第二章　§2.12　函数与方程的综合应用-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§2.12函数与方程的综合应用重点解读函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置．题型一由零点分布求值(范围)命题点1二次函数的零点分布例1(1)(2023·扬州模拟)已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是()A．(－5，－4]∪[4，＋∞)B．(－5，－4]C．(－5，＋∞)D．[－4，－2)∪[4，＋∞)答案B解析方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象得，方程的判别式Δ≥0；f(2)>0；函数图象的对称轴－eq\f(m－2,2)>2.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－22－45－m≥0，,4＋2m－2＋5－m>0，,－\f(m－2,2)>2，))解得－5<m≤－4.(2)(2023·苏州模拟)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))答案C解析根据题意有，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1·f0<0，,f1·f2<0，))解得eq\f(1,4)<m<eq\f(1,2).命题点2其他函数的零点分布例2已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝－log2x，若函数F(x)＝f(x)－sinπx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值范围是()A．[3.5,4) B．(3.5,4]C．(5,5.5] D．[5,5.5)答案A解析由f(2－x)＋f(x)＝0⇒f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，得f(x)是一个周期为2的奇函数，当x∈(0,1]时，f(x)＝－log2x，因此f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－log2eq\f(1,2)＝1，f(1)＝0，所以f(0)＝0，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，f(－1)＝0，且g(x)＝sinπx的周期为T＝eq\f(2π,π)＝2，且g(－1)＝0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，g(0)＝0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1，g(1)＝0，求F(x)＝f(x)－sinπx的零点个数，即求f(x)与g(x)图象的交点个数，如图为f(x)与g(x)在区间[－1,1]的图象，因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，若在区间[－1，m]上有10个零点，则第10个零点坐标为(3.5，－1)，第11个零点坐标为(4,0)，因此3.5≤m<4.思维升华对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手(1)开口方向；(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；(3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；(4)区间端点值．跟踪训练1(1)设a为实数，若方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(－1,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(1，＋∞)答案C解析令g(x)＝x2－2ax＋a，由方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－4a>0，,－1<a<1，,g－1>0，,g1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,－1<a<1，,a>－\f(1,3)，,a<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,－1<a<1，,a>－\f(1,3)，,a<1，))解得－eq\f(1,3)<a<0.(2)(2023·郴州模拟)(多选)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋1，x<0，,|lnx－2|，x>0，))若方程f(x)＝k(k∈R)有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为x1，x2，x3，x4，则()A．0<k<1 B．x1＋x2＝－1C．e<x3<e2 D．0<x1x2x3x4<e4答案ACD解析画出函数f(x)与函数y＝k的图象如图所示，f(x)在(－∞，－1]上单调递减，值域为[0，＋∞)；在[－1,0)上单调递增，值域为[0,1)；在(0，e2]上单调递减，值域为[0，＋∞)；在[e2，＋∞)上单调递增，值域为[0，＋∞)．则有x1＋x2＝－2，lnx3－2＋lnx4－2＝0，即x3x4＝e4，故B错误；方程f(x)＝k(k∈R)有四个不同的实数解，则有0<k<1，故A正确；由f(x)在(0，e2]上单调递减，值域为[0，＋∞)，f(e)＝|lne－2|＝1，f(e2)＝|lne2－2|＝0，可知e<x3<e2，故C正确；由x1<x2<0<x3<x4，可知x1x2x3x4>0，又x1x2x3x4＝e4x1x2＝e4(－x1)(－x2)<e4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－x1＋－x2,2)))2＝e4.则有0<x1x2x3x4<e4，故D正确．题型二复合函数的零点命题点1复合函数的零点个数判定例3已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e－x－2，x≤1，,|lnx－1|，x>1，))则函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是()A．4B．5C．6D．7答案B解析令t＝f(x)，g(x)＝0，则f(t)－2t＋1＝0，即f(t)＝2t－1，分别作出函数y＝f(t)和直线y＝2t－1的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2，则t1＝0,1<t2<2，对于t＝f(x)，分别作出函数y＝f(x)和直线y＝t2的图象，如图所示，由图象可得，当f(x)＝t1＝0时，函数y＝f(x)与x轴有两个交点，即方程f(x)＝0有两个不相等的根，当t2＝f(x)时，函数y＝f(x)和直线y＝t2有三个交点，即方程t2＝f(x)有三个不相等的根，综上可得g(x)＝0的实根个数为5，即函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是5.命题点2根据复合函数零点求参数例4(2024·驻马店模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2\r(3)x＋2，x≥0，,ln－x，x<0，))若函数g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1有6个零点，则a的取值范围是()A．(2,4] B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4))答案C解析设t＝f(x)，则由g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1，可设y＝h(t)＝t2－at＋1，画出f(x)的图象，如图，由图可知，当t<－1时，t＝f(x)有且仅有一个解；当t＝－1或t>2时，t＝f(x)有两个不同的解；当－1<t≤2时，t＝f(x)有三个不同的解，令h(t)＝0，即t2－at＋1＝0，因为函数g(x)有6个零点，故需t2－at＋1＝0在(－1,2]内有两个不同的根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－4>0，,h－1＝1＋a＋1>0，,h2＝4－2a＋1≥0，,－1<\f(a,2)<2，))解得2<a≤eq\f(5,2)，即a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))).思维升华对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3，…，n)；(3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.跟踪训练2已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,－x2－2x＋1，x≤0，))且关于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同的实数解，则实数m的取值范围为______．答案(0,1]解析由题意，f(x)的图象如图所示，因为[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个实数解，设f(x)＝t，则方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0有2个不相等的实根t1＝m，t2＝m＋1且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2，t2＝2.当1≤t1<2，t2＝2时，m＝1，满足题意；当0<t1<1≤t2<2时，0<m<1≤m＋1<2，解得m∈(0,1)．综上，m∈(0,1]．课时精练一、单项选择题1．若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则a的取值范围是()A．(0,3) B．[0,3]C．(－3,0) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案A解析令f(x)＝－x2＋ax＋4，则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，由二次函数的图象可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2>0，,f－1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－22＋a·2＋4>0，,－－12＋a·－1＋4>0，))解得0<a<3.2．若关于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0有实数解，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(－∞，－8]C．(－∞，－8]∪[0，＋∞)D．(－∞，－8)∪(0，＋∞)答案B解析令t＝3x>0，则9x＝t2，由9x＋(a＋4)·3x＋4＝0，得t2＋(a＋4)t＋4＝0.则问题转化为关于t的二次方程t2＋(a＋4)t＋4＝0在t>0时有实数根．由t2＋(a＋4)t＋4＝0，可得－(a＋4)＝t＋eq\f(4,t)，由基本不等式得－(a＋4)＝t＋eq\f(4,t)≥2eq\r(t·\f(4,t))＝4，当且仅当t＝2时，等号成立，所以－(a＋4)≥4，解得a≤－8.因此，实数a的取值范围是(－∞，－8]．3．(2023·南京师大附中模拟)设m是不为0的实数，已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|3x－1|，x≤2，,x2－10x＋24，x>2，))若函数F(x)＝2[f(x)]2－mf(x)有7个零点，则m的取值范围是()A．(－2,0)∪(0,16)B．(0,16)C．(0,2)D．(－2,0)∪(0，＋∞)答案C解析f(x)的图象如图所示，由F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0，得f(x)＝0或2f(x)－m＝0，当f(x)＝0时，f(x)有3个零点，当2f(x)－m＝0时，f(x)＝eq\f(m,2)，即y＝f(x)与y＝eq\f(m,2)有4个交点，所以0<eq\f(m,2)<1，解得0<m<2.4．若存在实数a使得函数f(x)＝2x＋2－x－ma2＋a－3有唯一零点，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) B．(－∞，0]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))答案A解析令t＝2x(t>0)，则t是增函数，令y＝t＋eq\f(1,t)，由对勾函数的性质知y＝t＋eq\f(1,t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1时，ymin＝2，此时x＝0，因此f(x)有唯一零点，则零点为x＝0，f(0)＝－ma2＋a－1＝0，当m＝0时，a＝1有解；当m≠0时，Δ＝1－4m≥0，m≤eq\f(1,4)且m≠0.综上，m≤eq\f(1,4).5．已知f(x)是定义域为(0，＋∞)的单调函数，若对任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－log2x)＝3，则函数y＝2f(x)－eq\f(1,x)的零点为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C．2D．3答案A解析因为f(x)是定义域为(0，＋∞)的单调函数，且对任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－log2x)＝3，故可设存在唯一的实数C∈(0，＋∞)，使得f(C)＝3，则f(x)－log2x＝C，所以f(x)＝log2x＋C，所以f(C)＝log2C＋C＝3，则log2C＝3－C，由于函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝3－x在(0，＋∞)上单调递减，又log22＝1＝3－2，所以C＝2，故f(x)＝log2x＋2＝log2(4x)，再令2f(x)－eq\f(1,x)＝0，x∈(0，＋∞)，得4x－eq\f(1,x)＝0，解得x＝eq\f(1,2)(负值舍去)．则函数y＝2f(x)－eq\f(1,x)的零点为eq\f(1,2).6．(2024·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，若在区间(－2,6]内方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A．(1,2] B．(2，＋∞)C．(1，eq\r(3,4)) D．(eq\r(3,4)，2)答案D解析根据函数f(x＋4)＝f(x)可知，函数f(x)的周期T＝4，由f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈[－2,0]时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1可得当x∈(0,2]时，－x∈[－2,0)，所以f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x－1＝2x－1＝f(x)，画出函数f(x)部分周期内的图象如图粗实线所示，若在区间(－2,6]内方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)有三个不同的实数根，即函数f(x)的图象与y＝loga(x＋2)(a>1)的图象在(－2,6]内有三个交点，y＝loga(x＋2)(a>1)的图象如图中细实线所示，则需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga2＋2<f2＝3，,loga6＋2>f6＝3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga4<3，,loga8>3，))解得eq\r(3,4)<a<2.二、多项选择题7．若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是()A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3B．m>－eq\f(1,4)C．当m>0时，2<x1<x2<3D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3答案ABD解析对于A，易知当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0的根为x1＝2，x2＝3，故A正确；对于B，设y＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，因为y＝(x－2)(x－3)的图象与直线y＝m有两个交点，所以m>－eq\f(1,4)，故B正确；对于C，当m>0时，y＝(x－2)(x－3)－m的图象由y＝(x－2)(x－3)的图象向下平移m个单位长度得到，则x1<2<3<x2，故C错误；对于D，由(x－2)(x－3)＝m展开得x2－5x＋6－m＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝5，x1x2＝6－m，代入y＝(x－x1)(x－x2)＋m可得y＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋m＝x2－5x＋6－m＋m＝x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，所以二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3，故D正确．8．(2023·湖州模拟)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程f(g(x))＝x有实数解，则下列式子中可以为g(f(x))的是()A．x2＋2x B．x＋1C．ecosx D．ln(|x|＋1)答案ACD解析由方程f(g(x))＝x有实数解可得g(f(g(x)))＝g(x)，再用x替代g(x)，即x＝g(f(x))有实数解．对于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有实数解，故A正确；对于B，x＝x＋1，即0＝1，方程无实数解，故B错误；对于C，当ecosx＝x时，令h(x)＝ecosx－x，因为h(0)＝e>0，heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1－eq\f(π,2)<0，由函数零点存在定理可知，h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al