高中数学导数练习题

专题8：导数(文)

经典例题剖析

考点一：求导公式。

例Lf'M是/(x)=1x3+2x+l的导函数，则/'(—1)的值是o

解析：/'(%)=X2+2,所以/'(-1)=1+2=3

答案：1,3

考点二：导数的几何意义。

例2.已知函数y=/(x)的图象在点例(1,/⑴)处的切线方程是y=；x+2,则

/⑴+川)=o

解析：因为女=g,所以尸(l)=g,由切线过点M(l,/(I)),可得点M的纵坐标为

所以所以/⑴+广⑴=3

答案：3

例3.曲线y=V-2x2—4x+2在点(1,-3)处的切线方程是。

解析：y=3x2—4x—4,.•.点(1,一3)处切线的斜率为％=3-4-4=-5,所以设切

线方程为y=-5x+6,将点(L-3)带入切线方程可得b=2,所以，过曲线上点(1,-3)

处的切线方程为：5x+y-2=0

答案：5x+y-2=0

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y=x3-3x2+2x,直线=H，且直线/与曲线C相切于点

(4，凡)%。^。，求直线/的方程及切点坐标。

解析：•.,直线过原点，则女=&(/*0)。由点(x0,yo)在曲线C上，则

■Vo=x(),—3%Q+2xy>――=—3x0+2。又y'=3x~—6x+2,在

x。

2

(x0,y0)处曲线C的切线斜率为k=/'(X0)=3X0-6X0+2,

3

♦-3%+2=3无；一6%+2,整理得：2%-3%=。，解得：龙。=万或％=0

311

(舍)，此时，y=——，k=——o所以，直线/的方程为了=——x,切点坐标是

00844

3)。

13_3

答案：直线/的方程为y—X,切点坐标是

42-8

点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在

切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不

是必要条件.

考点四：函数的单调性。

例5.已知+3》2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。

解析：函数/(x)的导数为/'(x)=3ax2+6x—l。对于xeR都有r(x)<0时，/(x)

a<0

为减函数。由3ax2+6x-l<0(xe/?)可得《,解得〃<—3。所以,

△=36+12。<0

当。<一3时，函数/(x)对xeR为减函数。

(1)当a=—3时，f(x)=-3x3+3x2

由函数y=d在R上的单调性，可知当&=-3是，函数/(x)对xeR为减函数。

(2)当。>一3时，函数/(x)在R上存在增区间。所以，当。〉一3时，函数/(x)在

R上不是单调递减函数。

综合(1)(2)(3)可知”4一3。

答案：a<-3

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。

考点五：函数的极值。

例6.设函数/(x)=2x3+3ax2+3bx+8。在x=l及x=2时取得极值。

(1)求b的值；

(2)若对于任意的[0,3],都有/鱼)<02成立，求C的取值范围。

解析：(1)f'(x)^6x2+6ax+3b,因为函数/(x)在x=1及x=2取得极值，则有

6+6。+3匕=0,

r(i)=o,r(2)=o.即《，解得a=—3,b=4。

24+12。+3b=0.

(2)由(I)可知，/(x)=2x，-9x?+12x+8c,/'(x)=6x?-18x+12=6(x—l)(x-2)。

当xe(0,l)时，f'(x)>0；当xe(l,2)时，f'(x)<0：当xe(2,3)时，/'(x)>0。所以,

当x=l时，/(x)取得极大值/⑴=5+8c,又/(0)=8c,/(3)=9+8c。则当xe[0,3]

时，/(x)的最大值为/(3)=9+8c。因为对于任意的xe[0,3],有〃x)<c2恒成立，

所以9+8c<c2,解得c<—1或c>9,因此c的取值范围为(―8,—1)U(9,+OO)。

答案：(1)a=-3,b=4；(2)(-oo,-l)U(9,+oo)0

点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数/(x)的极值步骤：①求导数r(x)；

②求尸(x)=o的根；③将/(x)=0的根在数轴上标出，得出单调区间，由/'(X)在各

区间上取值的正负可确定并求出函数/(x)的极值。

考点六：函数的最值。

例7.已知a为实数，/(x)=Q2—“x—a)。求导数/'(x)；⑵若尸(―1)=0,求/(x)

在区间［-2,2］上的最大值和最小值。

解析：(1)/(x)=x3-ax2-4x+4tz,(x)=3x2-2ax-4(>

(2)/'(-l)=3+2a-4=0,.♦.a=g。.♦./«)=31—X—4=(3X-4)(X+1)

令r(x)=0,即(3x-4)(x+1)=0,解得x=-1或x=—,则/(x)和_T(x)在区间[—2,2]

上随x的变化情况如下表：

4

X-2(-2,-1)-12

3

小)+0—0+

/(X)0增函数极大值减函数极小值增函数0

50旦

“1)=”»所以，/(x)在区间［—2,2］上的最大值为f——，最

27

/、9

小值为了（—1）=3。

答案：（1）/'（6=3/-2以—4；（2）最大值为/（：）=—称/、9

最小值为/（—1）=：。

点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数/（x）在区间上的最值，要先求

出函数/（x）在区间上的极值，然后与/（。）和进行比较，从而得出函数的最大最

小值。

考点七：导数的综合性问题。

例8.设函数/0）=。/+a+。伍。0）为奇函数，其图象在点（1J⑴）处的切线与直线

x—6），-7=0垂直，导函数尸（x）的最小值为—12。（1）求。，b,c的值;

(2)求函数/(%)的单调递增区间,并求函数/(九)在［-1,3］上的最大值和最小值。

解析：(1)•.•/(X)为奇函数，**./(-x)=-/(x),IP-ax3-hx+c=-ax3-bx-c

，c=0,丁/'(x)=3ax~+/?的最小值为一12,，Z?=—12,又直线x—6y—7=0

的斜率为2•，因此，/'(1)=3。+/?=—6,:・a=2,b=—12,c=0.

6

(2)/(X)=2X3-12X«f'(x)=6x2-12=6(x+V2)(x->/2),列表如下:

X(-°O,—V2)-8(—V2,V2)（立+00）

f'(x)+0—0+

/（X）增函数极大减函数极小增函数

所以函数/（x）的单调增区间是（-oo,-V2）和（逝,+8）,V/（-1）=10,

/（行）=—8四，/⑶=18,/（x）在［一1,3］上的最大值是/⑶=18,最小值是

/（扬=-80。

答案：（1）。=2,b=-12,c=0；⑵最大值是八3）=18,最小值是/（后）=-8行。

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以

及推理能力和运算能力。

导数强化训练

(一)选择题

x~1

1.已知曲线y=a的一条切线的斜率为/，则切点的横坐标为(A)

A.1B.2C,3D,4

2.曲线y=d-3/+1在点(i,—i)处的切线方程为(B)

A.y=3x-4B.y=-3x+2C.y=-4x4-3D.y=4x-5

3.函数y=(x+l)2(x-l)在x=l处的导数等于(D)

A.1B.2C.3D.4

4.已知函数/(x)在x=l处的导数为3,则/(x)的解析式可能为(A)

A./(x)=(x-1)2+3(x-l)B.f(x)=2(x-l)

C./(x)=2(x-1)2D./(x)=x-1

5.函数/(x)=d+〃/+3x—9,已知/J)在工二一3时取得极值，则。二(D)

(A)2(B)3(C)4(D)5

6.函数/(x)=Y一3寸+i是减函数的区间为(口)

(A)(2,+oo)(B)(-oo,2)(C)(-oo,0)(D)(0,2)

7.若函数/(x)=/+云+c的图象的顶点在第四象限，则函数/'（x）的图象是（A）

［vAv,上，

3/vI，

R

ACD

8.函数/(x)=2/-*3在区间［0,6］上f

为最大值是（A）

A32「16

A.—B.—C.12D.9

33

9.函数y=/-3x的极大值为〃z,极小值为几，则根+〃为（A）

A.0B.1C.2D.4

10.三次函数/（X）=+X在X£（-8,+8）内是增函数，贝lj（A）

A.a>0B.a<0C.a-1D.a=—

3

11.在函数y=/-8x的图象上，其切线的倾斜角小于四的点中，坐标为整数的点的个数

是（D）

A.3B.2C.1D.0

12.函数/（X）的定义域为开区间（a,b）,导函数/（X）在（见加内的图象如图所示,则函数

/（x）在开区间（。力）内有极小值点（A）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

（二）填空题

13.曲线y=/在点（1,1）处的切线与x轴、

14

14.已知曲线则过点p（2,4）“改为在点尸（2,4）”的切线方程是

15.已知/""（X）是对函数/0）连续进行n次求导，若/。）=/+x5,对于任意xcR,

都有尸"）（x）=0,则n的最少值为o

16.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储

费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则》=吨.

（三）解答题

17.已知函数/（x）=1+以2+8x+c,当x=-l时，取得极大值7；当x=3时，取得极

小值.求这个极小值及a,dc的值.

18.已知函数/(x)=-/+3/+9x+a.

⑴求/(x)的单调减区间；

(2)若/(X)在区间[—2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

19.设点P(t,0)是函数/(x)=X21+ax与g(x)=bV+c的图象的一个公共点,

两函数的图象在点P处有相同的切线。

(1)用f表示a,b,c；

(2)若函数y=/(x)—g(x)在(-1,3)上单调递减，求f的取值范围。

20.设函数/(x)=/+bx?+cx(xeR),已知g(x)=/(x)-/'(x)是奇函数。

(1)求b、c的值。

(2)求g(x)的单调区间与极值。

21.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1,|hj

该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

1,1,

22.已知函数=法在区间[_],]),(1,3]内各有一个极值点.

(1)求/―你的最大值；

(1)当a?—4匕=8时，设函数y="x)在点A(l,/(I))处的切线为/,若/在点A处穿

过函数y=/(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线y=/(x)运动，经过点A时，

从/的♦•侧进入另一侧)，求函数/(x)的表达式.

强化训练答案：

LA2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A10.All.D12.A

(四)填空题

13.114.y-4x+4=015.716.20

(五)解答题

2

17.解：f\x)=3x+2ax+b0

据题意，一1,3是方程312+2ax+/?=0的两个根，由韦达定理得

-1+3=--

3

b

-1x3=—

I3

:.a=—3,b=—9

/(x)-xy—3x2—9x+c

v/(-l)=7,.\c=2

极小值/(3)=33-3x32—9x3+2=—25

，极小值为-25,a——3,b=—9,c=2o

18.解：⑴f'(x)=-3x2+6x+9.令/'(x)<0,解得x<-l或x>3,

所以函数/(x)的单调递减区间为(—8,—1),(3,+8).

(2)因为/(—2)=8+12—18+〃=2+Q,/(2)=—8+12+18+〃=22+Q,

所以/⑵>/(—2).因为在(一1,3)上/(％)>0,所以/(X)在［-1,2］上单调递增，又由

于/(X)在［-2,—1］上单调递减，因此/⑵和/(—I)分别是/(X)在区间［—2,2］上的最大值和最小

值.于是有22+a=20,解得a=-2.

故/(x)=_x3+3x2+9X-2.因此/(-1)=1+3-9-2=-7,

即函数/(%)在区间［-2,2］上的最小值为-7.

19.解：(1)因为函数/*),g(x)的图象都过点a,0),所以

即F+G=0.因为，*0,所以4=一/.g«)=0,即初2+c=0,所以c=ab.

又因为/(x),g(x)在点(f,0)处有相同的切线，所以r(£)=g'«).

而/'(%)=3%2+o,g'(x)=26%,所以3J+.=2bt.

将。=一/2代入上式得。=九因此c==-".故Q=-J,b=t,c--t3.

(2)y=/(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+户,y'=31-2tx-t2=(3x+f)(x-r).

当V=(3x+f)(x-£)<0时:函数y=/(x)—g(x)单调递减.

由y'<0,若f>0,贝1」一,<工<£；若1<0,贝ijf

33

由题意，函数y=f(x)—g(x)在(一1,3)上单调递减，则

(-1,3)u(-：")或(一1,3)u(r,--).所以fN3或一：N3.即f<—9或f>3.

333

又当一9<f<3时，函数y=/(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减.

所以f的取值范围为(一8,-9]u[3,+00).

20.解：(1)T/(x)=x，+bx?+cx,/'(x)=3x?+2匕x+c。从而

g(x)=f(x')-fXx)=x3+bx2+cx—(3x2+2bx+c)=x3+(b—3)x2+{c—2b)x—c是一

个奇函数，所以g(0)=0得c=0,由奇函数定义得b=3；

(2)由(I)知g(x)=x'-6x,从而g'(x)=3--6,由此可知，

(-8,-近)和(血,+00)是函数g(X)是单调递增区间；

(-0,3)是函数g(X)是单调递减区间；

g(x)在x=-V2时,取得极大值,极大值为472,g(x)在x=J5时,取得极小值,极小值为-472。

21.解：设长方体的宽为X(m),则长为2x(m),高为

/i=18~12a=4.5-3x(m)(gv')

故长方体的体积为

V(x)=2X2(4.5-3X)=9X2-6x3(m3)(0<x<g

从而V,(X)=18X-18X2(4.5-3X)=18X(1-X).

令V<x)=0,解得x=0(舍去)或x=l,因此x=L

3

当0<x<l时，V'(x)>0；当1<X<5时，V'(x)<0,

故在X=1处丫(X)取得极大值，并且这个极大值就是丫(X)的最大值。

从而最大体积V=V'(x)=9xl2-6xp伍3),此时长方体的长为2m,高为1.5m.

答：当长方体的长为2m时，宽为1m,高为1.5m时，体积最大，最大体积为3%工

1,1,

22.解：(1)因为函数/0)=§》3+]。犷+bx在区间,(1,3]内分别有一个极值点，所以

f'(x)=x1+ax+b=0在[-1,1),(1,3]内分别有一个实根，

设两实根为Xi，x2(<x2),则―卜=J/-4匕,且0<%2—玉W4.于是

0<Ja~-4bW4>0