核心考点01平面图形的认识（二）-【满分全攻略】2022-2023学年七年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（苏科版）（解析版）

核心考点01平面图形的认识（二）

目录

考点一：同位角、内错角、同旁内角考点二：平行线的判定

考点三：平行线的性质考点四：平行线的判定与性质

考点五：平行线之间的距离考点六：三角形

考点七：三角形的角平分线、中线和高考点八：三角形的面积

考点九：三角形的稳定性考点十：三角形三边关系

考点十一：三角形内角和定理考点十二：三角形的外角性质

考点十三：多边形考点十四：多边形的对角线

考点十五.多边形内角与外角考点十六：平面镶嵌（密铺）

考点十七：生活中的平移现象考点十八：平移的性质

考点十九：作图-平移变换考点二十：利用平移设计图案

Q考点考向

一.同位角、内错角、同旁内角

（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截

线）的同旁，则这样一对角叫做同位角.

（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截

线）的两旁，则这样一对角叫做内错角.

（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所载形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线

（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角.

（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决

定.在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直

线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“F"形，内

错角的边构成“Z"形，同旁内角的边构成“U”形.

二.平行线的判定

（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，

两直线平行.

（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，

两直线平行.

（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角

互补，两直线平行.

（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.

（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.

三.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

四.平行线的判定与性质

（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量

关系.

（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.

（3）平行线的判定与性质的联系与区别

区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行.

联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关.

（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角.

五.平行线之间的距离

（1）平行线之间的距离

从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离.

（2）平行线间的距离处处相等.

六.三角形

（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

组成三角形的线段叫做三角形的边.

相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.

相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.

（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三

角形即等边三角形）.

（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高.

（4）三角形具有稳定性.

七.三角形的角平分线、中线和高

（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.

（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三

角形的角平分线.

（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.

（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.

（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一

条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，

三条高所在直线相交于三角形外一点.

八.三角形的面积

（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即SA=2X底X高.

2

（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

九.三角形的稳定性

当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性.这一特性主

要应用在实际生活中.

十.三角形三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.

（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的

线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

（3）三角形的两边差小于第三边.

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容

易忽略.

十一.三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于

0°且小于180°.

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借助平

行线.

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法

求三个角：③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

十二.三角形的外角性质

（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

（2）三角形的外角性质:

①三角形的外角和为360°.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角.

十三.多边形

（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整

个多边形都在此直线的同一侧.②每个内角的度数均小于180°,通常所说的多边形指凸多边形.

（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支

撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心.

常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）

任意多边形.

十四.多边形的对角线

（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

（2）〃边形从一个顶点出发可引出（〃-3）条对角线.从〃个顶点出发引出（〃-3）条,而每条重复一次,

所以〃边形对角线的总条数为：n（〃-3）2（〃》3,且〃为整数）

（3）对多边形对角线条数公：〃（〃-3）2的理解："边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成

对角线，故可连出（〃-3）条.共有〃个顶点，应为"（n-3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以

再除以2.

（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数”的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方

程求n.

十五.多边形内角与外角

（1）多边形内角和定理：（〃》3且〃为整数）

此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出-3）条对角线，将〃边形分割为（"-2）个三

角形，这（〃-2）个三角形的所有内角之和正好是〃边形的内角和.除此方法之和还有其他几种方法，但

这些方法的基本思想是一样的.即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法.

（2）多边形的外角和等于360°.

①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则“边形取〃个外角，无论边数是几，其外角和永远为360

O

②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和=180°n-（n-2）*180°=360°.

十六.平面镶嵌（密铺）

（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接.彼此之间不留空隙，

不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.

（2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共：③在一个顶点处各正多边形的内角之和为

360°.

判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°,

则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能.

（3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形.

（4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2

个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等.

（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案.

十七.生活中的平移现象

1、平移的概念

在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移.

2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等.

3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离.

十八.平移的性质

（1）平移的条件

平移的方向、平移的距离

（2）平移的性质

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相

同.—②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对

应点的线段平行且相等.

十九.作图-平移变换

（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离.

（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连

接对应点即可得到平移后的图形.

二十.利用平移设计图案

确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案.

通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩.

Q考点精讲

同位角、内错角、同旁内角（共2小题）

1.（2022春•涟水县校级月考）下列四个图形中，N1和N2是内错角的是（）

A.B工

一二

【分析】根据内错角的概念：处于两条被截直线之间，截线的两侧,再逐一判断即可.

【解答】解：A.N1与N2不是内错角，选项不符合题意；

B.N1与N2是内错角，选项符合题意；

C.N1与N2不是内错角，选项不符合题意；

D./I和N2不是内错角，选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了内错角，关键是根据内错角的概念解答.注意:内错角的边构成“Z”形.

2.（2022春•高邮市期末）如图，NA的同位角是（)

A.ZBOEB.ZAOEC.ZBODD.ZAOD

【分析】根据同位角的定义，可得答案.两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的

同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角.

【解答】解：根据同位角的定义，由图可知N4的同位角是/BOE.

故选：A.

【点评】本题考查了同位角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手.对平面几何中概念的

理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们

所包含的意义.

二.平行线的判定（共6小题）

3.（2022春•江都区月考）如图，点G在C。上，已知NBAG+NAGQ=180°,EA平分/BAG,FG平分/

AGC,请说明AE〃GF的理由.

解：因为NB4G+NAG£>=180°（己知）,

NAGC+/AGD=180°（邻补角的定义）,

所以NBAG=NAGC（同角的补角相等）.

因为E4平分NR4G,

所以/1=工ZBAG（角平分线的定义）.

2

因为FG平分NAGC,

所以/2=工ZAGC,

2

得N1=N2（等量代换）,

所以AE〃GF（内错角相等，两直线平行）.

B

1

CGD

【分析】根据邻补角的定义及题意得出/BAG=NAGC,再根据角平分线的定义得到Nl=/2,即可判定

AE//GF.

【解答】解：因为/BAG+N4GO=180°（已知），

ZAGC+ZAGD=180°（邻补角的定义），

所以NBAG=NAGC（同角的补角相等），

因为£4平分/BAG,

所以N1=L/BAG（角平分线的定义），

2

因为FG平分NAGC,

所以N2=JLNAGC,

2

得N1=N2（等量代换），

所以AE〃GF（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；ABAG；角平分线的定义；ZAGC；等量代换：内错

角相等，两直线平行.

【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键.

4.（2022春•玄武区期末）将两个形状相同，大小不同的三角板按如图所示方式放置，C是公共顶点，且N

ACB^ZA'CB'=90°,NB=NB'=60°.对于下列三个结论，其中正确的结论有（）

①Nl+/ACB'=180°；②NB'D4-Nl=90°；③如果Nl=30°,那么AB〃CB'.

【分析】根据三角形的内角和及外交定理，还有平行线的判断求解.

【解答】解：如图，延长AC到点F,

根据邻补角的定义得：ZFCB'+ZACB'=108°.

根据同角的余角相等得：NFCB=N1,

所以有Nl+N4c8=180°,

故①正确.

由“8”字形可得：ZA'DA+ZA'=/A+/A'CA,

.•.180°-ZB'DA+30°=90°-Zl+30°,

：.AB'DA-Zl=90°,

故②正确.

如果/1=30°,则NBCB'=60°=NB.

J.AB//CB'.

故③正确.

故选：D.

【点评】本题考查了有关三角形角得计算及平行线的判定，解题得关键是灵活运用三角形的内角和和外角

定理.

5.（2022春•广陵区期末）已知：如图，CD1.AB,FGA.AB,垂足分别为。，G,点E在AC上，且N1=

Z2,那么OE与BC平行吗？为什么？

【分析】根据平行线的判定定理与性质定理即可得解.

【解答】解：DEHBC,理由如下：

"：CD±AB,FGVAB,

：.CD//FG,

：.Z2=ZDCB,

VZ1=Z2,

：.Z1=ZDCB,

J.DE//BC.

【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”、“内错角相等,

两直线平行”是解题的关键.

6.（2022春•江都区校级月考）如图，在中，ZA=90°,8。平分/ABC,M为边AC上一点,

ME1.BC,垂足为旦NAME的平分线交直线A8于点F.试说明8。与Mb的位置关系，并说明理由.

【分析】根据四边形内角和及角平分线的定义得到NA五M=NA8。，即可判定BO〃厂M.

【解答】解：BD//FM,理由如下：

VZA=90°,MELBC,

：.ZBEM=90°,ZAFM+ZAMF=90°,

VZA+ZABC+ZBEM+ZAME=360°,

.・・NA8C+N4ME=180°,

,.・8。平分NA8C,M/平分NAME

AZAMF+ZABD=90°,

・・・ZAFM=ZABD,

:・BD〃FM.

【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键.

7.（2022春•江阴市期中）如图，已知Nl=62°,Z2=118°,/B=NC.试说明（1）CE//BF；（2）Z

A=ND

【分析】（1）根据邻补角定义得出N5”O=N2,根据“同位角相等，两直线平行”即可得到结论；

（2）由根据“两直线平行，同位角相等”得到N3=NAEC,而N3=NC,则NAEC=NC,根

据平行线的判定得到AB〃CD再根据“两直线平行，内错角相等”即可得到结论.

【解答】证明：（1）VZ1=62°,Z1+ZBHD=18O°,

VZ2=118°,

：.ZBHD=Z2f

:・CE〃BF；

（2）,:CE//BF,

：.ZB=ZAEC,

而N5=NC,

ZAEC=ZC,

：.AB//CD,

：.ZA=ZD.

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.

8.（2022春•鼓楼区校级期中）如图：NB+ND=NE,求证：AB//CD.

【分析】过点E作如图，根据平行线的性质得N1=NB,由于N1+N2=N8+N。，则N2=NQ,

于是可判断E9〃CD,然后根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行即可得到结论.

【解答】证明：过点E作E尸〃如图，

二EF〃AB,

・・・N1=N3,

■:NBED=NB+ND,即N1+N2=N8+NO,

.・・N2=N。，

：.EF//CD,

9：EF//AB,

C.AB//CD.

AB

C

【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补,

两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.

三.平行线的性质（共7小题）

9.（2022春•涟水县校级月考）如图，直线直线〃上有一点A,分别作射线AB,4c交直线小于点

,则N2的度数为（)

A.40°B.50°C.45°D.55

【分析】先根据垂直的定义得出/8AC的度数，再由平角的性质得出N3的度数，根据平行线的性质即可得

出结论.

'JABLAC,

/.ZBAC=90°.

VZ1=5O°,

.,.Z3=180°-Z1-ZBAC=180°-50°-90°=40°.

：直线m//n,

AZ2=Z3=40o.

故选：A.

【点评】本题考查的是平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相

等.

10.（2022春•秦淮区校级月考）已知直线将一块含30°角的直角三角板（NB4C=30°,/ACB=

90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A,C分别落在直线a,b上,若/1=22°.则/2的度数是（)

A.38°B.45°C.52°D.58°

【分析1根据已知易得NZMC=52°,然后利用平行线的性质即可解答.

【解答】解：如图：

...ND4C=N1+NBAC=52°,

•..直线a〃匕,

：.Z2=ZDAC=52°,

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

11.（2022春•海州区期末）如图。是长方形纸带，NDEF=22：将纸带沿EF折叠成图b,再沿8尸折叠

成图c,则图c中的NCFE的度数是（）

【分析】根据两直线平行，内错角相等可得再根据翻折的性质，图c中NEFB处重叠了3

层,然后根据/CEE=180°-3/EF8代入数据进行计算即可得解.

【解答】解：：NOEF=22°,长方形ABC。的对边AO〃BC,

:.NEFB=NDEF=22°,

由折叠，NE尸8处重叠了3层，

AZCFE=180°-3Z£FB=180°-3X22°=114°.

故选：B.

【点评】本题考查了翻折变换，平行线的性质，观察图形判断出图c中NEFB处重叠了3层是解题的关键.

12.（2022春•涟水县校级月考）如图，已知A力〃8C,NBFE=NDAC；求证：ZBAC-Z2.

【分析】先根据AD〃8C,利用两直线平行，内错角相等得到NACB=N£MC,再结合已知ND4C,

最后只要证得AC〃EF即可.

【解答】解：：A£>〃BC,

二ZACB=ADAC,

又

:.NBFE=ZACB,

J.AC//EF,

二ZBAC=Z2.

【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

13.（2022春•洪泽区校级月考）如图，已知A8〃C。，

（1）若NA8E=130°,NCOE=152°,求/BED的度数.

（2）若NABE=m°,ZCDE=nQ,求NBEQ的度数.

所以，NABE、NCDE、NBEC的关系是/8£：£）=360°-NABE-NCDE.

【分析】（1）根据平行线的性质，可以计算出NBEC的度数；

（2）根据（1）中的推理过程，可以用含〃?、”的式子表示出的度数，然后即可得到/ABE、NCDE、

N8EO的关系.

【解答】解：（1）作FE〃AB,如图所示，

,JAB//CD,

.,.AB//CD//EF,

：.ZABE+ZBEF=\80°,NFED+NEDC=18G°,

：NA8E=130°,NCDE=152°,

/.ZB£F=50°,NFED=28°,

NBED=NBEFMFED=18°；

(2)".'AB//CD,

J.AB//CD//EF,

：.ZABE+ZBEF=\SO°,NFED+NEDC=18Q°,

VZABE=m°,ZCDE=n0,

：.ZBEF=(180-m)°,NFED=(180-〃)°,

:./BED=NBEF+/FED=(180-?n)°+(180-n)°=(360-m-n)",

:.NABE、NCDE、/BED的关系是：ZBED=3600-NABE-NCDE,

【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

14.(2022春•沐阳县月考)已知AB〃C£>,点E是平面内一点，NCCE的角平分线与NABE的角平分线交

于点F.

(1)若点E的位置如图1所示.

①若NA8E=58°,ZCDE=82°,则/F=70°；

②探究N尸与NBEC的数量关系，并说明理由；

(2)若点E的位置如图2所示，ZF与ABED满足的数量关系式是/BED+2/B尸£>=360°.

(3)若点E的位置如图3所示，NCDE为锐角，且,设/尸=a,则a的取值范围为_J0

2一

°Wa<45°.

【分析】(1)①过尸作FH//AB,如图1,根据平行线的性质得NA8F+/CZ)/=/8口>,再通过角平分线

定义得结果；

②过点尸作"/〃AB,过点E作EG〃AB,如图1,根据平行线的性质得/A8F+/C。尸=ZABE+

NCDE=NBED,再通过角平分线定义得结果；

(2)过点/作FH//AB,过点E作EG//AB,如图2,根据平行线的性质得乙4BF+NCD尸=NBFD,ZABE+

NCQE=360°-ABED,再根据角平分线得结论；

(3)过点尸作尸〃〃A8,过点E作EG〃AB,如图3,根据平行线的性质得NC£>F-/ABF=Z

CDE-NABE=NBED,再根据角平分线得NBE£)=2/BF£)=2a,结合已知条件/8瓦)2_1/8/。+45°,

2

得a的下限值，再根据NCDE为锐角，结合NBF。与NCD尸的大小关系求得a的上限值便可.

【解答】解：(1)①过F作F”〃A8,如图1,

'JAB//CD,

:.NABF=NBFH,NCDF=NDFH,

：.NABF+NCDF=NBFH+NDFH=NBFD,

VACDE的角平分线与NABE的角平分线交于点F.

二NABE=2AABF,ZCDE=2ZCDF,

VZAfiE=60°,ZCDE=80°,NABE=58°,ZCDE=82°,

AZABF=29°,ZCDF=41°,

:.NBFD=10°,

故答案为：70；

②NBED=2NBFD.理由如下：

过点F作FH//AB,过点E作EG//AB,如图1,

,JAB//CD,

：.ZABF=ZBFH,ZCDF=ZDFH,ZABE=ZBEG,ZCDE=ZDEG,

：.NABF+NCDF=NBFH+NDFH=ZBFD,ZABE+ZCDE^NBEG+NDEG=ZBED,

'：ZCDE的角平分线与/ABE的角平分线交于点F.

：.ZABE=2ZABF,NCDE=24CDF,

：.ZBED=2ZBFD；

(2)过点尸作尸”〃AB,过点E作EG〃A8,如图2,

■:AB//CD,

J.AB//CD//FH//GH,

：.ZABF=ZBFH,ZCDF=ZDFH,ZABE=18O0-/BEG,ZCDE=180°-NDEG,

:,/ABF+/CDF=/BFH+/DFH=/BFD,NABE+NCO£=360°-(ZBEG+ZDEG)=360°-/BED,

VZCDE的角平分线与NA8E的角平分线交于点F.

AZABE=2ZABFf/CDE=2/CDF,

A3600-ZBED=2ZBFD；

故答案为：NBED+2NBFD=360°；

(3)过点尸作尸H〃A8,过点E作EG〃A8,如图3,

：.AB//CD//FH//GHf

:・/ABF=/BFH,ZCDF=ZDFH9/ABE=NBEG,NCDE=/DEG,

：./CDF-ZABF=ZDFH-ZBFH=/BFD,ACDE-ZABE=/DEG-ZBEG=/BED,

VZCDE的角平分线与NA5E的角平分线交于点F.

：.ZABE=2ZABFfZCDE=2ZCDFf

：./BED=2/BFD=2a,

•:/BED引工NBFD+45。，

2

・・・2a24a+45。,

2

...a230°,

•••/COE为锐角，

AZCDF=^ZCDE<45°，

2

'：ZBFD<ZCDF

.,.a<45°,

.,.30°Wa<45°.

故答案为：30°Wa<45°.

【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义.解决问题的关键是作辅助线构造同旁内

角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用.

15.（2022春•崇川区校级月考）问题情境：

（1）如图1,AB//CD,/%8=130°,ZPCD=120".求/APC度数.小颖同学的解题思路是：如图2,

过点P作PE//AB,请你接着完成解答

问题迁移：

（2）如图3,AO〃BC,点尸在射线OM上运动，当点P在A、8两点之间运动时，ZADP=Za,NBCP

=/仇试判断NCP。、/a、N0之间有何数量关系？（提示：过点尸作PE〃AO）,请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在4、8两点外侧运动时（点P与点A、B、。三点不重合），请你猜想N

CPD、Na、/日之间的数量关系.

【分析】（1）过P作尸E〃AB,构造同旁内角，利用平行线性质，可得NAPC=110°.

（2）过P作尸E〃A。交CO于E,推出4O〃PE〃BC,根据平行线的性质得出Na=NDPE,Zp=ZCPE,

即可得出答案；

（3）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得

出Na=/£>PE,Z^=ZCPE,即可得出答案.

【解答】解：（1）过尸作PE〃AB,

'：AB//CD,

：.PE//AB//CD,

AZAPE=180°-NA=50°,ZCPE=180°-ZC=60°,

・・・NAPC=500+60°=110°；

(2)ZCPD=Za+Zp,理由如下：

如图3,过户作PE〃A。交CD于E,

■:AD〃BC,

：.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,NR=NCPE,

：.ZCPD=ZDPE+ZCPE=Za+Z^；

(3)当尸在84延长线时，ZCPD=Zp-Za；

理由：如图4,过户作PE〃A。交CQ于E,

*：AD//BC,

：.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,Zp=ZCP£,

：.ZCPD=ZCPE-ZDPE=Z^~Za；

当尸在8。之间时，ZCPD=Za-Zp.

理由：如图5,过P作尸E〃A£＞交CD于E,

"."AD//BC,

：.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,NR=NCPE,

：.ZCPD=ZDPE-ZCPE=Za-Zp.

【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线

构造内错角以及同旁内角.

四.平行线的判定与性质（共4小题）

16.（2022春•东台市月考）如图，己知ACBC,EFYBC,垂足分别为。、F,Z2+Z3=180°,试说明:

NGDC=NB.请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由.

解：'：ADLBC,EfLBC（已知）

ZADB=NEFB=90°（垂直的定义）,

J.EF//AD（同位角相等两直线平行）,

二/I+/2=180。（两直线平行同旁内角互补）.

又：/2+/3=180°（已知），

/.Z1=Z3（同角的补角相等）,

：.AB//DG（内错角相等两直线平行）,

；.NGDC=NB（两直线平行同位角相等）.

【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可.

【解答】解：VAD1BC,EFLBC（已知）

；.NADB=NEFB=90°（垂直的定义），

：.EF//AD（同位角相等两直线平行），

.,.Zl+Z2=180°（两直线平行同旁内角互补），

又：/2+/3=180°（已知），

AZ1=Z3（同角的补角相等），

J.AB//DG（内错角相等两直线平行），

:.NGDC=/B（两直线平行同位角相等）.

故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，Z1,两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG,

内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等.

【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

17.（2022春•玄武区校级期中）如图，DE//BF,NA=N2,NC=ND,AC与。E、8F相交于点G、H.

求证：AB//CD.

DFC

【分析】根据平行线的性质及三角形外角性质推出NA=NC,即可判定A8〃CD

【解答】证明：'：DE//BF,

：.ZAGD=NAHF,

VZAGD=ZC+ZD,ZAHF=ZA+ZB,

：.ZC+ZD=ZA+ZB,

VZA=ZB,NC=NO,

,ZA=ZC,

J.AB//CD.

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键.

18.（2022春•启东市期中）如图，ABA.BF,CDYBF,N1=N2,试说明/3=NE.

证明：,：AB1BF,CZ）_L8F1（已知）,

；.NABD=NCDF=90°（垂直的定义）,

：.AB//CD（同位角相等，两直线平行）

VZ1=Z2（已知）,

：.AB//EF（内错角相等，两直线平行）

CD//EF（平行于同一直线的两条直线互相平行）

【分析】根据垂直的定义及题意推出A8〃C。，AB//EF,则根据平行线的性质即可得解.

【解答】解：,JABLBF,CDVBF（已知），

AZABD=ZCDF=90°（垂直的定义），

J.AB//CD（同位角相等，两直线平行），

VZ1=Z2（已知），

.,.AB〃EF（内错角相等，两直线平行），

J.CD//EF（平行于同一直线的两条直线互相平行），

.•.N3=NE（两直线平行，同位角相等）.

故答案为：90°；垂直的定义；CD；同位角相等，两直线平行；EF；内错角相等，两直线平行；CD；EF；

平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等.

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.

19.（2022春•海安市期中）如图①，直线〃直线尸Q,A、B分别是直线MN、P。上的两点.将射线AM

绕点A顺时针匀速旋转，射线BQ绕点8顺时针匀速旋转，旋转后的射线分别记为AM'、BQ',已知射

线AM、射线8Q旋转的速度之和为7度/秒.

（1）如果射线BQ先转动30°后，射线AM、BQ再同时旋转10秒时，射线AAT与第一次出现平行，

求射线AM、BQ的旋转速度；

（2）若射线AM、8。分别以（1）中速度同时转动/秒，在射线AM与AN重合之前，求/为何值时AM,

BQ,；

（3）若NBAN=45°,射线AM、BQ分别以（1）中的速度同时转动f秒，在射线AAT与AN重合之前，射

线AM1与8Q,交于点H,过点“作“CLP。，垂足为C,如图②所示，设N8AH=a,/8HC=0,则当/在

何范围内，a和。满足什么数量关系？请直接写出结果.

【分析】（1）根据转动的速度和及转动后两线平行，可以设未知数，列方程组进行解答;

（2）由AM'与BQ'垂直，则2f+（180-5/）=90,解方程即可:

(3)由平行线的性质得出/A8Q=180°-/BAN=135°,若射线AM'与BQ'相交于点8时，

5

27,若射线AM'与AN重合时，阻=36,延长当27V/V36时，NBAH=⑸)°-(180°-45°)

5

=a,NCBH=(2r)。，得出a=(5t-135)°,求出0=(90-2r)°,得出2a+50=180°即可.

【解答】解：（1）设射线AM、8。的旋转速度分别为x度/秒、），度/秒,

根据题意得：｛X+Y=7,

ll0x=10y+30

解得（x=5,

Iy=2

答：射线AM、BQ的旋转速度分别为5度/秒、2度/秒：

(2)由AM'与BQ'垂直,则2/+(180-5/)=90,

解得：，=30,

答：1=30时AM'lBQf；

(3)VZBA/V=45°,MN//PQ,

：.ZABQ=\S0°-ZBAN=\35°,

若射线AM'与8Q'相交于点B时，巫=27,

5

若射线AM'与AN重合时，1=12=36,

5

・••当27V/V36时，ZBAH=(5r)°-(180°-45°)=a,ZCBH=(2r)°,

：.a=(5r-135)0,

*：HCA.PQ,

.♦・NBCH=90°,

:・/BHC+NCBH=9U0,

:.NBHC=90°-(2r)0=仇

.•比（90-2f）°,

A2a+5p=2X（5/-135）°+5X（90-2r）°=180°,

...当27<f<36时,2a+5p=180°.

【点评】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行线的性质和直角三角形的性

质是解题的关键.

五.平行线之间的距离（共1小题）

20.（2021春•宁德期末）如图，MN±AB,垂足为仞点，MN交CD于N，过M点作MG_LCD,垂足为G,

EF过点N点、,且EF〃A2,交MG于H点，其中线段GM的长度是点M到直线8的距离,线

段MN的长度是点、M到直线所的距离,又是平行线48、E-间的距离,点N到直线MG

【分析】点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，根据这一定义结合图形进行填空即

可.

【解答】解：线段GM的长度是点M到直线CD的距离；

线段MN的长度是点M到直线EF的距离，又是平行线42、EF间的距离；

点N到直线MG的距离是线段GN的长度.

【点评】正确理解点到直线的距离的定义是解决此类问题的关键.

六.三角形（共2小题）

21.（2022春•建邺区校级期中）如图，以A8为边的三角形的个数是（）

【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形.

【解答】解：XABC、△ABE、/XABF.△ABD四个三角形是以A8为边的三角形，

故选：D.

【点评】本题考查的是三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键.

22.（2022春•涟水县校级月考）如图，共有6个三角形.

【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出

三角形的个数.

【解答】解：图中有：/\ABC,△ABO,△ABE,/XACD,/\ACE,/\ADE,共6个.

故答案为：6

【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏.

七.三角形的角平分线、中线和高（共1小题）

23.（2022春•姜堰区校级月考）在下列各图的4ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（）

B

D.DAC

【分析】根据三角形的高的概念判断.

【解答】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交4c的延长线于。点，因此只有8符合条件，

故选：8.

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答.

八.三角形的面积（共5小题）

24.（2022春•锡山区期中）如图，在四边形ABCD中，已知点E是CD上的一点且满足CE=3DE,连接

BE,在8E上取一点G且8G=2GE,点尸是AO的中点，且&DGF=S"GE,连接AG、CG,若四边形AGCC

的面积为15,且BE=9,则△BEC中BE边上的高为（）

A.4B.5C.至D.无法确定

6

【分析】根据等高的三角形的面积比等于底边之比，得出四边形AGCQ的面积为△OGE的面积的6倍，进

而求得ABCE的面积，再根据三角形的面积公式求得结果.

【解答】解：•••CE=3OE,尸是AO的中点，

•'•S^CGD=4S^DGEFSMGD=2S丛DGF,

•:S/、DGF=SADGE,

S四边形AGCD=Sa8G+SzkAG£)=6SA0G£：，

・・•四边形AGCO的面积为15,

-155

SADGE—二—,

62

SACGE=3S>DGE=15，

BG=2GE,

•BE=9,

.♦.△8EC中3E边上的高为：Z5-X24-9=--

46

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的面积，关键是根据等高的三角形的面积比等于底边之比，得出四边形AGCD

的面积为△OGE的面积的6倍.

25.（2022春•吴江区校级期中）如图，已知在△48C中，。、E分别为BC、AD的中点，EF=2CF,且4

ABC的面积为18,则△BEF的面积为（）

A.8B.9C.6D.7

2

［分析】由点。是BC的中点，可得SMBD=SAACD=—S&ABC＞由E是A。的中点，得出S^ABE=S^,DBE=—S

24

△ABC的面积，进而得出S/\BCE=再利用EF=2FC,求出△BEF的面积.

2

【解答】解：•.•点。是BC的中点，

••S/\ABD—S/\ACD——S^ABC—9<

2

是A。的中点，

SMBE—SADBE=AAABC=9,

42

S^ACE—S^DCE—^SMBC——^

42

S^BCE—^S&ABC-9,

2

,:EF=2FC,

...S/\BEF=2x9=6,

3

故选：C.

【点评】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是根据中点找出三角形的面积与原三角形面积的关系.

26.（2022春•祁江区期末）叶子是植物进行光合作用的重要部分,研究植物的生长情况会关注叶面的面积.在

研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式s①来估算叶面的面积，其中。，力分别是稻叶

k

的长和宽（如图1）,攵是常数，则由图1可知女1（填=”或"v"）.试验小组采集了某个品

种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2）,大致都在稻叶的冬处“收尖”.根据图

7

2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为（结果保留小数点后两位）.下列正确的是

()图I图2

A.=1.01B.<0.79C.>1.27D.<0.99

【分析】根据矩形的面积大于叶的面积，即S<“b,可得&>1,再把叶片的尖端可以近似看作等腰三角形,

则稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分，再求出％的大约值即可.

【解答】解：由图1可知，矩形的面积大于叶的面积，即SVM,

：.S=^-<ab,

k

由图2可知，叶片的尖端可以近似看作等腰三角形，

.••稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分，

•••矩形的长为4r,等腰三角形的高为3f,稻叶的宽为从

..7tbId7

..k-------------=-^1-27,

yX3tb+4tb11

故选：C.

【点评】本题主要考查数据的处理及应用，熟练掌握不等式的性质，理清题意，准确找出等量关系时解答

此题的关键.

27.（2022春•姜堰区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点

上.

（1）利用网格画直线CD,使C£>_LAB,且点。在格点上，并标出所有符合条件的格点。；

（2）在