高三数学寒假作业2

高三数学寒假作业2

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知全集"={1,2,3,4,5},集合A/={3,4,5},N={1,2,5},则集合{1,2}可

以表示为（）

A.MCNB.(CuM)PN

C.MH(CuN)D.(CuM)A(CuN)

a+3i

2.若复数五五(aWR,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()

A.-6B.-4C.4D.6

n

3.若等比数列{斯}的前〃项和Sn=a,3—2,则3=()

A.4B.12C.24D.36

4.已知命题p：3xGR,x-2>0,命题/VxGR,2A>x2,则下列说法中正确的是（）

A.命题pVq是假命题B.命题p/\q是真命题

C.命题〃八*q)是真命题D.命题pV（「q）是假命题

5.设。=0.36,b=log36,c=log510,则(）

A.c>h>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

俯视图

%>1

7.已知％-y+lNO痴x+y的最小值是2,则a=()

2x—y—2<0

A.1B.2C.3D.4

IT7T

8.若/(x)=2cos(3x+(p)+m,对任意实数t都有/(f+左)=/(-t),且/(一)=7

，8

则实数m的值等于（）

A.±1B.-3或1C.±3D.-1或3

9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A.14B.15C.16D.17

10,△ABC中，ZBAC=\20°,AB=2,AC=1,。是边BC上的一点（包括端点），则G•品

的取值范围是（）

A.[1,2]B.[0,1]C.[0,21D.[-5,2]

11.如图过抛物线V=2px（p>0）的焦点厂的直线依次交抛物线及准线于点4,B,C,若

|BQ=2|BQ,且|4回=3,则抛物线的方程为（）

29

Cy

-2-X

12已知/（x）是定义在R上的奇函数，/（-1）=-1,且当尤>0时，有xf（x）

则不等式f（x）>x的解集是（)

A.(-1,0)B,(1,+8)

C.(-1,0)U(1,+8)D.(-8,-1)u(1,+8)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知=则cos(IT-a)=.

14.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，

甲说：丙没有考满分；

乙说：是我考的；

丙说：甲说真话.

事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是.

15.在边长为4的正方形ABCO内部任取一点则满足NAMB为锐角的概率为.

16.A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AOJ_平面ABC,AO=

4,AB=2®则该球的表面积为.

三、解答题：解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤

17.(12分)已知数列｛a”｝的前〃项和为S”=〃2,〃cN*.

(1)证明：数列｛即｝是等差数列；

(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列｛加｝的前2n项和.

18.(12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个

等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度

测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频

数统计表如下：

表1：男生

等级优秀合格尚待改进

频数15X5

表2：女生

等级优秀合格尚待改进

频数153y

(1)从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格

的概率；

(2)从表二中统计数据填写下边2X2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结

果优秀与性别有关”.

男生女生总计

优秀

非优秀

总计

参考数据与公式：犬=m+与图滞；）（计砌,其中"=a+Kc+d.

临界值表:

P(W>ko)0.100.050.01

ko2.7063.8416.635

19.（12分）如图，己知4尸_1_平面ABC。，四边形ABEF为矩形，四边形A8C£＞为直角梯

形，NZM8=90°,AB//CD,AO=AF=C£>=2,4B=4.

(I)求证：AC_L平面BCE；

(Il)求三棱锥E-BCF的体积.

高三数学寒假作业2（答案解析）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.己知全集"={1,2,3,4,5},集合M={3,4,5},N={1,2,5},则集合{1,2}可

以表示为(

A.MCINB.(CuM)AN

C.MCI(CuN)D.(CuM)A(CuN)

【解答］解:■M={3,4,5},N={1,2,5),

.*.MAN={5},(CuM)AN={1,2},

MCI(CuN)={3,4},

(CuM)A(CuN)=0,

故选：B.

2.若复数理(aCR,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()

l+2l

A.-6B.-4C.4D.6

a+3t(a+3i)(l-2i)(a+6)+(3—2a)i

【解答】解：・・'为纯虚数,

l+2i(l+2i)(l-2i)

故选：A.

3.若等比数列{。〃}的前〃项和%二Q・3n—2,则42=()

B.12C.24

【解答】解：,・・Sn=a-3n—2,

=Si=a•31—2=3a—2,

ai=Si-S\=(9。-2)-(3〃-2)=6a,

a3=S3-S2=(27a-2)-(9。-2)=18〃,

・・・{〃〃}为等比数列，

:.(6a)2=(3a-2)X18〃,

解得Q=2,或a=0(舍)，

:・4=2,

/•a2=S2-Si=6〃=12,

故选：B.

4.已知命题p：3A-GR,X-2>0,命题q：VxGR,2A>x2,则下列说法中正确的是（）

A.命题pVq是假命题B.命题是真命题

C.命题p/\（—*q）是真命题D.命题p\/（「q）是假命题

【解答】解：因为命题p：3xGR,x-2>0是真命题，例如x=3,

而命题夕：Vx6R,2">/,是假命题，例如工=1,

由复合命题的真值表可知命题pALq）是真命题.

故选：C.

5.设4=0.36,b=log36,c=log510,则（）

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【解答】解：•.Z=O.36<1,%=鬻=1+蹩，,=然=1+器，

lg3lg3Lg5Lg5

Vfe5>/^3>/g2>0,

:・a〈c<b.

故选：B.

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

俯视图

【解答】解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图,

三棱柱的底面是等腰直角三角形，

其面积S=*xlX2=l,高为1；

故其体积％=1X1=1；

三棱锥的底面是等腰直角三角形，

其面积S=；X1X2=1,高为1；

故其体积V2=|XlX1=1；

故该儿何体的体积V=V1+V2=-

故选：A.

X>1

7.已知卜一y+lNO茄％+y的最小值是2,则。=（）

2x—y—2<0

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：由已知得线性可行域如图所示，则z=ax+y的最小值为2

若a>-2,则（1,0）为最小值最优解，

若后-2,则（3,4）为最小值最优解，不合题意,

故选：B.

7TTC

8,若/(x)=2cos(o)x+(p)对任意实数t都有f(什五)—f(-/),且/(一)=-1

-8

则实数m的值等于()

A.±1B.-3或1C.±3D.-1或3

【解答】解：因为/(x)=2cos(3x+<p)+m,对任意实数f都有/(r+^)—f(-t),

--rJI

所以函数的对称轴是》=今=不就是函数取得最值，又/=7'

所以-1=±2+机，所以机=1或-3.

故选:B.

9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()

翠

A.14B.15C.16D.17

【解答】解:第一次循环：S=log2n=2；

23

第二次循环:S=，。。2@+1。024，几=3；

234,

第三次循环:

S=log234-log24+log2引〃=4；

2342

---+g=的E

345/o22

等

og2<

・•・输出的结果是〃+1=16

故选：C.

10.△ABC中，ZBAC=120°,43=2,AC=1,。是边3c上的一点（包括端点），则G•说

的取值范围是（）

A.[1,2]B.[0,1]C.[0,2]D.[-5,2]

【解答】解：是边8C上的一点（包括端点），，可设G=26+（1-冷公（0〈入

W1）.

VZBAC=120°，43=2,AC=1,：.ABAC=2XlXcosl20°

：.AD*BC=[XAB4-(1-X)AC]-(AC-AB)

=(24-1)AB-AC-AAB2+(1-X)AC2

=-(2A-1)-4A+1-A

=-7A+2.

二(-7入+2)G[-5,2].

•晶的取值范围是[-5,2].

故选：D.

11.如图过抛物线)2=2px(p>0)的焦点P的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若

\BC\^2\BF],且|AQ=3,则抛物线的方程为()

22

A.y2=1,vB.>2=3XC.y=D.y=9x

【解答】解：如图分别过点4,8作准线的垂线，分别交准线于点E,D,

设15fl=a,则由已知得：\BC\=2a,

由定义得：\BD\=a,

故/8C£)=30°,

在直角三角形4CE中，

•.•|A/q=3,|AQ=3+3a,

...2|AE|=|AC|

工3+3。=6,从而得a=L

・：BD〃FG,

1_2

.e•—=一,

P3

求得p=p

因此抛物线方程为)2=3X,

故选：B.

12.已知，(x)是定义在R上的奇函数，/(-1)=-1,且当x>0时，有叶(x)>/(%),

则不等式/(x)>x的解集是()

A.(-1,0)B.(1,+8)

C.(-1,0)U(1,+8)D.(-8,-1)u(1,+CO)

【解答】解：•••/(X)是定义在R上的奇函数，

令g(x)=Sp，(X)为偶函数，

又当x>0时，xf(x)>f(x),

：.g'(x)=.⑴歹(x)>0；

(X)在(0,+8)上是增函数，在(-8,0)上是减函数；

又/(-1)=-L.*./(1)=1,g(1)=1；

当x>0时，二•不等式f(x)>x,

；)>1,即g(x)>g(1),

・・・有尤>1；

当xVO时，:不等式/(x)>x,

)<1,即g(x)Vg(-1),

X

・••有-IVxVO；

当％=0时，f(0)=0,不等式f(x)>不不成立；

综上，不等式/(x)>x的解集是(-1,0)u(1,+8).

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知sin与=/,则cos(IT-a)=-i.

【解答】解：呜=等

,a1

cos(IT-a)--cosa=-(1-2sin-一)=­k.

29

故答案为：-

14.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，

甲说：丙没有考满分；

乙说：是我考的；

丙说：甲说真话.

事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是甲.

【解答】解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；

假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；

故答案为：甲.

15.在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M,则满足NAMB为锐角的概率为」-看_.

【解答】解：如果N4EB为直角，动点E位于以AB为直径的圆上(如图所示).

要使/4例8为锐角，则点M位于正方形内且半圆外(如图所示的阴影部分)；

1

因为半圆的面积为x7Tx22o=27T,正方形的面积为4X4=16,

所以满足为锐角的概率P=1—第=1—率

故答案为：1—卷

16.A、B、C、。是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，平面ABC,AO=

4,AB=2V3,则该球的表面积为327T.

【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，

把A、B、C、。扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离

为球的半径，

A£>=4,AB=2®ZVIBC是正三角形，所以AE=2,A0=2位..

所求球的表面积为：4n(2&)2=32TT.

故答案为：321T.

三、解答题：解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤

17.(12分)已知数列｛a>的前〃项和为际=〃2,〃eN*.

(1)证明：数列｛an｝是等差数列；

n

(2)设岳=2厮+(-1)an,求数列｛为｝的前2〃项和.

22

【解答】(1)证明：当〃=1时，ai=5i=L当时，an=Sn-Sn-i=n-(n-1)

=2n-1.

当〃=1时，上式也成立，*.an=2n-1.

・•・当〃22时，板-加一1=(2〃-1)-(2(M-1)-1)=2,

数列｛•〃｝是等差数列，以1为首项，2为公差.

(2)解：b,,=2即+(-])"«„=22,,|+(-1)n(2n-1),

二数列｛加｝的前2〃项和=(21+23+-+22n-1>+[(-1+3)+(-5+7)+•••+(-(4n-3)

+(4n-D)]

18.(12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个

等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度

测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频

数统计表如下：

表1：男生

等级优秀合格尚待改进

频数15X5

表2：女生

等级优秀合格尚待改进

频数153y

(1)从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格

的概率；

(2)从表二中统计数据填写下边2X2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结

果优秀与性别有关”.

男生女生总计

优秀

非优秀

总计

参考数据与公式：犬=(叶切凿滞；)(b+d),其中〃=a+"c+d.

临界值表:

P(片〉如)0.100.050.01

如2.7063.8416.635

77145

【解答】解：(1)设从高一年级男生中抽出〃，人，则==7-------，机=25

500500+400

；.x=25-15-5=5,)，=20-18=2

表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a,b,c,尚待改进的2人为A,

B,

则从这5人中任选2人的所有可能结果为

(a,b),(a,c),(.a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(.A,

B)共B种,

记事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”

则C的结果为：(a,