2025年高考数学一轮复习-第三章-第9节-函数与方程【课件】

第9节函数与方程2025课标解读1.结合学过的函数图象,了解函数的零点与方程解的关系.会判断函数零点所在区间及零点个数.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.3.能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理误区警示求函数的零点不能忽视函数的定义域,零点必须是定义域中的实数,例如,不能说0是函数f(x)=的零点,事实上该函数不存在零点.1.函数的零点(1)函数零点的定义使得

的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数y=f(x)的零点.

(2)几个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.数形结合方法的依据

f(x0)=02.函数零点的判定(函数零点存在定理)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即

,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一解.

微点拨1.零点存在定理只能判断零点存在,不能确定零点的个数.若函数在某区间上是单调函数,则该函数在该区间上至多有一个零点.2.图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值同号.3.连续不断的函数图象,通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.f(a)·f(b)<0微思考如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,y=f(x)在(a,b)内有零点,那么一定有f(a)f(b)<0吗?提示

不一定.例如,函数f(x)=x2-1在区间[-2,2]上的图象是连续不断的一条曲线,且在(-2,2)内有零点,但f(-2)f(2)>0.事实上,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,那么“f(a)f(b)<0”是“y=f(x)在(a,b)内有零点”的充分不必要条件.4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精度ε.(2)求区间(a,b)的中点c.(3)计算f(c).若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数f(x)的零点;若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c).若f(b)·f(c)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).(4)判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值为a(或b);否则重复第(2)~(4)步.3.二分法对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,f(a)·f(b)<0,则每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.常用结论1.奇偶函数的非零零点成对出现,且互为相反数.2.周期函数若存在零点,则必有无穷多个零点.自主诊断×√××题组一基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).(1)函数f(x)=x2-1的两个零点是(-1,0)和(1,0).(

)(2)如果函数f(x)在区间(a,b)上单调且存在零点,则f(a)·f(b)<0.(

)(3)偶函数若有零点必有偶数个.(

)(4)只要函数有零点,就可以用二分法求出其近似值.(

)2.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:x12345f(x)-4-2147在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为(

)A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)B解析

由所给的函数值的表格可以看出,x=2与x=3这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(2)·f(3)<0,所以函数在(2,3)内有零点.故选B.3.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点-1,1,x0,且x0∈(2,3),则实数c的取值范围是

.

(2,3)

解析

依题意,设f(x)=x3+ax2+bx+c=(x+1)(x-1)(x-x0),即f(x)=x3-x0x2-x+x0,因此c=x0,由于x0∈(2,3),所以c∈(2,3).题组二连线高考4.(2018·全国Ⅰ,理9)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(

)A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)C解析

由g(x)=0得f(x)=-x-a,作出函数f(x)和y=-x-a的图象(如图所示),当x=0时,y=-a≤1,即a≥-1时,两个函数的图象有2个交点,即函数g(x)存在2个零点,因此实数a的取值范围是[-1,+∞),故选C.12研考点精准突破考点一判断函数零点所在的区间例1(1)函数f(x)=log3x+x-2的零点所在的区间为(

)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)B解析

(方法一)函数f(x)=log3x+x-2的定义域为(0,+∞),并且f(x)在(0,+∞)上单调递增,图象是一条连续曲线.由题意知f(1)=-1<0,f(2)=log32>0,根据零点存在定理可知,函数f(x)=log3x+x-2有唯一零点,且零点在区间(1,2)内.(方法二)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=log3x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.(2)(2024·北大附中模拟)已知f(x)=22x+x-2,若f(x0)=0,则x0所在区间为(

)B规律方法判断函数y=f(x)在某个区间内是否存在零点的方法解方程法当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间内利用函数零点存在定理首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若没有,则不一定有零点图象法通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断考点二判断函数零点的个数例2(1)(2024·山东潍坊模拟)函数f(x)=(x2-x)ln|2x-3|在区间[-2,2]上的零点个数是(

)A.3 B.4

C.5

D.6A解析

令f(x)=(x2-x)ln|2x-3|=0,得x2-x=0或ln|2x-3|=0,解得x=0或x=1或x=2,所以函数f(x)在区间[-2,2]上的零点个数为3,故选A.A.0 B.1

C.2

D.3B(3)(2024·广东肇庆模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),当x∈[0,2)时,A.4 B.6

C.8

D.9D(4)(2024·福建福州模拟)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))+1的零点个数为

.

4规律方法函数零点个数的判断方法直接法解方程f(x)=0,该方程有几个不同的根就有几个零点图象法单个函数图象函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数两个函数图象将f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差,根据f(x)=0⇔h(x)=g(x),则f(x)的零点个数就是h(x)和g(x)的图象的交点个数性质法利用对称性、单调性、周期性分析判断函数零点个数换元法形如f(g(x))的函数,可先令g(x)=t,求得f(t)=0的t值,再根据g(x)的图象及性质确定满足g(x)=t的x的个数即得零点个数考点三函数零点的应用(多考向探究预测)考向1根据函数零点的个数求参数取值范围例3(1)(2024·山东济南模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,则实数b的取值范围为(

)A.(0,1] B.[0,1]C.(0,1) D.(1,+∞)A解析

依题意,函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,即方程f(x)=b有四个解,转化为函数y=f(x)的图象与直线y=b有四个交点,由函数y=f(x)解析式可知,当x∈(-∞,-1]时,函数单调递减,y∈[0,+∞);当x∈(-1,0]时,函数单调递增,y∈(0,1];当x∈(0,1)时,函数单调递减,y∈(0,+∞);当x∈[1,+∞)时,函数单调递增,y∈[0,+∞),结合图象,可知实数b的取值范围为(0,1],故选A.变式探究1(变结论)本例(1)中,若所有条件不变,且设四个不同的零点分别为x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),那么x1x2x3x4的取值范围是

.

[0,1)

变式探究2(变条件)本例(2)中,其他条件不变,条件“函数g(x)=f(x)-m有零点”改为“函数g(x)=f(x)-m有2个不同的零点”,则实数m的取值范围是

.

[对点训练1](2024·福建福州模拟)已知函数f(x)=则“0<a<1”是“f(x)有3个零点”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解析

在同一坐标系下,分别画出y=x2+2x与y=x-1的图象,由图象可知,y=x2+2x有两个零点x=-2和x=0,y=x-1有一个零点x=1.若0<a<1,则f(x)有3个零点,所以充分性满足;当a=0时,f(x)也有3个零点,所以必要性不满足,所以“0<a<1”是“f(x)有3个零点”的充分不必要条件,故选A.考向2根据函数零点的范围求参数取值范围例4(1)(2024·山西阳泉模拟)函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)上存在零点,则实数m的取值范围是(

)A.(-∞,-5) B.(-5,-1)C.(1,5) D.(5,+∞)B解析

由y1=log2x在区间(0,+∞)上单调递增,y2=x2+m在区间(0,+∞)上单调递增,知函数f(x)=log2x+x2+m在区间(0,+∞)上单调递增,由于若在区间[-1,1]上