高考数学：三角函数与数列问题深入解析学案

专题07三角恒等变换

一.三角恒等变换问题知识框架

系事|/f记忆口诀:奇变偶不变，符号看象限

分变使用：大角变小角，90度的整数倍

sin(a—p)=sinacosp—cosasinfi

sitt(a+6=sdnacos/+cosasinfi

公式千恒等sin2a=Isinacosa

变化

诱ctana一tanB

导ian^a—")=------------------

公1+towatan"

式/,_tanar\~tattB

/tan(a^B)=------------------

恒1—tanatanp

等

tan2zz=l—tan2a(2tana)

变

换

辅助-一4bcosx=Ja?/4siM&+a)，其中Q*—.

a

化简

2倍，同倍角

逊如:诱导公式

凑角一e同倍一郎

，特殊角，

工等：两角和差

二、三角恒等变换方法技巧

[-1公式顺用、逆用及其变形用

1.两角和差公式：

cos(a-6)=cosacos6+sinasin6.cos(a+份=cosacos6-sinasin£.

sin(a+份=sinaCOS£+COSQsin£.sin(a—p)=sinacos£—cos。sin£.

,八tana+tan夕小tana—tanj?,八八tj-r-4十.n、

tan(a+夕)=]/anatan，tan(a一夕)=1+tanatan夕(*夕，＜/一夕均不等于％兀+,*2)).

1

2.二倍角公司

sin2a=2sinacosa；cos2a—cos2a-sin2a=2cos2a_1=1—2sin2a；tan2a=］二：

变形1：降累公式：cos^14-^0—,sin24jEPa

2222

变形2：半角公式：(1+cos2a=2cos2a,1—COS2a=2sin2a)

a/l-cosaa/I+cosaa/l-cosasina1-cosa

sincos2=±\^r-'tan2=^7+^=7+^="^r

特别注意：两角和与差的正切公式有两种变形形式

tana±tan£

©tanaitan^=tan(a±/?)(l+tanatan夕)或②1干tana-tan夕=

tan(a±^)

当。±夕为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到I与正切的乘积的和（或差）时常用变形形式②.

1.例题

【例1】计算:

(l)cos(—15°)；(2)cos15°cos1050+sin15°sin105°.

【例2】⑴计算：cos哈一sin啥;

l-tan275°

（2）计算:

tan75°;

(3)计算：cos20°cos40°cos80°.

・石▼1+tan15°

【例3】(1)l-tan15°

(2)化简：tan230+tan37°+小tan,23°tan37°.

(3)已知sin0=',学＜6V3兀，求co或和tan

2.巩固提升综合练习

【练习1］化简cos15。8545。+8575。河45。的值为（）

2

1一小tan75。

【练习2]

小+tan75°

【练习3】在△ABC中，A+8吟J.tanA+tanB+V3=V3tanAtanB,则角C的值为（）

.兀c2兀一兀一兀

A3BTC6D4

【练习4】若sina+cosa=2>则sin2a=.

[-]拆凑角问题

三角公式求值中变角的解题思路

（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“己知角”的和或差的形式；

（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公

式把“所求角”变成“已知角”.

1.例题

TT1TT

【例1】已知sin（a——）=-,则cos0+—）的值为（）

336

A.B.|C.毕D.一芈

【例2】己知角a的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点尸（-3,若角夕

满足sin（a+夕）=得，则cos夕的值为

【例3】若sin仁-a)=g,则cos|^+2a卜(

)

77

A.B.C.D.

3399

2.巩固提升综合练习

jrJ%勺冗

【练习1】已知tan（〈—a）=/，则tan（匕+a）=________.

636

【练习2】若sin（A+?）=噜，则sinA的值为（

)

34

-B-

5-5

343

A.c-或--

55D.

-4

【练习3】已知sin（a-霁）=『"则cos（a+：）=（）

4433

--c--D-

5555

3

71271

【练习4］若sin(----x)=—，则cos(—F2x)=()

333

7

D.

9

【练习5】已知豆11[?-28）=|,贝!|0114%的值为（）

181877

A.—B.±—C.—D.±——

25252525

【三】常值代换

常数“1”的代换:

l=sin2a+cos2a,

l=2cos2a-cos2a,

l=cos2a+2sin2a,

71

1=tanI.

1.例题

【例1】已知0<£<?，cos(a+—)=

245

71

(1)求tan(a+-)的值；

4

(2)求sin(2a+g)的值.

7

【例2】已知aABC中,sinA+cosA=-----，则tanA=.

13

2.巩固提升综合练习

【练习11已知QWR,sina+2cosa=—，贝Ijtan2a=()

2

AA.一3一T或——3Bc.——3Cc.-3Dr.——3

45445

【练习2】已知2sine+cos6=0,则sinOcose-cos?。的值为()

【四】辅助角公式

4

y=〃sincox+/?coscox=yla2+b2sin(cox+0).其中COS。=.,sin。.

yla2+b2da2+b2

延申探索：

(1)提常数，提出勺^+扶得到y=〃sincox+hcosGX=勺标+序sinx+赤耳"cosx)

(2)定角度，确定一个角，满足：cose=-j===,sin一般，为特殊角工，三，卫等，则

y]a2+b-yjct+b2643

得到d序+/(cosOsinx+sin9cosx).

(3)化简、逆用公式得tzsinx+Z?cosx=yla2+b2sin(x+d)

温馨提醒1：，所在的象限由〃和〃的符号确定:tan。=2

a

温馨提醒2：另法“sinx+bcosx=y]a2+b2(sin&inx+cos&osx)=\]a2+b2cos(x-0)

这里sin。=/@,cosQ-,(tan，=2)

yla2+b2yla2+b2b

1.例题

【例1】函数/(x)=sinx—cosx,%e0,1的最小值为

【例2】已知函数兀c)=Ssin(2x—^)+2sin2(x一金)(xGR).

(1)求函数兀v)的最小正周期；

(2)求使函数兀r)取得最大值的x的集合.

2.巩固提升综合练习

【练习1］当函数y=cosx-Gsinx取得最大值时，的值是

【练习2】如果/,(x)=sin(x+0)+2cos(x+夕)是奇函数，则tan°=

【练习3】己知函数火x)=cos住+x)cos停一x),

g(x)=]sin2x~^.

(1)求函数人尤)的最小正周期；

(2)求函数/?(x)=y(x)—g(x)的最大值，并求使/z(x)取得最大值时X的集合.

5

三、课后自我检测

437171

1.已知sin==予且a£(―,‘),则sin(2。+—)的值为

2.若sin(1+a)=q,则sin2(7=。

sin2a

3.已知tan。=2,a£(0,万)，则，乃、。

cos——\-a----------

(2)

2019乃

4.已知cos,则cosa=

2

5.已知sin(-X)=—,则sin2(的值为()

44

sin0+cos0

6.己知sin(-7t+6)+2COS(3TT-6)=0,则

sincos

7.若0<a<],-y<。<0,cos(a+?)=g,cosf-^-y^=^)则cos(a+,J等于

8.已知a,夕为锐角，且tana=g,cos(a+/?)=^^-,则cos2/?=。

324772

A.-B.-C.-D.—I—

53510

134

9.已知角a+§■的始边是x轴非负半轴.其终边经过点尸(―丁一1),则，sina的值为.

10.在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与x的非负半轴重合，终边过点尸(1,2),则

sin(—+2a)-。

11.平面直角坐标系中，点。(不，为)是单位圆在第一象限内的点，NxOP=a，若

cosla+y1=-—,则与+%为.

12.若近cos(a+D=cos(乃一a),贝(Jtan2a=()

13.已知cos(a+工)，则sin2e的值为

46

14.已知。、〃均为锐角，满足sina=@,cos^=Xi3,则a+〃=

510

6

15.若sin(75°+a)=¥，则cos(30°-2a)=

16.已知sina-sin/?=4^，cos(2-cos/?=~^~f则c°s

107171

17.若tana+---=—,a€,则5布卜。+?)=

tana315

34

18.已知tana=2,贝ijcos2。+sin。卜os------a

2

19.若sinx+—则sin-----2x=

I6—3(6)

若sin(工一a)=1，则cos"生+巴)=.

20.

6362

_,z713乃\c/八万、r-t,71、3.,571c、12

21.匚知a£(—,—),p(0,—),且cos(----a)=三，sin(-----卜0)=一则cos(a+£)=

4444°413'

JI1

22.(1)已知一<a<;r,sina=-，求tana的值；

23

jr2457c

(2)已知sin(-----6)=a,求sin(——+6)-cos(------6)的值.

336

23.已知si*是方程5f—7x—6=0的根，。是第三象限角.

四34

sinja—cos-a

I22

(1)求tan2(4一a)的值;

cos----asin-兀---a

(2J2

3/r

sin(4一a)cos(21一a)tan-a+

23万

(2)已知〃a)=,若Q是第三象限角，且cosa=-，求

2

tan生+asin(-;r+a)

(2

/(a)的值.

7

24.已知关于x的方程2/一(小+l)x+机=0的两根分别是sin0和cos0,。£(0,2兀)，求:

/八sin2^,cos0钻/七

(1)匚~7z+l~£的值；

sincos01—tanf)

(2)m的值；

(3)方程的两根及此时0的值.

25.已知函数f(x)=sin——cos%—2-\/§sinxcosx(x£R).

(1)求/(筌)的值；

⑵求的最小正周期及单调递增区间.

专题08三角函数的图像和性质

一、三角函数的图像和性质知识框架

8

[-]化为同角同函型

研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化

成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）丁=4$山（皿1+0）或丁=4（：05（皿1+0）,

常见方法有：

（I）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函；

（2）用倍角公式（升蕊或降露）将已给函数化成同角；

（3）用两角和、差公式或辅助角公式asinvwc+bcoswr将已给函数化成同函.

1.例题

【例1】函数y二^^卜一^!■卜cosx+sinx）的单调递增区间是（）

3兀,71,3%

A.2k,兀-----,2k兀+(AeZ)B.K7T------,k7T-\--------(ZeZ)

_8~888

「,兀，兀

C.K71,K7tH()1eZ)D.2左乃---，2左乃H—(z£Z)

_44_22

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知函数/（x）=sinx-2cosx

①/（幻的最大值为；

②设当％=8时，/（*）取得最大值，则cos6»=.

9

【练习2】已知函数/(x)=2cosx(sinx-cosx)+l,求函数7(x)的最小正周期和单调增区间;

【练习3】已知/(x)=sin2x-cos2x-26sinxcosx(x€R)求/(x)的最小正周期及单调递增区间.

【二】化为二次函数型

研究三角函数的性质(如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等)时，一般是把已给函数化成同

同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述y=Asin(vux+0)或y=Acos(yvx+(p)的形式，有

时会化简为二次函数型：y=asin2x+"sin2x+c或y=ocos2x+/?cos2x+c,这时需要借助二次

函数知识求解，但要注意sinx或cosx的取值范围.

若将已给函数化简为更高次的函数，如y=(l+sinx)cos2x=(l+sinx)(l-sin2x),则换元后可通

过导数求解.如：解析式中同时含有sinx±cosx和sinxcosx,令，=sinx±cosx,由关系式

t2=(sinx±cosx)2=l±2sinxcosx得到sinxcosx关于，的函数表达式.

1.例题

JT

［例1］函数/(x)=cos2x+6cos(5-x)的最大值为

【例2】函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域为

2.巩固提升综合练习

【练习1］已知函数/(x)=2sinx+sin2x,则的最小值是

【练习2］求函数.y=7-4sinxcosx+4cos2%-4以/%的最大值与最小值.

【练习3】函数y=sinx—cosx+sinxcosx,xG［0,兀］的值域为.

三、根据图像和性质确定解析式

［-1图像型

10

对形如/(x)=Asin(wx+e)+8(A>0)中参数的确定，应准确识别和利用题干中函数图像的信息

(如周期、振幅、最值、特征点等)，列出方程(组)或不等式(组)，常规方法有：

(1)由振幅或最值，可确定A和8;

(2)由周期的值或取值范围，可确定方的值或取值范围：

(3)由特征点，可列出三角方程(组)，可确定(有时A和8也需特征点来确定)

1.例题

［例1］已知函数/(x)=Asin®x+e)(A>0,<y>0，M<»)的部分图象如图所示，其中

/(2,—1),N(8,1)分别.是函数/(x)的图象的一个最低点和一个最高点，则空空=()

A

【例2】函数/(x)=Asin(3x+°)(A>O,0>O,O<o<〃)的图象如图所示，则()

A./(%)在一5上是增函数B.“X)在一上是增函数

“X)在［一名］］上是增函数

上是增函数D.

［例3］已知函数/(x)=2sin(ar+3)(G>0,刨<x)的部分图像如图所示，已知点4(0,6卜

82,0,若将它的图像向右平移看个单位长度,得到函数g(x)的图像，则函数g(x)图像的一条对称

轴方程为()

11

y

712万

C.X--D.x=——

33

2.巩固提升综合练习

【练习1】函数/（x）=Asin（5+e）（其中A>0,帆|<5）的部分图象如图所示，将函数/（x）的图象

（）可得g（x）=sin2x+?的图象

向左平移二TT个长度单位

24

C.，向左平移上7T个长度单位D.向右平移二7T个长度单位

24

7T

【练习2】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数），=3si"（（x+0）+A,据此函数可

12

对形如，（x）=Asin（松+°）+8（A>0）中参数的确定，应充分挖掘题干中所给的函数性质（如周期、

单调性、最值、奇偶性、对称性等），列出方程（组）或不等式（组）.

特别地，正弦型函数/（x）=Asin（松+0）+8（A>O）与最小正周期了相关的几种表述：

（1）两个相邻最低（高）点的距离，即为T；

T

（2）两个相邻对称轴的距离，即为一；

2

T

（3）两个相邻对称中心的距离，即为一；

2

T

（4）相邻对称中心与对称轴的距离，即为一；

4

1.例题

7TTT

7为了⑴的零点，行了为广/⑴图像的

715万

对称轴，且/（X）在单调，则①的最大值为（

18136)

(A)11(B)9(C)7(D)5

［例2］设函数/(x)=sin(oix+e)，A>0,a)>0，若/（x）在区间上单调，且

62

则/（x）的最小正周期为（）

冗

A.—B.2TIC.4兀D.兀

2

【例3】设函数/（x）=2sin3x+0）,xeR,其中©>0一|夕|<九,若/（空）=2,/（丑3=0，且/（工）的最

88

小正周期大于2兀，则（)

zX2兀21In117C7K

kA；3=—,m=——(B)co=一，(p=一(C)(()=—,(p(D)co=—，(p=—

312312324324

2.巩固提升综合练习

nn

【练习1】设函数/（元）=C0S（3第一工）（3>0）,若/（幻工人工）对任意的实数X都成立，则口的最小值为

64

【练习2］若函数"x）=J^sin（x+e）+cos（x+e）的图象关于丁轴对称，则。的一个值为（）

13

四、图像变换问题

由旷=5山1变换成/(x)=Asin(wx+°)的两种变换方式:

向k军政m(心4个而待抬府横坐标缩短(或伸长)到原来的々心0)

(1)y=sinx向左干移"3°>।单位长度>y=sin(x+夕)---------------------------->

y=sin(…夕)1黄坐你不二-'或"短)到原来河川仙>)"sin(…夕)；

.横坐标缩短(或伸长)到原来的!(卬>0),向左平移£(@>0)个单位长度

(2)y=sinx------------------------->y=sinwx-------------------->

y=si•nw(/x4--9\)=si•n(/松+夕、)横坐标不变，纵坐标伸K(或缩短)到原来的4(A>O)倍,y=Asin(wx+9)

w

注：两种变换方法，相位或周期变换都只针对自变量X.

1.例题

【例1】已知曲线G：y=cosx,C2:y=sinl2x+yI,则下面结论正确的是()

7T

A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移?个单位长度，得到

曲线G

B.把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移已个单位长度，得到

曲线G

c.把G上各点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移F个单位长度，得到

曲饯c2

D.把G上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到•的曲线向左平移已个单位长度，得到

曲线G

7TTTTT

【例2】设函数f(x)=sin(tyx---)+sin(ox---),其中0<0<3.已知/(一)=0.

626

(I)求©；

(II)将函数y=/(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变.),再将得到的图象向左平

移三个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在［-工，网］上的最小值.

444

2.巩固提升综合练习

【练习1】函数〃x)=sin(&x+°)(0>0,|^|<y)的最小正周期是不，若其图象向左平移卫个单

14

位后得到的函数为奇函数，则函数/(X)的图象()

A.关于点(工，。]对称B.关于直线尤=M对称

(12)12

C.关于点(々，0)对称D.关于直线x=?对称

【练习2】已知函数/(x)=2sin(乃x+g),将y=/(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐

标不变)，再将图象向左平移I个单位，所得图象对应的函数为g(x),若函数的图象在P,。两处的切线

都与x轴平行，贝”PQI的最小值为()

A.、/F7B.4C.4乃D.275

五、三角函数值域(最值)

求三角函数的值域(最值)，通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型：

(1)y=asinx+b,令，=sinx,则y=〃+上。£(-1,1])；

(2))=osinx+〃cosx+c,弓I入辅助角9(tan°=2),化为y=Jr?+sin(x+0)+c；

a

2

(3)y=asmx+bsinx+c9令3=sinx,则y=〃*+初+。,(/£[-1,1])；

(4)y=asinxcosx+8(sinx±cosx)+c,令。=sinx±cosx,

22

则t=(sinx±cosx)=l±2sinxcosx>所以y=a(±---)+bt+c.

/7einr4-A

(5)J=-------,根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更

'ccosx+d

可用数形结合法求最值.

1.例题

【例1】已知函数/'(x)=6sin2x+2sin[7+x]cos[5+x),则〃工)在工£0,三上的最大值与最小值

之差为.

【例2】函数/(x)=cos2x+2sinx的最小值为.

7171

【例3】函数“xXsinx+cosx+ZsinxcosA'XG的最小值是.

494

15

［例4］求函数y=型土的值域

2-cosx

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知/'(X)=V3(cos2x-sin2x)-2cos2(x+-)+l的定义域为［0,-］.求/(%)的最小值.

42

l3r7t~\

【练习2】函数/(九)=5皿2%+6以)5不一^(xw0,—)的最大值是。

【练习3】求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域

六、平面向量为载体的三角函数综合问题

三角函数与向量的综合问题中，向量只是工具，问题的本质还是三角函数问题.解决本类问题的常规

方法是：

将向量的平行、垂直、数量积等通过坐标运算转化为三角函数形式，然后进行恒等变换，进而解决本

问题.

1.例题

【例1】设向量万=(cos?,-cos2x1,5=(sin2x,sin?1,f^x)=a-b.

(1)求/(力的最小正周期；

(2)求/(力在区间［0,句上的单调递减区间.

［例2］已知向量。=(cosx,sinx),b=(3,-粗),XG［0,TI］.

(1)若a//b,求x的值；

(2)记/(幻二。2，求f(x)的最大值和最小值以及对应的光的值.

16

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知抚=(VJcos：,cos?),.xx

n=sin—,cos—，设函数f^x)=m-n.

44

(1)求函数/(x)的单调增区间；

⑵设AA3C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且a,b,c成等比数列，求“5)

的取值范围.

、

【练习2】己知&=sin%,2cosx,h-2cosx,-cosx,记函数/(x)=a»+/n

2

7

(1)求函数/(X)的最小正周期；

(2)如果函数“X)的最小值为1,求加的值，并求此时/(X)的最大值及图像的对称轴方程.

七、课后自我检测

1.函数/(x)=Asin®x+0)(A>0,3>0,时<今的部分图象如图所示，则0=；函数/(%)

7E

在区间-,71上的零点为__________.

3

17

兀

2.已知函数y(x)=V3cos+COS2—+X

22

(1)求函数/(x)的单调递增区间;

(2)已知在AABC中，A,B,C的对边分别为a,“c,若〃A)=1,a=2,求AABC面积的最大值.

3.已知函数〃x)=2sin(2x+°)(附<9部分图象如图所示.

(1)求0值及图中/的值；

(2)在AABC中，角的对边分别为a,仇c,已知c=J7j(C)=-2,sinB=2sinA,求a的值.

4.a=(sinx,cos(-r-x)),^=(2cosx,2cosx),函数/(x)=a»+l.

18

⑴求f(x)的对称中心;

(2)求函数/(九)在区间0,|上的最大值和最小值，并求出x相应的值.

5.函数/(x)=cos2x+V3sinx-2xe0,1的最大值是.

6.已知函数fO)=sin(3%+§(3>0),/(>=/(§,且八%)在区间G()上有最小值，无最大值，则3的值为

()，

11147

B.—C.——D.

333

7.已知函数/(%)=sinx+6zcosx(6zG/?)对任意xwR都满足J1?+工卜/，则函数

g(x)=sinx+/(x)的最大值为

A.5B.3C.y/5D.V3

8.将函数/(x)=cos(2x-?J的图象向左平移孑个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的

是()

A.g上是增函数

2

19

C.x是g(x)图象的一条对称轴D.是g(x)图象的一个对称中心

9.己知〃在+1,将“X)的图象向左平移占个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来

COSX6

的;得到g(x)的图象，下列关于函数g(x)的说法中正确的个数为()

①函数g(x)的周期为②函数g(x)的值域为[-2,2]^函数8(司的图象关于》=-合对称；@函数

g(x)的图象关于(玄,0)对称.

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.函数y=sinx—cosx+sinxcosx,x^[0,兀]的值域为.

11.已知向量两=(sinA,cosA),万=(后一1),

mH-\,且A为锐角.

(1)求角A的大小；

(2)求函数/(尢)=cos2x+4cosAsinx(xeR)的值域.

—3A3A-AA

12.在中，角A,B,。的对边分别为mb,c,已「知向量根=(cos—,sin——)，n=(cos—,sin—),

2222

且满足+n\=V3.

(1)求角A的大小；

(2)若b+c=&,试判断△ABC的形状.

20

专题09解三角形

一.解三角形问题知识框架

公式©，_=上=/_=2R(R为AABC外接圆的半径)

-sinRsuiC

(1)a=2RsinA.b=2RsinB.c=2RsinC

(2)sinA=%sinB=-^-%sinC=-^-

2R2R2R

公式变形二§

(3)a：b：c=sinA:sinB：sinC

a+b+c

(4)=2R

suLA^suiB^sinCsin.A

两角一边求边角

使用条件0r二、升

-------两边对应角求角

一边化角：边的一次方

运用=:-----------

-y角化边

公式㊀㊀62=r2+a2—IcacosB

,c2—a2+A2—2abeosC

三边求角