2025年高考数学一轮复习-第三章-第三节-二次函数与幂函数【课件】

必备知识·逐点夯实第三节二次函数与幂函数第三章函数及其应用核心考点·分类突破

【命题说明】考向考法主要考查幂函数与二次函数的图象和性质,常与指数函数、对数函数、导数等知识交汇命题.预测预计2025年高考对于幂函数以幂函数的图象和性质应用为主.对于二次函数的考查一般与其他知识综合,题型一般为选择题、填空题.必备知识·逐点夯实知识梳理·归纳1.幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数_____叫做幂函数,其中x是自变量,α为常数.(2)常见的五种幂函数的图象y=xα(3)幂函数的性质①幂函数在(0,+∞)上都有定义;②当α>0时,幂函数的图象都过点_____和______,且在(0,+∞)上单调递增;③当α<0时,幂函数的图象都过点______,且在(0,+∞)上单调递减;④当α为奇数时,y=xα为________;当α为偶数时,y=xα为________.微点拨幂函数的特征:(1)自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;(2)xα的系数为1;(3)只有一项.(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)=______________.顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为_______.零点式(或两根式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的______.ax2+bx+c(a≠0)(m,n)零点(2)二次函数的图象和性质函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)对称轴顶点坐标奇偶性当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)单调性减增增减

类型辨析改编易错题号123,4×√×√提示:(1)×(3)当a>0时,单调递增区间是[1,+∞)×

(3,5)4.(忽视区间限制)已知函数f(x)=x2-x+1在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围是

.

【解析】f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.因为g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=g(1)=-m-1.由-m-1>0,得m<-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).(-∞,-1)核心考点·分类突破

(-∞,1]解题技法(1)幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.(2)比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.

f(x)=-4x2+4x+7

7解题技法确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:

f(x)=x2-x+1

考点三二次函数的图象与性质考情提示二次函数是高考必考的重要考点之一.主要考查二次函数的性质及应用,尤其是二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用,多以选择题、填空题的形式出现.角度1

二次函数图象的识别[例2]设abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(

)【解析】选D.因为abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c,那么可知,在A中,a<0,b<0,c<0,不符合题意;在B中,a<0,b>0,c>0,不符合题意;在C中,a>0,b>0,c<0,不符合题意;在D中,a>0,b<0,c<0,符合题意.解题技法识别二次函数图象应学会“三看”角度2

二次函数的单调性及最值[例3](1)(2023·济南模拟)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)满足f(1)=f(3),则下列不等式成立的是(

)A.f(1)<f(4)<f(2)

B.f(4)<f(1)<f(2)C.f(4)<f(2)<f(1)

D.f(2)<f(4)<f(1)【解析】选B.因为f(1)=f(3),所以二次函数f(x)=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,又因为a<0,所以f(4)<f(3)<f(2),又f(1)=f(3),所以f(4)<f(1)<f(2).

解题技法1.对于二次函数的单调性关键是开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解.2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动.(2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.角度3

与二次函数有关的恒成立问题[例4]金榜原创·易错对对碰已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.(1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),则k的取值范围是

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【解析】(1)设h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k,由86-k≤0,得k≥86,即k的取值范围为[86,+∞).[86,+∞)已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,则k的取值范围是

;

【解析】(2)由题意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]上有解,故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)=-10-k,由-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范围为[-10,+∞).[-10,+∞)已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),则k的取值范围是

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【解析】(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3].由二次函数的性质可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2.故有120-k≤2,得k≥118,即k的取值范围为[118,+∞).[118,+∞)解题技法由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是构造新函数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

4.函数f(x)=x2-4x+2在区间[a,b]上的值域为[-2,2],则b-a的取值范围是

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【解析】解方程f(x)=x2-4x+2=2,解得x=0或x=4,解方程f(x)=x2-4x+2=-2,解得x=2,由于函数f(x)在区间[a