2025-高考科学复习创新方案-数学-提升版1含答案

2025-高考科学复习创新方案-数学-提升版第1讲集合[课程标准]1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，了解全集与空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集，能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．1．集合的概念(1)集合中元素的三个特征：eq\x(\s\up1(01))确定性、eq\x(\s\up1(02))互异性、eq\x(\s\up1(03))无序性．(2)元素与集合的关系是eq\x(\s\up1(04))属于或eq\x(\s\up1(05))不属于两种，用符号eq\x(\s\up1(06))∈或eq\x(\s\up1(07))∉表示．(3)集合的表示法：eq\x(\s\up1(08))列举法、eq\x(\s\up1(09))描述法、eq\x(\s\up1(10))图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号eq\x(\s\up1(11))Neq\x(\s\up1(12))N*(或N＋)eq\x(\s\up1(13))Zeq\x(\s\up1(14))Qeq\x(\s\up1(15))R2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等构成两个集合的元素是eq\x(\s\up1(16))一样的eq\x(\s\up1(17))A⊆B且eq\x(\s\up1(18))B⊆A⇔A＝B子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素eq\x(\s\up1(19))A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x∉Aeq\x(\s\up1(20))AB或BA结论任何一个集合是它本身的子集A⊆A若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集A⊆B，B⊆C⇒eq\x(\s\up1(21))A⊆C空集是eq\x(\s\up1(22))任何集合的子集，是eq\x(\s\up1(23))任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)3．集合的基本运算并集交集补集图形符号A∪B＝eq\x(\s\up1(24)){x|x∈A，或x∈B}A∩B＝eq\x(\s\up1(25)){x|x∈A，且x∈B}eq\a\vs4\al(∁UA)＝eq\x(\s\up1(26)){x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)并集的性质：(A∪B)⊇A；(A∪B)⊇B；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A.(2)交集的性质：(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A.(3)补集的性质：∁U(∁UA)＝A；∁UU＝∅；∁U∅＝U；A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U.1．交集与并集的转化(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．2．子集个数若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.3．元素个数用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．1．(2023·银川模拟)下列五个式子：①a⊆{a}；②∅⊆{a}；③{a}∈{a，b}；④{a}⊆{a}；⑤a∈{b，c，a}中，正确的是()A．②④⑤ B．②③④⑤C．②④ D．①⑤答案A解析①错误，应改为a∈{a}；②正确；③错误，应改为{a}{a，b}；④正确；⑤正确．2．(2024·重庆月考)已知集合A＝{x|x2<2，x∈Z}，则A的真子集的个数为()A．3 B．4C．6 D．7答案D解析因为A＝{x|x2<2，x∈Z}＝{－1，0，1}，所以其真子集的个数为23－1＝7.故选D.3．(人教A必修第一册习题1.2T5(1)改编)设集合M＝{5，x2}，N＝{5x，5}，若M＝N，则实数x的值组成的集合为()A．{5} B．{1}C．{0，5} D．{0，1}答案C解析因为M＝N，所以x2＝5x，解得x＝0或5，所以实数x的值组成的集合为{0，5}．故选C.4．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>0}，则(∁RA)∩(∁RB)＝________．答案{x|x≤－1}解析因为A∪B＝{x|x>－1}，所以(∁RA)∩(∁RB)＝∁R(A∪B)＝{x|x≤－1}．5．(人教B必修第一册习题1－1BT6改编)已知A＝[－2，1]，B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(p,3)))，且B∁RA，则实数p的取值范围是________．答案[6，＋∞)解析因为A＝[－2，1]，所以∁RA＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，又因为B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(p,3)))，且B∁RA，所以－eq\f(p,3)≤－2，解得p≥6，所以实数p的取值范围是[6，＋∞)．考向一集合的含义及表示例1(1)(2023·秦皇岛模拟)已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的个数为()A．2 B．4C．6 D．8答案C解析因为A＝{1，2，3}，根据x∈A，y∈A，|x－y|∈A可知，B＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(1，2)，(1，3)，(2，3)}，B中含有6个元素．故选C.(2)已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)，则下列结论中元素与集合的关系正确的是()A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈BC．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B答案C解析由x2≥0，得x2＋1≥1，所以A＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以2∈A，(1，2)∉A，(3，10)∉A；B＝{(x，y)|y＝x2＋1}中的元素是函数y＝x2＋1图象上的点构成的集合，所以2∉B，因为y＝12＋1＝2，y＝32＋1＝10，所以(1，2)∈B，(3，10)∈B.(3)(2024·广东实验中学月考)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A.eq\f(9,2) B.eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)答案D解析集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，当a＝0时，可得x＝eq\f(2,3)，集合A中只有一个元素为eq\f(2,3)；当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一个解，即Δ＝9－8a＝0，可得a＝eq\f(9,8).故选D.理解集合的含义的两个关注点(1)明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合．(2)看集合的构成元素满足的限制条件是什么．注意：利用集合元素的限制条件或元素与集合的关系求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．1.(多选)(2024·长沙一中阶段考试)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是()A．－1∉A B．－11∉AC．3k2－1∈A D．－34∈A答案BCD解析当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；令－11＝3k－1，得k＝－eq\f(10,3)∉Z，所以－11∉A，所以B正确；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正确；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确．2．(2023·徐州模拟)已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，则B＝()A．{0，1} B．{0，1，2}C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}答案C解析由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，对于集合B，由x－1∈A，得－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3，又x∈N*，所以x＝1，2，3，即B＝{1，2，3}．3．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则2023a的值为________；若1∉A，则a不可能取得的值为________．答案1－2，－1，0，eq\f(－1＋\r(5),2)，eq\f(－1－\r(5),2)解析若1∈A，a＋2＝1，则a＝－1，A＝{1，0，1}，不符合集合中元素的互异性；(a＋1)2＝1，则a＝0或－2，当a＝0时，A＝{2，1，3}，符合集合中元素的互异性，当a＝－2时，A＝{0，1，1}，不符合集合中元素的互异性；a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或－2，显然都不符合集合中元素的互异性．因此a＝0，20230＝1.若1∉A，a＋2≠1，解得a≠－1；(a＋1)2≠1，解得a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1，解得a≠－1，－2.又a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3互不相等，由a＋2≠(a＋1)2得a≠eq\f(－1±\r(5),2)；由a＋2≠a2＋3a＋3得a≠－1；由(a＋1)2≠a2＋3a＋3得a≠－2.综上，a的值不可能为－2，－1，0，eq\f(－1＋\r(5),2)，eq\f(－1－\r(5),2).考向二集合间的基本关系例2(1)(2023·茂名二模)已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|2x－a<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2]答案A解析由已知得A＝{x|－1≤x≤1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(a,2)))，若A⊆B，则eq\f(a,2)＞1，所以a＞2.(2)已知集合A＝{x|y＝eq\r(x－1)＋2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,a－1)，1<a≤\f(3,2)))))，则下列结论正确的是()A．A＝B B．A⊆BC．BA D．AB答案C解析因为A＝{x|y＝eq\r(x－1)＋2}＝{x|x≥1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,a－1)，1<a≤\f(3,2)))))＝{x|x≥2}，所以BA.(3)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，①若B⊆A，则实数a的取值范围为________；②若A⊆B，则实数a的取值范围为________．答案①{a|a≤－1或a＝1}②{1}解析由题意，得A＝{－4，0}．①∵B⊆A，∴B＝∅或B＝{－4}或B＝{0}或B＝{－4，0}．当B＝∅时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解，即Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0，解得a<－1；当B＝{－4}或B＝{0}时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根，则Δ＝8a＋8＝0，∴a＝－1，此时B＝{0}，符合条件；当B＝{－4，0}时，－4和0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝8a＋8>0，,－4＋0＝－2（a＋1），,－4×0＝a2－1，))解得a＝1.综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1或a＝1}．②∵A⊆B，∴B＝{－4，0}．由①知a＝1.1．判断两集合间关系的三种方法2．由集合间的关系求参数的解题策略(1)若集合元素是一一列举的，则将集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，此时注意集合中元素的互异性．(2)若集合表示的是不等式的解集，常借助数轴转化为区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，此时需注意端点值能否取到．提醒：题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．1.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝()A．2 B．1C．eq\f(2,3) D．－1答案B解析因为A⊆B，若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B.2．(2024·合肥模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0<x<6，x∈N}，则满足条件AC⊆B的集合C的个数为()A．3 B．4C．7 D．8答案C解析由已知得A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，因为AC⊆B，所以集合C的个数为23－1＝7.故选C.3．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<－2或0≤m≤\f(5,2)))))解析A＝{x|－1≤x≤6}，若B⊆A，则当B＝∅时，有m－1>2m＋1，即m<－2，符合题意；当B≠∅时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6，))解得0≤m≤eq\f(5,2).综上，实数m的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<－2或0≤m≤\f(5,2))))).多角度探究突破考向三集合的基本运算角度集合间的交、并、补运算例3(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．2答案C解析因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C.(2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝()A．∁U(M∪N) B．N∪∁UMC．∁U(M∩N) D．M∪∁UN答案A解析由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪∁UM＝{x|x>－1}，B错误；M∩N＝{x|－1<x<1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，C错误；∁UN＝{x|x≤－1或x≥2}，则M∪∁UN＝{x|x<1或x≥2}，D错误．故选A.集合基本运算的求解策略(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)解决抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算的问题的途径有两条：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用图形化抽象为直观．1.(2023·运城四模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,\r(1－2x))))))，B＝{y|y＝－|x－3|－2}，则A∪B＝()A．∅ B．(－∞，－2]C．(－∞，0) D．(－∞，0]答案C解析A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,\r(1－2x))))))＝{x|x<0}，B＝{y|y＝－|x－3|－2}＝{y|y≤－2}，则A∪B＝(－∞，0)．故选C.2．(2024·广州模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥4或x≤0}，B＝{x|x>4或x≤－2}，则图中阴影部分表示的集合为()A．(－2，0] B．[－2，0]C．[－2，0]∪{4} D．(－2，0]∪{4}答案D解析因为A＝{x|x≥4或x≤0}，B＝{x|x>4或x≤－2}，所以A∪B＝{x|x≥4或x≤0}∪{x|x>4或x≤－2}＝{x|x≥4或x≤0}，A∩B＝{x|x≥4或x≤0}∩{x|x>4或x≤－2}＝{x|x>4或x≤－2}．由题意可知阴影部分表示的集合为[∁U(A∩B)]∩(A∪B)，因为∁U(A∩B)＝{x|－2<x≤4}，所以[∁U(A∩B)]∩(A∪B)＝{x|－2<x≤0或x＝4}．故选D.3．已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝()A．∅ B．MC．N D．R答案B解析解法一：∵∁RM⊆N，∴M⊇∁RN，据此可得M∪(∁RN)＝M.故选B.解法二：如图所示，设矩形区域ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合∁RM，矩形区域CDFG表示集合N，满足∁RM⊆N，结合图形可得M∪(∁RN)＝M.故选B.角度利用集合运算求参数例4(1)(2024·无锡模拟)已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(∁RB)＝{1，2}，则实数a的取值范围为()A．(0，4) B．(0，4]C．(0，3] D．(0，3)答案C解析由集合A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，B＝{x|3x－a<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)))))，可得∁RB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，因为A∩(∁RB)＝{1，2}，所以0<eq\f(a,3)≤1，解得0<a≤3，即实数a的取值范围是(0，3]．故选C.(2)已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2a<x<a＋3}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(10,3)或a≥\f(1,2)))))解析A＝{x|3x2－2x－1≤0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤1))))，①若B＝∅，则2a≥a＋3，解得a≥3，符合题意；②若B≠∅，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<3，,a＋3≤－\f(1,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<3，,2a≥1，))解得a≤－eq\f(10,3)或eq\f(1,2)≤a<3，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(10,3)或a≥\f(1,2))))).根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1.已知集合A＝{x|3x2－2x－5<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,3)))C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)答案C解析依题意A＝{x|3x2－2x－5<0}＝{x|(3x－5)(x＋1)<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(5,3)))))，而A∪B＝B，故A⊆B，得a≤－1.故选C.2．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2，3]，则a＋b＝________．答案－5解析P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}，∵P∪Q＝R，P∩Q＝(2，3]，∴Q＝{x|－1≤x≤3}，∴－1，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系得，－a＝－1＋3＝2，b＝－3，∴a＋b＝－5.角度集合的新定义问题例5(2023·青岛模拟)若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1))，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________．答案0或1或4解析因为B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若a＝0，则B＝∅，满足B为A的真子集，此时A与B构成“全食”；若a>0，则B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,a)))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a))，－\f(1,\r(a)))).若A与B构成“全食”或“偏食”，则eq\f(1,\r(a))＝1或eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,2)，解得a＝1或a＝4.综上，a的值为0或1或4.解决以集合为背景的新定义问题要抓住的两点(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．(2024·泰安期中)对于非空数集A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N*)，其所有元素的算术平均数记为E(A)，即E(A)＝eq\f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n).若非空数集B满足下列两个条件：①B⊆A；②E(B)＝E(A)，则称B为A的一个“保均值子集”．据此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有()A．4个 B．5个C．6个 D．7个答案D解析设集合A＝{1，2，3，4，5}，则该集合中所有元素的算术平均数E(A)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，所以由新定义可知，只需找到非空数集B满足B⊆A，且E(B)＝3即可．据此分析易知，集合{1，2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5}，{2，4}，{3}都符合要求．故集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有7个．故选D.课时作业一、单项选择题1．(2024·武汉二中质检)已知集合M＝{a，2a－1，2a2－1}，若1∈M，则M中所有元素之和为()A．3 B．1C．－3 D．－1答案C解析若a＝1，则2a－1＝1，不满足集合元素的互异性；若2a－1＝1，则a＝1，不满足集合元素的互异性，故2a2－1＝1，解得a＝1(舍去)或a＝－1，故M＝{－1，－3，1}，M中所有元素之和为－3.故选C.2．(2023·四省高考适应性测试)设集合A＝{2，3，a2－2a－3}，B＝{0，3}，C＝{2，a}．若B⊆A，A∩C＝{2}，则a＝()A．－3 B．－1C．1 D．3答案B解析因为B⊆A，所以a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3.若a＝－1，则A＝{2，3，0}，C＝{2，－1}，此时A∩C＝{2}，符合题意；若a＝3，则A＝{2，3，0}，C＝{2，3}，此时A∩C＝{2，3}，不符合题意．故选B.3．(2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅答案A解析因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A.4．(2023·南京一模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x－a)<0))))，若A∩N*＝∅，则实数a的取值范围是()A．{1} B．(－∞，1)C．[1，2] D．(－∞，2]答案D解析解法一：由题意，得A＝{x|(x－1)(x－a)<0}，当a>1时，A＝{x|1<x<a}，因为A∩N*＝∅，所以1<a≤2；当a<1时，A＝{x|a<x<1}，因为A∩N*＝∅，所以a<1；当a＝1时，A＝∅，满足题意．综上所述，实数a的取值范围是(－∞，2]．故选D.解法二：当a＝2时，A＝{x|1<x<2}，A∩N*＝∅，故排除A，B；当a＝0时，A＝{x|0<x<1}，A∩N*＝∅，故排除C.故选D.5．(2023·青岛二模)已知A，B均为R的子集，且A∩(∁RB)＝A，则下列结论中一定成立的是()A．B⊆A B．A∪B＝RC．A∩B＝∅ D．A＝∁RB答案C解析∵A∩(∁RB)＝A，∴A⊆∁RB，用Venn图表示如右．由图可知，A∩B＝∅，即C一定成立，A一定不成立，B，D都不一定成立．故选C.6．(2024·郑州一中质检)已知集合M＝{x|x2－3x<0}，N＝{x|log2x<4}，且全集U＝[－1，20]，则U＝()A．M∩(∁UN) B．N∩(∁UM)C．M∪(∁UN) D．N∪(∁UM)答案D解析由已知得集合M＝(0，3)，N＝(0，16)，则M∩(∁UN)＝∅，N∩(∁UM)＝[3，16)，M∪(∁UN)＝[－1，3)∪[16，20]，N∪(∁UM)＝[－1，20]＝U.故选D.7．(2024·潍坊模拟)设集合M＝{x∈Z|x2<100<2x}，则M的所有子集的个数为()A．3 B．4C．8 D．16答案C解析解不等式x2<100，得－10<x<10，解不等式100<2x，得x>log2100，由于log226<log2100<log227，所以M＝{x∈Z|x2<100<2x}＝{x∈Z|log2100<x<10}＝{7，8，9}，所以M的所有子集的个数为23＝8.故选C.8．调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是()A．最多人数是55 B．最少人数是55C．最少人数是75 D．最多人数是80答案B解析设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则x∈[0，20]，以上两种药都带的人数为y.根据题意列出Venn图，如图所示．由图可知，x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.故选B.二、多项选择题9．(2024·无锡一中月考)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是()A．A∩B＝∅ B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1或x>2} D．A∩(∁RB)＝{x|2<x≤3}答案BD解析∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，B正确；∵∁RB＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪(∁RB)＝{x|x<－2或x>－1}，A∩(∁RB)＝{x|2<x≤3}，C不正确，D正确．10.(2023·济南模拟)图中阴影部分用集合符号可以表示为()A．A∩(B∪C) B．A∪(B∩C)C．A∩∁U(B∩C) D．(A∩B)∪(A∩C)答案AD解析图中阴影部分用集合符号可以表示为A∩(B∪C)或(A∩B)∪(A∩C)．故选AD.11．设集合A＝{x|x＝m＋eq\r(3)n，m，n∈N*}，若对于任意x1∈A，x2∈A，均有x1⊕x2∈A，则运算⊕可能是()A．加法 B．减法C．乘法 D．除法答案AC解析由题意可设x1＝m1＋eq\r(3)n1，x2＝m2＋eq\r(3)n2，其中m1，m2，n1，n2∈N*，则x1＋x2＝(m1＋m2)＋eq\r(3)(n1＋n2)，x1＋x2∈A，所以加法满足条件，A正确；x1－x2＝(m1－m2)＋eq\r(3)(n1－n2)，当n1＝n2时，x1－x2∉A，所以减法不满足条件，B错误；x1x2＝m1m2＋3n1n2＋eq\r(3)(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A，所以乘法满足条件，C正确；eq\f(x1,x2)＝eq\f(m1＋\r(3)n1,m2＋\r(3)n2)，当eq\f(m1,m2)＝eq\f(n1,n2)＝λ(λ>0)时，eq\f(x1,x2)∉A，所以除法不满足条件，D错误．三、填空题12．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2x，\f(y－1,x)，1))，B＝{x2，x＋y，0}，若A＝B，则x＋y＝________．答案2解析显然y＝1，即A＝{2x，0，1}，B＝{x2，x＋1，0}．若x＋1＝1，则x＝0，集合A中元素不满足互异性，舍去，∴x2＝1，且2x＝x＋1，∴x＝1，故x＋y＝2.13．(2024·西安铁一中月考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．答案－11解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.14．(2024·南昌二中质检)已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1<x<2}，且(∁RB)∪A＝R，则实数a的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析由已知可得A＝(－∞，a)，∁RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∵(∁RB)∪A＝R，∴a≥2.四、解答题15．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\r(\f(2x－1,x＋1)－1)))))，B＝{x|－1≤x＋a≤2}．(1)求集合A；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．解(1)由eq\f(2x－1,x＋1)－1≥0，即eq\f(x－2,x＋1)≥0得x<－1或x≥2，所以集合A＝{x|x<－1或x≥2}．(2)集合B＝{x|－1≤x＋a≤2}＝{x|－1－a≤x≤2－a}，由B⊆A得2－a<－1或－1－a≥2，解得a>3或a≤－3，所以实数a的取值范围为(－∞，－3]∪(3，＋∞)．16．(2023·临沂模拟)在①A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋1)>1))))；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题：设集合________，B＝{x|(x－2m)(x－m2－1)<0}(m≠1)，(1)当m＝－1时，求A∩B，B∪(∁RA)；(2)若A∪B＝A，求实数m的取值范围．解(1)当m＝－1时，B＝{x|(x＋2)(x－2)<0}＝{x|－2<x<2}，若选①：eq\f(4,x＋1)>1⇔eq\f(4,x＋1)－1>0⇔eq\f(3－x,x＋1)>0⇔(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3，所以A＝{x|－1<x<3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}，∁RA＝{x|x≤－1或x≥3}，B∪(∁RA)＝{x|x<2或x≥3}．若选②：x2－2x－3<0⇔(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3，所以A＝{x|－1<x<3}，下同选①.若选③：由|x－1|<2得－2<x－1<2，解得－1<x<3，所以A＝{x|－1<x<3}，下同选①.(2)由(1)知A＝{x|－1<x<3}．因为m≠1，所以m2＋1－2m＝(m－1)2>0，即m2＋1>2m，B＝(2m，m2＋1)，因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m≥－1，,m2＋1≤3，))解得－eq\f(1,2)≤m≤eq\r(2).所以实数m的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))∪(1，eq\r(2)]．

第2讲充分条件与必要条件[课程标准]1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的eq\x(\s\up1(01))充分条件，q是p的eq\x(\s\up1(02))必要条件p是q的eq\x(\s\up1(03))充分不必要条件p⇒q且qpp是q的eq\x(\s\up1(04))必要不充分条件pq且q⇒pp是q的eq\x(\s\up1(05))充要条件p⇔qp是q的eq\x(\s\up1(06))既不充分也不必要条件pq且q⇒p1．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．总结：小推大，大不可推小．1．(2024·福清三中月考)已知p：x(x－1)＝0，q：x＝1，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1，因此由p：x(x－1)＝0不一定能推出q：x＝1，但是由q：x＝1一定能推出p：x(x－1)＝0，所以p是q的必要不充分条件．故选B.2．(人教A必修第一册习题1.4T6改编)在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形；若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立．综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选A.3．(人教A必修第一册习题1.4T3(3)改编)若p：AB，q：A∪B＝B，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析因为AB，所以可以推出A∪B＝B；又因为A∪B＝B，所以A⊆B，当A＝B时，推不出AB.故选A.4．(人教A必修第一册习题1.4T2(2)改编)已知命题p：一元二次方程x2－x＋m＝0有实数根，q：m≤eq\f(1,4)，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析若方程x2－x＋m＝0有实数根，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤eq\f(1,4)，所以p是q的充要条件．故选C.5．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由已知，得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以实数a的取值范围是(－∞，2]．考向一充分、必要条件的判断例1(1)(2024·济南模拟)“x>y”的一个充分条件可以是()A．2x－y>eq\f(1,2) B．x2>y2C.eq\f(x,y)>1 D．xt2>yt2答案D解析因为由xt2>yt2，可得x>y，所以“xt2>yt2”是“x>y”的充分条件，所以D符合题意．由2x－y>eq\f(1,2)＝2－1，得x－y>－1，当x＝1，y＝eq\f(3,2)时成立，所以由2x－y>eq\f(1,2)不能推出x>y；由x2>y2，可得|x|>|y|，不一定能推出x>y，例如当x＝－3，y＝2时，x2>y2成立，但x>y不成立；若eq\f(x,y)>1，当y<0时，可得x<y.因此A，B，C均不符合题意．故选D.(2)(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件答案B解析当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝eq\f(π,2)，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要条件但不是充分条件．故选B.(3)(2023·南京师范大学附属扬子中学模拟)设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析由已知条件可知甲乙⇔丙丁，所以甲⇒丁，丁甲，即甲是丁的充分不必要条件．故选A.判断充分条件、必要条件的两种方法(1)定义法(2)集合法基本思路根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断适用范围多适用于命题中涉及字母取值范围的推断问题解题技巧抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，简记为“小充分，大必要”1.(2023·无锡模拟)已知x∈R，则“x≠0”是“x＋|x|>0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析由x＋|x|>0可解得x>0，∵“x≠0”是“x>0”的必要不充分条件，∴“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件．故选B.2．(2023·湖南师大附中二模)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则“a1<0且0<q<1”是“对于任意n∈N*都有an＋1>an”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析∵an＋1＝anq，∴“a1<0且0<q<1”⇒“对于任意n∈N*都有an＋1>an”；“对于任意n∈N*都有an＋1>an”“a1<0且0<q<1”，如an＝2n，满足an＋1>an，n∈N*，但a1＝2，q＝2，∴“a1<0且0<q<1”是“对于任意n∈N*都有an＋1>an”的充分不必要条件．故选A.考向二根据充分、必要条件求参数的范围例2已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________；(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则m的取值范围为________．答案(1)[0，3](2)[9，＋∞)解析由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则S⊆P，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m≤10，,1－m≤1＋m，))解得0≤m≤3，故m的取值范围为[0，3]．(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则PS，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))∴m≥9，则m的取值范围为[9，＋∞)．由充分、必要条件求参数范围的策略巧用转化求参数把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形端点值慎取舍在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为()A．(－∞，－7)∪(1，＋∞) B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)C．(－7，1) D．[－7，1]答案B解析由(x－m)2>3(x－m)得x<m或x>3＋m，所以p：x<m或x>3＋m；由x2＋3x－4<0得－4<x<1，所以q：－4<x<1.因为p是q的必要不充分条件，所以m≥1或m＋3≤－4，得m≥1或m≤－7.故选B.课时作业一、单项选择题1．(2024·广州模拟)已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1，0，1}，则“a＝0”是“M⊆N”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析当a＝0时，集合M＝{1，0}，N＝{－1，0，1}，可得M⊆N，满足充分性；若M⊆N，则a＝0或a＝－1，不满足必要性，所以“a＝0”是“M⊆N”的充分不必要条件．故选A.2．复数z的共轭复数为eq\o(z,\s\up6(－))，则“z为纯虚数”是“z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝0”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析由z为纯虚数，设z＝bi，b∈R，且b≠0，可得eq\o(z,\s\up6(－))＝－bi，则z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝bi－bi＝0；当z＝0时，可得eq\o(z,\s\up6(－))＝0，则z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝0＋0＝0，但此时z不是纯虚数，所以“z为纯虚数”是“z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝0”的充分不必要条件．故选B.3．已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.4．(2023·济宁模拟)已知f(x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析∵函数f(x)是R上的奇函数，∴若x1＋x2＝0，则x1＝－x2，则f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；若f(x)＝0，满足f(x)是R上的奇函数，当x1＝x2＝2时，f(x1)＝f(x2)＝0，此时满足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要条件．5．(2023·北京高考)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析解法一：因为xy≠0，且eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的充要条件．故选C.解法二：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝eq\f(y,－y)＋eq\f(－y,y)＝－1－1＝－2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立．所以“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的充要条件．故选C.解法三：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝eq\f(x2＋y2,xy)＝eq\f(x2＋y2＋2xy－2xy,xy)＝eq\f(（x＋y）2－2xy,xy)＝eq\f(－2xy,xy)＝－2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2，所以eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝eq\f(x2＋y2,xy)＝eq\f(x2＋y2＋2xy－2xy,xy)＝eq\f(（x＋y）2－2xy,xy)＝eq\f(（x＋y）2,xy)－2＝－2，所以eq\f(（x＋y）2,xy)＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立．所以“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的充要条件．故选C.6．(2023·八省联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，则“an>0”是“{Sn}是递增数列”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析若an>0，则Sn>Sn－1，∴{Sn}是递增数列，∴“an>0”是“{Sn}是递增数列”的充分条件；若{Sn}是递增数列，则Sn>Sn－1，∴an>0(n≥2)，但是a1的符号不确定，∴“an>0”不是“{Sn}是递增数列”的必要条件．故选A.7．(2023·烟台一模)在△ABC中，“A>eq\f(π,6)”是“sinA>eq\f(1,2)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析在△ABC中，A∈(0，π)，由sinA>eq\f(1,2)，可得eq\f(π,6)<A<eq\f(5π,6)，所以“A>eq\f(π,6)”是“sinA>eq\f(1,2)”的必要不充分条件．故选B.8．(2024·深圳罗湖区期末)已知实数a>0，且a≠1，则“2a>2”是“logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))>0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析由2a>2，得a>1；由logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))>0，可得logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))>loga1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,a＋\f(1,2)>1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,0<a＋\f(1,2)<1，))解得a>1或0<a<eq\f(1,2).因此“2a>2”是“logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))>0”的充分不必要条件．故选A.二、多项选择题9．下列四个选项中，q是p的充要条件的是()A．p：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0，))q：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,ab＝0))B．p：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，))q：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,ab＝1))C．p：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0，))q：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b>0，,ab>0))D．p：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,b>1，))q：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b>2，,ab>1))答案ABC解析对于A，由a＝0，b＝0，可得a＋b＝0，ab＝0，反之也成立，∴q是p的充要条件；对于B，由a＝1，b＝1，可得a＋b＝2，ab＝1，反之也成立，∴q是p的充要条件；对于C，由a>0，b>0，可得a＋b>0，ab>0，反之也成立，∴q是p的充要条件；对于D，由a>1，b>1，可得a＋b>2，ab>1，反之不成立，例如取a＝6，b＝eq\f(1,2)，∴q是p的必要不充分条件．故选ABC.10．已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是()A．l⊂α，l⊥β B．l⊥α，m⊥β，l⊥mC．α⊥γ，β∥γ D．l⊂α，m⊂β，l⊥m答案ABC解析由面面垂直的判定可以判断A，B，C符合题意；对于D，l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α，β相交或平行，D不符合题意．故选ABC.11．(2023·长沙一模)下列选项中，与“x2>x”互为充要条件的是()A．x>1 B．2x2>2xC.eq\f(1,x)<1 D．|x(x－1)|＝x(x－1)答案BC解析x2>x的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，对于A，因为(1，＋∞)为(－∞，0)∪(1，＋∞)的真子集，故A不符合题意；对于B，因为2x2>2x等价于x2>x，其解集也是(－∞，0)∪(1，＋∞)，故B符合题意；对于C，eq\f(1,x)<1即x(x－1)>0，其解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故C符合题意；对于D，|x(x－1)|＝x(x－1)即x(x－1)≥0，其解集为(－∞，0]∪[1，＋∞)，(－∞，0)∪(1，＋∞)为(－∞，0]∪[1，＋∞)的真子集，故D不符合题意．故选BC.三、填空题12．《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的________(填“充分条件”“必要条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．答案必要条件解析由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”指的是逻辑中的必要条件．13．直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________．答案－1<k<3解析直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于eq\f(|1－0－k|,\r(2))<eq\r(2)，解得－1<k<3.14．(2023·衡水一中第一次调研)若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数．(1)若A是B的充要条件，则b＝________；(2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________．答案(1)eq\f(1,2)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析(1)由已知可得A＝B，则x＝2是方程bx＝1的解，且有b>0，解得b＝eq\f(1,2).(2)若A是B的充分不必要条件，则AB，则有b>0，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,b)))))，由(2，＋∞)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)，＋∞))，得eq\f(1,b)<2，b>eq\f(1,2)，所以若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).四、解答题15．设p：{x|x2＋2x－3＜0}，q：{x|x2＋(m－1)x－m＜0，m≠－1}．(1)若m＝4，判断p是q的充分条件还是必要条件；(2)若p是q的________，求m的取值集合．在①充分不必要条件；②必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充在第(2)问中的横线上，并解答．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解设集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|x2＋(m－1)x－m＜0}．(1)当m＝4时，B＝{x|x2＋3x－4＜0}＝{x|－4＜x＜1}，∵AB，∴p是q的充分条件．(2)选①，若p是q的充分不必要条件，则AB，∵A＝{x|－3＜x＜1}，当m＜－1时，B＝{x|1＜x＜－m}，AB不可能；当m＞－1时，B＝{x|－m＜x＜1}，由AB，得－m<－3，即m>3.∴m的取值集合为{m|m＞3}．选②，若p是q的必要不充分条件，则BA.∵A＝{x|－3＜x＜1}，当m＜－1时，B＝{x|1＜x＜－m}，BA不可能；当m＞－1时，B＝{x|－m＜x＜1}，由BA，得－m>－3，即－1<m<3.∴m的取值集合为{m|－1＜m＜3}．16．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明设p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.①充分性(p⇒q)：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况：当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立；当xy>0时，则x>0，y>0或x<0，y<0.又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立；当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性(q⇒p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，所以|xy|＝xy，所以xy≥0.由①②可得，|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.

第3讲全称量词与存在量词[课程标准]1.理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个，用符号“eq\x(\s\up1(01))∀”表示；存在量词有：存在一个、至少有一个、有些，用符号“eq\x(\s\up1(02))∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为eq\x(\s\up1(03))∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为eq\x(\s\up1(04))∃x∈M，p(x)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)eq\x(\s\up1(05))∃x∈M，¬p(x)∃x∈M，p(x)eq\x(\s\up1(06))∀x∈M，¬p(x)1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．2．常用的正面叙述词语和它的否定词语正面词语等于(＝)大于(>)小于(<)是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是正面词语都是任意的所有的至多有一个至少有一个否定词语不都是某个某些至少有两个一个也没有3.因为命题p与¬p的真假性相反，所以不管是全称量词命题还是存在量词命题，当其真假不易判断时，可先判断其否定的真假．1．(人教A必修第一册习题1.5T3(1)改编)命题“∃x∈Q，|x|∈N”的否定是()A．∀x∉Q，|x|∉N B．∀x∈Q，|x|∈NC．∃x∉Q，|x|∉N D．∀x∈Q，|x|∉N答案D解析存在量词命题的否定需要把存在量词改为全称量词，并否定结论．故选D.2．(2023·厦门模拟)已知集合M，N满足M∩N≠∅，则()A．∀x∈M，x∈N B．∀x∈M，x∉NC．∃x∈M，x∈N D．∃x∈M，x∉N答案C解析∵集合M，N满足M∩N≠∅，∴由交集定义得∃x∈M，x∈N.故选C.3．(2024·宁德一中质检)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是()A．[－1，3] B．(－1，3)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析因为命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”等价于“x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.4．(人教A必修第一册1.5.2练习T2改编)“等边三角形都是等腰三角形”的否定是________．答案存在一个等边三角形，它不是等腰三角形解析全称量词命题的否定是存在量词命题．故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形．5．(人教B必修第一册1.2.1练习BT4改编)若“∀x∈[－1，2]，x2－m≤1”为真命题，则实数m的最小值为________．答案3解析因为“∀x∈[－1，2]，x2－m≤1”为真命题，所以m≥x2－1对x∈[－1，2]恒成立，即m≥(x2－1)max＝3.考向一全称量词命题、存在量词命题真假的判断例1(1)(2023·沈阳东北育才学校模拟)已知P，Q为R的两个非空真子集，若∁RQ∁RP，则下列结论正确的是()A．∀x∈Q，x∈P B．∃x∈∁RP，x∈∁RQC．∃x∉Q，x∈P D．∀x∈∁RP，x∈∁RQ答案B解析因为∁RQ∁RP，所以PQ，如图，对于A，由题意知P是Q的真子集，故∃x∈Q，x∉P，故A不正确；对于B，由∁RQ是∁RP的真子集且∁RQ，∁RP都不是空集知，∃x∈∁RP，x∈∁RQ，故B正确；对于C，由P是Q的真子集知，∀x∉Q，x∉P，故C不正确；对于D，∁RQ是∁RP的真子集，故∃x∈∁RP，x∉∁RQ，故D不正确．故选B.(2)(多选)(2024·厦门外国语学校期中)下列命题中为真命题的是()A．∃x∈(0，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)B．∃x∈(0，1)，logeq\s\do10(\f(1,2))x＞logeq\s\do10(\f(1,3))xC．∀x∈(0，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＞logeq\s\do10(\f(1,2))xD．∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜logeq\s\do10(\f(1,3))x答案BD解析当x＞0时，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的图象永远在y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)的图象上方，因此A是假命题；当0＜x＜1时，y＝logeq\s\do10(\f(1,2))x的图象永远在y＝logeq\s\do10(\f(1,3))x的图象上方，因此B是真命题；当x＝eq\f(1,2)时，eq\r(\f(1,2))＜1＝logeq\s\do10(\f(1,2))eq\f(1,2)，因此C是假命题；当0＜x＜eq\f(1,3)时，logeq\s\do10(\f(1,3))x＞1＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，因此D是真命题．故选BD.判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路1.已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A．∀x∈R，f(－x)≠f(x) B．∀x∈R，f(－x)≠－f(x)C．∃x∈R，f(－x)≠f(x) D．∃x∈R，f(－x)≠－f(x)答案C解析∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴∃x∈R，f(－x)≠f(x)为真命题．2．(2024·江西师大附中月考)下列命题为真命题的是()A．∃x∈R，ln(x2＋1)<0B．∀x>2，2x>x2C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβD．∀x∈(0，π)，sinx>cosx答案C解析∵x2＋1≥1，∴ln(x2＋1)≥0，故A是假命题；当x＝3时，23<32，故B是假命题；当α＝β＝0时，sin(α－β)＝sinα－sinβ，故C是真命题；当x＝eq\f(π,6)∈(0，π)时，sinx＝eq\f(1,2)，cosx＝eq\f(\r(3),2)，sinx<cosx，故D是假命题．故选C.考向二含有一个量词的命题的否定例2(1)(2023·潍坊二模)十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马定理的否定为()A．对任意正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn都没有正整数解B．对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解C．存在正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解D．存在正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解答案D解析命题为全称量词命题，则命题的否定为“存在正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解”．故选D.(2)(2023·德州调研)命题“∃x∈R，1<f(x)≤2”的否定是()A．∀x∈R，1<f(x)≤2 B．∃x∈R，1<f(x)≤2C．∃x∈R，f(x)≤1或f(x)>2 D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2答案D解析存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故选D.写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤1.(2023·泰安三模)命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是()A．所有奇函数的图象都不关于原点对称B．所有非奇函数的图象都关于原点对称C．存在一个奇函数的图象不关于原点对称D．存在一个奇函数的图象关于原点对称答案C解析全称量词命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是存在量词命题，所以命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是“存在一个奇函数的图象不关于原点对称”．故选C.2．(2024·商丘月考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案B解析根据存在量词命题的否定为全称量词命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．考向三由命题的真假求参数的取值范围例3(1)(2023·南通模拟)若“∃x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”为假命题，则k的取值范围为()A．(－∞，－2] B．(－∞，2]C．(－∞，－2) D．(－∞，2)答案A解析依题意知，命题“∃x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”为假命题，则“∀x∈(0，π)，sin2x－ksinx≥0”为真命题，所以2sinxcosx≥ksinx，则k≤2cosx，解得k≤－2，所以k的取值范围为(－∞，－2]．故选A.(2)(2024·运城期末)函数g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2－2x，若∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)成立，则a的取值范围是___