高考数学二轮复习 01 集合与简易逻辑教学案 文

俞亚豚的前

一.考场传真

1.[2013年全国新课标1】已知集合4={*|/—2x>0},B={x\-45<x<45},贝k

)

A.AAfi=0B.AUB=RC.BeAD.AGB

【答案】B

【解析】A=(-00,0)u(2,400),5=R,故选B.

2.【2013年安徽】已知A={x|x+l>0},6={—2,—1,0」}，贝U(CRA)C3=()

A.{-2,-1}B.{-2}C.{-1,0,1}D.{0,1}

【答案】A

【解析】对兑：x>-l,CxA=(x\x<-T),。嘉4)口3={-1,一2)，所以答选A.,

3.【2013年福建】若集合A={1,2,3},3={1,3,4},则AflB的子集个数为()

A.2B.3C.4D.16

【答案】C

【解析】本题考查的是集合的交集和子集.因为工CIB={I,3},有2个元素，所以子集个

数为2?=4个.4

【2013年陕西】设全集为R,函数/(x)=71=的定义域为M,则2时为()

A.[―1,1]B.(―1,1)

C.(—00,—1]U[1,+oo)D.(—00,—1)(1,+oo)

【答案】D

【解析】1一/20,.^=[-1.1],q膨=(-8,-i)u(VKO),故选D.

0.

【2013年四川】设%£Z,集合A是奇数集，集合5是偶数集.若命题夕：也£421£6,

贝IJ()

A.—ip:3xGA,2x5B.—ip:\/x^A,2x^B

C.—\p:3xA,2xeBD.—ip:3xeA,2xeB

【答案】D

【解析】本题考查全称命题的否定，将V改为小将2xeB改为2x£8,故选D.

6.【2013年陕西】设J,6为向量，则“区.后=|11|,”是〃r'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】a*b=\a\-|i|cos^t

若|a・3|=|a卜cos9=±l,则向量a与上的夹角为0或不，即a"》为真；

相反，若［诧，则向量3与1的夹角为0或开，即|获3|=|打向，

所以“|）・g|=|小向"是6/不”的充分必要条件.

三.高考研究

【考纲解读】

1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法、

描述法）描述不同的具体问题.了解“若p则q”形式的逆命题，否命题和逆否命题，会分析

四种命题的相互关系.了解逻辑联接词“或”、“且”、“非”的含义.

2.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与

空集的含义.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.理解在给

定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.能使用韦恩（Venn）图表达集合的

关系与运算.理解命题的概念.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.理解全称两次和

存在量词的意义.

3.体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力.能正确地对含有一个

量词的命题进行否定.体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中

的运用.

【命题规律】

从近几年高考题来看，集合的运算考查比较频繁，新课标用韦恩图表达集合的关系与运

算，高考试卷中的相应内容页明显增加，应引起足够的重视.有时也会出现一块创新的“试

验田”.全称命题与特称命题，是新课标教材的新增内容，是考查的重点.

高考题型是选择题或填空题.有时在大题的条件或结论中出现.

一.基础知识整合

（一）集合的概念及表示

1.集合：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）.

2.集合中元素的3个性质：互异性、确定性、无序性.

3.集合的3种表示方法：列举法、描述法、图像法.

4.集合的分类：无限集、有限集。

5.集合的表示方法：列举法、特征性质描述法.集合的表示方法是可以相互转化的.

6.常用数集符号

数集正整数集自然数集整数集有理数集实数集复数集

符号NZQRC

(-).集合间的基本关系

1.集合与元素的关系：如果。是集合A中的元素可表示为awA；如果。不是集合A中的元

素可表示为a右4.

2.集合与集合的关系

如果集合A是集合3的真子集，可表示为A基3.

如果集合A是集合8的子集，可表示为3.

3.集合相等

如果两个集合A、3中的元素完全相同，则这两个集合相等。表示为A=B.

集合A与集合B满足A=3且A卫则A=8.

4.空集的性质：用0表示.空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的子集.

5.有限集合A,则：A的子集个数是2"；A的真子集个数是2"—1；

A的非空子集个数是2"—1；A的非空真子集个数是2"—2.

三.集合的基本运算及性质

1.运算关系

集合幺与集合B的交集可表示为工门3.

集合工与集合B的并集可表示为工uB.

若［为全集，集合工的补集可表示为

AB^A,AB匚B,ABui,AA=A,A0=0.

2.逻辑关系《ABoA,AB^B,A1=1,AA=A,A0=A.

翔(")=A甯U=0，t/0=U，A^A=0,AilA=U.

3.集合运算中的常用结论

交换律：AB=BA,AB=BA；

结合律：A(BC)=(AB)C,A(BC)=(AB)C；

分配律：A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC)；

吸收律：A(AB)=A,A(AB)=A；

反演律(德摩根律)：瘠(AB)=6fA楸，u(AB)=瘠A.

4.A5=AoAB=BQAqB.

5.对两个有限集A、B有:card(AUB)=card(A)+card(3)—card(AnB).

四.命题

1.命题：可以判断真假的语句.

简单命题：不含逻辑联结词的语句.

复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.

三种形式：p或q,p且a,非2

真假判断：p或q,同假为假，否则为真."且q,同真为真.非p,真假与原命题相反.

原命题：若p则q,逆命题若q则“，否命题若"则F，逆否命题若r则".

四种命题的关系可以用下图表示：

互为逆否的两个命题是等价的.原命题为真，它的逆命题不一定为真.

原命题为真，它的否命题不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真.

在命题若P则q中，否命题若r?则r，命题的否定为若p则r(仅否定结论).

p、q形式的复合命题的真值表

qP且gP或0

真真真真

真假假真

假真假真

假假假假

反证法的步骤：假设命题结论不成立=>推出矛盾=>假设不成立n原命题成立.

常见结论的否定形式

原结论否定形式原结论否定形式

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有二个

大于不大于至少有«个至多有非-1个

小于不小于至多有％个至少有加+1个

P或0—ip且—对所有「成立存在某X。不成立

P且4-1P或-10对任何而不成立存在某XQ成立

五.充分条件、必要条件

p是q的充分条件，即pnq,相当于分别满足条件p和q的两个集合P与。之间有包

含关系：P三Q,即尸呈。或P=Q,必要条件正好相反.而充要条件p=q就相当于尸=Q.

以下四种说法表达的意义是相同的：①命题“若"，则q"为真；②pnq；③p是q的

充分条件；④q是p的必要条件.

充分条件、必要条件常用判断法：

1、定义法：判断3是A的什么条件，实际上就是判断3nA或An3是否成立，只

要把题目中所给条件按照逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断.

①若尹ng,则p是e的充分条件.

②若gnp，则p是q的必要条件.

③若p=q,q/p，则p是1的充分不必要条件.

④若gRp,且pUq,则p是g的必要不充分条件.

⑤若p=q，则p是q的充要条件.

⑥若p卢g且则尹是g的既不充分也不必要条件.

2、转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价转换，例如改用其逆

否命题进行判断.

3、集合法：在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑,

记条件?、q所对应的集合分别为A、B,贝

①若A=3,则p是q的充分条件.

②若Am3,则。是q的充分不必要条件.

③若A33,则p是q的必要条件.

④若B妥A,则夕是q的必要不充分条件.

◎若A=B,则p是q的充要条件.

◎若AHB,且A则p是q的既不充分也不必要条件.

六.全称量词与存在量词

全称量词:短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”在逻辑中

通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.

全称命题：含有全称量词的命题.

存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”、“对某个”、“有些”、“有的”在逻辑中通常

叫做存在量词，并用符号“三”表示.

特称命题：含有存在量词的命题.

全称量词与存在量词表述：

命

全称命题"VxeA,p(x)n特称命题"玉oeA,p(x)”

题0

所有xe成立存在而e工,使p(x0)成立

对■一切x&A,p(x)成立至少有一个X。e4使F(x(j)成立

表

对每一个xeAp(x)成立对有些X。eA使p(x(j)成立

述

方

任选一个xeA使p5)成立对某个x°eA,使pC%)成立

法

凡xe工，都有0(x)成立有一个两eA使pg)成立

七.含有一个量词的否定

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定有如下结论：

全称命题p:,它的否定是「pH/eM,p(x0).

全称命题的否定是特称命题.

一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定有如下结论：

特称命题可H%0eM,p(x0),它的否定是p:.

特称命题的否定是全称命题.

八.常见结论的否定形式

原结论否定形式原结论否定形式

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有二个

大于不大于至少有n个至多有总T个

小于不小于至多有力个至少有附+1个

P或0rP且F对所有而成立存在某X。不成立

。且4-p或一q对任何X。不成立存在某彳0成立

二.高频考点突破

题型一：集合个数的判断

3

【例1】【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考】集合A={xeN|一»1},

x

B={%e^|log3(x+l)<l],SBw0,则集合S的个数为()

A.0B.2C.4D.8

【精彩解析】法一：从0开始逐一验证自然数可知工=；1,2,3；,5=(0,1),要使

SqASns。。，S中必含有元素1,可以有元素2,3,所以S只有

{1},{1,2；,[1,3；,[1,2,3).

法二：

33r-3

^=(x€N|->l)=(xeN|l--<0)=(x€N|—<0)=(X€N|0<X<3)=(1,2,3)

XXX

B={xeAT|log2ix+11<1)=fxe27|0<x+1„2[=(xe2V|-1<A;,1]=；0,1},

­：ScA,SC|6w0,所以集合S中必含元素1,可以是；』,{1,2}《1,3},[1,2,3),共4

个.故选C.

【题后反思】本题是一道不等式和集合相结合的小型综合问题，试题难度中等.涉及到分式

不等式、对数不等式的解法、集合之间的关系等知识点，解题的基本思路有两个，一是利用

集合的元素为自然数这一显著特征，采用验证的方法进行分析处理，迅速快捷；二是利用常

规方法，通过解分式不等式和对数不等式化简集合，然后利用SCI3#0明确集合S必含

有元素1进行分析判断.通过本题，体会一下方法应用过程中的灵活性，显然解法一迅速快

捷.

【规律方法】L判断两集合的关系常用两种方法：一是化蔺集合，从表达式中寻找两集合间

的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.2.已知两集合间的关系求参数

时，关漫是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这

类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析.

【举一反三】【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题(文科)】已知集合

M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},p=M^N,则p的子集共有()

A.2个B.4个C.6个D.8个

【答案】B

【解析】VP=Afn27=(l,3),所以p的子集共有2n=4个.选B.

题型二：集合的运算

【例2】【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试】已知集合知=口|%>炉},

4X

N=[yly=—,xeM}f则MN=()

A.{x10<x<-^-}B.{x[g<x<l}

C.{x|0<x<1}

D.{x\l<x<2}

【精彩解析】因为Af={x[x>?P)=[x\O<x<1),

4”1

^=(J,l>,=y^€(O,l))=0|-<2).

所以舷n"={xj<x<D.

【题后反思】本题考查了三个知识点：集合的交集运算、一元二次不等式的解法和函数的值

域.试题流程自然，难度不大，但丝丝相扣，别具用心.首先通过解二次不等式化简集合财，

然后需注意到集合方中的函数的定义域为M,借助指数函数为噌函数容易得到函数的值

域，进而达到化简集合N的目的，最后利用集合的交集运算求得结果.本题的特别之处为明

确函数的定义域为集合

【规律方法】集合的基本运算包括集合间的交、并、补集运算，解决此类运算问题一般应注

意以下几点：一是看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解

决运菖问题的前提.二是对集合化简.有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系

并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决.三是注意数形结合思想的应用.集合运

售常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.

【举一反三】【2013年北京】已知集合A{—1,0,1},B={-1<%<1},则人口5=()

A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【答案】B

【解析】依题意，.405=(-1,0),选B.

II

题型三：文氏图的运用

【例3】【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考】已知全集。=R,集

合4=卜|忖41/€2},3=卜|炉—2尤=0},则图中的阴影部分表示的集合为()

A.{-1}B.{2}C.{1,2}D.{0,2}

【精彩解析】在集合A中，•.•xeZ,且卜上1,;Y={—1,0,1).集合B中，由一一2才=0

得x=0或2.所以B={0,2}•图中阴随部分表示在集合B中但不在集合A中的元素的集合，

所以是(2).

【题后反思】本题涉及到集合的基本运算、带绝对值不等式的解法和一元二次方程的解法这

三个知识点，同时考查了韦恩图的识别能力,便形成了本题的亮点.难度不大，却别致新颖.

要求准确读出阴影部分的含义是解题的关键，充分体现数形结合思想的作用.

【规律方法】集合运算，需充分利用数形结合思想.认清集合的特征，准确地转化为图形关

系，借助图形能够使问题得到直观具体的解决，因此要重视数形结合思想的应用.一般有以

下两种方式：(1)利用软轴解决实数集合间的运算问题；(2)利用韦恩图，既利用封闭曲线|

的内部表示集合与集合之间的关系.

【举一反三】【四川省绵阳南山中学高2014级零诊考试】全集。=R,A={X\X2-2<0],

B={y\y=cosx,x^R},则下图中阴影部分表示的集合为()

A.{x|x<-l或x>2}B.{x|-1<%<2}C.{%|%<1}

D.{%|0<%<1}

【答案】D

【解析】阴置部分表示的集合是小1£.依题意知，』={x|0VxV2)

5=

5=(x10<x<1).故选D.

题型四：与集合有关的创新试题

【例4】【湖北稳派教育2014届高三10月联合调研考试数学理科试题】在整数集Z中，被5

整除所得余数为左的所有整数组成一个“类”，记为[幻={5〃+左|〃eZ},k=0,1,2,3,4,给

出如下三个结论：

①2014c[4]；

②-2e⑵;

③Z=[0]U口]U[2]U[3]U[4]；、

④“整数。、匕属于同一“类”的充要条件是“a—be[O]”.

其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【精彩解答】因为2014=402x5+4,所以2014H4],则①正确；

—2=—1x5+3»所以-2e[3],所以②不正确；

因为整数集中的数被5除可以且只可以分成五类，所以③正确.

对于④.••整数a，小属于同一“类”，二整数a，小被5除的余数相同，从而a-3

被5除的余数为0,反之也成立，故“整数a,5属于同一“类”的充要条件是

aa-b&[0],\故④正确.所以正确结论的个数有3个.故选D.

【题后反思崩自被5整除的数的特征是个位上的数字是0或5.解决问题的创新题常分三步：

①信息提取，确定划归方向；②对所提取的信息进行加工，探求解决方法；③将涉及到的知

识进行转换，有效地输出，其中信息的提取与划归是解题的关腱，也是解题的难点.本题中

x<y<z,y<z<x,z<x这三个条件恰有一个成立，用特殊值法求解简单.

【规律方法】①遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质.②

按新定义的要求，“照章办事"，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.③对于选择题，

可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解.

【举一反三】定义集合运算4*3=匕|2=刊,％64,63},设4={1,2},B={0,2},则

集合A*3的所有元素之和为（）

A.0B.2C.3D.6

【答案】

【解析】z=»,xe工，yeB,且工={1,2},3={0,2},z的取值有1x0=0,

1x2=2,

2x0=0,2x2=4,故<*§={0,2,4},:集合幺*8的所有元素之和为0+2+4=6,

选选D.

题型五：四种命题的关系及真假判断

【例5】【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考理科】命题“若

a2+b2=0,贝Ua=0且5=0”的逆否命题是（）

A.若a2+/w0,则awO且A/0B.若°2+//0,则若awO或bwO

C.若a=0且b=0,则a?+沙2Ho若D.若awO或Z?wO则a?+Z?2Ho

【精彩解答】先求其逆命题为“若a=0且3=0,则M+*=o，，,再将逆命题否定“若�

或SwO,则42+/。。,,，选口.

【题后反思】逻辑中的“或”、"且”、“非”与生活中的“或”、“且“、“非”的意义不尽相同；

求解这类问题要注意用题，分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键.准

确运用概念.命题“若A,则B”的逆否命题是“若则「上"，两个互为逆否的命题同真

假.对于“p或g”、“p且q”形式的复合命题，根据真值表判断.

【规律方法】解题规律小结：四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上；

由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆

否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：①原命题含有否定词“不”、“不能”、

“不是”等；②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少”、“至多”等；③原命题分类复

杂，而逆否命题分类简单；④原命题化简复杂，而逆否命题化简简单.

【举一反三】【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】命题“若函数

/(%)=loa%90内在其定义域内是减函数，则loga2<0.”的逆否命题是()

A.若log.220,则函数/(x)=logaX(a>0,awl)在其定义域内不是减函数

B.若log/vO,则函数/(x)=logaMa>Qawl)在其定义域内不是减函数

C.若log“220,则函数/(的=108尸(。>0,。01)在其定义域内是减函数

D.若loga2<0,则函数/(x)=logaX(a>0,aHl)在其定义域内是减函数

t答案】A

【解析】先对命题取逆，然后取否可得“若loga2之0，则函数/(x)=log&x(a>0,aw1)

在其定义域内不是减函数”，选A.

题型六：充分条件与必要条件的判断

【例6】【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考理科】已知“命题p-.(x-m)2>3(x—m)”

是“命题q:V+3尤-4<0”成立的必要不充分条件,则实数加的取值范围为

【精彩解析】将两个命题化简得，命题p：为>附+3或；1<m,命题g:-4Vx<1.因为p是

g成立的必要不充分条件，所以冽+3=-4,加=-7或痛21,故我的取值范围是

【题后反思】本题考查了一元二次不等式的解法和必要不充分条件的判定，以及参数的范围

问题.通过解二次不等式化简两个命题，然后利用条件的关系确定集合的包含关系，进而

探求参数的范围.本题的闪高之处在于第一个不等式如何进行化蔺求解，可对穴-洞进行分

类讨论求取不等式的解集.本题中要特别注意端点值的取舍，处理不当易出现漏解或增解现

象.

【规律方法】考查充分条件与必要条件的问题一般有两种方式，一是直接给定。与/间/

是g的什么条件，这是最常见的考查方式，明确哪个是条件，哪个是结论是关键；二是给g

加上一个使其成立的充分或必要条件，来求参数的值或范围.解决此类问题一般是把充分

条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参

数的不等式求解.涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏

的问题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系।

问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.

【举一反三】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）】“0=%”是“曲线

丁=5也（2%+9）过坐标原点的“（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当尹=开时，y=sin（2x+（p）=sin（2X+TT）=sin2X.图冢过原点，当尹=2不也

满足题意，

故答案为充分不必要条件.选A.

题型七：全称命题与特称命题的命题真假判断

[例71【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】

2,r

已知p:“对任意的xe[2,4],log2x-«>0q:"存在xeR,x+2ax+2-a=0,

若均为命题，而且“夕且是真命题，则实数。的取值范围是.

【精彩解析】由p：”对任意的xe[2,4]>log2x-a>O,a<log2<(log2x)min=1",

可知p:a<1.由q:“存在xeR.x2+2ax+2-a=0”,

△=4/一4(2-&)20,二。21或。式一2.因“尹且q”是真命题，故取交集可知。三-2或

4=1.

【题后反思】本题是一道小型综合题，是对老题的一个改编题，考查了对数函数的性质、不

等式恒成立问题、二次方程的根和命题的关系，试题难度中等，均为基本的方法和基础知识

的应用，在计算保证的前提下，解答起来应该比较舒畅，但是需体会等价转化思想的应用，

一是对p的化而利用不等式恒成立的转化，二是“p且0”是其命题转化为取交集.另外本

题还要注意不能丢掉4=1.

【规律方法】对含有逻辑联结词的命题中参数讨论问题，应先求出简单命题成立的参数范

围，再根据复合命题构成形式求出复合命题成立的条件.解决这类问题时一般分三步走：

(1)先根据条件推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况如p或g为真).

(2)求出每个命题为真命题时参数的取值范围.

(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.

【举一反三】【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】下列说法正确的是()

A.“a>l”是“/(x)=log“尤(a>O,awl)在(0,+s)上为增函数”的充要条件

B.命题“IceR使得丁+2%+3<0”的否定是：“+2尤+3>0”

C.“x=—1”是“％2+2%+3=0”的必要不充分条件

D.命题p：“\/xe火血％+<3x<V2",则->p是真命题

【答案】A

【解析】若a>1，/(x)=log/x(a>0,a=1)在(0,+8)上为增函数正确，若

/(x)=log&x(a>0,a。1)在上为噌函数，贝U点>1也正确，所以"a>1"是

“/(x)=loggx(a>0,a*1)在(0,m)上为噌函数”的充要条件正确，其他选项错，选

A.

题型八：全称命题与特称命题的命题的否定

【例8】【湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学2014届高三10月联考理科数学】命题“对

任意xeR都有必21”的否定是()

A.对任意xwR,都有X2<1B.不存在xeR,使得x2<1

C.存在使得D.存在不eR,使得龙；<1

【精彩解答】由全称命题的否定知，命题“对任意Xe&都有X?”的否定是“存在xoeR,

使得W<1”,故选D.

【题后反思】分析一个命题是全称命题还是特称命题的关段是命题中所含的量词，当不含域

词时，则注意理解命题含义的实质.全称命题与恃称命题的否定与命题的否定有一定的区

别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写跳词，全称量词改写为存在篁词，存在量词

改写为全称量词，二是要否定结论.而一般命题的否定只需直接否定结论即可.全称命题

的否定是特称命题.改变・词，否定结论，写出命题的否定，判断命题的典假.

【规律总结】判断命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否有全称量词和存

在量伺，另外有些全称命题并不是含有全称量词，，这时我们就要根据命题涉及的意义取判

断.要判断一个全称命题“VxeM,产（x）”是真命题，需要对集合”中的每个元素x,证

明尸（x）成立；如果在集合”中找到一个元素5,使得产（而）不成立，那么这个命题是假

命题.要判断一个特称命题“%e尸（瓦）”是真命题，只需要在集合M中找到一个元

素飞，使得尸（X。）成立；如果在窠合M中，使得尸（x）成立的元素x不存在，那么这个命

题就是假命题.全称命题的否定是特称命题特称命题的否定是全称命题

【举一反三】【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】命题“X/xeH,/—2X+2>0”的

否定是.

【答案】BxeR,x2-2x+2>0

【解析】由全称命题的否定知，命题"Vxe氏--2x+2>0”的否定是

“玉e此--2尤+2>0”.

题型九：利用逻辑联结词的命题的真假求参数的取值（或范围）

[例91【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】设。=尺，已知集合

A^{x\x>1],B={x\x>a},且（gA）B=R,则实数。的取值范围是（）

A.(-<»,1)B.(-<»,1]C.(1,+oo)D.[1,+oo)

【精彩解析】因为工={x|x>D，所以％N={x|xWD，要使（弓2）118=及，画出数轴

分析可知，只需a£l.故选D.

【题后反思】本题作为试卷的第一题，难度较低，但是乍一看，貌似复杂，其原因是探求参

数的范围问题，实际上给出的两个集合非常简单，没有涉及到不等式的解法问题，故难度降

低了很多.本题考查了集合之间的关系，这单一的知识点，可借助数轴这一工具迅速得到结

论.但是需注意区间端点值得取舍问题，本题极易出现选择C,原因就是对端点值没有引起足

够的重视和特别验证.解决的方法是将参数赋予端点值，然后进行还原代人判断是否满足题

设条件.

【规律方法】已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关

系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析.（1）在

解决两个数集关系问题时，合理运用数轴分析与求解可藤免出错.在解含有参数的不等式

（或方程）时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一

类情况都要给出问题的解答.（2）在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽

冢问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用

数轴表示时注意端点值的取舍.|

【举一反三】【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考理科】已知命题？：方程

，+m％+1=0有两个不等的负实根，命题q：方程41+4（机—2）尤+1=0无实根.若p或

q为真,p且q为假，求实数加的取值范围.

A>0

【解析】若p真=<々+町=-m<0=冽>2；若乡真=△<0=1<m<3.

再电=1>0

由题意，p-g中有且仅有一为真，一为假.

m<2,（m>2

当p假乡真，贝明,解得1〈溶工2；当p真g假，则〈一.，解得

[1<w<3[根41或加23

m>3.

综上所述实数m的取值范围（1,2]u[3,m）.

三.错混辨析

1.忽视空集

【例1】已知集合&={%|无2—5x+6=O},3={x|7m:—1=0},且AB=B，求实数冽所

构成的集合并写出M的所有子集.

t错解】由上口8=3,得6U上，依题意上={2,3},§={,},二工=2或上=3,即

mmm

溶=1或1,故M=d,3，二河的所有子集为0,{3，(-)-

23232323

【错源】由我才一1=0，得x=」，忽视了羽=0,即B=0的情形.

m

【正解】由题意，金={2,3},要anB=B,则Bq工，..8=0或§={2}或8={节.

①当5=0时，方程搐彳一1=0无解，..=0.

:②|当3={2}时，即2为方程冽x-l=0的解，.•.川=

③当8=(3)时，即3为方程冽工一1=0的解，.幽=(•

故河={0,gg},二般的所有子集为0,{0},,{§,(0,1),(0,1),

{总.畤］

2.混淆“命题p是q的充分不必要条件”与“命题p的充分不必要条件是q”

【例2】设根、〃是平面a内的两条不同的直线，/「，2是平面尸内的两条相交直线，则a〃尸

的一个充分而不必要条件是()

A.机///?且〃〃，2B.m〃/］且〃〃，2

C.机///?且〃〃/?D.m//2且/"/a

【错解】若根〃尸且也忽ua,冽//乃且%//户，故选C.

【错源】探究使a〃尸的充分不必要条件，就是寻找四个选项中能使得a〃产的条件.注

意“命题衣是q的充分不必要条件”与“命题p的充分不必要条件是?”的区别.

【正解】\'m,nea,Zp」是平面广内的两条相交直线，当，i解一,4〃%时，根据然面

平行于面面平行的判定定理知a//尸；而当a//产时，确不一定有演〃/1且%//%，还

可能有心/〃2且%〃11等，因此选民

3.未理解存在量词、全称量词的含义

【例3】已知命题p：存在一个实数%,