《线性代数（第4版）》 习题及答案 第四章习题解答

PAGEPAGE93第四章矩阵的特征值和特征向量2.求下列矩阵的特征值和特征向量（1）；（2）；解（1）矩阵的特征多项式为令，得矩阵的特征值为当时，解齐次线性方程组，即，由得基础解系，故属于特征值的全部特征向量为（为任意常数）当时，解齐次线性方程组，即，由得基础解系，故属于特征值的全部特征向量为（为任意常数）（2）矩阵的特征多项式为=令，得矩阵的特征值为对于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系，于是的属于的全部特征向量为（为不等于零的常数）对于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系，，于是的属于的全部特征向量为（为不全等于零的常数）.1.证明下列命题：（1）设都是阶方阵，且，证明与相似．（2）如果矩阵与相似，且与都可逆，则与相似.证（1）因为，则可逆.由于所以与相似.（2）因为矩阵与相似，所以存在一个可逆矩阵，使得所以，即，所以与相似.2.判别矩阵是否对角化？若可对角化，试求可逆矩阵，使为对角阵．解矩阵的特征多项式为=由，得矩阵的特征值为对于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系.对于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系，.由于有三个线性无关的特征向量，故可对角化．令则3.设矩阵可相似对角化求解矩阵的特征多项式为,由，得矩阵的特征值为因为可相似对角化，所以对于,齐次线性方程组有两个线性无关的解,因此.由知当时,即为所求.1.试求一个正交相似变换矩阵，将下列实对称矩阵化为对角矩阵：（1）；（2）；解（1）矩阵的特征多项式为由，得矩阵的特征值为对于，解方程组，得方程组的一个基础解系；对于，解方程组，得方程组的一个基础解系；对于，解线性方程组，得方程组的一个基础解系.分别将单位化得，令，则.（2）矩阵的特征多项式为由，得矩阵的特征值为对于，解齐次线性方程组，得方程组的一个基础解系，对于，解齐次线性方程组，得方程组的一个基础解系将向量组正交单位化得将向量单位化得，令则.一.单项选择题1.三阶矩阵的特征值为，则下列矩阵中非奇异矩阵是（）．A.；B.；C.；D..答案：A解因为若为三阶矩阵的特征值，则，也即当为矩阵的特征值时，矩阵为奇异矩阵.由于不是矩阵的特征值，所以，即矩阵非奇异.故答案A正确.4.与矩阵相似的矩阵是（）．A.；B.；C.；D..答案：C解由于答案A，B，C，D均为上三角矩阵，其特征值均为，它们是否与矩阵相似，取决于对应特征值四个矩阵与单位矩阵的差的秩是否为1，即.由于只有答案C对应的，即对应有两个线性无关的向量，所以答案C正确.6.设为阶矩阵，且与相似，则（）．A.；B.与有相同的特征值和特征向量；C.与都相似于一个对角矩阵；D.对于任意常数，与相似.答案：D解因为由与相似不能推得，所以答案A错误；相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，所以答案B错误；由与相似不能推出与都相似于一个对角矩阵，所以答案C错误；由与相似，则存在可逆矩阵，使，所以所以，对于任意常数，与相似.故答案D正确.8.设矩阵与相似，其中，已知矩阵有特征值，则（）．A.；B.；C.；D..答案：A解因为相似矩阵具有相同的特征值，所以矩阵的特征值为.由，得，故答案A正确.10.设为阶实对称矩阵，则（）．A.的个特征向量两两正交；B.的个