数学-天壹名校联盟·2024年上学期高一期末考试试题和答案

机密★启用前2024年上学期高一期末考试数学本试卷共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如有改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设:-2+i·:2-3+4i·则:2-A.B.C.D.5552.已知正方形ABCD的边长为2,用斜二测画法画出它的直观图,则它的直观图的面积为A.B.4C.2D.163.抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A="第一枚硬币正面朝上",事件B="第二枚硬币反面朝上",则下列结论正确的是A.A与B相等B.A与B互斥C.A与B的样本点个数不相等D.A与B相互独立4.已知为第三象限角,向量a=(sino,1),b=(cos8,2),且a与b+2a共线,则sin的值为A.B.C.D.55555.设m、n为空间中两条不同直线,a、B为空间中两个不同平面,下列命题正确的是A.若aLB,mGa,mnG3,则mLnB.若m不垂直于a,n一u,则m必不垂直于nC.若mwa,u,则mWpD.若m、n是异面直线,mGa,mB,nnwa,则aW?【高一数学试题第1页(共4页)】6.端午节是每年的五月初五,是我国汉族人民的传统节日,这一天必不可少的活动逐渐演变为吃粽子,赛龙舟,熏艾叶,挂菖蒲等.某学校组织学生进行包粽子比赛,包法有很多种,最常见的是三角粽三角粽记1分,包一个四角粽记2分,每次的包法互不影响,则小明恰好获得3分的概率为41B.—6427C.—64D.—设△ABC的外心为方向在向量BC上的投影向且2AABACAAC7则向量CA设△ABC的外心为方向在向量BC上的投影向且2AABACAAC7量为CABCBCBCDBBCCABCBCBCDB4444444若取值范在锐角C的对边分别为则角AABC中的BSB28bCCCsinc12sin2A4sinA若取值范在锐角C的对边分别为则角AABC中的BSB28bCCCsinc围为CDB222233ACDB222233项符合题在每小题给出的选项中每小题全有要求分8分共选择题:本大题共3小题项符合题在每小题给出的选项中每小题全有要求分8分共部分选对得部分分选错得分分部选对得部分选对得部分分选错得分分已知2i是关于的方程个根的R下列说法正确的是p3已知2i是关于的方程个根的R下列说法正确的是p虚部为A2i2i的实部为33虚部为A2i2i的实部为3B3C3若复数则满足的最大值为D若复数则满足的最大值为则sin2S23C已知函数f则sin2S23C225的单调递增区间是fkkkZA5的单调递增区间是fkkkZ2个单位个单位得到的图象可由函数再向上平移3B2sin2f2的图象向右平移个单位个单位得到的图象可由函数再向上平移3B2sin2f3的图象关于直线对称Cf2的图象关于直线对称Cf222时Df5的取值范围是时Df52数学试题第2页数学试题第2页共4页11.在圆锥SO中,C是母线SA上靠近点S的三等分点,SA=l,底面圆。的半径为r,圆锥SO的侧面积为12x,则下列说法正确的是A.当r=3时,过顶点S和两条母线的截面三角形的最大面积为3B.当l=6时,从点A绕圆锥侧面一周到点C的最小长度为2C.当l=6时,圆锥SO的内切球的表面积为8T三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.样本数据17,13,22,16,11,20,14,24的80%分位数为·13.如图,"六芒星"是由两个边长为3cm的正三角形组成,中心重合于点O,且三组对边分别平行,现将三角形DEF往垂直于平面ABC的方向移动2cm,则此时空间几何体ABCDEF的外接球的表面积为cm2·i4·设函数f(:-traln(:+b·若f(:≥·且b>·则+b的最小值为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)小米在2024年推出SU7汽车,创始人雷军为了了解广大客户对小米SU7的评价,令销售部随机抽取200名客户进行了问卷调查,根据统计情况,将他们的年龄按[20,30),[30,40),40,50),C50,60),[60,70]分组,并绘制出了如图所示的频率分布直方图.(1)估计样本数据中用户年龄的众数与平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)销售部从年龄在30,40),[60,70)内的样本中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行电话回访,求这2人取自不同年龄区间的概率.16.(15分)如图,在直角梯形ABCD中,ADLAB,ADDC,AD=AB=2,DC=2AB,M为AD的中点,N为DC上靠近D的四等分点,直线MC与BN交于点P.(1)求CPN的余弦值;(2)若CP入CM,求实数入的值.【高一数学试题第3页(共4页)】17.(15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,C,向量m=(a,2b+C),n=(COSC,COSA),且mLn,D为线段BC上一点.(1)求角A的大小;(2)若AD为角A的角平分线,a=7,△ABC的周长为15,求AD的长.18.(17分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PA上平面ABCD,且PA=AD=2,E为线段PD上的动点.(1)若E为PD的中点,求三棱锥DAEC的体积;(2)若ED=2PE,问AB上是否存在点M,使得PM平面AEC?若存在,请指明点M的位置;若不存在,请说明理由;(3)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.(1)写出f(x)的单调区间,并用单调性的定义证明;(2)若f(e)=0,解关于z的不等式f(u)>0;(3)证明:f(x)恰有两个零点m,n(m<n),且m十n>2.【高一数学试题第4页(共4页)】【解析】由z1=5,z2=5,可得【解析】可知原图面积为4,由S直＝S原,可得S直=.【解析】选项C:A事件与B事件包含的样本点数均为2;可知A事件发生与B事件发生互不影响,所以事件A与事件B之间相互独立,且不互斥,故选D.【解析】可知b+2a＝(cosθ+2sinθ,4),由a与b+2a共线得cosθ+2sinθ=4sinθ,即tanθ,因为θ为第三象限角,所以sinθ=-【解析】对于A,若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m,n可能平行、相交或异面,故A错误;对于B,若m不垂直于α,且n⊂α,则m有可能垂直于n,故B错误;对于C,若m∥α且α∥β,则m∥β或m⊂β,故C错误;对于D,若m、n是异面直线,m⊂α,m∥β,n⊂β,n∥α,则在直线m上任取一点P,过直线n与点P确定平面γ,γ∩α=c,又n∥α,则n∥c,n⊂β,c⊄β,所以c∥β,又m∥β,m⊂α,c⊂α,m∩c＝P,所以α∥β,故D正确.【解析】恰好是3分的方法有三种:第一种:每次包一个三角粽,包三次,则概率为第二种:先包一个三角粽再包一个四角粽,则概率为第三种:先包一个四角粽再包一个三角粽,则概率为× 所以恰好获得3分的概率为故答案为:A.【解析】由2=+可知O为BC中点,且O为△ABC的外心,所以,△AOC为等边三角形,【高一数学试题参考答案第1页(共6页)】→ →BC所以向量在向量方向上的投影向量为.cos<.＞.BC=-. →BC【解析】由a＝c-2acosB及正弦定理得sinA＝sinC-2sinAcosB,所以sinA＝sin(A＋B)-2sinAcosB,得sinA＝sin(B－A)所以A＝B－A或A＋(B－A)=π(舍去),所以B=2A,ìï0＜A<πï2214<4sinA+<326＜A＜,故＜sinA2214<4sinA+<326＜A＜,故＜sinA<,解得sinAï20<π-24s2sAinC=4siini3A=4sinAs(2+2A)=4si3iinA=4sinA【解析】复数z=3-2i的实部为3,虚部为-2,选项A错误;复数z=3-2i是方程x2+px＋q=0的一个根,则方程x2+px＋q=0的另一个复数根是其中一个根的共轭复数故选项B和选项C正确;设z1=x＋yi,x,y∈R,若复数z1满足z1+z＝x＋yi+3-2i＝(x+3)2+(y-2)2=1,则在复平面内点Z1(x,y)在圆C上,则z1的几何意义为原点O(0,0)到圆C上点的距离,又OC=13,则z1的最大值为1+13,选项D正确.10.【答案】ACD【解析】可知f(x)=2sin(2x+3,则A:由f(x)单调递增有:＋kπ≤2x≤+kπ,k∈Z,即x∈[＋kπ,＋kπ],k∈Z,故A正确,B:函数y=2sin2x向右平移个单位,再向上平移3个单位可得y=2sin(2x++3,故B错误;C:f(x)的对称轴满足2x＋kπ,k∈Z,即x＋,k∈Z,所以x为f(x)的对称轴,故C正确;D:当x∈[,时,有2x∈[,所以f(x)min＝f(=1,f(x)max＝f=5,故D正确.【高一数学试题参考答案第2页(共6页)】【解析】依题意可知πrl=12π,所以rl=12,对于A,r=3,l=4,所以cos∠ASB=422442462=<0,所以∠ASB为钝角,所以过顶点S和两条母线的截面三角形的最大面积为×4×4=8,A错误;对于BCD,当l=6时,r=2,圆锥的高为h＝l2-r2=42.侧面展开图的弧长为2πr=4π,所以圆心角∠ASC=所以AC＝AS2+SC2-2AS.SCcos∠ASC=213,B正确;则r1=所以内切球的表面积为4πr=8π,C正确;-B1C1D1如图所示,=正方体的边长为533×=566,体对角线长为566×3=2所以棱长为533的正四面体A1-B1C1D1的外接球半径为r=设△SAB内切圆的半径为r3,则×4×42=(4+6+6)r3,解得r3=2,所以r3＜r2,所以棱长为的正四面体在圆锥SO内不可以任意转动,D错误.3故选:BC.【解析】数据按从小到大排序:11,13,14,16,17,20,22,24,8×80%=6.4,所以80%分位数为22.【解析】等边三角形外接圆的半径所以空间几何体ABCDEF的外接球半径=2cm所以外接球的表面积为S=4πR2=16πcm2【解析】由题意可知:f(x)的定义域为(－b,+∞),令x－a=0解得x＝a;令ln(x＋b)=0解得x=1-b;【高一数学试题参考答案第3页(共6页)】则当x∈(－b,b)时,ln(x＋b),故x－a≤０,所以b－a≤０;当x∈(b,＋∞)时,ln(x＋b),故x－a≥０,所以b－a≥０;故b－a,即a＋b当ab时,则≥２当且仅当a,b时,等号成立,所以的最小值为记事件A＝“这２人取自不同年龄区间”,其包含样本点有{A{A３解:(１)以D为原点,DC为x轴,DA为y轴建立平面直角坐标系,所以cos∠CPN…７分由N,P,B三点共线可知,存在m∈(０,１)满足由向量的坐标运算可知,(λ,λ)＝(m,２m)＋(３m,０)＝(m,２m),分解:(１)∵m＝(a,２b＋c),n＝(cosC,cosA),且m⊥n,由正弦定理得sinAcosCsinBcosA＋sinCcosA,∵sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB,∴sinBsinBcosA,在三角形ABC中,sinB≠０,【高一数学试题参考答案第４页(共６页)】由余弦定理得abcbccosA,即bcbccos,解得bc……分∵AD为角A的角平分线,∴∠BAD＝∠CAD,S△ABD＋S△ACD＝S△ABC⇒c.AD.sin＋b.AD.sinc.b.sin⇒(b＋c)AD