高中数学-基本初等函数讲义

指数与指数幕的运算讲义

学习目标：理解有理指数福的含义，通过具体实例了解实数指数累

的意义，掌握根式与分数指数基的互化，掌握有理数指数得的运算.

知识要点：

1.若x"=a,则X叫做<3的〃次方根，记为折，其中〃>1,且"eN*.

〃次方根具有如下性质：

（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方

根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，

负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.

（2）〃次方根（〃>1,且〃eN*）有如下恒等式：

丽）一；技七|〃鬻加犷=疗，（公°）•

2.规定正数的分数指数得：/=痂（a>o,,，且〃>i）；

a-"=-——1=.——1・

例题精讲：

［例1］求下列各式的值：

（1）也3-万）"（〃>1,且〃eN*）；（2）J（x-y）2.

解：（1）当〃为奇数时，也3-%）"=3-乃;

当〃为偶数时，也3-方"=|3-%|=乃-3.

（2）=|x_y|.

当xNy时，\l（x-y）2=x-y；当x<y时，\l（x-y）2=y-x.

【例2】已知血+i,求吐叱的值.

a"+a"

解：，产+户）._»-&+「］+4=2夜.1.

an+a"an+a"血+1

【例3】化简：（1）（2滔嬴-6工）+（-3需）；（2）（a>0,b

>0)；(3)181X府.

解：(1)原式=[2x(-6)+(-3)"=-正々飞=4加=4a.

31J.311io4

(2)原式二出b[(。/y户_a^b.m伊二a6b3_a

ab2-(h/a)3疝小凉庐

(3)原式二办x[(32)帚=^3"3匆'；=也*3：=(3鼠3与；=(34)：x(3与；=3x3：=3%.

点评：根式化分数指数嘉时，切记不能混淆，注意将根指数化为分

母，嘉指数化为分子，根号的嵌套，化为氟的寨.正确转化和运用

易的运算性质，是复杂根式化简的关键.

【例4】化简与求值：

(1)(2)-L=-=-L=^-=...^_L_.,

1+V3+V3+V5+V5+V7++J2〃-1+V2n+1

解：(1)原式=j2?+2x2x血+(扬2+万-2x2x&+(扬2

二J(2+夜.+J(2-向2=2+72+2-72=4.

(2)原式=回1+逐一3近一逐+「CT

3-15-37-5(2〃+1)-(2〃-1)

二1(右-1+石-6+⑺-石+…+j2〃+l-j2"-l)=)(>/2〃+l-l).

22

点评：形如Q府的双重根式，当储一8是一个平方数时，则能通过

配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧.而分

母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消

去法的思想.第(1)小题还可用平方法，即先算得原式的平方，

再开方而得.

指数与指数嘉的运算

※基础达标

1.化简(含;的结果是()•

A.3B.工C.3D.5

53

2.下列根式中，分数指数篇的互化，正确的是（）.

1

3(p(x>0)

A.-\fx=(-X)2(X>0)B.=}'(y<0)C._3=力D.

1

x'=-&(xwO)

3.下列各式正确的是).

B.\[x^=x^D.

4.计算24+++上一gF,结果是().

V2V2-1

A.1B.2应C.x/2

D.2T

5.化简(1+2力(1+21)(1+21)(1+2；)(1+2彳)，结果是().

A.1(1-24尸B.(i-2^r1C.]一24D.-(i-2-^)

22

6.化简(痂)4(厢)4的结果是.

7.计算令+(-5.6)。-喘尸+0.125^=.

※能力提高

8.化简求值：(1)里曾当近;(2)盅两.

3

3_3

炉+X2+2

9.已知j+H=3,求下列各式的值：（1）X+X1；(2)

x2+x-2+3

※探究创新

10.已知函数,f(x)=3：-/),g(x)=E(x；+J).

(1)判断了(X)、g(x)的奇偶性；

(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5/(3)g(3),并概括出涉及函数f(x)和

g(x)对所有不为0的实数X都成立的一个等式，并加以证明.

指数函数及其性质(一)

学习目标：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画

出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点,

掌握指数函数的性质.

知识要点：

1.定义：一般地，函数丫=优(。＞0,且力1)叫做指数函数(exponential

function),其中x是自变量，函数的定义域为兄».

2.以函数y=2'与尸(＞的图象为例，观察这一对函数

的图象，可总结出如下性质：

定义域为凡值域为(。，用)；当x=0时，y=l,即图象过

定点（0,1）；当0<”1时，在A上是减函数，当时，在分上是增函

数.

例题精讲：

［例1］求下列函数的定义域:

（1）y=2三；（2）y=d严；（3）产吐吧.

310A-100

解：（1）要使尸2a有意义，其中自变量X需满足3--0,即“3.

其定义域为{x|x*3}.

（2）要使y=（；）E有意义，其中自变量X需满足5-摩0,即X45.

其定义域为{x|x45}.

（3）要使尸粤如有意义，其中自变量X需满足lOIOORO,即.2.

10-100

/.其定义域为{x|x*2}.

【例2】求下列函数的值域：

（1）y=（：M；（2）y=4*+2*+l

解：（1）观察易知高*0,则有尸针:f（；）。=1.，原函数的值

域为3y>0,且"1}.

（2）y=4'+2'+1=（2V）2+2A+1.令f=2",易知f>0.贝（］y=*+/+1=Q+权+（.

结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到"c+孑+:在「>。上为

增函数，

所以y=（f+：）2+:>（0+：）2+==l.原函数的值域为3y>1}.

2424

【例3】（福建卷.理5文6）函数的图象如

图，其中a、6为常数，则下列结论正确的是（）.\"

\2

A.a>\,b<0B.a>},b>0\、1

________—.

C.0<a<l,/>>0D.0<a<l,b<0TO-i1

解：从曲线的变化趋势，可以得到函数/（X）为减函Y

数，从而0<a<l；从曲线位置看，是由函数尸优的图象向左

平移|-引个单位而得，所以-6>0,即伙0.所以选D.

点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单

调性，得到参数a的范围.根据所给函数式的平移变换规律，得到

参数b的范围.也可以取产1时的特殊点，得到L<i=〃。，从而b<0.

【例4】已知函数（0>0,且.

（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.

解：（1）当2-3x=（）,即x=2时，=°=\.

3a

所以，该函数的图象恒过定点（|,1）.

（2）〃=2一3x是减函数,

***当0<a<1时，/（x）在7?上是增函数；当a>l时，f（x）在7?上是减函

数.

点评：底数两种情况的辨析，实质就是分类讨论思想的运用.而含

参指数型函数的研究，要求正确处理与参数相关的变与不变.

第12练§2.1.2指数函数及其性质（一）

※基础达标

1.下列各式错误的是（）.

A.30-8>3°-7B.O.504>O.506C.O.75-01<0.75°'D.

（国6>（回4

2.已知c<o,在下列不等式中成立的是（）.

A.2,>1B.c>（；）°C.2。<（；）。D,2。>（；）。

3.函数尸H+1（a>0且HTM）的图象必经过点（）.

A.（0,1）B.（1,0）C.（2,1）D,（0,2）

4.设”,〃满足,下列不等式中正确的是（）.

A.au<ahB.ba<bhC.d'<baD,bh<ah

5.世界人口已超过56亿，若千分之一的年增长率，则两年增长的

人口可相当于一个（).

A.新加坡（270万）B.香港（560万）C.瑞士（700

万）D.上海（1200万）

6.某地现有绿地100平方公里，计划每年按10%的速度扩大绿

地，则三年后该地的绿地为平方公里.

7.函数y=2上的定义域为；函数y=（；产物的值域

为.

※能力提高

8.已知a力为不相等的正数，试比较相〃与“%”的大小.

9.若已知函数/（x）=4-3*（a>0,且”1）,g（x）=a'.

（1）求函数/（x）的图象恒过的定点坐标；（2）求证：g（中）4蚣等9.

※探究创新

10.讨论函数y=/M（〃>0,且"1）的值域.

指数函数及其性质（二）

学习目标：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函

数是一类重要的函数模型.掌握指数函数的性质及应

用._____

知识要点：

以函数y=2*与>=（；）,的图象为例，得出这以下结论：

(1)函数y=/(x)的图象与y=/(r)的图象关于V轴对称.

(2)指数函数k优伍>°,且它1)的图象在第一象限内，图象由下至上,

底数由下到大.

例题精讲：

【例1】按从小到大的顺序排列下列各数：3巴0.3巴

2&,0.2应.

解：构造四个指数函数，分别为y=3*,>'=0.3',y=2",y=02',

它们在第一象限内，图象由下至上，依次是广。2',

y=0.3A,y=2',y=y.如右图所不.

由于x=0>O,所以从小到大依次排列是：

0.2&,0.30,2a3垃.

点评：利用指数函数图象的分步规律，巧妙地解决了同指数的福的

大小比较问题.当然，我们在后面的学习中，可以直接利用嘉函数

的单调性来比较此类大小.

【例2】已知〃小=1.(1)讨论〃幻的奇偶性；(2)讨论小)

2+1

的单调性.

解：⑴/(X)的定义域为R.

••勺、2-1-l(2-v-l)E2x1-2V2'-1〃、

*f~2-'+1-(Tx+1)E2V~\+2x~~2X+\~~fX'

，/(x)为奇函数.

(2)设任意西，W，且不<%2，则

一、，/、2X'-12J2(2』_2力

/%~%―2-+1-2々+1—(2>+1)(24+1).

由于不<马，从而2』<2七，即2"-2&<0.

/(x,)-/(x2)<0,即/&)-/.f(x)为增函数.

点评：在这里，奇偶性与单调性的判别，都是直接利用知识的定义

来解决.需要我们理解两个定义，掌握其运用的基本模式，并能熟

练的进行代数变形，得到理想中的结果.

【例3】求下列函数的单调区间：（1）y=/u；（2）广

0.2—1

解：（1）设y=a",u=x2+2x-3.

由“+2x-3=（x+l）2-4知，"在上为减函数，在［-1,+co）上为增函数.

根据W的单调性，当〃>1时，y关于u为增函数;当0<”1时，y关

于u为减函数.

当"1时，原函数的增区间为Tw）,减区间为（《,T］；

当（）<"1时，原函数的增区间为y,一1］,减区间为［—1,内）.

（2）函数的定义域为{x|xw0}.设y=」-,"=0.2".易知”=02、为减函数.

w-1

而根据y=1的图象可以得到，在区间（一』）与（1,转）上，y关于〃均为

u—1

减函数.

...在（-,0）上，原函数为增函数；在（。，/）上，原函数也为增函数.

点评：研究形如y=a"©（a>0,且”1）的函数的单调性,可以有如下结论：

当”>1时，函数），=〃,、>的单调性与/（x）的单调性相同；当（）<”1时，函

数广的单调性与/（x）的单调性相反.而对于形如

…⑷）（20,且"1）的函数单调性的研究，也需结合的单调性及伊⑺

的单调性进行研究.

复合函数户/阳0的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求

出广八"）与人奴x）两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复

合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后

结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数.为

何有“同增异减”？我们可以抓住“X的变化一“〜⑴的变化一），=/（"）

的变化”这样一条思路进行分析.

指数函数及其性质（二）

※基础达标

1.如果指数函数片5-2），在x£R上是减函数，则a的取值范围是

).

A.<a>2B.a<3C.2<a<3D.a>3

2.使不等式2山一2>0成立的x的取值范围是().

A.(―,+<x>)B.(―,+oo)C.(—,-Kx))D・(_g,+oo)

3.某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的7倍，则该厂去

年产值的月平均增长率为().

A.mB.%C.监11D.标-1

12

4.函数/(幻=(3"5的单调递减区间为().

A.(—00,+oo)B.[—3,3]C.(―co,3]

D.[3收)

5.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积

(加)与时间,(月)

的关系：八人有以下叙述：

①这个指数函数的底数是2；

②第5个月时，浮萍的面积就会超过30病；

③浮萍从4川蔓延到12病需要经过1.5个月;

④浮萍每个月增加的面积都相等.

其中正确的是().

A.①②③B.①②③④C.②③④D.①②

6.我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制

在1%,那么经过x年后我国人口数为y亿，则y与x的关系式

为.

7.定义运算=?梁则函数小)句*2,的值域为.

[h>b).-----------------------------

※能力提高

8.已知/(x)=(f-D'—.(1)讨论/(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)

(V2-1),+1

的单调性.

9.求函数y=3*+2x+3的定义域、值域并指出单调区间.

※探究创新

10.函数/(x)=2/"3是偶函数.(1)试确定a的值及此时的函数解析

式；

(2)证明函数/(x)在区间(75,0)上是减函数；(3)当xe[-2,0]时，求函

数/(x)=2，-"T的值域.

对数与对数运算(一)

学习目标：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对

数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.

知识要点：

1.定义：一般地，如果a,=N(a>O,axl),那么数X叫做以&为底十的

对数(logarithm).记作X=I0A,N,其中a叫做对数的底数，以叫做

真数.

2.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(commonlogarithm),

并把常用对数嘀。N简记为1g儿在科学技术中常使用以无理数

e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自

然对数log4简记作In"

3.根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当时，

b

\ogaN=b^>a=N.

4.负数与零没有对数；log,』=0,log„a=l

例题精讲：

【例11将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)2-7=—；(2)3"=27；(3)l()T=0.1；

128

(4)log,32=-5；(5)igo.ooi=-3；(6)lnl00=4.606.

2

解：(1)10g—=-7；(2)log,27=a；(3)lg0.1=-l；

2128

(4)(g『=32；(5)10-3=0.001；(6)e4606=100.

【例2】计算下列各式的值：(1)lgo.001；(2)log48；(3)ln0.

解：(1)设lg0.001=x,则10*=0.001,即10,=103,解得x=-3.所以,lg0.001=-3.

(2)设嘀8=工，则4'=8,即22*=23,解得x=(.所以，38=1.

(3)设ln>=x,则e*=&,即e*=/,解得x=L所以，ln〃=L

22

【例3】求证：(1)log"a"=n；(2)logaM-logN=log-.

aN

证明：(1)设log“a"=x,则a"-ax,解得x=n.

所以log„a"=n.

9

(2)设log“M=p,logHN-q,则”=M,a=N.

因为之=\=a"T，则log2=P-4=bgaM-logaN.

NaqN

所以,logM-log„N=log,,N•

aN

点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的

指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到.我们需熟知各

种运算性质的推导.

【例4】试推导出换底公式：log“6=1Ogtb(a>0,且awl；c>(),且

log,a

cwl；b>0).

证明：设1。&〃=加，log.a=n，log”b=p9

np

则d"=。，c=a9a=b.

pm

从而(c")=b=c9即np—m.

由于〃=logawlog1=0,则〃=生.

crn

所以，1吗*=瞥.

log,a

点评：换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具.其推

导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系.

对数与对数运算(一)

※基础达标

1.log”=aS>0小wl,N>0)对应的指数式是().

A.ah=NB.ba=NC.aN=bD.bN=a

2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是().

A.6°=1与1口1=0B.8')=,与logs工=一，

2823

C.log、9=2与始=3D.log]7=1与71=7

3.设5旭,=25,则X的值等于（）.

A.10B.0.01C.100D.1000

4.设唾*=|,则底数x的值等于（）.

11

儿2BC4

2-D.4-

5.已知陶昵3（晦切=0,那么户等于（）

A.-*B.1C—LD.义

32733V3

2•

6.若log2%=g，则不_______,若log,3=-2,贝I」尸_______.

7.计算：log681二______,•1g0.1仁_______.

※能力提高

8.求下列各式的值：（l）log&8；（2）log,yfi.

9.求下列各式中x的取值范围：（1）iog^,u+3）；（2）

k）g|_2x（3x+2）.

※探究创新

2m+

10.(1)设log(,2-m,log,,3=〃，求a"的值.

(2)设A={0,l,2},B={k>g“l,log“2,a},且A=3,求4的值.

对数与对数运算(二)

学习目标：通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的

作用；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对

数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过

程；能较熟练地运用运算性质解决问题.

知识要点：

1.对数的运算法则：log(AfrW)=logM+logN,log„—=log„M-log,,

afl(IN,

n

\ogaM=n\ogaM,其中a>0,且"1,M>0,N>0,n&R,三条法则是有力的解

题工具，能化简与求值复杂的对数式.

2.对数的换底公式唳*=警±如果令会"则得到了对数的倒数

log/

公式同样，也可以推导出一些对数恒等式，如

log,,a

logN"=log。N,logN"=—log„N,log“fflog,,cQoga=1等•

“mc

例题精讲：

【例1】化简与求值：(1)(lgV2)2+11g2Llg5+J(lgV2)2-lg2+l；(2)

log,(J4++J4_)♦

：(1)■^一(]lg2)2+^IgZLlgS+—^Ig-2+]lg2Llg5_(lg0—1)

=llg22+llg2Ug5-^lg2+l=llg2(lg2+21g5-2)+l

=-lg2(lgl00-2)+l=0+l=l.

4

(2)—log2(，4+Vy+^4—\/7)~~——log2(J4++^4—V7)~

2

^^log2(4+A/7+4-^+2>/4-7)=1log214.

【例2】若2"=5』。，则.(教材及B组2题)

ab

解：由2"=5"=10,得a=log210,ft=log510.贝！]

-+-=-1-+—1—=lg2+g5=lgl0=l.

ablog210log510

【例3】(1)方程lgx+lg(x+3)=l的解尸；

(2)设占,x2是万程lg2x+algx+8=0的两个根，则为叱的值是.

解：(1)由lgx+lg(x+3)=l,得lg[x(x+3)]=lgl0,

即x(x+3)=10,整理为f+3x-I0=0.

解得年一5或A=2.二x>0,X=2.

(2)设lgx=f,则原方程化为r+af+b=0,其两根为％=lg菁,G=lg%.

由乙+芍=lgxt4-lgXj=lg(%%)=人=lgl0〃，得至Ux,Dr2=10*.

点评：同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合

对数的运算性质.第2小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程

根与系数的关系.

【例4】(1)化简：-L-+-L-+-L-；

logs7log37log,7

(2)设log23nog,4Hog45Q••□og^2006nog2006m=4,求实数%的值.

解：(1)原式二Iog75+log73+log72=log7(5x3x2)=log730.

(2)原式左边二bg,3控」—□.・舞姿出4^=k)gm,

log,3log,4log22(X)5log22006

••log,m=4=log,24,解得加=16.

点评：换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常

用对数.换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.

第15练§2.2.1对数与对数运算(二)

※基础达标

1.kg而i+赤（4n+i-^）等于（）•

A.1B.-1C.2D.-2

2.（回…（&W0）化简得结果是（）.

A.-aB.aC.laiD.a

3.化简lg\/2+lg>/5+log,1的结果是（）.

A.-B.1C.2D.Vio

2

4.已知）=log2x,则/（8）的值等于（）.

A.1B.2C.8D.12

5.化简Iog34.iog45.iog58.bg89的结果是（）.

A.1B.3C.2D.3

2

6.计算（Ig5）2+lg2-lg50—.

7.若3a=2,则Iog38—21og36=

※能力提高

8.（1）已知log|89=a,18〃=5,试用4、6表示k）g|x45的值;

（2）已知log”7=a,log|45=b,用a、6表不Iog3s28.

9.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度V（初s）和燃料的质

量M伏g）、火箭（除燃料外）的质量利（依）的关系是u=20001n（l+与.当

m

燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达到10痴/s?

※探究创新

10.（1）设x,y,z均为实数，且3*=4>,试比较3x与4y的大小.

（2）若13、5、C都是正数，且至少有一个不为1,axbyc:=ayb2cx=azbxcy=1，

讨论x、y、z所满足的关系式.

对数函数及其性质(一)

学习目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关

系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模

型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解

对数函数的单调性与特殊点.

知识要点：

1.定义：一般地，当a>0且aWl时，函数y=k)g,x叫做对数函数

(logarithmicfunction).自变量是x；函数的定义域是(0,+

8).

2.由y=log,x与y=bg产的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域

2

为(0,+oo),值域为7?；当X=1时，y=0,即图象过定点(1,0)；当0<”1时，

在(0,+00)上递减，当4>1时，在(0,+00)上递增.

例题精讲：

［例1］比较大小:(1)log0.90.8,log()90.7,log080.9；(2)log,2,log23,

,1

log4-.

解：(1)y=log09x在(0,+oo)上是减函数，且0.9>0,8>0.7,

1<log090.8<log090.7.

又log()80.9<log080.8=1,所以log()80.9<log090.8<log090.7.

(2)由log31<log32<log33,得0<log32<1.

X1Og23>log22=l,log4l<log41.0,

所以log41<log,2<log,3.

【例2】求下列函数的定义域：(1)y=Jlog2(3x-5)；(2)y=Jlog(”(4x)-3.

解：(1)由log2(3x-5)20=logj,得3x-5Nl,解得xN2.

所以原函数的定义域为［2,例).

3

(2)由log05(4x)-3>0,即log05(4x)>3=log050.5,

所以0<4x405，，解得0<xV工.所以，原函数的定义域为(0,g］.

3232

［例3］已知函数/(x)=log〃(x+3)的区间［一2,-1］上总有"(x)|<2,求实数4

的取值范围.

解：:xe［-2,-11,I.l<x+3<2

当a>l时，log„1<log,,(x+3)<loga2,即0M/(x)Mk>g“2.

V|/(x)|<2,•二留2<2,解得a>夜.

当0<a<l时，logo2<log(,(x+3)<logol,即。g“2M/(x)V0.

Vl/(x)l<2,，臃：2?_2，解得。〈”当

综上可得，实数3的取值范围是(。当U(&M).

点评：先对底数a分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条

件，列出关于参数日的不等式组，解不等式(组)而得到参数的范

围.解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论，不等式法求参数

范围.

【例4］求不等式1og“(2x+7)>log“(4x-l)(a>0,且awl)中X的取值范围.

解：当时，原不等式化为，解得LX<4.

2x+7>4x-l4

当0<a<l时，原不等式化为工,解得x>4.

2x+7<4x-l

所以，当a>l时，X的取值范围为(，,4)；当0<a<I时，X的取值范围为

4

(4,-KO).

点评：结合单调性，将对数不等式转化为熟悉的不等式组，注意对

数式有意义时真数大于0的要求.当底数a不确定时，需要对底数

a分两种情况进行讨论.

对数函数及其性质（一）

※基础达标

1.下列各式错误的是（）.

2.当0<"1时，在同一坐标系中，函数y=「与y=log.x的图象是（）.

ABC

D

3.下列函数中哪个与函数片X是同一个函数()

2

A.y=>0,a工1)B.C.y=logax{a>Q,a^\)D.y^~

xtt

4.函数户Jiog；d)的定义域是().

A.(1,+<»)B.(-00,2)C.(2,+00)D.(1⑵

5.若log“,9<log“9<0,那么〃?,”满足的条件是().

A.m>n>\B.n>m>\C.0<n<??/<1D.0<m<n<\

6.函数看如下的定义域为.(用区间表示)

7.比较两个对数值的大小：In7In12；logi)$0,7

log050.8.

※能力提高

8.求下列函数的定义域：(1){)=里+1叫《+1);(2)

X—1

y=Jl-logz(4x-5).

9.已知函数/。)=3+晦兑xe[l,4],g(x)=f(x2)-[f(x)]2,求：

(1)f(x)的值域；(2)g(x)的最大值及相应X的值.

※探究创新

10.若a,A为不等于1的正数，且a<6,试比较log,,匕、log，、log，.

bb

对数函数及其性质(二)

学习目标：掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的

问题.知道指数函数片H与对数函数片lOgaX互为反函数.《>

0,B1)

知识要点：

1.当一个函数是映射时，可以把这个函数的因变量作为一个

新函数的自变量，而把这个函数的自变量新的函数的因变量.我

们称这两个函数为反函数(inversefunction).互为反函数的两

个函数的图象关于直线尸》对称.

2.函数y=a,(4>0,4X1)与对数函数y=k)g“x(a>0,awl)互为反函数.

3.复合函数y=/3x))的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函

数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复

合后结果为减函数.研究复合函数单调性的具体步骤是：(/)求定

义域；(7/)拆分函数；Qiii)分别求)，=/("),"=e(x)的单调性；(iv)

按“同增异减”得出复合函数的单调性.

例题精讲：

【例1］讨论函数y=log03(3-2x)的单调性.

解：先求定义域，由3-2x>0,解得x<|.设/=3-2X,XC(F|),易知为减

函数.

又函数y=log(),3f是减函数，故函数y=logo,3(3-2x)在(Y>,|)上单调递增.

【例2】(山东卷.文2)下列大小关系正确的是、?/

34304

A.0.4<3°<log40.3B.0.4<log40.3<3—°T?

34043

C.log40.3<0.4<3°D.log40.3<3<0.4|/

解：在同一坐标系中分别画出),=0.4',y=3',y=log4X的图象，分别作出当

自变量X取3,0.4,0.3时的函数值.

观察图象容易得到：.0.3<0.43<3。".故选C.

［例3］指数函数丫=优(°>0,"1)的图象与对数函数y=log«x(a>0,axl)的

图象有何关系？

解：在指数函数)，=“'的图象上任取一点M(x0,)，o),则%=〃.

由指对互化关系，有log4%=xo.

所以，点在对数函数),=log"x的图象上.

因为点M(x0,y0)与点M,(%,x<l)关于直线y=x对称，

所以指数函数y=罐(〃>0,4H1)的图象与对数函数"logaX(4>0,"1)的图象

关于直线y=x对称.

点评：两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来.这种对称

性实质是反函数的图象特征，即函数)，=〃,与y=log“x3>0,"l)互为反函

数，而互为反函数的两个函数图象关于直线产x对称.

［例4］2010月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，

这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞

重量〃是箭体(包括搭载的飞行器)的重量力和燃料重量X之和.

在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度V关于x的函数

关系式为：丫=碓1(利+制-111(、/%)］+41112(其中&*0).当燃料重量为("-1)”?吨

(e为自然对数的底数，入2.72)时，该火箭的最大速度为4(km/s).

(1)求火箭的最大速度y(加心)与燃料重量x吨之间的函数关系式

y=fM;

(2)已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才

能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s,顺利地把飞船发送到预定

的轨道？

解：(1)依题意把x=(4e-l)»i,y=4代入函数关系式y=卬n(/n+x)-ln("n)]+41n2,

解得k=8.

所以所求的函数关系式为y=8[ln(w+x)-ln(—6w)]+41n2,整理得y=In(丝二三p.

m

(2)设应装载X吨燃料方能满足题意，此时，m=544.x,)，=8

代入函数关系式丫=ln(-)8,得ln3—=1,解得x=344(吨).

m544-x

所以，应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.

点评：直接给定参数待定的函数模型时，由待定系数法的思想，代

入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数.一般求出函数模

型后，还利用模型来研究一些其它问题.代入法、方程思想、对数

运算，是解答此类问题的方法精髓.

对数函数及其性质(二)

※基础达标

1.函数y=1g9的图象关于().

1-X

A.y轴对称B.x轴对称C.原点对称D.

直线y=x对称

2.函数y=log]，-6x+17)的值域是().

2

A.RB.[8,+oo)C.(-oo,—3jD.

[3,+oo)

3.(07年全国卷.文理8)设">1,函数/(x)=log“x在区间[a,2a]上的最

大值与最小值之差为L则八().

2

A.母B,2C.2s[2D.4

4.图中的曲线是），=log.x的图象，已知〃的值为

&，j9则相应曲线GCCC的4依次为

（）.

5.下列函数中，在（。,2）上为增函数的是（）.

A.y=log,（x+1）B.y=log,>jx2-1C.y=log,—D.

i'—

2

y=log02（4-x）

6.函数〃x）=lg（Gr）是函数.（填“奇”、“偶”或

“非奇非偶”）

7.函数y“'的反函数的图象过点（9,2）,则<3的值为.

※能力提高

8.已知/（x）=log〃-，（4>0,”1）,讨论/（X）的单调性.

x-b

9.我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声

音的强度/用瓦/平方米（w//）表示.但在实际测量中，常用声

音的强度水平0表示，它们满足以下公式：Z,=101gl（单位为分贝），

70

£.20,其中/。=1、1产,这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开

端.回答以下问题：

(1)树叶沙沙声的强度是IxlO-Kw/W,耳语的强度是lxlOTOW/1,恬静

的无限电广播的强度为1X10-W//.试分别求出它们的强度水平.

(2)在某一新建的安静小区规定：小区内的公共场所声音的强度

水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度/的范围为多少？

※探究创新

10.已知函数f(x)=log.(x+l),g(x)=log〃(l-x)其中(4>0且4X1).(1)求函数

/(x)-g(x)的定义域；

(2)判断〃x).g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)求使/(x)-g(x)>0成立

的x的集合.

累函数

学习目标：通过实例，了解嘉函数的概念；结合函数

7二式尸］/乂尸法”2的图像，了解它们的变化情况.

知识要点：

1.易函数的基本形式是好丁，其中x是自变量，a是

常数.要求掌握》=*，y=x2,y=x3,y=xV2,y=『这五

个常用得函数的图象.

2.观察出福函数的共性，总结如下：(1)当空0时,

图象过定点（0,0）,（1,1）；在（0收）上是增函数.（2）当a<0时,图象过定

点（1,1）；在（0收）上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐

标轴无限趋近.

3.易函数户X。的图象，在第一象限内，直线x=l的右侧，图象由下

至上，指数a由小到大.y轴和直线.1之间，图象由上至下，指数

a由小到大.

例题精讲：

【例1】已知易函数k/⑶的图象过点（27,3）,试讨论其单调性.

解：设）,=》。，代入点（27,3）,得3=27",解得a=；,

所以好），在7?上单调递增.

[例2]已知黑函数,=产6（抑eZ）与y—l/neZ）的图象都与x、y轴都没

有公共点，且

>=L2（meZ）的图象关于了轴对称,求〃?的值.

解：:嘉函数图象与x、y轴都没有公共点，，促-6：：,解得2<加<6.

又y=xi（meZ）的图象关于y轴对称，...吁2为偶数，即得

【例3】黑函数k/与，=『在第一象限内的图象如图所示，则（）.

A.—1<H<0<A?I<1B.n<-],0<m<]y

C.—\<n<Q,m>\D.n<—\m>\

解：由寨函数图象在第一象y限内的分布规律，观:原二f

察第一象限内直线X=1的右侧，图象由下至上，依"11―"X

次是丫=炉，y=x~',y=x",y=x"'->y=x',所以有7cl.选B.

点评：观察第一象限内直线X=1的右侧，结合所记忆的分布规律.注

意比较两个隐含的图象），=y与产a

【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区a小的老房子

进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅

平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性

能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的

百分比相等.若改造到面积的一半时，所用时间需10年.已知到

今年为止，平改坡剩余面积为原来的变.

2

（1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已

进行了多少年？

（3）若通过技术创新，至少保留四疗的老房子开辟新的改造途径.

4

今后最多还需平改坡多少年？

解：（1）设每年平改坡的百分比为则

“（17尸=9，即17=§）而，解得x=1-（；”=0.0670=6.70%.

（2）设到今年为止，该工程已经进行了〃年，则"一封=孝"，即

（孑=（1,解得灰5.

所以，到今年为止，该工程已经进行了5年.

（3）设今后最多还需平改坡加年，则a（一产f,即弓芾二夕，解

得片15.

所以，今后最多还需平改坡15年.

点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模