜率之积为－2，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点E，使得|DE|为定值．解(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq\f(p,2)，又点A(x0，－2)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，即(－2)2＝2px0，∴x0＝eq\f(2,p)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,p)，－2))，依题意，可得eq\f(2,p)＋eq\f(p,2)－2＝eq\f(1,2)，解得p＝1或p＝4，∴y2＝2x或y2＝8x.(2)证明：∵p<2，∴y2＝2x，A(2，－2)．设MN：x＝my＋n，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,1),2)，y1))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,2),2)，y2))，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,x＝my＋n，))消去x，整理得y2－2my－2n＝0，Δ＝4m2＋8n>0，(ⅰ)且y1＋y2＝2m，y1y2＝－2n，∴kAM·kAN＝eq\f(2,y1－2)·eq\f(2,y2－2)＝－2，∴(y1－2)(y2－2)＝－2，即y1y2－2(y1＋y2)＋6＝0，∴n＋2m＝3，适合(ⅰ)，将n＝3－2m代入x＝my＋n，得x－3＝m(y－2)，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝0，,y－2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))∴直线MN恒过定点Q(3，2)．又AD⊥MN，∴点D在以AQ为直径的圆上，∵A，Q的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，|AQ|＝eq\r(（2－3）2＋（－2－2）2)＝eq\r(17)，∴以AQ为直径的圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(17,4)，∴存在点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，使得|DE|＝eq\f(\r(17),2)，为定值．课时作业一、单项选择题1．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切答案D解析直线l与抛物线的对称轴平行或直线l与抛物线相切时只有一个公共点，所以D正确．故选D.2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若点C(x1，0)与点D(x2，0)关于直线x＝eq\f(3,2)对称，则|AB|＝()A．3 B．4C．5 D．6答案C解析抛物线y2＝4x，∴p＝2，过焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，又点C(x1，0)与点D(x2，0)关于直线x＝eq\f(3,2)对称，则x1＋x2＝eq\f(3,2)×2＝3，∴|AB|＝3＋2＝5.3．(2023·四川资阳统考三模)已知抛物线C：y2＝8x，过点P(2，－1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，若|AP|＝|BP|，则直线l的斜率是()A．－4 B．4C．－eq\f(1,4) D．eq\f(1,4)答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yeq\o\al(2,1)＝8x1，,yeq\o\al(2,2)＝8x2，))作差得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝8(x1－x2)．因为|AP|＝|BP|，所以P是线段AB的中点，所以y1＋y2＝－2，则直线l的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1＋y2)＝－4.故选A.4.(2024·江西九江二模)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为1cm，瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同且长度为22cm的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内壁．若筷子的中点离桌面的最小距离为7cm，则该抛物线的通径长为()A．16 B．18C．20 D．22答案C解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线为x2＝2py(p>0)，焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AB|＝22，|AB|≤|AF|＋|BF|，∴y1＋y2＋p≥22，设线段AB的中点为M，则2yM＋p≥22，由题意知，yM的最小值为6，即12＋p＝22，得p＝10，∴该抛物线的通径长为2p＝20.故选C.5．(2023·辽宁名校联考)过抛物线C：x2＝4y的焦点F的直线l交C于A，B两点，点A处的切线与x，y轴分别交于点M，N.若△MON(O为坐标原点)的面积为eq\f(1,2)，则|AF|＝()A．2 B．3C．4 D．5答案A解析由题意可知，直线l的斜率存在，且过抛物线C：x2＝4y的焦点F，与其交于A，B两点，设Aeq\b\lc\(\