高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) 27(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（27）

一、单项选择题（本大题共13小题，共65.（）分）

1.将边长为5的菱形A8CQ沿对角线AC折起，顶点8移动至8'处，在以点9，A,C,为顶点的

四面体SB'CD中，棱AC、B7）的中点分别为E、F,若4C=6,且四面体ABCD的外接球球心落

在四面体内部，则线段EF长度的取值范围为（）

A.（孚,2@B.（9,4）C.（V3,2V3）D.（V3,4）

2.在空间中有如下命题，其中正确的是（）

A.若直线a和6共面，直线〃和c共面，则直线a和c共面；

B.若平面a内的任意直线zn〃平面£,则平面a〃平面伙

C.若直线。与平面a不垂直，则直线a与平面a内的所有直线都不垂直；

D.若点尸到三角形三条边的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的内心.

3.在三棱锥D-4BC中，已知/W平画8C,且AABC为正三角形，力。=AB=遮，则三棱锥

D-4BC的外接球的表面积为（）

A.IOTTB.97rC,8兀D.77r

4.己知矩形ABC。的面积为8,当矩形A8CQ周长最小时，沿对角线AC把△4CD折起，则三棱椎

。一ABC的外接球表面积等于（）

A.87rB.167rC.48V2TTD.不确定的实数

5.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为

6.室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线（）

A.异面B.相交C.平行D.垂直

7.等腰直角三角形A8E的斜边AB为正四面体A2CZ）侧棱，直角边AE绕斜边旋转，则在旋转

的过程中，有下列说法：

(1)四面体E-BCD的体积有最大值和最小值;

(2)存在某个位置，使得4E1BD；

(3)设二面角。一的平面角为d则8NZO4E；

(4)4E的中点M与A8的中点N连线交平面BCD于点P,则点尸的轨迹为椭圆.

其中，正确说法的个数是()

A.4B.3C.2D.1

8.在长方体4BC。-&B1GD1中，AB=2,AD=3,AAt=2,E是441的中点，尸是棱AO上一

点，AF=1,动点P在底面4当6。1内，且三棱锥P-BE尸与三棱锥B-DiEF的体积相等，则

直线CP与BBi所成角的正切值的最小值为

A.叵B.C.更D.V5

4135

9.如图，在四棱锥P—4BCD中，△ABD是边长为2遍的正三角形，

CB=CD=2,E为棱P4的中点，则直线DE与平面P3C的位置关

系是()

A.平行

B.垂直

C.相交但不垂直

D.不能确定

10.正三角形A8C的边长为2,将它沿高AO折叠，使点8与点C间的距离为B，则四面体A8C。

外接球的表面积为()

A.67rB.7TTC.8兀D.97r

11.在正方体4BCD-AiBiGDi中，下列几种说法正确的是()

A.AiB〃D[B]

B.4cl1BrC

C.AyB与平面DBDiBi成角为45°

D.ArB和B]C成角为30°

12.如图，小蚂蚁的家住在长方体力BCD-&B1C15的A处，小蚂蚁的奶奶家住在G处，三条棱长

分别是=l.AB=2,AD=3,小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家小的最

短距离是（）

A.2V5B.3V2D.V26

13.已知长方体4BC0-41B1GD1内接于半球O,且底面ABCO落在半球的底面上，底面占B1C15的

四个顶点落在半球的球面上.若半球的半径为3,AB=BC,则该长方体体积的最大值为（)

A.12V3B.6V6C.48D.72

二、多项选择题（本大题共1小题，共4.0分）

14.如图，已知正四面体D-4BC（所有棱长均相等的三棱锥），P、0、R分别

为A8、BC、C4上的点,AP=「8援=暴=2,分别记二面角。一PR-Q,

D-PQ-R,D-QR-P的平面角为a、0、y,则下列判断不正确的是（）

A.y<a<PB.a<y<PC.a<p<yD.

0<y<a

三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

15.如下图①，在直角梯形A8CD中，/.ABC=^CDB=/.DAB=90°,/.BCD=30°,BC=4,点

E在线段CO上运动.如下图②，沿BE将ABEC折至△BEC',使得平面BEC'1平面ABEQ,则

4C'的最小值为

16.已知圆锥的母线长为1,侧面展开图的圆心角为^兀，则该圆锥的体积是

17.如图，在正方体48。。一41%（?1。1中，点知，N分别是当Ci，CG的中

点，则直线力1M与OV的位置关系是.（填“平行”、“相交”或

“异面”）

18.如图，PA平面ABC,PA=企，且AD1PB于点D,AE1PC于点E.在Rt△ABC中，AB=BC=1,

AB1BC,则直线AB与平面AQE所成角的大小为.

19.如图，在底面边长均为2,高为1的长方体4BCD-AiB£Di中，E、尸分别为BC、。也的中点，

则异面直线4瓜CF所成角的大小为；平面&EF与平面4当65所成锐二面角的余弦

值为.

D,G

20.己知A,8是球。的球面上两点，乙108=90。，C为该球面上的动点.若三棱锥ABC的

体积的最大值为右则球。的表面积是.

21.在长方体4BC0-&当的以中，底面ABCO是边长为4的正方形，侧棱4&=a(a>4),M是

BC的中点，点尸是侧面4BB14内的动点(包括四条边上的点)，且满足tan/力PD=3tan/MPB,

则三棱锥P-ABC的体积的最大值是

22.如下图，60。的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,

且都垂直于48.已知4B=2,AC=4,BD=6,则CD的长为.

四、解答题(本大题共8小题，共96.0分)

23.如图，在三棱柱ABC-4181cl中,AC1BC,ABLBBlt

AC=BC=BBX=2,。为AB的中点，且CO1LM「

(1)求证：BBi_L平面ABC；

(2)求多面体DBC-&B1C1的体积；

(3)求二面角C-D4-G的平面角的余弦值.

24.如图，在四棱锥P—4BCD中，P41平面ABC。，底面A8CD是菱形，AB=2,/.BAD=60°.

(1)求证：平面PBD_L平面PAC；

(2)若P4=4B,求PC与平面PBO所成角的正弦值

25.如图，在五面体A8CDEF中，FA1^ABCD,AD//BC//FE,ABA.AD,M^!

(1)求异面直线BF与。E所成的角的大小;

(2)证明：平面4MoL平面CDE；

26.如下图，三棱柱ABC-AiB©的各棱长都是2/C441=60。,力iB=3,。,Ci分别是AC,的

中点.

(1)证明：DC1〃平面BCCiBi；

(2)求直线CCi与平面ABC所成角的正弦值.

27.已知斜三棱柱48。一48传1，ABCA=90°,4c=BC=2,点①在底面ABC上的射影恰为AC

的中点。，又知

⑴求CC1到平面A14B的距离.

(2)求4-ArB-C所成角的余弦值.

28.如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中,平面ABCJ■平面AA©C,ZBAC=90°.

(1)证明：AC1CA1：

(2)若△A|BC是正三角形，AB=2AC=2,求二面角Ai-AB。的大小.

29.已知正四棱台两底面边长分别为3和9.(1).若侧棱所在直线与上、下底面的中心的连线所成的

角为45。，求棱台的侧面积；

(2).若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.

30.如图，已知四棱锥P-ABC。的底面的菱形，/.BCD=60°,点E

是BC边的中点，AC与。E交于点O,POABCD,

(1)求证：PD1BC；

(2)若4B=6%，PC=6&，求二面角P—HD—C的大小；

(3)在(2)的条件下，求异面直线PB与QE所成角的余弦值.

B

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

由题意画出图形，可证ACJ■平面B'ED,得到球心0位于平面B'ED与平面ACF的交线上，即直线EF

上，由勾股定理结合。4=OB',0E<EF,EF<E夕=4可得线段E尸长度的取值范围.

本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，属难题.

解：如图，

由已知可得，ACLB'E,^ACLDE,

B'ECDE=E,B'E,OEu平面4E。，

：.AC1平面9ED,

E是AC的中点，

二到点A、C的距离相等的点位于平面ACF内，

同理可知，到点夕、。的距离相等的点位于平面ACF内，

•球心。到点A,B',C,。的距离相等，

•••球心。位于平面B'ED与平面AC尸的交线上，即直线EF上.

•••球心。落在线段EF上(不含端点E、F),

显然EF_L8'0,由题意比4=3,EB'=4,

则。人2=亦+9,

且。42=OF2+FB'2=OF2+EB'2-EF2

=(EF-0E)2+16-EF2=OE2+16-2EF-OE.

OA=OB',

7

•••OF2+9=OE2+16-2EF-OE,则OE=—,

显然OE<EF,

・•・W<EF,即EF>更

2EF2

又EF<EB'=4,

—<EF<4.

2

故选:B.

2.答案：B

解析：

本题考查空间中直线与平面的位置关系，属于一般题.

解题时逐一判断即可求出答案.

解：直线。与直线b共面，直线6和直线c共面，存在直线“与直线c异面的情况，4错误；

平面a内任意直线均平行于平面0,必在a内必存在两条相交直线平行于平面0,根据面面平行判定定

理可知平面a〃平面/?,B正确；

直线a与平面a不垂直，可能与平面a平行或相交；则在平面a内存在与直线〃异面的直线与直线a

垂直，C错误；

若点P到三角形三条边的距离相等，可知点尸在三角形所在平面内的射影到三角形三边的距离相等，

此射影点可为三角形两外角平分线与一内角平分线的交点，此时不是三角形的内心，。错误，

故选8.

3.答案：D

解析：

本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基本知识，

考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

取AB、BC、AC的中点E、M、F,连结CE、AM、BF,交于点“，求出44==CH=1,设三

棱锥。一ABC的外接球的球心为O,连结0H,贝lj。"_L平面ABC,过。作0G14。，交AZ）于G,

设球半径为R,OH=x,则4G=x，DG=^3~x,0G=AH=1,则R=y/DG2+OG2=y/OH2+BH2,

求出x=在，从而R==叱，由此能求出三棱锥D-ABC的外接球的表面积.

2弋42

解：取A3、BC、AC的中点E、M、F,连结CE、AM、BF,交于点〃,

D

则AH=BH=CH=3AB2—BM2=-3--=1，

33^4

设三棱锥。-4BC的外接球的球心为0,

连结。”，则OH_L平面ABC,

过。作0GJ.4。，交A£>于G,

设球半径为/?,OH=x,则4G=x,DG=V3—x，0G=AH=1,

R=y/DG2+OG2=<OH2+BH2,

•••三棱锥D-ABC的外接球的表面积S=4nR2=4TTX-=7TT.

4

故选。.

4.答案：B

解析：

本题给出正方形翻折问题，求棱锥外接球的表面积，着重考查了基本不等式、正方形的性质和球的

表面积公式等知识，属于较难题.

运用基本不等式，得当矩形ABCD是边长为2&的正方形时，矩形的周长最小.因此，三棱椎。-4BC

的外接球以AC中点。为球心，半径等于AC长的一半，由此结合球的表面积公式和题中数据，即可

得到球的表面积.

解：设矩形的两边长分别为小必得

xy=8<(-y-)2,得x+y24/.当且仅当久=y=2注时，等号成立.

.•・当矩形ABC。是边长为2夜的正方形时，矩形的周长最小.

因此，沿对角线AC把AACD折起得到的三棱椎。-ABC的外接球的球心是AC中点,

AC长的一半为球半径，得R=2/1C=返40=2,

22

•••三棱椎。-ABC的外接球表面积等于S=4TTR2=167r.

故选B.

5.答案：A

解析：

本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积

和，是基础题

解:根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥P-ABC,底面为直角三角形,NB4c=90。,

且P。1底面ABC；

11=x1

SAABC=5X6x6=18,S4PBe26'J^x4=12y/2,S^PAB=S4PAe=,x6x5=15,

所以，该三棱锥的表面积为S=15x2+18+12V2=48+12V2，

故选A.

6.答案：D

解析:

本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，以及空间中直线与直线的位置关系，解决此类问题关

键是熟练掌握线面垂直的性质定理与三垂线定理.

由题意得可以分两种情况讨论：①当直尺所在直线与地面垂直时；②当直尺所在直线若与地面不垂

直时，再分别借助于线面垂直的性质定理与三垂线定理得到答案.

解：由题意得可以分两种情况讨论：

①当直尺所在直线与地面垂直时，则地面上的所有直线都与直尺垂直，则底面上存在直线与直尺所

在直线垂直；

②当直尺所在直线若与地面不垂直时，则直尺所在的直线必在地面上有一条投影线，在平面中一定

存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，则得到地面

上总有直线与直尺所在的直线垂直.

・•.教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线与直尺所在直线垂直.

故选。.

7.答案：B

解析：

本题考查了几何体的体积，空间中直线与直线的位置关系和二面角.

利用棱锥的体积公式和空间直线的位置关系，直接根据已知条件判断即可得到答案.

解：在旋转的过程中，E到平面BCD的距离在变化，而底面积8CC不变，故四面体E-BCD的体积

有最大值和最小值，(1)正确；

不妨设4E=BE=L则40=48=当三棱锥E-4BD为正三棱锥时，DE=1,AE2+DE2=

AD2,则AE10E,又4E1BE,BECDE=E,

BE,DEu平面BOE,所以4E1平面BDE,而8。u平面所以AE1B0,(2)正确；

当直线AE旋转到平面A8O内的时候，6=0°,而NZME=15°,此时。＜^DAE,故(3)错误；

由椭圆的定义可以得到AE的中点M与AB的中点N连线交平面3CO于点P,设P到BC到距离为d,

因为臂＜1,所以点P的轨迹为椭圆.故(4)正确；

•••正确命题有3个,

故选B.

8.答案：C

解析：

本题考查了异面直线所成角的计算，考查面面平行的判定,考查棱锥的体积公式，属于中档题.过。1构

造与平面BEF平行的平面，得出尸的轨迹，从而可得出当所求角最小时对应的尸的位置.

VV

解：TLp-8EF=B-D!EF=Di-BEF'

•1.P到平面BEF的距离等于Di到平面BEF的距离，

取CG的中点M,在/Ci上取点G,使得C[G=AF=1,

连接。母，MG,

则GM〃EF,DXM//BE,

二平面DiGM〃平面BEF,

P点轨迹为线段。道，

又BB"/CCi，4GCP为直线CP与SB1所成的角，

而tan4C】CP=|^,故当CiPLCiG时，取得最小值,

过G作CiHlDiG,垂足为H,则。1"=翁=第，

:.tanZ.CyCH==争

故选C.

9.答案：A

解析:

本题考查了直线与平面平行的性质定理，属于基础题型.

取AB的中点连接E凡DF,

EF//PB,DF1.AB,

所以DF//BC,

所以平面。EF〃平面PBC,

又因为DEu平面DEF,

所以DE〃平面PBC.

故选A.

10.答案：B

解析：

本题考查空间想象能力，对球模型的转换能力，属于较难题.

三棱锥B-ACO的三条侧棱B。140、DC1DA,底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱

柱的外接球，求出三棱柱的底面中心与球心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的

表面积即可.

解：以ABDC为底面，AO为高构造出一个三棱锥4—BCD所在的三棱柱，

三棱柱中，底面ABDC,BD=CD=1,BC=V3.

在三角形8C。中，由余弦定理可得Bf2=BD2+CD2-2BD-CDcosABDC,

即3=1+1-2COSNBDC,

乙BDC=120°,

在^BDC中，利用正弦定理求得△80c的外接圆的半径为［x3-=1，

2sinl20°

由题意可得：球心到底面的距离为也=更，

22

•••球的半径为r=f+l=^.

勺42

外接球的表面积为：4兀〃=77r

故选B.

11.答案：B

解析：

本题考查正方体的结构特征及空间中直线与直线的位置关系，同时考查线面角与异面直线所成的角，

还考查三垂线定理，逐一判断即可

解：在正方体中，与劣当是异面直线，所以A错误；

在正方体中力G在平面BCC/i上的身影为BCi，而BG与81c垂直，所以由三垂线定理得4GLBiC,

所以8正确；

取Bi。1的中点O,连接40,则可得N&B。为4道与平面DBDiBi所成的角，这个角不等于45。，所以

C不正确；

在正方体中，力近和&C所成的角为60。，所以。不正确.

故选8.

12.答案：B

解析:

本题考查多面体和旋转体上的最短距离(折叠与展开图)，属于基础题.

由题意，小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家G，有三种路径分别计算可得.

解：由题意，小蚂蚁

从4点出发，沿长方

体的表面到小蚂蚁奶

奶家G，有三种路径,

第一种，将侧面

BCCiBi展开到底面

ABCD±.,则

ACr=J(2+1)2+32=3V2.

第二种，将侧面BCCiBi展开到侧面ABBiA上，则AC】=J(2+3中+了=辰,

第三种，将侧面展开到底面ABCZ)上，贝=J22+(3+1尸=2后，

故最短距离为3VL

故选B.

13.答案：A

解析：解析：

本题考查空间想象能力，空间几何体的模型，导数的运用.

设4B=a,可得长方体体积V=a?j9-ga?=J9a4-|a6(0<a<3V2)>令％=。2,

则0<x<18,因此1/=矛_沁求导数判断单调性可得最值.

解：设4B=a,则有。4=/?=3,所以=Jg-|a2(0<a<3V2)

则长方体体积U=a2j9-|a2=J9a4一*(0<a<3或)

令x=a2,贝ij0<x<18,因此l/=^9x2-~x3

令f(%)=9x2—i%30<x<18

所以f'(x)=18%—|x2=|x(12—%)

当0VxV12时f\x)>0,/(%)单调递增，

当12VXV18时f(x)<0,f(x)单调递减,

所以f(X)max=「(12)=122X3.

则Lax=12V3.

故选A

14.答案：ACD

解析:

本题考查了二面角，把二面角的大小转化为求三角函数值的大小是解题的关键.

解:如图，

设。是点D在底面ABC内的射影,

过。作。E1PR,OF1PQ,0G1RQ,垂足分别为E,F,G,连接EQ,FD,GD,

易得E01PR,NOEO就是二面角。一PR—Q的平面角,

OD

・•・a=Z-OED,tano

~OE'

同理tan3=空OD

OF

底面的平面图如图所示,

以户为原点建立平面直角坐标系,

不妨设AB=2,

则A(-LO)，8(1,0),C(0,V3).0(0,小

AP=PB，券=胃=2，

•••Q&怜叫净,

则直线RP的方程为丫=一日x，直线尸。的方程为y=2总，直线R。的方程为、=小+手,

根据点到直线的距离公式，知。E=等，。时鸳，。G*

:.0E>OG>OF,

：.<：：tair.<：tan3,

又a,0,y为锐角，

­•a<y<p.

故选ACD.

15.答案：V19-4V3

解析：

本题考查面面垂直的性质，立体几何中翻折问题，属于较难题.

延长8E至H,使得连接AH,过A作AF1BE于F点，通过面面垂直的性质以及勾股定

理，得出|4C'|2=|C7/|2+|尸川2+（国川一|尸8|）2,再引入三角函数求解最值即可.

解：由题意，延长BE至H,使得C'HIBH,连接4H,过A作力FlBE于尸点，如图所示：

又因为平面BEC'平面ABED,C'Hu平面BEC',且平面BEC'n平面ABED=BH,

所以C'H，平面ABED,又AHu平面ABED,

所以C'H1AH,

故|4C'|2=\C'H\2+\HA\2=\C'H\2+\FH\2+\FA\2=\C'H\2+\FA\2+(|BW|-|F5|)2,

在直角梯形ABC力中，Z.ABC=/.CDB=/.DAB=90°,/.BCD=30°,BC=4,

所以BD=2,AB=6,

设乙C'BE=8,易知()<&<；,则

所以|C'H|=4sin0,\BH\=4cos0,|凡4|=VScos仇|尸==8sin。，

所以14cl2=(4sin0)2+(V3cos0)+(4cos0—8sin。)=19—8>/3sin0cos0=19—45/3sin20»

因为所以当2。即。：时，|月门2取得最小值19-4次，

<52

所以"C'lmin=J19-4V5-

故答案为J19—4遍•

16.答案：史史

81

解析:

本题考查圆锥的体积，考查计算能力，是基础题.

求出圆锥的侧面展开图扇形的弧长，再求底面半径，求出圆锥的高，即可求它的体积.

解：圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为［兀」=：兀，于是设底面圆的半径为r,

则有2仃=我,所以r=|,

于是圆锥的高为九=V1—r2=

该圆锥的体积为亚（|）2〃X苧=Mm

故答案为噜・

17.答案：相交

解析：

本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

推导出MN//B1C〃/1以，且MN=”iC="1D,从而四边形&0NM是梯形，由此能判断直线与

ON的位置关系.

解：在正方体ZBCD-4B1GD1中，

•・•点M,N分别是BiG，CCi的中点,

:.MN"B[C"A\D,且MN=：BiC=：4D,

•••四边形&DNM是梯形，

.•・直线与£W的位置关系是相交.

故答案为相交.

18.答案：30。

解析：

本题考查直线与平面所成的角，属于中档题.

在平面PBC上,过点B作8尸平行于PC交EC延长线于点F,连接A凡根据线面所成角的定义知NBAF

为直线AB和平面4DE所成的角，在Rt△BFA中求出此角即可.

解：在平面P8C上，过点8作BF平行于PC交EC延长线于点凡连接AF,

因为弘J-平面ABC,BCu平面ABC,

所以P4_LBC,

V.AB1BC,PAOAB=A,且PA,ABu平面PAB,

所以BC1平面PAB,

又4。u平面PAB,

则BC1AC,

又/W_LPB,PBCBC=B,

所以401平面PBC,

又PCu平面PBC,

得PC14。,

又PC14E,AEC\AD=A,且AE,ADADE,

所以PC_L平面ADE,EDu平面ADE,

：.PCLED,

平面PBC中，PC1ED,

vBF//PC,

•••BF1ED,

又•:PC_L平面ADE,

所以BFADE,

即4B4F为直线AB和平面ADE所成的角.

在RtAPZB中，PB=V3."竺=渔，

PB3

所以PD=至，BD=—,

33

△ACP中，AC=AP=丘,ACLAP,E为尸C中点，

得PE=1.

由△PEO与△BFO相似，可得BF=1PE=}

RF1

在RtAB尸4中，sin/.BAF=-=

BA2

所以直线AB与平面ADE所成的角为30。.

故答案为30。.

3m

19.答案:

14

解析：

本题考查异面直线的夹角和二面角的求法，考查推理能力和计算能力，属于一般题.

建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求解.

解：以。为原点，DA,DC,DDi所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则4(2,0,1),E(l,2,0),C(0,2,0),F(0,l,1)

•••A^E=(-1,2,-1),CF=A^F=(-2,1,0)

设异面直线&E,CF所成的角为氏

取斤_3_V3

则cos。=

\A^E\\CF\~V6-V2-2

所以。=也所求异面直线的夹角为？

OO

设平面4EF与的一个法向量为沅=(x,y,z),

所,沆-砧=0(-X+2y-z=0

T沆•布=0l-2x+y=0)

令x=l,则布=(1,2,3),

取平面2B1GD1的一个法向量为元=(0,0,1),

设平面4EF与平面为8iCi£)i所成锐二面角为a,

ni||沅员33/14

则85。=而而=而=卞'

所以平面4EF与平面4/165所成锐二面角的余弦值为甯,

故答案为於誓

20.答案：367r

解析：

本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，属中档题.确定点C位于垂直于面AOB的直径端点

时，三棱锥。-ABC的体积最大是关键.

当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥。-4BC的体积最大，利用三棱锥。-4BC体积的

最大值为g，求出半径，即可求出球。的表面积.

解：如图所示,

当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥。-ABC

的体积最大，设球O的半径为R，此时％T8C=Vc-AOB=1X之XR2x

R=/3=g

故R=3,则球。的表面积为4兀/?2=36TT,

故答案为367r.

21.答案:喈

解析:

本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助三棱锥体积公式解

答即可，属于难题.

解：如图:

由tan乙4P0=可得普=|,在平面488出中，以A8的中点为坐标原点，AB为x轴建立坐

标系:力(-2,0),8(2,0).设P(x,y),

22

则由点到点的距离公式可以得到P的轨迹方程为(X+g)+y2=管)

,所以P的轨迹是一段圆弧，

[8

而MPT"=5s,73芋州而.ABC颂羯=5,卬到地面ABC。®禺'

将选x=-2代入得y=W<4,那么也就是说P的轨迹与441这条棱的交点就是满足％.ABC最大的

点，即(Vp-48C)max=|X第=彳?

故答案为等

22.答案：4V2

解析:

本题考查空间中线段长的求法，是基础题，解题时要注意数形结合思维的合理运用.由而=至+

AB+BD,能求出线段C。的长.

解：如图，CD=CA+AB+BD，

CD2=(CA+AB+前产

''>2'>2'''»2‘'‘♦■•一，

=C4+48+BD+2BD-CA

1

=164-4+36+2x6x4x(--)

=32,

・•・线段CD的长|CD|=V32=4V2.

故答案为4dL

23.答案：解:(1)证明:

,:AC=BC,。为A8的中点./.CD1AB

又•・・CD1DA9・・・CD_L平面・・・CD1BBr

又BBi1力8,ABCCD=D

・•・BBi1WABC.

(2)'爰而建DBCTIBICI=^^ABC-A1B1C1—'棱锥A1-4BC

1

=S—BC.一gSfDC.441

11

=S—BC.AA]一wx-S^ABC-AAt

5

=5SFBC,

_10

=T

（3）以c为原点，分别以方，西，方所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图.

则C(0,0,0),8(2,0,0),4(0,0,2),Cj(0,2,0),4式0,2,2)二0(1,0,1)

设瓦=(%i，yi，Zi)是面COAi的一个法向量，

则由像黑。得鼠M鼠

可取方=(11，-1)

同理设式=（无2。2,22）是面。416的一个法向量，

且笆=（1,-2,1）=（0,0,2）

则由

佟。=0

I芯,G4—o

得『2-2y2+Z2=0

取巧（2,1,0）

一一月•底3V15

•••cos<nltn2>—-^=T：--=-=---------==—=—

IHiIXIn2I'V3xV55

二面角C-D4-Ci为锐二面角，所以其平面角的余弦值为卓.

解析：⑴要证BB]J"平面A8C,必须证明BBi_L平面ABC内的两条相交直线，A8、CQ即可，可用

几何法证明.

(2)多面体DBC-41/6是不规则几何体，其体积不易直接求.将其转化为三棱柱ABC-41当6与

三棱锥儿一月DC体积之差.

(3)建立空间直角坐标系，求出CD必与D&C1的法向量温，石，利用二面角C-D41-C1的平面角与

瓦:布的夹角相等或互补的关系去解决.

本题考查直线和平面位置关系及其判定，空间几何体体积的计算，二面角求解，考查转化的思想方

法(间接法求体积，线线垂直转化为向量垂直)空间想象能力，计算能力.利用空间向量的知识，则

使问题论证变成了代数运算，使人们解决问题更加方便.

24.答案：(I)证明：•••四边形48CO是菱形，•••4C1BD.t：

又：PA_L平面ABCD,BD泰平面ABCD,：.PA1BD.

又PHnAC=4，P4摄平面PAC,£1平面PAC,二8。_L平面PAC,\

...BD"平面PBD,.•・平面P80_L平面PAC.

(口)解：设4CnBD=。，因为4BAD=60。，PA=AB=2,所以

BO=1,AO=C0=V3>如图，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz,则P(V5,0,2),

4(75,0,0),8(0/，0),D(0,-l,0),C(-V3,0,0)，所以而=(一旧,1,一2)，PD=(-73,-1,-2),

PC=(-273,0,-2).

设平面PZ>B的法向量为元=(x,y,z),则巴,空=°则卜子+"2z=0解得°,令z=®

｛记.PD=0(-V3x-y-2z=0

得X=-2,.•.元=(-2,0,遮).

设PC与平面P8D所成角为。，贝llsin。=|cos<n,PC>|=|祟|=笑=

171Hpe|4V714

则PC与平面PB力所成角的正弦值为叵.

14

解析：(I)证明4C1BD.H41BD.推出BD_L平面PAC,然后证明平面PBD1平面PAC.

(11)以0为坐标原点，建立空间直角坐标系。-xyz,求出相关点的坐标，平面PD8的法向量，设

PC与平面尸8。所成角为。，利用空间向量的数量积求解PC与平面PB。所成角的正弦值.

本题考查直线与平面垂直的判定定理与平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求

法，考查空间想象能力以及计算能力.

25.答案：（1）解：由题设知，BF//CE,

所以NCED（或其补角）为异面直线B尸与OE所成的角.

设P为AD的中点，连接EP,PC.

因为FE《4P，所以FA?EP，同理AB,PC.

又凡41平面ABCD,所以EP，平面ABCD.

而PC,4。都在平面ABC。内，

故EPJ.PC,EP14D.由4B1AD,可得PC1AD设FA=a,

则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=/a,故"EO=60°.

所以异面直线BF与OE所成的角的大小为60°

（2）证明：因为DC=DE且例为CE的中点，

所以OM_LCE.连接MP,则MPJ.CE.又MPnDM=M,

故CEL平面4MD.而CEu平面CDE,

所以平面AMD_L平面CDE.

解析：本题考查异面直线所成的角，面面垂直的判定，和二面角问题，属综合题，难度中等

（1）先将BF平移到CE,则NCED（或其补角）为异面直线B尸与OE所成的角，在三角形CED中求出

此角即可；

（2）欲证平面/MD1平面CDE,即证CE1平面AMD,根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平

面AMO内两相交直线垂直即可，易证DM1CE,MP1CE.

26.答案：（1）证明：取41G中点M,连接OW,DiM,

•••AM是团AiBiG的中位线，•••D1M//B1G，

又；DiM，平面BCGBi

所以〃平面BCG%,

•••在平行四边形441cle中，D,M分别是AC,4G的中点,

ADMI/CC],

又：DMC平面BCG

所以0M〃平面BCC1B1，

又：DMODjM=M,

二平面DM。1〃平面BCJBi，

vDDiu平面DMA，

£>£>i//平面BCCrB^

(2)解：因为CCi〃44「

所以即求直线CCi与平面ABC所成角的正弦值，

连接。8、04],作&H1BD于“，连接A”，

由条件可知，回44也是正三角形，AC_LZMi，

同理AC1DB,

XvDBnDAr=D,,ACJ_平面BZMi，

XvACu平面ABC,

••・平面ABC1平面BD4.

•••&Hu平面BZMi，S.AAH1BD,

A\H±平面ABC,

44遇H即为所求角，

由条件知。B=DAX=V3.

cosZ-BDAj^=/.BDA^=120°,

^AADH=60",

o

・•・ArH=又1AA1=2,

所以如"小河=萼=9,

AAi4

直线eg与平面4BC所成角的正弦值为

解析：本题考查面面平行的判定与性质，同时考查线面平行的判定及面面垂直的判定与性质，还考

查线面角的求解.

(1)取41cl中点M,连接。M,DiM,通过证明平面DM/〃平面BCGBi即可求解；

(2)将问题转化为求直线CQ与平面A8C所成角的正弦值，连接。8、0&,作&H1BD于H,连接

AH,然后由面面垂直的性质及线面角的定义求解即可.

27.答案:解：

(1)因为*1〃441，

AAXu面AA、B,

所以CG〃砺L4iB,

CG到平面&ZB的距离即为G到平面4AB的距离.

VAG1平面&BCAG1A-iC

••・四边形&ACC1是菱形・•・。是AC的中点

44遇。=60°•••4(2,0,0)711(1,0,百)

8(0,2,0)G(-l，°，V3)

中=(1,0,遮)卷=(-2，2,0)

设平面44B的法向量记=(x,y,z),则e=®z,令z=i,

lx=y

n=(V3,y/3,1)

立=（2,。，0）."=鬻=竽

二G到平面A遇B的距离为雪,

即CCi到平面&4B的距离为竽.

（II）平面&AB的法向量丘=（遍,百,1）,

平面48C的法向量为（-3,0,V3）,

•••3＜石元＞=磊=-去

设二面角A-4B-C的平面角为。，。为锐角，

c夕

:.COS0=—

即二面角4-A.B-C的余弦值为

解析：本题考查点到面距离的求法,二面角的求法，由解题过程可以看出，用向量法求点到面的距

离，求二面角是一个很实用的方法,解题中要善于运用，在求解此类题时，求面的法向量是一个重

点，要学会怎么赋值.

（I）本小题关键是利用CCJ/441，面AA\B，得到Cg〃硒A卷,所以CG到平面44B的距离

即为G到平面41AB的距离.

求G到平面44B的距离，本小题拟采用向量法求解，建立空间坐标系，求出平面44B的法向量，

以及立，求打在平面法向量上的投影即可得到点到面的距离.

（口）求二面角4-48-。的余弦值，本小题拟采用向量法求解，根据（I）求出两平面的法向量，直

接求两向量夹角的余弦值的绝对值即可.

28.答案：证明：(1)过点当作4道的垂线，垂足为0,由平面_L平面4&C1C,平面占8道0平

面4416(7=/11C，

得当。_L平面4&C1C,

又ACu平面44£C,得当。1AC.

由NB4C=90。，AB〃A[B[,得4B114C.

又Bi。Cl&&=Br得4c_L平面&BiC.

又C4iu平面&BiC,得4C_LC4i.

(11)以(7为坐标原点，襦的方向为x轴正方向，|石？|为单位长，建立空间直角坐标系C-xyz.

由已知可得4(1,0,0),4(0,2,0),^(0,1,73).

所以直=(1,0,0)，AA^=(-1,2,0).AB=A^=(0,-1,V3).

设几=(x,y,z)是平面&AB的法向量，则

件丝1=0,即尸+2葭°可取记=(2但柢1).设沆=(3")是平面ABC的法向量，则

tn-AB=0J，+V3z=0

四亚=0,即1+岳父，可取沆=(0,但1).

(m-CA=0U=0J

则cos伍，m>=二:=

又因为二面角4一AB-C为锐二面角，所以二面角&