人教版初中八年级下册数学教案 第十七章 勾股定理

第十七章勾股定理

本/章/整/体/说/课

«教学目标

嘛嵋融I

1.掌握勾股定理,能应用勾股定理进行简单的计算和实际应用.

2.掌握勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），会运用勾股定理逆

定理解决相关问题.

・过程^

体验勾股定理的探索过程,经历观察一一猜想一一归纳一一验证的数学

发现过程,发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思

想.

「褪糠身施厕

1.经历由情境引出问题,探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程,

培养学数学、用数学的意识与能力.

2.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国悠久

文化的思想感情.

«教材分析

本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用，教材从实践探索入手，

给学生创设学习情境,接着研究直角三角形的勾股定理,介绍勾股定理的

逆定理（直角三角形的判定方法），最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的

广泛应用.勾股定理是安排在学生学习了三角形、全等三角形、等腰三角

形等有关知识之后，它反映了直角三角形三边之间一种美妙的数量关系，

将数与形密切联系起来,在几何学中占有非常重要的位置,在理论和实践

上都有广泛的应用.勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形

的一种古老而实用的方法.在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中,

勾股定理知识将得到更重要的应用.

«教学重难点

【重点】会灵活运用勾股定理进行计算及解决一些实际问题,掌握勾

股定理的逆定理的内容及其证明过程，并会应用其解决一些实际问题.

【难点】掌握勾股定理的探索过程及适用范围，理解勾股定理及其逆

定理.

e教学建议

i.注重使学生经历探索勾股定理等过程.本章从实践探索入手,创设学

习情境,研究勾股定理及它的逆定理,并运用于解决一些简单的数学问题

与实际问题.在整个学习过程中应注意培养学生的自主探索精神,提高合

作交流能力和解决实际问题的能力.

3.尽可能地介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值.与勾股定理有

关的背景知识丰富,在教学中，应注意展现与勾股定理有关的背景知识，使

学生对勾股定理的发展过程有所了解,感受勾股定理的丰富文化内涵,激

发学生的学习兴趣.特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面

的成就,激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感,

同时教育学生发奋图强,努力学习，为将来担负起振兴中华的重任打下基

础.

4.注意渗透数形结合的思想.数形结合是重要的数学思想方法,本章内

容又恰是进行数形结合思想方法教学的较为理想的材料，因此,应强调通

过图形找出直角三角形三边之间的关系,从而解决有关问题.

、J课时划分

17.1勾股定理3课时

17.2勾股定理的逆定理1课时

单元概括整合1课时

课/时/教/学/详/案

17.1勾股定理

■教学目标

候设只写技能1

i.掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理.

2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.

场旗辘'

1.经历观察一一猜想一一归纳一一验证的数学发现过程.

2.发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想，树

立数形结合、分类讨论的意识.

通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值;通

过获得成功的经验和克服困难的经历，增强学习数学的信心,激发学生的

民族自豪感和爱国情怀.

«教学重难点

【重点】知道勾股定理的内容,并能应用其进行简单的计算和实际运

用.

【难点】勾股定理的灵活运用.

第E课时

区L整体设计

(5教学目标

.崩娉投能.

1.了解勾股定理的文化背景，了解利用拼图验证勾股定理的方法.

2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.

・过程写方法"

1.在勾股定理的探索过程中,经历观察一一猜想一一归纳一一验证的数

学发现过程.

2.发展合情推理的能力，体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、

分类讨论思想.

写价

通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值;通

过获得成功的经验和克服困难的经历，增强学习数学的信心,激发学生的

民族自豪感和爱国情怀.

t教学重难点

【重点】探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.

【难点】用拼图的方法验证勾股定理.

教学准备

【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】三角板、方格纸、三角形模型.

旧教学过程

E新课导入

导入一：

国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议,被誉为数学界

的“奥运会”.在北京召开了第24届国际数学家大会.此图案就是大会会

徽的图案.

大会的会徽图案有什么特殊含义呢?这个图案与数学中的勾股定理有着

密切的关系.中国古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”，较长

的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”.上述图案就揭示了

“勾”“股”“弦”之间的特殊关系.

我们学习过等腰三角形,知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形，

它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方法,直角三角形是有

一个角为直角的特殊三角形,等腰直角三角形又是特殊的直角三角形,直

角三角形的三边之间存在怎样的关系呢?我们的探究活动就从等腰直角三

角形开始吧.

［设计意图］勾股定理揭示的是特殊三角形的三边关系，从探索等腰直

角三角形三边关系入手,揭示直角三角形的三边关系，体现了由特殊到一

般的数学研究方法.

导入二：

请同学们认真观察课本封面和本章章前彩图，说一说封面和章前彩

图中的图形表示什么意思?它们之间有联系吗？

封面是我国公元3世纪汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的

“弦图”，章前彩图是世界数学家大会的会徽,大会的会徽使用的主体图

案就是“赵爽弦图”.

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇

宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.我国数学家

华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”，

那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义

尤其是在两千年前,是非常了不起的成就.

你知道为什么把这个图案作为这次大会的会徽吗?本节课,我们一起来

解读图中的奥秘.

［设计意图］以生活课本中的图案、故事导入，增强了趣味性,拉近了数

学与生活的距离，激发了学生的民族自豪感和爱国情怀.

导入三：

如图所示,一座城墙高11.7m,城墙外有一条宽为9m的护城河,那么一

架长为15m的云梯能否达到城墙的顶端？

9m

这就是我们今天所要学习的内容,一个非常重要的定理一一“勾股定

理”.

［设计意图］以学生熟悉的生活情境作为教学活动的切入点,使学生对

问题产生兴趣.让学生主动去分析，发现,亲身体验,产生学习“勾股定理”

的主观愿望.

国新知构建

1.探索勾股定理

(1)探索等腰直角三角形三边之间的关系.

［过渡语］(如教材第22页图)相传2500多年前,毕达哥拉斯有一次

在朋友家作客时一,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边

的某种数量关系.

师:这个地面图案中有大大小小、各种“姿势”的正方形.毕达哥拉斯在

这些正方形中发现了什么呢？(出示教材图17.1-2)

(1)问题提出：在图17.1-2中，是以等腰直角三角形三边为边长的三个

正方形.这三个正方形面积之间存在怎样的关系?三个正方形之间的面积

关系说明了什么？

(2)学生活动:质疑、猜测、探索、交流三个正方形面积之间的关系.

学生的探索方法可能是:通过数正方形内等腰直角三角形个数的办法，

得出两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.

(3)教师总结:通过直接数等腰直角三角形的个数,或者用割补的方法将

小正方形中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得出结论:小正方形的

面积之和等于大正方形的面积,也就是等腰直角三角形两条直角边的平方

和等于斜边的平方.

追问：在图17.1-2中，如果选取更大的等腰直角三角形,按照同样的方

法作三个正方形,这三个正方形的面积关系还一样吗？如图所示.

［设计意图］这个探索活动是学习、探索勾股定理的基础.借助三个正

方形面积之间的关系,探索等腰直角三角形三边的数量关系,这是本活动

的出发点.提出追问的问题,有助于学生的认识上升到整个直角三角形的

一般性的高度,也为学生有个性的创意活动搭建了平台.

（2）探索具体边长的非等腰直角三角形三边之间的关系.

思路一

［过渡语］除了等腰直角三角形之外,一些特殊边长的直角三角形，

还有斜边的平方等于两条直角边的平方和的规律吗？

（出示教材图17.1-3）

提出问题：（结合带提示的下图）

1.正方形A,B,C的面积分别是多少?它们之间的数量关系说明了什么？

2.正方形A',B',C'的面积分别是多少?它们之间的数量关系说明了什

么？

学生活动:依据教材探究的提示,根据直角三角形的边长,分别计算出正

方形A,B,A',B'的面积;再通过建立一个大正方形计算出正方形C,C'的面

积.

探究提示:正方形A,B的面积分别为4和9,通过建立边长为5的正方形,

计算出正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和，也就是正方形

C的面积为13.

同理,正方形A',B'的面积分别为9和25,通过建立边长为8的正方形，

计算出正方形C'的面积为64减去四个小直角三角形面积和，也就是正方

形C'的面积为34.

活动总结：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.

［设计意图］由特殊到一般，借助网格,利用面积割补法计算正方形的

面积,探索直角三角形三边之间的关系，为探究无网格背景下直角三角形

三边关系打下基础,提供方法.

思路二

1.画一个两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形ABC,用刻度尺

量出AB的长.再画一个两直角边长分别为5和12的直角三角形ABC,用刻

度尺量AB的长.

你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系？

学生计算后发现:32+42=5152+122=132,那么就有勾2+股2=弦：

学生讨论:对于任意的直角三角形,也有这个性质吗？

2.如图所示,每个小方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A,B,C的

面积，看看能得出什么结论.

A的面积B的面积C的面积

左上

16925

图

右下

4913

图

探究提示:右下图正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和

12,也就是正方形C的面积为13.左上图亦是同样的思考方法.

学生计算后发现:小正方形A,B的面积之和等于大正方形C的面积.

追问：由以上你能得出什么结论?若直角三角形的两条直角边长分别为

a,b,斜边长为c,则a,b,c有什么关系?

教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形

两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.数学表达式为:a?+b2=c2.

［设计意图］通过学生画、量、算等形式,让学生在探究中发现结论，

借助网格,利用面积割补法计算正方形的面积,探索直角三角形三边之间

的关系，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础,提供方法.

2.勾股定理的证明

教师提问:对于任意直角三角形三边之间应该有什么关系？

教师引导学生猜想:如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,

那么a2+b2=c2.

追问:以上直角三角形的边长都是具体的数值,一般情况下，如果直角三

角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,我们的猜想仍然成立吗？

思路一

（出示教材图17.1-5）让学生翦4个全等的直角三角形，拼成如图所示

的图形，利用面积证明.

图中大正方形的面积是c2,直角三角形的面积是3瓦中间正方形的面积

为（b-aT,则有c2=|abX4+（b-a）\即a2+b2=c2.

教师适时介绍:这个图案是公元3世纪汉代的赵爽在注解《周髀算经》

时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出：四个全等的直角

三角形（朱实）可以按如图所示围成一个大正方形，中间部分是一个小正方

形（黄实）.我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形.

教师在学生归纳基础上总结:直角三角形两直角边长的平方和等于斜边

长的平方.中国人称它为“勾股定理”，外国人称它为“毕达哥拉斯定

理”.

［设计意图］通过拼图活动,调动学生思维的积极性,为学生提供从事

数学活动的机会,发展学生的形象思维，使学生对定理的理解更加深刻,体

会数学中数形结合的思想.通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家

对勾股定理的发现及证明所做出的贡献，增强民族自豪感.通过了解勾股

定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心.

思路二

学生利用拼图游戏验证定理，并思考:能用右图证明这个结论吗？

已知：在AABC中，ZACB=90°,ZBAC,ZABC,ZACB的对边分别为

a,b,c.

求证:a2+b2=c2.

（1）让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的纸,让学生拼摆不同的

形状,利用面积相等进行证明.

（2）拼成如图所示,其等量关系为4义押+（鹏）4,化简可证.

（3）发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明.

利用下面这些图也能证明这个结论吗？

教师指导学生验证.

我们证明了以上结论的正确性,我们就可称之为定理,这就是著名的

“勾股定理”.

请同学们用不同的表达方式（文字语言、符号语言）表述这一定理.

勾股定理的名称介绍:3000多年前，我国古代有一个叫商高的人

说：“把一根直尺折成直角，两端连接得一直角三角形,勾广三,股修四，弦

隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的

直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5.因为勾股定理内容最早出现

在商高的话中，所以又称“商高定理”.一千多年后，西方的毕达哥拉斯证

明了此定理，因此又叫“毕达哥拉斯定理”，当时毕达哥拉斯学派为了纪

念这一发现，杀了一百头牛庆功，故而还叫“百牛定理”.一个定理有如此

多的“头衔”，可见勾股定理的不凡.

［设计意图］通过拼图活动,充分调动学生的积极性,进一步激发学生

的求知欲;通过借助不同图形探索证明,提高学生思维的活跃性;通过对赵

爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡

献，增强民族自豪感.

思路三

［过渡语］以上猜想经过古今中外的人多次证明都是成立的.我国人

称它为“勾股定理”，在西方，它被称作“毕达哥拉斯定理”.目前世界上

可以查到证明勾股定理的方法不下500种.

1876年,美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理.你也能完成证明

过程吗？

证明：以a,b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直

角三角形的面积等于乐b.把这两个直角三角形拼成如图所示的形状，使

A,E,B三点在一条直线上.

VRtAEAD^RtACBE,

.,.ZADE=ZBEC.

VZAED+ZADE=90°,

.*.ZAED+ZBEC=90°.

.,.ZDEC=180°-90°=90°.

/.ADEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于打2.

XVZDAE=90°,ZEBC=90°,

，AD〃BC.

四边形ABCD是一个直角梯形,它的面积等于/a+b)2.

.,.-(a+b)2=2xiab+-c2.

222

a'+b'c'.

学生思考后,教师再展示证明过程.

［设计意图］通过了解勾股定理的不同证明方法，丰富自己的知识;通

过了解到古今中外无数人进行证明，激发学生学习数学的热情.

［知识拓展］解决直角三角形有关计算和证明的问题时，要注意：（1）求

直角三角形斜边上的高常运用勾股定理和面积关系式联合求解.（2）要证

明线段的平方关系,首先考虑使用勾股定理,从图中寻找或构造包含所证

线段的直角三角形,利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证.（3）由勾

股定理的基本形式a?+b2=c2可以得到一些变形关系式,如

a2=c2-b2=（c+b）（c-b）,b'cLa'S+a）（c-a）等.（4）在钝角三角形中，三角形

三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2<c2,在锐角三角形中，三

角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2>c2.

3.例题讲解

例1（补充）在直角三角形中，各边的长如图,求出未知边的长度.

L

（2）

引导分析:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那

么a2+b2=c2.通过对等式变形,可以得出直角三角形三边之间的关

系:c=Va2+b2,b=Vc2-a2,a=Vc2-b2.

解：⑴根据勾股定理，得ABR/C2+BC222+72=同.

⑵根据勾股定理,得AB=V5C2-/lC2=V102-42=2Vn.

［解题策略］在直角三角形中，已知两边长,求第三边长,应用勾股定理

求解，也可建立方程解决问题.

例2(补充)有两边长分别为3cm,4cm的直角三角形，其第三边长为

(解析)分情况讨论：当4cm为直角边长时，当4cm为斜边长时,依

次求出答案即可.①当4cm是直角边长时,斜边=存率不=5(cm),此时第

三边长为5cm;②当4cm为斜边长时，第三边=1字=«(011).综上可得

第三边的长度为5cm或被cm.故填5或夜.

［解题策略］注意掌握勾股定理的表达式,分类讨论是解决此题的关键,

难点在于容易漏解.

叵课堂小结

师生共同回顾本节课所学主要内容：

1.如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即

直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.

2.注意事项：

(1)注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三

角形和钝角三角形.

(2)注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错.

(3)注意勾股定理公式的变形:在直角三角形中，已知任意两边长,可求

第三边长，即c=Va2+b2,b=Vc2_a2,a=Vc2-/)2.

⑷检测反馈

1.如图所示,字母B所代表的正方形的面积是)

A.12B.13

C.144D.194

解析:根据勾股定理知,斜边长的平方等于两直角边长的平方和，则字母

B所代表的正方形的面积等于以三角形斜边长为边长的正方形的面积减

去以另一直角边长为边长的正方形的面积，即169-25=144.故选C.

2.如图所示,若NA=60°,AC=20m,则BC大约是(结果精确到0.1m)

()

A.34.64mB.34.6m

C.28.3mD.17.3m

解析：•.♦/A=60°,ZC=90°,AZB=30°,AAB=2AC,VAC=20,AAB=40,A

BC=AMB2-/C2=

V1600-400=V1200=20V334.6(m).故选B.

3.在RSABC中,ZC=90°.

⑴若a=3,b=4,贝ijc=;

(2)若b=6,c=10,则a=;

(3)若a=5,c=13,则b=;

(4)若a=l.5,b=2,则c=.

解析：：根据勾股定理计算即可.

(1)c=Vcz2+b2=y/32+42=5;(2)a=Vc2-b2=-\/102-62=8;(3)b=Vc2-cz2=

V132-52=12;

(4)c=Va2+b2=Vl.52+22=2.5.

答案：(1)5(2)8(3)12(4)2.5

4.如图所示，RtAABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,DEIAB于E,若

AC=6,BC=8,CD=3.

(1)求DE的长；

(2)求AADB的面积.

解：⑴平分NCAB,DE_LAB,ZC=90°,.,.CD=DE,VCD=3,.*.DE=3.

(2)在RtaABC中，由勾股定理得AB=，4c2+BC?"?+82=10,

11

SAADB^AB-DE=-X10X3=15.

22

区板书设计

第1课时

1.探索勾股定理

2.勾股定理的证明

3.例题讲解

例1例2

舐布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第24页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第1题.

【选做题】

完成教材第30页勾股定理的几种证法的证明过程.

二、课后作业

【基础巩固】

1.在RtAABC中，ZC=90°,AC=9,BC=12,贝ij点C至I」AB的距离是（）

ATBYC.2D.迪

52544

2.如图所示,有一张直角三角形纸片，两直角边长分别为AC=6cm,BC=8cm,

现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD

等于（）

A.2cmB.3cm

C.4cmD.5cm

3.AABC中，AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点，过点P作PD±AB于点

D,PE±AC于点E,则PD+PE的长是（）

A.4.8B.4.8或3.8

C.3.8D.5

4.如图所示，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方

形的三个顶点，可得到AABC,则AABC中BC边上的高是.

【能力提升】

5.若直角三角形的两直角边长为a,b,且满足Va2-6a+9+仍-4|=0,则该直

角三角形的斜边长为.

6.如图所示，在AABD中，ND=90°,C是BD上一点，已知

CB=9,AB=17,AC=10,求AD的长.

7.在4ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,求4ABC的周长.

8.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”

给了小聪以灵感.他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形按图（1）或图⑵

摆放时一，都可以用“面积法”来证明.

下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按如图⑴所示摆放，其中NDAB=90°,求

证：a"+b2：:=c2.

证明:连接DB,过点D作DF_LBC于F,则DF=EC=b-a.

••191

・S四边形ADCB=SaACD+S^ABcH^b+-ab,

又S四边形ADCB=S4ADB+SADCB=5c2+aa(b-d),

-b~+-ab=-c2+-a(b-a).

2222

a2+b2=c2.

请参照上述证法,利用图⑵完成下面的证明.

将两个全等的直角三角形按如图⑵所示摆放,其中NDAB=90°,求

证:a2+b2=c'.

证明：连接.

•S五边形ACBED二，

又•S五边形ACBED=,

•2।122

••a+b=c.

【拓展探究】

9.如图所示,在平面直角坐标系中，RtAOAB的顶点A在x轴的正半轴上,

顶点B的坐标为⑶b).点C的坐标为G，0),点P为斜边0B上的一个动

点,求PA+PC的最小值.

【答案与解析】

LA(解析:如图所示，,.,AC=9,BC=12,NACB=90°,・•.由勾股定理可得

AB=15,再由等面积法可得之义9X12=1X15XCD,ACD=£.故选A.)

■

2.B(解析：由题意可知4ACD和4AED关于直线AD对称，因而有△ACD^A

AED,所以AE=AC=6cm,CD=ED,ZAED=ZACD=90°.在RtAABC中,由勾股定

理可得ABW/C2+Be?"2+82=10(cm).若设CD=ED=xcm,则在RtABDE

中，由勾股定理可得DE2+BE2=BD2,即x2+(10-6)2=(8-x)2,解得.)

3.A(解析：过A点作AF_LBC于F,连接AP,VAABC中，AB=AC=5,BC=8,/.

BF=4,.,.在4ABFKF=y/AB2-BF2=3,.-.|X8X3=1X5XPD+1X5XPE,即

12=|X5X(PD+PE),APD+PE=4.8.故选A.)

4.今入解析：由题意知SAABC=S正方形

22

AEPD-SAAEB-SABFC-SACDA=2X2-|X1X2-|X1X1-|X1X2=|.：BC=V1+1=V2,

AABC中BC边上的高是|X24■/二乎.)

5.5(解析：Vyja2~6a+9+1b-41=0,/.a2-6a+9=0,b-4=0,解得a=3,b=4,V

直角三角形的两直角边长分别为a,b,...该直角三角形的斜边长

=Va2+b2=y/32+42=5.)

6.解:设CD=x.在RtAACD中，由AD2=AC2-CD2,可得AD2=102-x2.在RtAABD

中，由AD2=AB2-BD2,可得AD2=172-(X+9)2,所以102-x2=172-(x+9)2,解得x=6.

，AD=V>lC2-CD2=V102-62=8.

7.解：当aABC的高在三角形内时，如图（1）所示，由题意可知

BD2=AB-AD2=152-122,.,.BD=9>CD2=AC2-AD2=132-122,.\CD=5,.,.BC=9+5=14,

因此AABC的周长为14+15+13=42.当AABC的高在三角形外时一，如图(2)

所示，由题意可知BD2=AB2-AD2=15-122,ABD=9,CD2=AC2-AD2=132-122,

CD=5,.,.BC=9-5=4,因此AABC的周长为4+15+13=32.综上所述，AABC的周

长为32或42.

(1)(2)

8.证明:如图所示，连接BD,过点B作BF±DE于F,则BF=b—a.丁S五边形

ACBED=S△ACB+S△ABE+S△b+-b2+-ab,又S五边形

ACBED二SzxACB+S/kABD+S4BDE=:ab+；c~+；a(b—a),；・；ab+1b2+：ab=;ab+jc,+:a(b—a).•二

乙乙乙乙乙乙乙乙乙

a2+b2=c2.

9.解:如图所示，作A关于0B的对称点D,AD交0B于点M,连接CD交0B于

P,连接AP,过D作DN±OA于N,则此时PA+PC的值最小，由作图知DP=PA,

.,.PA+PC=PD+PC=CD.VB(3,V3),.,.AB=V3,0A=3,由勾股定理得0B=2百，易

得在RtZWB中，ZA0B=30°,由三角形面积公式得：><0A><AB三XOBXAM,

AAM=|,.\AD=2X|=3.VZAMB=90°,ZB=60°,.,.ZBAM=30°,VZ

BA0=90°,.,.Z0AM=60°,VDN1OA,AZNDA=30°,.•.AN=：AD=|,由勾股定

理得DN=—.VC（-,0）,.,.CN=3----=1,在RtADNC中，由勾股定理得

2\2/22

DC=J12+（?『夸即pA+pc的最小值是平.

旧教学反思

（节成功之处

本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学

生的探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在老师的引导下自主探索,

合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的

领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境一一分析探究

——得出猜想一一实践验证一一总结升华”为主线，使学生亲身体验勾股

定理的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.

G）不足之处

在教学过程中，高估了学生证明勾股定理的能力，主要困难在于一些学

生不能对图形进行正确的割补.对图形的割补过程没有给学生详细的呈

现.

①再教设计

适当增加学生拼图的时间，通过实践操作，画图分析,独立分析证明思路,

正确完成证明过程.

0教材习题解答

练习(教材第24页)

1.解：⑴根据勾股定理a2+b2=c；得b=V^WWi声＞=8.(2)根据勾股

定理a2+b"=c\得c=Va2+b2=V52+122=13.(3)根据勾股定理a"+b2=c",

得a=Vc2-b2=-\/252-152=20.

2.解：如图所示，在RtZkFHG

222

中，FG=SA+SB=12+16=400,HG2=SC+SD=92+12?=225,...大正方形的面积

2

SB=FH=FG+HG=400+225=625.

一备课资源

⑥）拓展阅读

挖掘勾股定理的科学文化价值

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系.在直角三角形中，已

知任意两边长,就可以求出第三边长.勾股定理常用来求解线段长度或距

离问题.

勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发,到网格中的直角三角

形，再到一般的直角三角形,体现了从特殊到一般的探索、发现和证明的过

程.证明勾股定理的关键是利用割补法求以三角形的斜边长为边长的正方

形的面积,教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般

的猜想，并获得定理的证明.

我国古代在数学方面有许多杰出的研究成果，对于勾股定理的研究就是

一个突出的例子.教学中可以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面

取得的成就和作出的贡献，以培养学生的民族自豪感.围绕证明勾股定理

的过程，培养学生学习数学的热情和信心.

4经典例题

国我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，

后人称其为“赵爽弦图”(如图⑴所示).图⑵由弦图变化得到,它是由

八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正

方形MNKT的面积分别为SbS2,S3,若S.+S2+S3=10,贝US2的值是.

(解析)解题的关键在于理解如何拼接成“弦图”，并运用弦图中隐

含的结论寻找新的等量关系.设直角三角形的两直角边长分别为

2222222

a,b(b>a).VSi=(a+b),S2=a+b",S3=(b-a),(a+b)+(a+b)+(b-a)=10,

2

得a+b=^,即S2=y.故填学

［解题策略］本题运用数形结合思想,先表示出Si,S2,S3,灵活用勾股定

理方可解决问题.

第②课时

(5整体设计

(勺教学目标

，而飙身投能.

能说出勾股定理,能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问

题.

■过程写方法*

1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养

学生解决现实问题的意识和能力.

2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股定理的

应用方法.

写你

在例题分析和解决过程中，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用.

同时在学习过程中体会获得成功的喜悦,提高学生学习数学的兴趣和信

心.

(*教学重难点

【重点】运用勾股定理解决实际问题.

【难点】勾股定理的灵活运用.

(勺教学准备

【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】三角板、三角形模型.

旧教学过程

区新课导入

导入一：

电视的尺寸是屏幕对角线的长度.小华的爸爸买了一台29英寸(74cm)

的电视机，小华量电视机的屏幕后，发现屏幕只有58cm长和46cm宽.他

觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗?你能解释是为什么吗？

引导学生回忆勾股定理的内容,学生再尝试解决上面的问题.

［设计意图］让学生回忆勾股定理的内容,并注意文字语言、图形语言、

符号语言的规范统一,尝试解决生活中的实际问题，以激发学生学习的兴

趣和探究的欲望.

导入二：

上节课,我们学习了勾股定理,它的具体内容是什么呢?它有什么作用

呢？

教师出示问题:求出下列直角三角形中未知的边.

提出问题后让一位学生板演,剩下的学生在课堂作业本上完成.

教师巡视指导答疑,在活动中重点关注：

(1)学生能否正确应用勾股定理进行计算；

(2)在解决直角三角形的问题时，需知道直角三角形的两个条件且至少

有一个条件是边;

(3)让学生了解在直角三角形中斜边最长.

［设计意图］通过简单的提问帮助学生回顾勾股定理,加深定理的记忆

理解，为学习新课做好准备.

陷新知构建

［过渡语］勾股定理应用比较广泛,我们一起来看看下面几个问题.

L木板进门问题

思路一

(1)分析导入一提出的问题.

教师在学生讨论基础上明确解决问题的方法:计算电视机对角线的长度,

看是否为74cm.

解:根据勾股定理,得，582+462^74(cm).

因此，这台电视机符合规格.

(2)自学教材第第页例1.

教师提问：门框能通过薄木板的最大宽度是多少？

学生带着问题阅读题目，试写解答过程.

(3)变式练习：长方体盒内长、宽、高分别为3cm,2.4cm和1.8cm,盒

内可放的棍子最长为cm.

本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长,为

,32+2.42=0T7@(cm).这根最长的棍子和长方体的高,以及长和宽组

成的长方形的对角线组成了直角三角形,则棍子最长为

J(V14.76)2+1.82=3V2(cm).

教师引导学生小结:遇到求木板进门或将物体放入立体图形内的问题，

常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从

而判断是否可以通过(放入).

［设计意图］通过讲练结合，引导学生独立分析，自主学习，提高学生运

用勾股定理解决简单问题的能力.

思路二

例1(教材例1)一个门框的尺寸如图所示,一块长3m,宽2.2m的长

方形薄木板能否从门框内通过?为什么？

I[•:

逐步引导提问：

(1)木板的短边比门的高还要长,是否一定不能通过?还可以分析比较哪

两个长度？

(2)这两个长度一个是木板的短边长，另一个是长方形的对角线的长,能

求吗？如何求?

学生先尝试后发现:木板横着进,竖着进,都不能从门框内通过.再试一

试斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出

AC,再与木板的宽比较,就能知道木板能否通过.

C

2m

.4--------B

1m

解:如图所示,在RtAABC中，根据勾股定理，

得AC2=AB2+BC2=l2+22=5.

AC=V5^2.24.

因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.

［解题策略］在遇到木板进门或将物体放入立体图形内的问题,常常需

要找到能通过（放入）物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从而判断

是否可以通过（放入）.

［设计意图］运用转化思想，将求门框的对角线的长转化为已知两直角

边长求斜边长,从而用勾股定理解决.

2.梯子靠墙问题

例2如图所示,一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙A0上,这时

A0为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5

m吗？

-口

tn

lH

n-

la

toab

引导学生分析:利用勾股定理算出梯子底端B外移多少即可,转化为

BD=OD-OB,需要根据勾股定理先计算OD,0B的长度.

解:可以看出，BD=OD-OB.

在RtAAOB中，根据勾股定理，

得OB2=AB2-OA2=2.6-2.42=1,

OB=V1=1.

在RtACOD中，根据勾股定理，得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3,15,

0D=V3T15^1.77.

BD=OD-OB^1.77-1=0.77.

所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时,梯子底端并不是也外移0.5m,而是

外移约0.77m.

［解题策略］已知直角三角形的两边长,可以根据勾股定理求出第三边

长.已知直角三角形的一边长及两边之间的关系，也可以求出各边长.在求

锐角三角形或钝角三角形的边长时,可以将其转化为直角三角形,应用勾

股定理求解.

［设计意图］巩固性练习，本题涉及已知斜边长和一直角边长求另一直

角边长，也用勾股定理解决.

3.表面距离最短问题

例3(补充)如图所示,一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬

到顶点B,则它走过的最短路程为)

A.V3aB.(1+V2)a

C.3aD.V5a

解析:将正方体侧面展开,部分展开图如图所示.由图知AC=2a,BC=a.根

据勾股定理,得AB=J(2a)2+a2=V5a2=V5a.故选D.

［解题策略］平面图中，可以直接用勾股定理求两点之间的距离,而在

求表面距离最短的问题时一，需要将立体图形展开后,将实际问题转化成可

以用勾股定理进行计算的问题.

［设计意图］通过例题分析解决,建立数学模型,提高学生分析问题和

解决问题的能力.

［知识拓展］勾股定理应用的条件必须是直角三角形,所以要应用勾股

定理必须构造直角三角形.常见的应用类型为:①化非直角三角形为直角

三角形;②将实际问题转化为直角三角形模型.

叵课堂小结

用勾股定理计算时,要先画好图形,并标好图形,理清各边之间的关系，

再灵活运用勾股定理计算.在利用勾股定理进行有关计算和证明时,要注

意运用方程的思想;求直角三角形有关线段的长，有时还要运用转化的数

学思想,或利用添加辅助线的方法构造直角三角形,再运用勾股定理求解.

囱检测反馈

1.小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8

根火柴棒,他摆完这个直角三角形共用火柴棒（）

A.20根B.14根C.24根D.30根

解析：•.•摆两直角边分别用了6根、8根长度相同的火柴棒，.,.由勾股定

理，得摆斜边需用火柴棒后手=10（根），他摆完这个直角三角形共用

火柴棒6+8+10=24（根）.故选C.

2.为迎接新年的到来，同学们做了许多花布置教室,准备召开新年晚会.

小刘搬来一架高2.5米的木梯,木梯放好后,顶端与地面的距离为2.4米,

则梯脚与墙脚的距离应为（）

A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米

解析:仔细分析题意得:梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形,梯高为

斜边,利用勾股定理解即可.梯脚与墙脚距离为“2.52-2.42=0.7（米）.故

选A.

3.已知A,B,C三地的位置如图所示，ZC=90°,A,C两地相距4km,B,C

两地相距3km,则A,B两地的距离是km.

解析：VZC=90°,A,C两地的距离是4km,B,C两地的距离是3km,，

ABR/C2+BC2=“+32=5（垢）.故填5.

4.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,

有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是:如图所

示,把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周

长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则

问题中葛藤的最短长度是尺.

解析:将圆柱平均分成五段，将最下边一段圆柱的侧面展开,并连接其对

角线，即为每段的最短长度,为-32+42=5,所以葛藤的最短长度为

5X5=25（尺）.故填25.

5.如图⑴所示,两点A,B都与平面镜CD相距4米，且A,B两点相距6

米,一束光由A点射向平面镜,反射之后恰好经过B点，求B点与入射点间

的距离.

(1)(2)

解:如图⑵所示，作出B点关于CD的对称点B',连接AB',交CD于点0,

则0点就是光的入射点，连接0B.因为AC=BD,ZAC0=ZBD0=90°,ZA0C=

ZB0D,所以△AOgaBOD.所以0C=0D=^AB=3米.在RtAODB

中，0D2+BD2=0B2,所以0B2=32+4=25,所以0B=5米.

叵板书设计

第2课时

1.木板进门问题

例1

2.梯子靠墙问题

例2

3.表面距离最短问题

例3

国布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第26页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第2,3,4,5题.

【选做题】

教材第29页习题17.1第9,10,11题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,有两棵树,一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m.一只鸟

从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）

A.8mB.10mC.12mD.14m

裁

2.如图所不的是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,[Wj是12,上底面中心有

一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度

和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）

A.12WaW13B.12WaW15

C.5WaW12D.5WaW13

i

ia

J---、

3.如图所示,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷

径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路（假设2

步为1米），却踩伤了花草.

4.如图所示,在长方形纸片ABCD中，AB=12,BC=5,点E在AB上,将4DAE沿

DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处,则AE的长为.

【能力提升】

5.一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10cm,底面圆的直径是5cm,点A

为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩

带最少用（接头处重合部分忽略不计）（）

A.10ncmB.10V2cm

C.5ncmD.5V2cm

6.如图所示,某会展中心准备在高5m,长13m,宽2m的楼梯上铺地毯，

已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼梯至少需要—

元钱.

7.如图所示,要制作底边BC的长为44cm,顶点A到BC的距离与BC长的

比为1：4的等腰三角形木衣架，则腰AB的长至少需要cm.（结果

保留根号的形式）

8.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不至

于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米.早晨

8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5

千米/时的速度向北行进，上午10:00,甲、乙两人相距多远?还能保持联系

吗？

9.如图所示，有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m,8m.

现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边长的直角

三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.

【拓展探究】

10.AABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若NC=90°,如图⑴所示,根据勾股定理,

则a2+b2=c2.若AABC不是直角三角形,如图⑵和图⑶所示,请你类比勾股

定理,试猜想a?+b2与c?的关系,并证明你的结论.

【答案与解析】

LB（解析:如图所示,设大树AB高为10m,小树CD高为4m,过C点作CE

±AB于E,则四边形EBDC是长方形,连接AC,则EB=4m,EC=8

m,AE=AB-EB=10-4=6(m).在RtAAEC中，XC=y/AE2+EC2=1Qm.)

2.A（解析:a的最小长度显然是圆柱的高12,根据勾股定理,得

,52+122=13.故a的取值范围是12WaW13.故选A.）

3.4(解析:在RtZ^ABC中,AB=V32+4?=5(m).再进一步求得少走的路的米

数，即(AC+BC)-AB=3+4-5=2(米)，也就是少走了4步.)

4.三(解析：由勾股定理得BD=13,由题意知DA=DA'=BC=5,NDA'E=Z

DAE=90°.设AE=x,则A'E=x,BE=12-x,BA'=13-5=8,在RSEA'B

中(12-X)2=X?+82.解得x号,即AE的长为当)

5.B(解析：由题意，圆锥的侧面展开图为扇形,如图所示,连接AA',AA'的

长即为最小值.由圆锥的底面周长等于展开图扇形的弧长,设展开图扇形

圆心角为n°，贝！J5n解得n=90,故AA'=V102+102=10V2(cm).故

180

选B.)

八Q----A4*

6.612(解析:根据勾股定理可得楼梯的水平宽度为VI丞号=12(m),所以

地毯的总长为5+12=17(m),所以地毯的面积为17X2=34面)，因此地毯总

价为34义18=612(元).)

7.11遍(解析：如图所示，作AD_LBC于D,由题意知AD：BC=1：4,且BC=44

cm,又•.•AB=AC,.•.在RtAABD中,AD=11cm,BD=|BC=22cm,A

AB=V1M+222=11遮(cm),即AB的长至少为11V5cm.)

8.解:如图所示，甲从上午8:00到上午10:00一共走了2小时，走了12千

米，即0A=12千米.乙从上午9:00到上午10:00一共走了1小时,走了5

千米，即0B=5千米.在RtAOAB中，AB=V（?/12+Ofi2=V122+52=13（千米）.

因此，上午10:00时，甲、乙两人相距13千米.•15>13,二甲、乙两人还能

保持联系.

北

同一\-东

9.解:在RSABC中,ZACB=90°,AC=8m,BC=6m,由勾股定理得AB=10m,

扩充部分为RtAACD,扩充成等腰三角形ABD,应分以下三种情况：（1）如图

（1）所示，当AB=AD=10mHt,VAC1BD,/.CD=CB=6m,AAABD的周长

=10+10+2X6=32（m）.

⑵如图⑵所示，当AB=BD=10m时，•.•BC=6m,CD=10-6=4(m),

AD=V71C2+CD2=yj82+42=4V5(m),...△ABD的周长

=10+10+4V5=20+4V5(m).

⑶如图(3)所示，当AB为底时,设AD=BD=,由勾股定理得AD2=AC2+CD2,即

X2=82+(X-6)2,解得x=^./.AABD的周长为g+g+10晋(m).答:扩充后的等

腰三角形绿地的周长是32m或（20+4遮）mm.

10.解:若AABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2;若4ABC是钝角三角形，ZC

为钝角，则有a2+b2〈c2.当4ABC是锐角三角形时，证明如下:如图⑴所示，

过点A作AD±BC,垂足为D,设CD=x(x>0),则BD=a-x,根据勾股定理,得

b'-x2=AD"=c2-(a-x)2,即b'-x2=c2-a2+2ax-x'./.a'+b2=c2+2ax,Va>0,x>0,/.

2ax>0..,.a2+b2>c2.当AABC是钝角三角形时，证明如下是口图(2)所示，过B

作BD±AC,交AC的延长线于D.设CD=y(y>0),则BD2=a2-y2.根据勾股定理,

W(b+y)2+a2-y2=c2,即a2+b2+2by=c2.Vb>0,y>0,/.2by>0,.*.a2+b2<c2.

s教学反思

成功之处

本节课运用勾股定理解决实际问题，整节课注重基础,通过分类探索，由

浅入深，注重讲练结合，引导学生独立分析，自主学习，提高学生运用勾股

定理解决简单问题的能力.

QI不足之处

虽然只是勾股定理的实际应用这一知识点，但是涉及生产生活的各个方