高中数学多选题知识归纳总结附解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题

ln(x-2),x>2

1.设函数/(x)=<,|,三，g(X)=x2-(m+l)x+m2-2,下列选项正确的有

|x+l|,x<2

()

A.当m>3时，/[/(x)]=m有5个不相等的实根

B.当m=0时，g[g(x)有4个不相等的实根

C.当0<m<l时，f[g(x)]=m有6个不相等的实根

D.当m=2时，g[/(x)]=m有5个不相等的实根

【答案】BCD

【分析】

作出函数/。)的图象，利用函数〃x)的图象和函数g(x)的图象分析可解得结果.

【详解】

作出函数/(x)的图象：

3

当相>3时，f(x)=加有两个根：tt<-4,r2>2+e,方程/(x)=4有1个根，方程

/(%)=。2有.2个根，所以A错误；

②当加=0时，g(x)=x2-x-2,g[g(x)]=0,令g(x)=f,

由g(f)=。，得4=2,右=一1，

r+t.C2、1-Vi71+V17

由4=2=x-1一2nx=--—，%2=--—,

由，2=-1=X?—X—2=>七='!~/=I+,，所以B正确；

③令g(x)=f,，/⑺二根，因为0<根<1,所以/(，)=加有3个实根根彳出，与，

设％V，2<’3，所以F-1=帆q+1=帆ln(g-2)=tn.

/、2/ix2c,m+l.3m2-2m-9〉3m2-2m-9

g(x)=x-("2+l)x+〃z-2=(x------)2+-----------

244

3m2-2m-9-3m2-2m-9-3m2-2m+5

t,------------=—in-1--------

1444

因为一3加2—2加+5在(0」)上递减，所以一3机2一2机+5>—3-2+5=0,

...i—3ni~-2??z+5八,—3m~—27?i+5

所cc以4-------------->0>所c以rB>-------------,

'414

即方程/⑺=m的最小根A大于g(x)的最小值，

所以g(x)=%、g(x)=，2、g(x)=A都有2个不等实根，且这6个实根互不相等,

所以当0<m<l时，f[g(x)]=m有6个不相等的实根，所以C正确；

④令/'(x)=f,则g«)=机，

当机=2时，方程g«)=2化为产一3，=()，得4=3,%=。；

当「2=0=/。)，得用=-1,々=3;

当％=3=/(x),得X,--4,x4=2,=2+e'符合题意，所以。正确.

故选：BCD.

【点睛】

关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.

2.已知函数〃x)=2"+x-2的零点为。，函数8(>)=1082%+8-2的零点为/7,则

()

W22

A.a+b=2B.2+log2&=2C.a+b>3D.Q<ab<\

【答案】ABD

【分析】

在同一坐标系中分别作出函数y=2*,y=log2x,y=2-x的图象，图像的交点即为函

数的零点，反函数的性质知A,3关于点(1,1)对称，进而可判断4B,。正确.由函数

/(X)在R上单调递增，且/[g)<0,/(l)>o,可得零点。的范围，可得C不正确.

【详解】

由/(x)=0,g(x)=O得2、=2-x，log2x=2-x,

函数y=2*与y=10g2X互为反函数，

在同一坐标系中分别作出函数y=2"y=log2x,y=2-x的图象，如图所示，

-3

则A（a,2"）,B（0,log2劝.

由反函数的性质知A,3关于点（1,1）对称,

则。+人=2,2"+log2b=2.因为。>0,b>0,且〃b,

所以0<4〃<（生女］=1,故A,B,D正确.

I2）

因为/（x）=2'+x-2在R上单调递增，且=-?<°，

/（D=l>0,

所以，<a<l.

2

因为“-+/J?=#+（2—a）?=2（。—+2（s<a<1］,所以a-+/r,故C不正

确.

故选：ABD

【点睛】

方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力

和逻辑推理能力，属于难题.

3.已知函数y=/（x—l）的图象关于x=l对称，且对y=/（x）,xeR,当

%,々€（7,0］时，<0成立,若〃2狈）</（2/+1）对任意的恒

成立，则。的可能取值为（）

A.-V2B.-1C.1D.72

【答案】BC

【分析】

由已知得函数/（x）是偶函数，在［0,+=o）上是单调增函数，将问题转化为120rl<|2X2+1|对

任意的xeR恒成立，由基本不等式可求得范围得选项.

【详解】

因为函数y=/（x-1）的图象关于直线x=1对称，所以函数y=/（x）的图象关于直线

尤=0（即y轴）对称，所以函数/（X）是偶函数.

又不（-00,0］时，、一1」,二<0成立,所以函数/（幻在［0,+8）上是单调增函数.

且/（2ar）<f（2x2+1）对任意的xeR恒成立，所以120rl<|+11对任意的xeR恒成

立，

当尤=0时，0<1恒成立，当XN0时，臣斗=|x+W-Rx|+|，-|,

12x|2x2x

又因为|x|+l1lN2j|x|」1l=VL当且仅当|灯=也时，等号成立，

2xV2x2

所以|a|＜也，因此一

故选：BC.

【点睛】

方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数aN/(x)恒成立(aN/(x)nm(即可)

或aW/(x)恒成立(。4/(力加即可)；②数形结合(y=/(x)图象在y=g(x)上方

即可)；③讨论最值〃力*NO或/")3W0恒成立.

4.设[用表示不超过X的最大整数，如：[1.2]=1,[-1.2]=-2,y=[x]又称为取整函

数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按"取整函数”进行计

费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是()

A.VxeR,[2x]=2[x]

B.Vx,yeR,若印=[可，则了一,＞一1

C.VxeR,[x]+x+；=[2x]

D.不等式2[xf—[x]—320的解集为{x|x＜0或xN2}

【答案】BCD

【分析】

通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式2r-/-3\()的

解后可得不等式2[x『_[x]-3＞0的解集，从而可判断D正确与否.

【详解】

对于A,x=-1.5,则[2司=[一3]=-3,2[x]=2x(_2)=T,故[2%卜2国,故A不成

立.

对于B,[x]=[y]=m,则〃2Kx+y＜加+1,

,所以故B成立.

对于C,设龙=〃z+r,其中〃?€2/€[0,1),

则[x]+x+g=2机+r+g,[2x]=2〃?+[2r],

若O«r＜L则r+-=0,[2r]=0,故[x]+x+；=[2x]；

若(＜厂＜1,则r+；=1,[2r]=l,故[*]+x+；=[2x],故c成立.

3

对于D,由不等式2［.寸9—卜］—320可得国W—1或［司22,

故x<0或x22,故D正确.

故选：BCD

【点睛】

本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部

分和小数部分的关系，本题属于较难题.

5.若“X)满足对任意的实数。，〃都有/(a+b)=/(a)/9)且/⑴=2,则下列判

断正确的有()

A.7(x)是奇函数

B./(X)在定义域上单调递增

C.当xe(0,+oo)时，函数〃X)>1

n/(2)+/(4)+/(6)/(2016),/(2018),/(2020)

/(l)/(3)/(5)/(2015)/(2017)/(2019)

【答案】BCD

【分析】

利用新定义结合函数的性质进行判断.计算出/(I)判断A；先利用/⑴=2〉1证明所有

有理数〃，有了(P)>I,然后用任意无理数q都可以看作是一个有理数列的极限，由极限

的性质得/(4)>1,这样可判断C,由此再根据单调性定义判断B,根据定义计算

/(2〃)

八(及eN),然后求得D中的和，从而判断D.

【详解】

令。=0,6=1,则/(1)=/(1+0)=/(1"(0),即2=2/(0),「.”0)=1,/(x)不可

能是奇函数，A错；

对于任意xwR,F(X)H0,若存在使得/(%)=0,则

/(0)=/(%+(-/))=/(%)/(-%)=0,与9(0)=1矛盾,故对于任意xeR,

/(X)H0,

・•・对于任意xeR,f(-)=+=>0,

x(I)

•.•/(1)=2>1,.•.对任意正整数"，

同理f(理=/(I+1+…+1)==2">1,

m

对任意正有理数显然有〃=—(加,"是互质的正整数)，则

对任意正无理数9,可得看作是某个有理数列P1，P2，P3,…的极限，而/他)>1，

ieN,，f⑷与f(pj的极限，二f(q)>l,

综上对所有正实数x,有f(x)>l,C正确，

设％<超，则—尤1>0，二一玉)>1,贝!]

f(电)=+(%-%))=f(X)・/(X2-Xi)>/(/)，・••/(X)是增函数,B正确:

由已知f(2n)=f(2n-l+D=f(2n-l)f(l)=2/(2〃-1)，二对)、、=2,

/(2016)1/(2018)1/(2020)

7(2015)+7(2017)+7(2019)=2+2+…+2=2,1010=2020

川)〃3)〃5)-101杯2-

,D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能

力，对学生要求较高，本题属于难题.

-----,x>2

6.已知定义域为R的奇函数f(x),满足/(x)=12x—3,下列叙述正确的

x2-2x+2,Q<x<2

是()

A.存在实数k,使关于X的方程/5)=依有7个不相等的实数根

B.当-1<占<X?<1时，恒有/(%)>/(工2)

C.若当XC(0,0时，/(X)的最小值为1,则ae[1,2]

2

33

D.若关于x的方程/(x)=5和/(x)=加的所有实数根之和为零，则机=一万

【答案】AC

【分析】

根据奇函数/(-幻=-/(口，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析

式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案

【详解】

函数是奇函数，故/(x)在R上的解析式为：

2x+3

—%2—2.x—2,—2<x<0

/(x)=<0,x=0

x2-2x+2,0<x<2

---,x>2

[2x-3

对4如下图所示直线4与该函数有7个交点，故人正确;

故当f(x)的最小值为1时有故C正确

若使得其与/(x)=m的所有零点之和为o,

【点睛】

本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的

图象分析命题是否成立

7.定义：若函数尸(x)在区间［。，句上的值域为［a,b］,则称区间［a,®是函数F(x)

的“完美区间"，另外，定义区间/(力的"复区间长度”为2(。-0),已知函数

/(%)=|x2-l|,则()

A.［0,1］是/(x)的一个"完美区间"

B.与^，笥6是/(X)的一个"完美区间”

C./(X)的所有“完美区间"的"复区间长度，的和为3+石

D.“X)的所有“完美区间"的"复区间长度”的和为3+26

【答案】AC

【分析】

根据定义，当时求得了(x)的值域，即可判断A；对于B,结合函数值域特点即可

判断；对于C、D,讨论〃VI与力>1两种情况，分别结合定义求得"复区间长度”，即可判

断选项.

【详解】

对于A,当xe[O,l]时，/(x)=|x2-l|=l-x2,则其值域为[0,1],满足定义域与值域的

范围相同，因而满足“完美区间"定义，所以A正确；

对于B,因为函数/(》)=卜2-1卜0,所以其值域为[0,+8),而上£5<o,所以不存

在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；

对于C,由定义域为[a,b\,可知0<a<。，

当HI时，[a，^]U[0,l],此时〃力=,2_1卜1_父，所以在卜，口内单调递

减，

f(a)=\-cr=b

贝I满足j；J=i_/=q，化简可得a2—a=庐一人，

r1、2(1«1111

即—I=b—>所以a—=b—或a—=—b,

I2jI2；2222

解得。=b(舍)或。+力=1,

a+b=l

由《,2，解得。=1或。=0(舍)，

a+b-=1

所以a=h—l=0,经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[0,1],贝『'复区间长度”为

29-。)=2；

当。>1时，①若0Wa<l,则lw[a,b],此时/(4加=/(1)=。.当”力在[。，句

的值域为[a，b],则a=0,/(/?)=/?,因为Z?>1,所以即满足

b2_b_i=(),解得匕=匕*，8=上手(舍).所以此时完美区间为10,上半]，则

"复区间长度"为2伍-。)=2'匕普=1+6；

②若iWa,W/(x)=x2-l,xe[a,b],此时/(%)在[a,句内单调递增,若/(x)

/(a)=er—1—a

的值域为[a，b],贝上।，则为方程V一%—1=()的两个不等式实数

f(b)=b-l=b

根,

1-亚

解得玉=与叵2

所以‘广，与iWa矛盾，所以此时不存在完美

1+V5

2

区间.

综上可知，函数/（月=卜2-1|的"复区间长度”的和为2+1+君=3+6，所以C正确，

D错误；

故选：AC.

【点睛】

本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应

用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.

8.下列选项中a的范围能使得关于x的不等式f+|x—4一2<0至少有一个负数解的是

A.1-如］B.（2,3）C.（1,2）D.（0,1）

【答案】ACD

【分析】

将不等式变形为及一4<2一》2,作出函数丁=上一〃|,丁=2一/的图象，根据恰有一个负

数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到。的取值范围.

【详解】

因为％2+,一同一2<0,所以|x-a|<2-f且2-*2>0,

在同一坐标系中作出>=卜一同,丁=2-%2的图象如下图：

当丁=卜一&与y=2-f在>轴左侧相切时，

_¥-口=2-丁仅有一解，所以A=l+4（a+2）=0,所以。=一;，

将y=向右移动至第二次过点（0,2）时，|0-a|=2,此时a=2或a=-2（舍），

结合图象可知：。€(一；,2),所以ACD满足要求.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解

决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函

数的性质等.

9.己知函数/(x)=J不+2+]<0，则下列判断正确的是()

A.“X)为奇函数

B.对任意X1,%2eR，则有(XI-切"(％)-/(%2)]40

C.对任意xwR,则有/(x)+/(-x)=2

D.若函数y=|/(x)卜〃说有两个不同的零点,则实数m的取值范围是(―8,0)U(4,+8)

【答案】CD

【分析】

根据函数的奇偶性以及单调性判断AB选项；对X进行分类讨论，判断C选项；对选项D,

构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m的取值范围.

【详解】

对于A选项，当尤>0时，一x<0,则

f(-x)———(-x)~+2(-x)+1=-(x2+2x-1)w-f(x)

所以函数不是奇函数，故A错误；

对于B选项，y=%2+2%+1的对称轴为元=-1,y=-/+2x+l的对称轴为尤=1

所以函数y=f+2%+1在区间[0,+oo)上单调递增，函数丁=一%2+2%+1在区间(一00,0)

上单调递增，并且02+2x0+1=-02+2x0+1

所以/(x)在H上单调递增

即对任意/<,,(%,aeR),都有/(再)</(w)

则x]—x2<0,/&)-/(”2乂00&-芍)[〃玉)-"々)])。,故B错误；

对于C选项，当x〉0时，一x<0,贝U/(—%)=—(―x)-+2(—%)+1=-—2x+1

则/(%)+/(-x)=M+2x+l—-2x+l=2

当x=0时，/(-0)=/(0)=l,则/(-0)+/(0)=2

当x<0时，一x>0,则/(—x)=(―x)-+2(—x)+1=Y—2x+1

则/(x)+/(-幻=一％?+2x+1+x2-2x4-1=2

即对任意xeR,则有〃x)+“r)=2,故C正确;

对于D选项，当尤=0时，y=|/(0)|=lw0,则x=0不是该函数的零点

令函数g(x)=El必，函数丁=加

由题意可知函数y=机与函数g(x)=乜工」的图象有两个不同的交点

因为/(X)?。时,xe[l-0,+8),/(x)<。时,xe(-00,l-忘)

1cC

Xd--F2,X>0

X

所以g(x)=<-*+,+2,1-&«%<0

x----2,xv1—>/2

/\/、11(x-1)

当兀>0时，设0<大〈工2<1，g(X)-g(工2)=%----X2--=----=---z--

%"

因为玉一次2<0,王々一1<0，所以g(xJ-g(X2)>0，即g(%)>g(%2)

设1<玉<工2，g—g(工2)=("_♦I/"JvO,即g(xJ<g(X2)

所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+8)上单调递增

同理可证，函数g(x)在区间［1-a,0)上单调递减，在区间卜8,1-0)上单调递增

g⑴=1H——卜2=4

函数g(x)图象如下图所示

由图可知，要使得函数y=m与函数g(x)=H必的图象有两个不同的交点

X

则实数m的取值范围是(TQ,0)U(4,+s),故D正确；

故选：CD

【点睛】

本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范

围，属于较难题.

2x-\\,x<\,,

10.已知/(x)=«1,则关于x的方程［/(X)F—/(X)+2A-1=0,下列正

Inx,x>1,

确的是()

A.存在实数A，使得方程恰有1个不同的实数解

B.存在实数A,使得方程恰有2个不同的实数解

C.存在实数上，使得方程恰有3个不同的实数解

D.存在实数攵，使得方程恰有6个不同的实数解

【答案】ACD

【分析】

令/(X)=f20,根据判别式确定方程/一/+2%一1=0根的个数，作出了(X)的大致图

象，根据根的取值，数形结合即可求解.

【详解】

令"X)=年0,则关于X的方程[/(X)]2-f(x)+2k-l=Q,

可得/一，+2左一1=0，

当上=*时，A=l—4(2%-1)=0,此时方程仅有一个根

82

当女＜，时，A=l-4（2攵-1）＞0,此时方程有两个根乙也，

且。+，2=1，此时至少有一个正根；

当人＞|时，△=1-4（2"1）＜0,此时方程无根；

当.e（O』）、Z2e（O,l）,且4HH时，/（x）=Z,有6个不同的交点,D正确;

当方程有两个根4,弓，一个大于1，另一个小于0，

此时/（x）=f,仅有1个交点，故A正确；

当方程有两个根44,一个等于1，另一个等于0，/（力=乙有3个不同的交点，

当女时，A=l-4（2左-1）＜0,此时方程无根.

8

故选：ACD

【点睛】

关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化

为一一t+2Z-1=0,根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.

二、导数及其应用多选题

11.已知。＞0,b＞0,下列说法错误的是（）

A.若则a+Z;22

B.若e“+2a=e"+38，则匕

C.a(lna-lnO)2a-Zj恒成立

D.二—恒成立

ee

【答案】AD

【分析】

对A式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A错误；对B不等式放缩

ea+2a>eb+2b，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B正确；对C不等

式等价变型a(lna-ln6)Na-8=lngzi-2,通过Vx>O,lnx>1-,恒成立，可得

C正确；D求出二-bln8的最大值，当且仅当41时取等号，故D错误.

eb=—

、e

【详解】

A.相•//=1<=>qlna+hln/?=0

设/(x)=xlnx,.,./3)+/S)=。

-4-3-2-1O

由图可知，当b.「时，存在afo+,使/3)+/'S)=。

此时u+b—>1,故A错误.

B.ea+2a=eb+3b>eb+2b

设/(x)="+2x单调递增，.•/>〃，B正确

Qb

C.(2(ln6(-ln/?)>6Z-/?oln—>1——

又Vx>0/nx>1—,/.In—21,C正确

xba

x1

D.丁=~7=>凡小=一当且仅当％=1；

ee

y=xlnx=%加=--当且仅当工=」；

ee

a=\

所以二—4nbV-,当且仅当〈1时取等号，D错误.

故选：AD

【点睛】

本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数

形结合的数学思想，属于难题.

12.对于函数/(x)=一丁，下列说法正确的是()

A.函数在x="处取得极大值/B.函数的值域为

C./(X)有两个不同的零点D./(2)</(V^)</(V3)

【答案】ABD

【分析】

求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A选项，作出函数

的抽象图像可以判断BCD选项.

【详解】

—X1-lnx-2x

函数的定义域为(0,+。)，求导l-21nx,

r(%)=x

令/'(x)=(),解得：x=&

X(G,+oo)

f(X)+0—

/(X)/极大值

所以当无=及时，函数有极大值/(&)=：,故A正确；

对于BCD,令/(x)=0,得lnx=0,即x=l,当x—>+℃时，lnx>0,%2>0>则

/(x)>0

作出函数/(X)的抽象图像，如图所示:

故B正确；函数只有一个零点，故C错误；又函数

/(X)在(&,+℃)上单调递减，且〃<&<正<2,则/(2)</(6)</(G),故D

正确；

故选：ABD

【点睛】

方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点

个数，求函数零点个数常用的方法：

(1)方程法：令/(x)=0,如果能求出解，有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间“上是连续不断的曲线，且

/(a)•/°)<(),还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才

能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.

(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像，看其

交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

13.已知函数/(x)=ln|x|-x+：,g(x)=x-(x-l)lnx,则下列结论正确的是()

A.g(x)存在唯一极值点与,且毛€(1,2)

B./(X)恰有3个零点

C.当女<1时，函数g(x)与〃(x)=丘的图象有两个交点

D.若苍龙2>0且/(xj+/(w)=o，则X1%2=1

【答案】ACD

【分析】

根据导数求得函数g'(x)在(0,+8)上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A正

确；利用导数求得函数/(x)在(-8,0),(0,+8)单调递减，进而得到函数/(X)只有2

个零点，可判定B不正确；由g(x)=依，转化为函数e(x)=(x-l)lnx和〃?(x)=(l-Qx

的图象的交点个数，可判定c正确；由/(%)+/(毛)=0,化简得到/■(%)=/('),

结合单调性，可判定D正确.

【详解】

由函数g(x)=x_(x-l)lnx,可得g，(x)=_lnx+g,x>0,贝ijg"(x)=_4_5<0,

所以g'(x)在(0,+s)上为单调递减函数，又由g'⑴=l>0,g⑵=-ln2+g<0,

所以函数g(尤)在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A正确；

由函数“x)=lnW-x+J,

当x>0时，f(x)=\nx-x+-,可得r(x)=r-+jT,

XX

i3

因为―/+1-1=一0-/)2-：<0,所以./(x)<0,函数“X)在(0,+⑼单调递减；

又由/(1)=0,所以函数在(0,+8)上只有一个零点，

当了<0时，/(x)=ln(-x)-x+-,可得尸(x)=7]l,

XX

13

因为一炉+%-1=-0-5)2-：<0,所以,/(力<0,函数“X)在(一8,0)单调递减；

又由/(-1)=0,所以函数在(一8,0)上只有一个零点，

综上可得函数〃x)=lnW-x+(在定义域内只有2个零点，所以B不正确；

令g(x)=Ax,即x-(x-l)lnx=h，即(x-l)lnx=(l-&)x,

设=(x-1)Inx,/n(x)=(1-k)x,

可得"(x)=lnx+l-J,贝ijs"(x)=g+5>0,所以函数°,(X)(0,+℃)单调递增，

又由"(1)=0,可得当xe(0,l)时，"(x)<0,函数°(x)单调递减，

当xe(l,+co)时，"(x)>0,函数°(x)单调递增，

当x=l时，函数e(x)取得最小值，最小值为9(1)=0,

又由巩x)=(l—A)x,因为4<1,贝UI—%>0,且过原点的直线，

结合图象，即可得到函数S(x)=(x-l)lnx和巩x)=(l-幻x的图象有两个交点，所以C正

确；

由西々〉0，若王〉。,*2>0时，因为/(石)+/(w)=o，

可得/㈤=一小2)=-['”-％+三I、「无I+1I-三1=/(已I]即

X2

/(%)=/(—),因为/.(X)在(0,+°0)单调递减，所以工1=,，即3马=1，

同理可知，若%<0,》2<0时，可得X々=1，所以D正确.

故选:ACD.

y

c?(x)=(x-l)lnx

\=(1-A,)x

【点睛】

函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为

从/(x)中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条

件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常

解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符

合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

14.设函数，(幻=1+6+伙下列条件中，使得y=/(x)有且仅有一个零点

的是()

A.a=\,b=2B,a=-3,b=-3c,a>0,b<2D.a<0,b>0

【答案】ABC

【分析】

求导7*)=3/+”，分和。<0进行讨论，当aNO时，可知函数单调递增，有且

只有一个零点；当。<0时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极

大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解.

【详解】

Qf(x)=x3+ax+b,求导得/'(x)=3/

当aNO时，/'(xRO,；./(x)单调递增，当xf-s时，f(x)->-oo；当x—用

时，/0)f+8；由零点存在性定理知，函数/(x)有且只有一个零点，故A,C满足题

意;

当。<0时，令/(x)=0,即3/+。=0,解得/=_息,“后

当x变化时，f'(x),/(©的变化情况如下表:

D选项，a<O,b>Q,不一定满足，故D不符合题意；

故选：ABC

【点睛】

思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数y=/(x)在区间［a,加上的图像是连续不

断的一条曲线，并且有/(办/(，)<0,那么，函数y=/(x)在区间(a,6)内有零点，

即存在ce(a,〃)，使得/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的根，考查学生的逻辑推

理与运算能力，属于较难题.

15.关于函数/(x)=e'+sinx,xe(—»,+oo),下列结论正确的有()

A./(x)在(0,+o))上是增函数

B.7(x)存在唯一极小值点与

C./(x)在(一肛+0。)上有一个零点

D.f(x)在(一肛+8)上有两个零点

【答案】ABD

【分析】

根据函数人M求得/'(%)与尸(X),再根据_r(x)>o在(-/,+o。)恒成立，确定r(x)在

(一4,”)上单调递增，及xe(0,+w)/'(x)>(),且存在唯一实数与€(-3,一^),使

/'(%)=0,从而判断A,B选项正确；再据此判断函数/*)的单调性，从而判断零点个数.

【详解】

xx

由已知/(x)=e*+sinx,xe(一肛+8)得f\x)=e+cosx，f\x)=e-sin%,

XG(-TT,+。。)，/"(x)>0恒成立，

f(x)在(一肛+8)上单调递增,

3万-网/4-三

又八-R=e4一号<o,八一2>0/(0)=2〉0

xe(0,y)时/'(x)>/'(())>(),且存在唯一实数小€(-芳,一9,使/'(%)=(),即

e*=-cosx0,

所以/(x)在(0,+o。)上是增函数，且/(x)存在唯一极小值点看,故A,B选项正确.

且/(x)在(一万,/)单调递减，(阳),+8)单调递增，

又f(-兀)=""+0>0,/(x())=e*+sinx0=sinx0-cosx0=V2sin(x0-?)<0,

/(0)=l>0,所以f(x)在(一4,+8)上有两个零点，故D选项正确，C选项错误.

故选：ABD.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识

点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：⑴考查导数的几何意义，往往与解析

几何、微积分相联系.⑵利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参

数.⑶利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应

用.

16.(多选)已知函数/(幻=以-Inx(awR),则下列说法正确的是()

A.若a40,则函数f(x)没有极值

B.若。>0,则函数/(X)有极值

C.若函数/(x)有且只有两个零点，则实数a的取值范围是［-8,J］

D.若函数/(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是(一叫02，)

【答案】ABD

【分析】

先对/(x)进行求导，再对。进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.

【详解】

解：由题意得，函数f(x)的定义域为(0,+8),且==，

xx

当aVO时，/'(x)<0恒成立，此时/(x)单调递减，没有极值，

又•••当x趋近于。时，f(x)趋近于+00,当x趋近于+8时，f(x)趋近于-°。，

/(幻有且只有一个零点，

当a>0时，在(0,5)上，/'(x)<o,〃幻单调递减，

在上，尸(x)>0,/(x)单调递增，

.,.当x=L时，f(x)取得极小值，同时也是最小值，

a

/(x)min=/(5)=l+lna,

当x趋近于0时，Inx趋近于~0°,/(X)趋近于+8,

当X趋近于+8时，f(x)趋近于+8,

当l+lna=O,即a=!时，Ax)有且只有一个零点；

e

当l+lna<0,即0<a<，时，/(%)有且仅有两个零点，

e

综上可知ABD正确，C错误.

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：函数零点的求解与判断方法：

⑴直接求零点：令/(力=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

⑵零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间［。，加上是连续不断的曲线，且

f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少

个零点；

⑶利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横

坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

17.定义在R上的函数f(x),若存在函数g(x)=ax+8(a,b为常数)，使得

/(x)Ng(x)对一切实数x都成立，则称g(x)为函数/(x)的一个承托函数，下列命题中

正确的是()

fInx,x>0

A.函数g(尤)=-2是函数/(尤)=〈，的一个承托函数

J,%,0

B.函数g(x)=x-l是函数/(x)=x+sinx的一个承托函数

C.若函数g(x)=ax是函数/(尤)=6,的一个承托函数，则a的取值范围是［0,e］

D.值域是R的函数f(x)不存在承托函数

【答案】BC

【分析】

由承托函数的定义依次判断即可.

【详解】

解：对A,・.•当X>0时，/(X)=lnA-G(-oo,4w),

/(x)2g(x)=-2对一切实数x不一定都成立，故A错误；

对B,令f(x)=/.(x)-g(x),则f(x)=x+sinx-(x-l)=sinx+120恒成立，

函数g(x)=x-l是函数/(X)=x+sinx的一个承托函数，故B正确；

对C,令h(x)=ex-ax,贝！］ti(x)=ex-a,

若a=0,由题意知，结论成立，

若a>0,令"(x)=0,得x=Ina,

函数力(x)在(-8,Ina)上为减函数，在(Ina,+0。)上为增函数，

，当x=lna时，函数"x)取得极小值，也是最小值，为a-alna,

・•・g(x)=«x是函数/(x)=e'的一个承托函数，

a-alna>0,

即InaS1,

0<a<e,

若a<0,当x--8时，h(x)->-oo,故不成立，

综上，当噫上e时，函数g(x)=av是函数/(x)=e'的一个承托函数，故C正确：

对D,不妨令/(幻=2r送(%)=2%-1,则f(x)-g(x)=120恒成立，

故g(x)=2x-l是f(x)=2x的一个承托函数，故D错误.

故选：BC.

【点睛】

方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题

形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造

性解决问题的能力.

18.设函数〃x)=a'-x"(a>l)的定义域为(0,+8),已知〃力有且只有一个零点，下

列结论正确的有()

A.a=eB.在区间(l,e)单调递增

C.尤=1是/(X)的极大值点D./⑻是人力的最小值

【答案】ACD

【分析】

f(x)只有一个零点，转化为方程优一£=0在(0,+8)上只有一个根，即叱=色色只有

xa

Inx

一个正根.利用导数研究函数〃(x)=——的性质，可得a=e,判断A,然后用导数研究

x

函数/(x)=e，-f的性质，求出,(X),令/'(x)=(),利用新函数确定/(x)只有两个零

点1和e,并证明出f(x)的正负，得八》)的单调性，极值最值.判断BCD.

【详解】

f(x)只有一个零点，即方程优一£=0在(0,y)上只有一个根，a'=xa，取对数得

x\na=a\nx,即史匹=3•只有一个正根.

xa

设饵幻=叱，则”(%)=上坐，当0<x<e时，l(x)>0,〃(x)递增，x-0时，

XX

〃(x)f-oo,时，/ir(x)<0,/z(x)递减，此时〃(x)>0,

〃(X)max=〃(C)=L

e

・••要使方程”竺=则只有一个正根.则四=」或电9<0,解得a=e或a<0,又

xaaea

'：a>\,..a=e.A正确；

f(x)=e'-xe,f\x)=ex-exe'',

f\x)=e*-exe-'=0,*=-，取对数得x-1=(e-1)Inx,

易知x=1和x=e是此方程的解.

设p(x)=(e-I)lnx-x+l,=当0cx<e-l时，p'M>0,p(x)递

x

增，x>e-l时，”(x)<0,p(x)递减，是极大值，

又p(l)=p(e)=0,

所以P(x)有且只有两个零点，

elxex

0<x<l或x>e时，〃(x)<(),即(e-l)lnx<x-l,x~<e~'.ex~'<e»

f(x)>0,同理l<x<e时，f(x)<0,

所以/(x)在(0,1)和(e,+oo)上递增，在以,e)上递减,所以极小值为/(e)=0,极大值为