2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第八章第5节 空间向量及其运算含答案

2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第八章第五节空间向量及其运算课标解读考向预测1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.从近三年高考来看，本节内容主要与立体几何知识结合考查，预计2025年仍然会与立体几何知识结合，考查空间向量线性运算及数量积运算，试题难度中档.必备知识——强基础1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有eq\x(\s\up1(01))大小和eq\x(\s\up1(02))方向的量相等向量方向eq\x(\s\up1(03))相同且模eq\x(\s\up1(04))相等的向量相反向量方向eq\x(\s\up1(05))相反且模eq\x(\s\up1(06))相等的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相eq\x(\s\up1(07))平行或eq\x(\s\up1(08))重合的向量共面向量平行于eq\x(\s\up1(09))同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使eq\x(\s\up1(10))a＝λb．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在eq\x(\s\up1(11))唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在eq\x(\s\up1(12))唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝eq\x(\s\up1(13))|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·beq\x(\s\up1(14))a1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)eq\x(\s\up1(15))a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)eq\x(\s\up1(16))a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))夹角余弦值cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))4．投影向量(1)向量a在向量b上的投影先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．(2)向量a在直线l上的投影如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量．(3)向量a在平面β上的投影如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，则向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．1．在空间中，A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为空间任意一点．2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点．3．空间向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．4．在利用eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.()(2)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()(3)空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．()答案(1)×(2)×(3)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题1.2T2改编)若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是()A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}答案C解析∵λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b共面，∴A，B，D不符合题意．故选C.(2)(人教A选择性必修第一册习题1.1T2改编)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c答案A解析由题意，得eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.故选A.(3)(2024·山东济南期中)在平面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，3，4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(a，－2，0)，则实数a＝________．答案eq\f(10,7)解析由于eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))共面，所以存在实数x，y，使得eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－x－y，,－2＝x＋3y，,0＝－x＋4y，))解得x＝－eq\f(8,7)，y＝－eq\f(2,7)，a＝eq\f(10,7).(4)(2024·四川成都树德中学模拟)已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则eq\o(AD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________．答案3解析设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，由题意得，|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，a·c＝1，b·c＝1，eq\o(AD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(b＋c)·(b＋a)＝b2＋b·c＋b·a＋a·c＝1＋1＋0＋1＝3.考点探究——提素养考点一空间向量的线性运算例1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))1.解(1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c＋a))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.【通性通法】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．【巩固迁移】1．(2023·广东深圳外国语学校期中)在正四面体A－BCD中，其外接球的球心为O，则eq\o(AO,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))D．eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))答案C解析在正四面体A－BCD中，设△BCD的中心为E，BC的中点为F.因为O是外接球的球心，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AE,\s\up6(→))，又因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→)).故选C.考点二共线、共面向量定理的应用例2(1)(2023·福建三明模拟)已知{a，b，c}是空间的一个基底，m＝2a＋3b－c，n＝x(a－b)＋y(b－c)＋4(a＋c)，若m∥n，则x＋y＝()A．0 B．－6C．6 D．5答案C解析n＝(x＋4)a＋(y－x)b＋(－y＋4)c，因为m∥n，所以存在实数λ，使得n＝λm，所以(x＋4)a＋(y－x)b＋(－y＋4)c＝λ(2a＋3b－c)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4＝2λ，,y－x＝3λ，,－y＋4＝－λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,x＝0，,y＝6，))所以x＋y＝6.故选C.(2)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．①判断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；②判断点M是否在平面ABC内．解①由题知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．②解法一：由①知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面且所在直线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．解法二：因为eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，且eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．【通性通法】1．对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，若x＋y＝1，则点P，A，B共线．2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)．(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．【巩固迁移】2．(2023·辽宁沈阳模拟)空间中，若向量a＝(5，9，m)，b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)共面，则m＝()A．2 B．3 C．4 D．5答案C解析因为b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)，所以b，c不共线，可以取为基底．若向量a，b，c共面，则存在实数x，y，使得a＝xb＋yc，即(5，9，m)＝x(1，－1，2)＋y(2，5，1)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＝x＋2y，,9＝－x＋5y，,m＝2x＋y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，,m＝4.))故选C.3．(多选)(2024·山东济南模拟)对于空间一点O，下列命题中正确的是()A．若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面B．若eq\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面C．若eq\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，则P，A，B三点共线D．若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))，则B是线段AP的中点答案BCD解析对于A，因为eq\f(1,2)－1＋eq\f(1,2)＝0≠1，所以P，A，B，C四点不共面，故A错误；对于B，因为－eq\f(1,3)＋2－eq\f(2,3)＝1，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；对于C，因为－eq\f(1,3)＋eq\f(4,3)＝1，所以P，A，B三点共线，故C正确；对于D，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，则|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|，eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))共线，且点P，B在点A的一侧，又因为eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))有公共点A，所以A，P，B三点共线，且B是线段AP的中点，故D正确．故选BCD.考点三空间向量的数量积及其应用(多考向探究)考向1求空间向量的数量积例3(1)已知向量a＝(2，1，3)，|a＋b|＝|3a－b|，则a·b＝()A．eq\f(49,2) B．14C．eq\r(14) D．eq\f(35,4)答案B解析因为|a＋b|＝|3a－b|，所以|a＋b|2＝|3a－b|2，即a2＋2a·b＋b2＝9a2－6a·b＋b2，则a·b＝a2，因为a＝(2，1，3)，所以a2＝22＋12＋32＝14，故a·b＝14.故选B.(2)正四面体O－ABC的棱长为1，E为BC的中点，则eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)答案B解析以{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}为基底，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝1，且eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))两两夹角为60°，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))2＋eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,2)－\f(1,2)))＝eq\f(1,4).故选B.【通性通法】空间向量数量积的计算方法(1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.【巩固迁移】4．(多选)已知四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中正确的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|B．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2C．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0D．eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0答案ABD解析如图，作以AB，AC为邻边的平行四边形ACEB，连接AE.对于A，因为AB，AC，AD两两互相垂直，所以AD⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，所以AD⊥AE，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝0，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，则|eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|2，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝0，所以A正确；对于B，因为|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2，所以B正确；对于C，因为AD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥BC，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，因为eq\o(AE,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))不一定垂直，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))不一定等于零，所以C错误；对于D，因为AB，AC，AD两两互相垂直，且AB，AC，AD相交于同一点A，所以AB⊥平面ACD，AC⊥平面ABD，CD⊂平面ACD，BD⊂平面ABD，所以AB⊥CD，AC⊥BD，又AD⊥BC，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，所以D正确．故选ABD.5．(2024·山西大同一中月考)若a，b，c为空间中两两夹角为eq\f(π,3)的单位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a－2b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－c，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝________．答案－1解析由题意，得a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝a·c＝12×coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(2a－2b)·(b－c)＝2a·b－2a·c－2b2＋2b·c＝－1.考向2利用数量积求长度与夹角例4(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则向量eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(DB1,\s\up6(→))夹角的余弦值为()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(5),6)C．－eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(2),2)答案A解析解法一(基底法)：如图，|eq\o(AD1,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(DB1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(AD1,\s\up6(→))·eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))·(－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝2，记向量eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(DB1,\s\up6(→))的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\o(AD1,\s\up6(→))·\o(DB1,\s\up6(→)),|\o(AD1,\s\up6(→))||\o(DB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5).故选A．解法二(空间向量法)：建立如图所示的空间直角坐标系，则有D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，eq\r(3))，B1(1，1，eq\r(3))，所以eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(1，1，eq\r(3))，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1，0，eq\r(3))，设eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(DB1,\s\up6(→))的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\o(AD1,\s\up6(→))·\o(DB1,\s\up6(→)),|\o(AD1,\s\up6(→))||\o(DB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(5),5).故选A.(2)(2024·安徽合肥九中检测)在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，AB＝AC＝AA1＝2，D为BC1上一点，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC1,\s\up6(→))，则|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝()A．2 B．3C．3eq\r(2) D．4eq\r(2)答案A解析由题意，得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\f(4,9)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,9)eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋eq\f(1,9)eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\f(4,9)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(4,9)×4＋eq\f(1,9)×4＋eq\f(1,9)×4＋eq\f(4,9)×2＋0＋eq\f(2,9)×2＝4，则|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2.故选A.【通性通法】(1)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(2)设非零向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，进而可求两向量的夹角．【巩固迁移】6．已知空间三点A(－2，0，8)，P(m，m，m)，B(4，－4，6)，若向量eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))的夹角为60°，则实数m＝()A．1 B．2C．－1 D．－2答案B解析∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2－m，－m，8－m)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(4－m，－4－m，6－m)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－m)(4－m)＋(－m)(－4－m)＋(8－m)(6－m)＝3m2－12m＋40，|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝eq\r(（－2－m）2＋（－m）2＋（8－m）2)＝eq\r(3m2－12m＋68)，|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(（4－m）2＋（－4－m）2＋（6－m）2)＝eq\r(3m2－12m＋68)，由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PB,\s\up6(→))|·cos60°，得3m2－12m＋40＝(3m2－12m＋68)×eq\f(1,2)，整理，得m2－4m＋4＝0，解得m＝2.故选B.7.(2024·辽宁沈阳模拟)如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处．已知库底与水坝所成的二面角为150°，测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为DA＝30eq\r(3)m，CB＝40m，若AB＝20m，则甲、乙两人相距()A．10m B．10eq\r(47)mC．70m D．10eq\r(83)m答案D解析由题意可得，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，则|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))2＝eq\o(DA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋2eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，又DA＝30eq\r(3)m，CB＝40m，AB＝20m，且库底与水坝所成的二面角为150°，则〈eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝30°，所以|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＝(30eq\r(3))2＋202＋402＋0＋2×30eq\r(3)×40×cos30°＋0＝8300，即|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝10eq\r(83).故选D.课时作业一、单项选择题1.(2024·山西太原五中质检)如图，在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示eq\o(OG,\s\up6(→))，则下列表示正确的是()A．eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C．－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))D．eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))答案D解析因为eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))）－\o(OA,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).故选D.2．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由x＋y＋z＝1，得P，A，B，C四点共面，当P，A，B，C四点共面时，x＋y＋z＝1，不能得出x＝2，y＝－3，z＝2.故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．故选B.3．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)答案A解析由题意，得a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，又|a|＝eq\r(1＋0＋1)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),2)，又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为eq\f(π,6).故选A.4．(2024·上海七宝中学开学考试)已知a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，则实数x＝()A．3 B．4C．5 D．6答案C解析a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，可设c＝ma＋nb，即(1，5，x)＝(m，－m，3m)＋(－n，4n，－2n)＝(m－n，4n－m，3m－2n)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝m－n，,5＝4n－m，,x＝3m－2n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝2，,x＝5.))故选C.5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，则x－y＋z＝()A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2答案B解析因为eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，则x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2)，则x－y＋z＝1.故选B.6．(2024·福建漳州模拟)已知空间单位向量a，b，c两两垂直，则|a＋b＋c|＝()A．eq\r(3) B．eq\r(6)C．3 D．6答案A解析由题意，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0，|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝12＋12＋12＝3，∴|a＋b＋c|＝eq\r(3).故选A.7．(2023·湖南郴州模拟)已知空间A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若eq\o(BD,\s\up6(→))＝5eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，则λ＝()A．－2 B．－1C．0 D．1答案B解析由eq\o(BD,\s\up6(→))＝5eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，得eq\o(PD,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝5eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，故eq\o(PD,\s\up6(→))＝5eq\o(PA,\s\up6(→))－3eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得5－3＋λ＝1，解得λ＝－1.8．(2023·山东泰安模拟)已知正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，P是正六棱柱内(不含表面)的一点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))答案A解析建立如图所示的空间直角坐标系，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，由正六边形的性质可得，A(0，0，0)，B(1，0，0)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)，0))，设P(x，y，z)，其中－eq\f(1,2)<x<eq\f(3,2)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y，z)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝x，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))).故选A.二、多项选择题9.(2024·辽宁大连质检)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则下列说法中正确的是()A．eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)cB．|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),3)C．eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(BC1,\s\up6(→))D．cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,6)答案BD解析eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1N,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c，故A错误；由题可知|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，a·c＝b·c＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,9)(a＋b＋c)2＝eq\f(1,9)(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝eq\f(5,9)，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),3)，故B正确；∵eq\o(AB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝c＋b－a，则eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(a＋c)·(c＋b－a)＝a·b－a2＋c2＋b·c＝eq\f(1,2)，|eq\o(AB1,\s\up6(→))|2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2a·c＝3，则|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(BC1,\s\up6(→))|2＝(c＋b－a)2＝c2＋b2＋a2＋2b·c－2a·b－2a·c＝3，则|eq\o(BC1,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，∴cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→)),|\o(AB1,\s\up6(→))||\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\r(3)×\r(3))＝eq\f(1,6)，故C错误，D正确．故选BD.10．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，则此时B，D两点间的距离可能为()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．3答案AC解析∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，又∠ACD＝90°，∴∠CAB＝90°，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，∵在空间四边形ABCD中，AB与CD成60°角，∴〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°或120°，又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝3＋2×1×1×cos〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉，当〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°时，|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝4，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2，即此时B，D两点间的距离为2；当〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝120°时，|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝2，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，即此时B，D两点间的距离为eq\r(2).综上所述，B，D两点间的距离为2或eq\r(2).11.(2023·贵州名校三模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P为空间一点，且满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))，λ，μ∈[0，1]，则()A．当λ＝0时，点P在棱BB1上B．当λ＝μ时，点P在线段B1C上C．当μ＝1时，点P在棱B1C1上D．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上答案ACD解析当λ＝0时，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BB1,\s\up6(→))，又μ∈[0，1]，所以点P在棱BB1上，故A正确；当λ＝μ时，eq\o(BP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝λeq\o(BC1,\s\up6(→))，λ∈[0，1]，所以点P在线段BC1上，故B错误；当μ＝1时，eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))，所以eq\o(B1P,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(B1C1,\s\up6(→))，λ∈[0，1]，所以点P在棱B1C1上，故C正确；当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(BB1,\s\up6(→))，即eq\o(B1P,\s\up6(→))＝λeq\o(B1C,\s\up6(→))，λ∈[0，1]，所以点P在线段B1C上，故D正确．故选ACD.三、填空题12．(2024·广东汕头期末)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．答案2解析∵c－a＝(0，0，1－x)，∴(c－a)·2b＝(0，0，1－x)·(2，4，2)＝2－2x＝－2，解得x＝2.13.(2023·福建厦门一中检测)如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E是上底面A′C′的中心，若eq\o(AC′,\s\up6(→))＝x(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))，则x＝________；若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，则m＋n＝________．答案11解析因为eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))，所以x＝1.因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以m＋n＝1.14．(2024·湖北武汉模拟)已知点A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，O(0，0，0)，点Q在直线OP上运动，则当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值时，点Q的坐标为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))解析设Q(x，y，z)，因为A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，则由点Q在直线OP上可得，存在实数λ使得eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))，所以eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ)，则Q(λ，λ，2λ)，所以eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)，根据二次函数的性质可得，当λ＝eq\f(4,3)时，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值－eq\f(2,3)，此时点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).15.(多选)(2023·黑龙江哈尔滨期中)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是60°，下列说法中正确的是()A．AC1＝6eq\r(6)B．AC1⊥BDC．向量eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是60°D．向量eq\o(BD1,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3)答案AB解析∵在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是60°，∴eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝6×6×cos60°＝18.对于A，∵(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝|eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(216)＝6eq\r(6)，A正确；对于B，∵eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))2＝0，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，即AC1⊥BD，B正确；对于C，连接A1D，由题意可知△AA1D是等边三角形，则∠AA1D＝60°，∵eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1D,\s\up6(→))，且向量eq\o(A1D,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是120°，∴向量eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是120°，C错误；对于D，∵eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝36，|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(（\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AA1,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))）2)＝6eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(（\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))）2))＝6eq\r(3)，∴cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(BD1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|))＝eq\f(36,6\r(2)×6\r(3))＝eq\f(\r(6),6)，D错误．故选AB.16．如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GA1,\s\up6(→))，AC1与平面EFG交于点M，则eq\f(AM,AC1)＝________．答案eq\f(2,13)解析设eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AC1,\s\up6(→))(0<λ<1)，因为eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))＋3eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AG,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝2λeq\o(AE,\s\up6(→))＋3λeq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(3λ,2)eq\o(AG,\s\up6(→))，因为M，E，F，G四点共面，所以2λ＋3λ＋eq\f(3λ,2)＝1，解得λ＝eq\f(2,13)，所以eq\f(AM,AC1)＝eq\f(2,13).17.(2024·江苏南京摸底)如图，在三棱锥P－ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，