第六章　§6.2　等差数列-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§6.2等差数列课标要求1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元函数的关系．知识梳理1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d或Sn＝eq\f(na1＋an,2).3．等差数列的常用性质(1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*)．(2)等差数列{an}的单调性当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．4．等差数列前n项和的常用性质(1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n是关于n的二次函数．(2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．常用结论1．等差数列通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．2．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.3．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.4．若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).5．若等差数列{an}的项数为偶数2n，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).6．若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(2)eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)等差数列{an}中，a10＝a1＋a9.(×)(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S6，S12，S18也成等差数列．(×)(4)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)2．(选择性必修第二册P15T4改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4等于()A．－2B．4C．6D．8答案C解析设等差数列{an}的公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＋a1＋7d＝20，,a1＋6d＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2，))∴a4＝a1＋3d＝6.3．若一个等差数列的首项为eq\f(1,25)，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()A．d>eq\f(8,75) B．d<eq\f(3,25)C.eq\f(8,75)<d<eq\f(3,25) D.eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)答案D解析由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>1，,a9≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d>1，,\f(1,25)＋8d≤1，))所以eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25).4．(2023·安康模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a4＝4，则S6等于()A．6B．12C．18D．24答案B解析由等差数列的性质，可得a1＋a6＝a3＋a4＝4，所以S6＝eq\f(6a1＋a6,2)＝eq\f(6a3＋a4,2)＝12.题型一等差数列基本量的运算例1(1)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5等于()A．25B．22C．20D．15答案C解析方法一设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得，a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，①又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，②①②联立，解得d＝1，a1＝2，所以S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)×d＝5×2＋10＝20.方法二依题意可得，a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，从而d＝eq\f(a8－a4,8－4)＝1，于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.(2)广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境．某游客从塔底层(一层)进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需()A．352步B．387步C．332步D．368步答案C解析设从第n层到第n＋1层所走的台阶数为an，绕第n＋1层一周所走的步数为bn，由已知可得a1＝26，an＋1－an＝－2，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，b8＝12，bn－bn＋1＝3，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以数列{an}为首项为26，公差为－2的等差数列，故an＝28－2n，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，数列{bn}为公差为－3的等差数列，故bn＝36－3n，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，所以S8＝eq\f(8a1＋a8,2)＝152，T8＝eq\f(8b1＋b8,2)＝180，S8＋T8＝152＋180＝332，故这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需332步．思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.跟踪训练1(1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是()A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2答案ABC解析S4＝eq\f(4a1＋a4,2)＝0，所以a1＋a4＝a2＋a3＝0，故A正确；a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②联立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝2，,a1＝－3，))所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，故B正确，D错误；Sn＝－3n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2－4n，故C正确．(2)(2023·洛阳联考)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的日影长为()A．4.5尺 B．3.5尺C．2.5尺 D．1.5尺答案A解析冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列{an}，设公差为d，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝28.5，,a10＋a11＋a12＝1.5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝10.5，,d＝－1，))所以an＝a1＋(n－1)d＝11.5－n，所以a7＝11.5－7＝4.5，即春分时节的日影长为4.5尺．题型二等差数列的判定与证明例2(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等差数列；②数列{eq\r(Sn)}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝n2a1.因为数列{an}的各项均为正数，所以eq\r(Sn)＝neq\r(a1)，所以eq\r(Sn＋1)－eq\r(Sn)＝(n＋1)eq\r(a1)－neq\r(a1)＝eq\r(a1)(常数)，所以数列{eq\r(Sn)}是等差数列．①②⇒③.已知{an}是等差数列，{eq\r(Sn)}是等差数列．设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(1,2)dn2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.因为数列{eq\r(Sn)}是等差数列，所以数列{eq\r(Sn)}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－eq\f(d,2)＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{eq\r(Sn)}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{eq\r(Sn)}的公差为d，d>0，则eq\r(S2)－eq\r(S1)＝eq\r(4a1)－eq\r(a1)＝d，得a1＝d2，所以eq\r(Sn)＝eq\r(S1)＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列．思维升华判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列；(2)等差中项法：对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列．跟踪训练2(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知eq\f(2,Sn)＋eq\f(1,bn)＝2.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．(1)证明因为bn是数列{Sn}的前n项积，所以n≥2时，Sn＝eq\f(bn,bn－1)，代入eq\f(2,Sn)＋eq\f(1,bn)＝2可得，eq\f(2bn－1,bn)＋eq\f(1,bn)＝2，整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝eq\f(1,2)(n≥2)．又eq\f(2,S1)＋eq\f(1,b1)＝eq\f(3,b1)＝2，所以b1＝eq\f(3,2)，故{bn}是以eq\f(3,2)为首项，eq\f(1,2)为公差的等差数列．(2)解由(1)可知，bn＝eq\f(n＋2,2)，则eq\f(2,Sn)＋eq\f(2,n＋2)＝2，所以Sn＝eq\f(n＋2,n＋1)，当n＝1时，a1＝S1＝eq\f(3,2)，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋2,n＋1)－eq\f(n＋1,n)＝－eq\f(1,nn＋1).又a1＝eq\f(3,2)不满足此式，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，n＝1，,－\f(1,nn＋1)，n≥2.))题型三等差数列的性质命题点1项的性质例3(1)(2024·郑州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝S21，则S23等于()A．1B．2C．3D．4答案B解析∵S3＝S21，∴S21－S3＝a4＋a5＋…＋a21＝9(a4＋a21)＝0，∴a4＋a21＝0，∴S23＝a1＋a2＋a3＋(a4＋a5＋…a21)＋a22＋a23＝a1＋a2＋a3＋a22＋a23＝a1＋2(a4＋a21)＝a1＝2.(2)(多选)(2023·郑州模拟)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S5<S6，S6＝S7，S7>S8，则下列说法正确的有()A．公差d<0B．S12>0C．S9>S5D．使Sn<0的最小正整数n为14答案ABD解析由题意得，S5<S6，则S6－S5＝a6>0；S6＝S7，则S7－S6＝a7＝0；S7>S8，则S8－S7＝a8<0.由a6>a7，得d<0，故A正确；S12＝eq\f(12a1＋a12,2)＝6(a6＋a7)＝6a6>0，故B正确；S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝2a8<0，故S9<S5，故C错误；S14＝eq\f(14a1＋a14,2)＝7(a7＋a8)＝7a8<0，S13＝eq\f(14a1＋a13,2)＝14a7＝0，故D正确．命题点2和的性质例4(1)(2023·洛阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝63，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．71C．99D．117答案C解析由等差数列{an}的前n项和性质，得S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，又S3＝9，S6＝63，则S9＝162，因此a7＋a8＋a9＝S9－S6＝162－63＝99.(2)(2023·郑州模拟)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋7,2n)，则eq\f(a6,b6)等于()A.eq\f(20,17)B.eq\f(20,11)C.eq\f(17,22)D.eq\f(17,12)答案B解析因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，所以eq\f(a6,b6)＝eq\f(\f(a1＋a11,2),\f(b1＋b11,2))＝eq\f(\f(11a1＋a11,2),\f(11b1＋b11,2))＝eq\f(S11,T11)＝eq\f(33＋7,22)＝eq\f(20,11).延伸探究在本例(2)中，将eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋7,2n)改为eq\f(an,bn)＝eq\f(3n＋7,2n)，则eq\f(S7,T7)＝________.答案eq\f(19,8)解析eq\f(S7,T7)＝eq\f(7a4,7b4)＝eq\f(a4,b4)＝eq\f(19,8).思维升华等差数列的性质(1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an；(2)若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列；(3)在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an.跟踪训练3(1)(2023·南充模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝20，则Sn的最大值为()A．60B．50C.eq\f(121,4)D．30答案D解析由a1＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝2(a1＋a6)＝20，得a6＝0，由于{an}为等差数列，且a1＝10>0，a6＝0，所以当n≤5，n∈N*时，an>0，故Sn的最大值为S5＝S6＝eq\f(a1＋a6×6,2)＝eq\f(10×6,2)＝30.(2)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，则eq\f(S6,S12)等于()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,9)答案A解析由等差数列的性质可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，∵eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，即S6＝3S3，(S6－S3)－S3＝S3，∴S9－S6＝3S3，S12－S9＝4S3，∴S9＝6S3，S12＝10S3，∴eq\f(S6,S12)＝eq\f(3S3,10S3)＝eq\f(3,10).课时精练一、单项选择题1．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n等于()A．6B．7C．8D．9答案C解析因为d＝eq\f(a3－a1,2)＝2，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8(负值舍去)．2．已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于()A．7B．14C．21D．7(n－1)答案B解析因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.3．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为()A．S15 B．S16C．S15或S16 D．S17答案A解析∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋eq\f(10×9,2)d＝20a1＋eq\f(20×19,2)d，解得d＝－2，∴Sn＝29n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225，∴当n＝15时，Sn取得最大值．4．(2023·鹰潭统考)公差不为0的等差数列{an}满足aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,4)＝aeq\o\al(2,5)＋aeq\o\al(2,6)，Sn为数列{an}的前n项和，则下列各选项正确的是()A．a4＝0 B．a5＝0C．S8＝0 D．S9＝0答案C解析依题意，(aeq\o\al(2,6)－aeq\o\al(2,4))＋(aeq\o\al(2,5)－aeq\o\al(2,3))＝0，即2d(a6＋a4)＋2d(a5＋a3)＝0，∵d≠0，∴a6＋a4＋a5＋a3＝0，∴a5＋a4＝0，即S8＝0.5．(2023·河南统考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S3n－S2n>S2n－Sn”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝(a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n)－(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)＝(a2n＋1－an＋1)＋(a2n＋2－an＋2)＋…＋(a3n－a2n)＝n2d，因为n2>0，若d>0，则S3n－S2n>S2n－Sn，若S3n－S2n>S2n－Sn，则n2d>0，即d>0，故“d>0”是“S3n－S2n>S2n－Sn”的充要条件．6．(2023·青岛模拟)已知等差数列{an}，an＋m＝am＋n(n≠m，n，m∈N*)，数列{bn}满足bn＝a2n＋1＋a2n－1，则b2024－b2023等于()A．1B．2C．4D．8答案C解析∵bn＝a2n＋1＋a2n－1，∴b2024＝a4049＋a4047，b2023＝a4047＋a4045，∴b2024－b2023＝(a4049＋a4047)－(a4047＋a4045)＝a4049－a4045.又an＋m＝am＋n，∴an－am＝n－m，∴b2024－b2023＝a4049－a4045＝4049－4045＝4.二、多项选择题7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a1>0，S4＝S12，则()A．公差d<0B．a7＋a9<0C．Sn的最大值为S8D．满足Sn<0的n的最小值为16答案AC解析因为a1>0，S4＝S12，则eq\f(4a1＋a4,2)＝eq\f(12a1＋a12,2)，即a1＋a4＝3(a1＋a12)，则d＝－eq\f(2,15)a1<0，故A正确；a7＋a9＝2a1＋14d＝－d>0，故B错误；由a7＋a9>0，得a8>0，a9＝a1＋8d＝eq\f(1,2)d<0，因为d<0，a1>0，所以数列{an}是递减数列，且当n≤8时，an>0，当n≥9时，an<0，所以Sn的最大值为S8，故C正确；Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n＝－eq\f(a1,15)n2＋eq\f(16a1,15)n，令Sn<0，解得n>16，所以满足Sn<0的n的最小值为17，故D错误．8．(2024·南通统考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．则()A．驽马第七日行九十四里B．第七日良马先至齐C．第八日二马相逢D．二马相逢时良马行一千三百九十五里答案AD解析由题意可知，两马日行里数分别成等差数列，记数列{an}为良马的日行里数，其中首项a1＝103，公差d1＝13，所以数列{an}的通项公式为an＝13n＋90，n∈N*，记数列{bn}为驽马的日行里数，其中首项b1＝97，公差d2＝－0.5，所以数列{bn}的通项公式为bn＝－0.5n＋97.5，n∈N*，因此，驽马第七日行里数为b7＝－0.5×7＋97.5＝94，即驽马第七日行九十四里，故A正确；第七日良马行走总里程为S7＝103×7＋eq\f(7×6,2)×13＝994，而齐去长安一千一百二十五里，因为994<1125，所以第七日良马未至齐，故B错误；设第m日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍，即103m＋eq\f(mm－1,2)×13＋97m－eq\f(mm－1,2)×0.5＝2×1125，解得m＝9或m＝－40(舍)，即第九日二马相逢，故C错误；由C可知，第九日二马相逢，此时良马共行走了S9＝103×9＋eq\f(9×8,2)×13＝1395，所以二马相逢时良马行一千三百九十五里，故D正确．三、填空题9．若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项．写出一个满足条件的数列的通项公式an＝________.答案2n＋1(答案不唯一)解析设{an}的公差为d，由题意得a2<a1d<a3，所以a1＋d<a1d<a1＋2d，又a1，d为正整数，所以可取a1＝3，d＝2，故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.10．已知公差不为0的等差数列{an}的前23项和等于前8项和．若a8＋ak＝0，则k的值为________．答案24解析设等差数列{an}的公差为d，d≠0，则由题意得S23＝S8，即23a1＋eq\f(23×22,2)d＝8a1＋eq\f(8×7,2)d，整理得a1＝－15d.因为a8＋ak＝0，所以a1＋7d＋a1＋(k－1)d＝0，即2a1＋(k＋6)d＝0，所以－30d＋(k＋6)d＝0，因为d≠0，所以k＝24.11．设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋2,4n＋5).设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(a1＋a5,b3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．答案－eq\f(9,25)解析依题意，B，C，P三点共线，∴eq\f(a1＋a5,b3)＋λ＝1，∴λ＝1－2×eq\f(a3,b3)，依题意，eq\f(a3,b3)＝eq\f(2a3,2b3)＝eq\f(a1＋a5,b1＋b5)＝eq\f(a1＋a5×\f(5,2),b1＋b5×\f(5,2))＝eq\f(S5,T5)＝eq\f(3×5＋2,4×5＋5)＝eq\f(17,25)，∴λ＝1－2×eq\f(17,25)＝－eq\f(9,25).12．等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝________.答案10解析因为等差数列{an}共有2n＋1项，所有奇数项之和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝eq\f(n＋1a1＋a2n＋1,2)＝(n＋1)an＋1＝132，所有偶数项之和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝eq\f(na2＋a2n,2)＝nan＋1＝120，所以eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1an＋1,nan＋1)＝eq\f(n＋1,n)＝eq\f(132,120)＝eq\f(11,10)，解得n＝10.四、解答题13．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．解(1)因为an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，所以当a2＝－1时，－1＝2－λ，解得λ＝3，所以a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{an}不可能为等差数列．理由如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)，若存在常数λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3，于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，这与{an}为等差数列矛盾，所以对于任意常数λ，{an}都不可能是等差数列．14．(2023·新高考全国Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝eq\f(n2＋n,an)，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.解(1)∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，an＝a1＋(n－1)d＝nd，又T3＝b1＋b2＋b3＝eq\f(2,d)＋eq\f(6,2d)＋eq\f(12,3d)＝eq\f(9,d)，∴S3＋T3＝6d＋eq\f(9,d)＝21，即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝eq\f(1,2)(舍去)，∴an＝nd＝3n.(2)∵{bn}为等差数列，∴2b2＝b1＋b3，即eq\f(12,a2)＝eq\f(2,a1)＋eq\f(12,a3)，∴6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,a3)))＝eq\f(6d,a2a3)＝eq\f(1,a1)，即aeq\o\al(2,1)－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d，∵d>1，∴an>0，又S99－T99＝99，由等差数列的性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1，∴a50－eq\f(2550,a50)＝1，即aeq\o\al(2,50)－a50－2550＝0，解得a50＝51或a50＝－50(舍去)．当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d>1矛盾，无解；当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝eq\f(51,50).综上，d＝eq\f(51,50).15．(2023·全国乙卷)已知等差数列{an}的公差为eq\f(2π,3)，集合S＝{cosan|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab等于()A．－1B．－eq\f(1,2)C．0D.eq\f(1,2)答案B解析方法一由题意得an＝a1＋eq\f(2π,3)(n－1)，cosan＋3＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(2π,3)n＋2))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(2π,3)n＋\f(4π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(2π,3)n＋2π－\f(2π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(2π,3)n－\f(2π,3)))＝cosan，所以数列{cosan}是以3为周期的周期数列，又cosa2＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(2π,3)))＝－eq\f(1,2)cosa1－eq\f(\r(3),2)sina1，cosa3＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(4π,3)))＝－eq\f(1,2)cosa1＋eq\f(\r(3),2)sina1，因为集合S中只有两个元素，所以有三种情况：cosa1＝cosa2≠cosa3，cosa1＝cosa3≠cosa2，cosa2＝cosa3≠cosa1.下面逐一讨论：①当cosa1＝cosa2≠cosa3时，有cosa1＝－eq\f(1,2)cosa1－eq\f(\r(3),2)sina1，得tana1＝－eq\r(3)，所以ab＝cosa1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)cosa1＋\f(\r(3),2)sina1))