高中数学素养评价含解析北师大版必修

单元素养评价（一）（第一章）

（120分钟150分）

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的）

一1

1.数列｛^｝中，对任意m,n£N）恒有an=a«+an,若ap—,则a?等于（）

m+8

1177

A・万B.—C.-D.—

4748

11137

【舟军析】选D.因为aB+n=aro+an,ai=一，所以a2=2aF-,a尸2a2二一，a3=ai+a2=",由=as+a^A.

84288

2.若数列｛xn｝满足lgXn+l=l+lgXu(n£M),且Xl+X2+X3+・・・+Xl00=100,则lg(X[01+X102

+…+X200)的值为()

A.102B.101

C.100D.99

【解析】选A.由lgxn+i=1+lgXn,得-----=10,

1C0100100

所以数列｛xj是公比为10的等比数列，又X1O1=X1•q,Xi02=X2•q,…，x2oo=Xioo,q,

所以xioi+Xio2+，,,+X2oo=q100(xi+x2+，*，+Xioo)-101c°•100=10°2,

所以lg(X10l+X102-*-*，+X200)=102.

3.等比数列X,3x+3,6x+6,…的第四项等于()

A.-24B.0C.12D.24

【解析】选A.由等比数列的前三项为x,3x+3,6x+6,可得(3x+3)Jx(6x+6),解得x=-3或x=T(此时3x+3=0,

3x+3

不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x=-3,公比q=-----二2,所以第四项为[6X(-3)+6]X2=~24.

X

4.（2020•南昌高一检测）已知数列｛an｝的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且

apl,a2=2,a3+a.i=7,a5+a6=13,则a7+as=()

A.4+V2B.19

C.20D.23

【解题指南】本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比,然后对a3+a,=7,^=13进行化简,得出

公差和公比的数值,然后对a：+as进行化简即可得出结果.

【解析】选D.设奇数项的公差为d,偶数项的公比为q,由a3+a4=7,as+a6=13,得1+d+2q=7,1+2d+2q?=13,

解得d=2,q=2,

所以a7+a8=1+3d+2q3=7+16=23.

5.（2020•重庆高一检测）我国南宋数学家杨辉1261年所着的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的

表,即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2自,若去除所

有为1的为依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则此数列的前55项和为（）

A.4072B.2026

C.4096D.2048

【解题指南】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行,然后令x=l得到对应项的系数和,结合等比

数列和等差数列的公式进行转化求解即可.

【解析】选A.由题意可知，每一行数字和为首项为1,公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为

1-20

S„=-----=2"-1,若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,…，可以看成构成一个首项为1,

1-2

n（n41）

公差为1的等差数列，则T„=-------,可得当n=10,所有项的个数和为55,

2

12

则杨辉三角形的前12项的和为SI2=2-1,

则此数列前55项的和为Sn-23=4072,故选A.

6.（2020•全国H卷）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称

为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的

最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形

石板（不含天心石）（）

02/13

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

【解析】选C.设每一层有n环，由题可知从内到外每环的扇面形石板数之间构成等差数列｛a』，且公差d=9,

s

首项ai=9,由等差数列的性质可知S,„S2„-S,.,S3„-S2„成等差数列,且(S3ns2n)(S2nlI)nd，由题

,27X26

2

意得9n=729,所以n=9,则三层共有扇面形石板为S3n=S27=27a1+------X9=3402(块).

2

7.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x,yGR,都有f(x)•f(y)=f(x+y),若

ai=i,a„=f(n)(n£N+),则数列｛aj的前n项和S“的取值范围为()

2

A2)B[2,2]

【解析】选C.依题意得f(n+1)二千(n)-f(1),

即a。.尸an•ai二一an,所以数列｛a』是以一为首项，一为公比的等比数列,

222

咛礼弓，所以s*,l)

所以Sn

8.在等比数列｛aj中，ap-512,公比q=--.用T”表示它的前n项之积：T„=ai•a2....a„,则Ti,T2,T3,…中最

大的是()

A.T10B.T9

C.丁8,TnD.T9,Tio

n(n-i)

n-(n-i)n/------

【解析】选C.因为T.=(ai)n•qi=(ai)nq^~=(5⑵•(-)2

—-M+i/n

=(1)2•22—，所以n=8或11时,T8,Tu相等且最大.

9.夏季高山上气温从山脚起每升高100m,降低0.7°C.已知山顶气温是14.1°C,山脚气温是26°C,那么

此山相对于山脚的高度是()

A.1500mB.1600m

C.1700mD.1800m

【解析】选C.依题意知14.l=26-(n-1)X0.7,解得n=18.故山高应为1700m.

10.设S”为数列｛a„｝的前n项和，若S„=-a„+l,n£N+,则a=()

25

A.2B.-2C.1D.-l

11111

［解析］选A.Sn为数列｛aj的前n项和且Sn=—a-1(n£N+),所以a=Sn-Sn-i=-a„+l--一a”一a-i,n，2,

2n2222n

所以an=-an-i,n^2,又n=l时，S尸Li+1,所以ai=2,所以数列｛aj是以2为首项，以-1为公比的等比数列，所

2

以a5=2X(-l尸二2.

11.(2020•太原高一检测)在等差数列｛Q”｝中，小=31,51。=$20,则数列｛。“｝的前门项和$“的最大值为()

A.Si5B.S16

C.S15或Sl6D.S17

【解析】选A.因为等差数列中,Sio=S2o,所以S2o-Sio=aii+a12+,,,+a2o-

5(ai5"^ai6)—0,

所以ais+a,6=0又a尸31>0,所以aQO,ai6<0,即数列的前15项为正值，从第16项开始为负值，所以数列｝

的前n项和Sn的最大值为Sl5.

12.(2020•哈尔滨高一检测)已知数歹Wa”｝与｛b〃｝前n项和分别为S“,T„,且a.〉0,2S产Q：+a”,nG

*_______2"+1______

对任意的nGN*.k>T0恒成立,则k的最小值是()

111

A.1B.-C."D.一

236

04/13

【解题指南】先由s.与a”的关系式求｛a,J的通项公式，于是可得｛6“)的通项公式,再由裂项相消法求出

Tn,于是答案易得.

【解析】选C.因为a)0,2Sn=Q；j+a”neN*,

所以当n=1时，2a产2S,=a；+ai,解得a,=1;

2

当n》2时，2S.T=Q+a„-i.

n-1

=

所以2an2Sn-2Sn-i=(片++an-i)

于是(*《)(/+an-l｝°

由an+an-i*o,可得an-a„-i=1,

2n+l

所以｛aj是首项为1,公差为1的等差数列，即a„=n.所以b,.=--------------------------;----------------=

n+1

(2+an)(2"+an+1)

_________2。+111

(2n+n)(2n+1+n*l)2n+n2n+1+n+l

所以Tn=bl+bz+…+bn

111111111

n111111,•,+11i=।〈一,

21+l22+222+223+32n+n2n+l+n+l32n+14-n+l3

*1111

因为对任意的nGN,k>T=------------------------恒成立，所以k)一,即k的最小值是一.

n32n+1+n+l33

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分,将答案填在题中的横线上)

17

13.正项等比数列｛a.｝中,S”为其前n项和，已知a?」&=»,则Se=.?

1]

【解析】由正项等比数列｛a。｝中a3=±

4

所以日伐+；+1片6+；+1月

n

14.(2020•全国I卷)数列区｝满足an+2+(-l)an=3n-l,前16项和为540,则a.=.?

+_n

【解析】an+2(1)an=3n-1,

当n为奇数时，an>2=an+3n-1;

当n为偶数时,an+2+an=3nT.

设数列｛an｝的前n项和为S„,

Si6=ai+a2+a3+a4+**，+ai6

=ai+a3+a5+，e，+ai5+(az+a。+•••+(ai4+ai6)

=ai+(ai+2)+(ai+10)+(ai+24)+(ai+44)+(ai+70)+(ai+102)+(ai+140)+

(5+17+29+41)=8ai+392+92=8ai+484=540,

所以ai=7.

答案：7

n

15.在数列｛an｝中，ai=l,a2=2,且an+2-an=l+(-1)(neN+),则ai+a2+--+a5i=.?

【解析】利用分组求和法求解.当n为正奇数时，

a„+2-an=0,又a尸1,则所有奇数项都是1;当n为正偶数时，an>2-an=2,又arf,则所有偶数项是首项和公差都是

2的等差数列，所以ai+az+…+a5i=(ai+a3+…+a5i)+

25X24

(a2+a4+…+a5。)=26a1+25a2+-----------X2-676.

答案：676

16.某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因

此首层价格为ai元/m；顶层由于景观好价格为国元/m；第二层价格为a元/m。,从第三层开始每层在前一层

价格上加价「一元/m；则该商品房各层的平均价格为.?

100

【解析】设第二层的价格到第二十二层的价格构成数列｛b。｝,则®｝是等差数列，bFa,公差d=—,共21项,

100

06/13

八<,21X20a

所以其和为S2i=21a+--------——=23.1a,

2100

故平均价格为—（ai+a2+23.1a）元/ml

23

答案：—（ai+a2+23.1a）元/n?

23

三、解答题（共70分）

17.（12分）（2020•天水高二检测）已知数列｛4｝的前n项和为S„,且2S„=3a„-l.

（1）求数列｛Qn｝的通项公式；

⑵若数歹0〃｝是等差数歹山且b,=2,从=14,求数列｛/>“｝的前n项和T„.

【解题指南】（1）当n=l时,求得a尸1,当n22时,递推作差得a„=3a„].即-^J3,得到数列｛。门｝是首项为

1,公比为3的等比数列，即可求解数列的通项公式；

n-1

（2）由（1）求得a=b「an=2nT,得到bn=Cn+an=2n-l+3,利用分组求和，即可求解.

【解析】（1）当"1时，2S尸2ak3a「1,所以a尸1,当n22时，因为2Sn=3a「1,

Qn

所以2S*3ai-1,两式作差得an=3an-i,即-----=3,因为ak1,

fln-l

所以数列｛。n｝是首项为1,公比为3的等比数列，故a“=3i.

⑵令Cn=bn-an,

则ci=bi-ai=1,C3=b3-a3=14-9=5,

fA%一。1S-11

所以数列｝的公差d=---------=2,故Cn=2n7,所以brFCn+arF2n7+3”,

l-3n3nT

2

所以jn=------------------------------=n+--------,

21-32

18.（12分）（2020•全国IH卷）设等比数歹UEJ满足a1+a2=4,a3—a尸8.

（1）求｛aj的通项公式；

(2)记S“为数列｛logsaj的前n项和.若S/S,”+产S*+3,求m.

【命题意图】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力,

属于基础题目.

【解析】(1)设等比数列｛a.J的公比为q,

4+=4

根据题意，有，_,

1alqz*=8

解得!a=，,i，所以a0=3"T;

(q=3

n-1

⑵令bn=Iog3an=Iog33=n-1,

n(04-n-l)n(n-l)

所以Sn=-----------------------------------------

22

根据Sm+Sm+1—Sm+3,

mim11mm♦1,(m+2)(m)31

可得---------1------------------------------------------------------------

22

整理得v(\-5n\-6=0f因为m>0,所以m=6.

2

19.(12分)在数列｛aj中，ai=4,nanu-(n+1)an=2n+2n.

⑴求证:数列件｝是等差数列;

⑵求数列｛」-｝的前n项和S,,.

【解题指南】(1)根据数列通项公式的特征,我们对nai-(n+1)a=2n2+2n,两边同时除以n(n+l),得至lj

IT)nn

包上利用等差数列的定义,就可以证明出数列是等差数列;

n+1nInJ

(2)求出数列｛/-｝的通项公式,利用裂项相消法,求出数列｛：｝的前n项和S„.

、0914-1G1

【解析】(1)nae-(n+1)af2n+2n的两边同除以n(n+1),得---------=2,又—=4.

n+1n1

所以数列｛%｝是首项为4,公差为2的等差数列.

08/13

(2)由(1)得—=4+2(n-1),即---=2n+2,所以a=2n+2n,

nnn

故j-GT

z

an2n4-2n2\nn+1/

n

所以[)+(工一工)+…+(工一一—)]=-(1一一—1

2\2八23/\nn^l/2\n+1/2(n+l)

首项为ai,且」，a,S„

20.（12分）（2020•石家庄高一检测）已知各项均为正数的数列｛*｝的前n项和为S,.,n

2

成等差数列.

（D求数列｛a[i]的通项公式;

⑵若嫌=（1）",设以上之求数歹Wj｝的前n项和T„.

【解题指南】（1）由n22,A=S/S„T,根据等比数歹U定义可得结果；⑵先求出数列｛8）的通项公式,再根据

数列｛。1｝的通项特点,利用错位相减法求和.

【解析】⑴由题意知2a.=S。=,a„>0,

11

当n=1时，2al二a〕—,所以ai=—,

22

11

当n22时,Sn=2an——,Sn-i=2a»-i——,

2r2

=——

两式相减得3nSnSn-1~2an2an-1f

整理得一21-二2,

an-i

所以数列｛aj是以一为首项，2为公比的等比数列，二a1・2e二一X2e二2n工

22

(2)Q；=2bn=22i,所以b,=4-2n,

44-2n16-8n

a-n2n-22n

80824-8n16-8n

---1--n-i'n

2222322

24-8n16-8n

2n、+「②

……1/I.1,,1\16-8n25（1-B-1J16-8n

①-②得+芸+…+系）^「4-8'—耳_正不

（.1\16-8n4n

仪1-记匕所行?

8n

所以Tn—j.

1

21.（10分）已知数歹！］｛aj满足a）=l,a”“=l-----,其中n©N*.

4a„

(1)设V2一,求证:数列｛b„｝是等差数列,并求出区｝的通项公式.

2an-l

⑵设c“="工,数列｛c„c„.2｝的前n项和为T,.,是否存在正整数m,使得TW---对于nGN*,恒成立?若存

n+1CfnCm+l

在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.

【解题指南】(1)结合递推关系可证得bnll-b„=2,且b尸2,即数列｛bj是首项为2,公差为2的等差数列，据此

可得数列｛Q〃｝的通项公式为a,,-/.

(2)结合通项公式裂项有c“c„+2=2(N—」一),求和有T0=2(1+-------)<3.据此结合单调性讨

\nn+27\2n+1n+27

论可得正整数m的最小值为3.

22

【解析】a)b+1-bn-

n々

271+1-12an-l

10/13

224即2一

=，।=­=2.

2(1--^-)-12an-l2an-l2an-l

2

又由aFl,得b,=2,所以数列｛bj是首项为2,公差为2的等差数列，所以bn=2+(n-1)X2=2n,由b„=-----------,

2a„l

n+1

得a„=

2n

(2)Cn=­,C„Cn>2=------------=2|—----------),

nn(n+2)\nn+2/

所以Tn二2(1+1一」--」—)<3

\2n+1n+2/

l*i1)

依题意，要使T<--------------对于nGN恒成立，只需--------->3,解得m》3或mW-4.

CECMU4

又m>0,所以me3,所以正整数m的最小值为3.

22.(12分)(2020•重庆高一检测)己知数列｛。八｝为等比数列，其前n项和为S„,且S,,&的等差中项为S3,

若80+。3>-5.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

⑵记T*H轴卦恺对于任意的