高中数学立体几何讲义一

平面及空间直线

（I）、平面基本性质及其推论

1、空间图形是由点、线、面组成。点、线、面基本位置关系如下表所示:

图形符号语言文字语言（读法）

AaAWQ点A在直线a上。

小且A^a点A不在直线。上。

eA./Aea点A在平面a内。

A.

//A^a点A不在平面覆内。

ab=A直线。、〃交于A点。

a0a直线a在平面a内。

aaa=0直线a及平面a无公共点。

&/

.a\

/6L•A/aa=A直线a及平面a交于点A。

aZpaB=l平面a、4相交于直线

a<xa（平面a外直线a）表示aa=0或0a=A。

2、平面基本性质

公理1：假如一条直线两点在一个平面内，那么这条直线上全部点都在这个平面内.

推理模式:。如图示：

应用：是判定直线是否在平面内依据，也是检验平面方法。/AB/

公理2：假如两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且全部这些公共点集合是一条

过这个公共点直线。

推理模式：且Ae/且/唯一.如图示：a1

应用：①确定两相交平面交线位置；②判定点在直线上。八，P

例1.如图，在四边形4及力中，已知46〃微直线46,BC,AD,小分别及平面a相

4

H

EG

交于点£,G,//,F.求证：E,F,G,〃四点必定共线.

解：'：AB//CD,

：.AB,切确定一个平面B.

又•.,/Bna=E,ABu6,:.EWa,E&p,

即K为平面a及B一个公共点.

同理可证凡G,〃均为平面a及B公共点.

•.•两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点公共直线，

:.E,F,G,〃四点必定共线.

说明：在立体几何问题中，证明若干点共线时，常运用公理2,即先证明这些点都是

某二平面公共点，而后得出这些点都在二平面交线上结论.

例2.如图，已知平面a,B,且anB=1.设梯形ABCD中,AD//BC,且"ua,

5uB,求证：AB,CD,/共点（相交于一点）.

证明：梯形ABCD中,AD//BC,

：.AB,必是梯形力及力两条腰.

AB,缪必定相交于一点，

设CD^M.

又•：ABua,切uB,：.M^a,且MGB.:.归app.

又,.•a。8=/,:.MG1,

即力昆CD,/共点.

说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2,这及证明多点共线是一样.

公理3：经过不在同一条直线上三点，有且只有一个平面。

推理模式：A,8,C不共线=存在唯一平面a,使得A3,Cea。

应用：①确定平面；②证明两个平面重合。

例3.已知：a,b,c,d是不共点且两两相交四条直线，求证：a,b,c,d共面.

证明V若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a,b,c相交于一点儿

但如图1.

，直线d和4确定一个平面a.

又设直线d及a,b,c分别相交于£,F,G,

则A,E,F,GGa.

'."A,EGa,A,EGa,aua.

同理可证bua,cua.图1

.,.a,b,c,d在同一平面a内.

2°当四条直线中任何三条都不共点时，如图2.

•.•这四条直线两两相交，则设相交直线a,6确定

一个平面a.

设直线c及a,6分别交于点〃，K,则〃，K&a,

又H,KGc,cua.

同理可证dua.

；.a,b,c,d四条直线在同一平面a内.

说明：证明若干条线（或若干个点）共面一般步骤是：首先依据公理3或推论，由题给

条件中部分线（或点）确定一个平面，然后再依据公理1证明其余线（或点）均在这个平

面内.本题最简单忽视“三线共点”这一种状况.因此，在分析题意时，应细致推敲

问题中每一句话含义.

“有且只有一个”含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形假

如有顶多只有一个，但不保证符合条件图形存在，“有且只有一个"既保证了图形存在性，又保证

了图形唯一性.在数学语言叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”及“有且只有一个”是

同义词，因此，在证明有关这类语句命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。

推论1：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面。」］（..A

推理模式：Aea=存在唯一平面a,使得Aea,10a。

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。A

推理模式：=存在唯一平面a,使得。0“日》

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。..▲

推理模式：a〃6=＞存在唯一平面a,使得a,60a。a上小

练习：

1.如图，在平行六面体/发力一45。〃中，4Cn6Q=Q，5。n平面46G=2

求证：PGBO\.

证明在平行六面体ABCD—A、C队中,

•・・5〃n平面.・・〃£平面4%,PRB\D.

•・•B、Du平面BRD\D.：・PG平面AM,且PG平面

BB\D\D,

・・・尸£平面4处0平面

・・・4Gn〃〃=Q，4Gu平面AB。,平面

，0\£平面AiBCi,且0y平面BB\D\D.

又平面AfCi，且4e平面BBDD,

・•・平面48GD平面以〃〃=冽.:・PeB0,

说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线两个平面上。

（H）、空间两条直线

1、空间两直线位置关系：（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行一一在同一平面内，没有

公共点；（3）异面——不在住何一个平面内，没有公共点；

2、公理4：平行于同一条直线两条直线相互平行。推理模式：allb,bllc^allc.

3、等角定理：假如一个角两边和另一个角两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

4、等角定理推论:假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成锐角（或直

角）相等。

5、异面直线判定定理：连结平面内一点及平面外一点直线，和这个平面内不经过此点直线是异面直线。

推理模式：4£。,8€%/<=。,3e/=>48及2是异面直线。异面直线判定方法：①判定定理；

②定义法；③反证法是证明两直线异面有效方法。

例1.已知不共面三条直线“、b、c相交于点P,A&a,Bea,C&b,Dec,求

证：AO及BC是异面直线.

证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定平面为a,那么点P、A、B、C、D都在平

面a内，.•.直线a、b、c都在平面a内，及已知条件a、b、c不共面冲突，假设不成

立，...AD和BC是异面直线。

证二：（干脆证法）•♦•anc=P,...它们确定一个平面，设为a,由已知C足平面a,B

6平面a,ADu平面a,BgAD,，AD和BC是异面直线。

6、异面直线所成角：己知两条异面直线a,力，经过空间任一点。作直线"〃a/'〃b,a'/'所成

角大小及点。选择无关，把〃所成锐角（或直角）叫异面直线。力所成角（或夹角）.为了简

便，点。通常取在异面直线一条上。异面直线所成角范围：。

7、异面直线垂直：假如两条异面直线所成角是直角，则叫两条异面直线垂直.两条异面直线a,匕

垂直，记作aJ•匕。

8、求异面直线所成角方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另始终线平

行线；（2）找出及一条直线平行且及另一条相交直线，那么这两条相交直线所成角即为所求。向

量法：用向量夹角公式。

例2.在正方体ABC。-AEC'D中，M、N分别是棱AA'和AB中点，P为上底面

A3CD中心，则直线PB及所成角为（A）

（A）30°（8）45°（C）60°（D）

例3.一条长为2c机线段45夹在相互垂直两个平面

a、夕之间，AB及a所成角为45°,及一所成角为30°,

且aD4=/，ACVI,BD上I,C、。是垂足，求（1）

CD长；（2）A8及CO所成角------沙

解：（1）连BC、AD,可证ACJ.B,BD±a,.,.ABC=30°,

ZBAD=45°,RSACB中，BC=AB•cos30=V3,

在RtAADB中，BD=AB•sin45°=V2

在RtABCD中，可求出CD=lcm（也可由AB=AC2+BD2+CD2-2AC•BD•cos90°求得）（2）

作BE〃1,CE//BD,BEACE,则NABE就是AB及CD所成角，连AE,由三垂线定理可

证BELAE,先求出AE=VL再在RtaABE中，求得NABE=60"。

说明：在（3）中也可作CHLAB于H,DF_LAB于F,HF即为异面直线CH、DF公垂线，

22

利用公式CD=CH+DF+HF-2•CH•DFcosa,求出cosa=且0

3

9、两条异面直线公垂线、距离：和两条异面直线都奉亶相容直线，我们称之为异面直线公垂线。

理解：因为两条异面直线相互垂直时，它们不肯定相交，所以公垂线定义要留意“相交”含义。

两条异面直线公垂线在这两条异面直线间线段（公垂线段）长度，叫做两条异面直线间距离。两

条异面直线公垂线有且只有一条。计算方法：①几何法；②向量法。

例4.在棱长为a正四面体中，相对两条棱间距离为_（答案：）

例5.两条异面直线a、6间距离是1cm,它们所成角为60°,。、。上各有一点A、B,

距公垂线垂足都是10cm,则A、B两点间距离为.

答案：J101或J301cm

练习：

1.如图，在正方体46修一46c〃中，求证：〃〃被平面4明分成1：2两段.

证明：如图1,在正方体46（力一4劣。〃中，'一---Y7G

连结6山，4C，BD,AC.zj

工M,N分别是旦如“1中点.联/C

连结8%DNA遥

BB\〃DD\,豆BB尸DD\,

二四边形BDDB是平行四边形.

在平面BDDB中,设BM=0,B、£）nD、N=0、,

在平行四边形应族8中，Du_

•.eD\M〃NB,MD,M=NB,

/.四边形陇%"是平行四边形.Ai\\、\/B

：.BM〃ND、,即0M〃0、D\,7K'f/

。是的中点，即OgOB、.DN'W.L「

同理，06=0\D.

0\0=0B、=0、D.

综上，0风:ODX=\：2.

2.如图，已知平面a、B交于直线/,AB、分别在平面a,B内，且及/分别交于

B,。两点.若NABD=NCDB,试问45,⑦能否平行？并说明理由.

证明：直线/反5不能平行.否则，若加

IICD,则18〃⑦共面，记这个平面为Y.

AB,CDuy.

ABua,Z?ey.

由题知I,ABua,Z?ea,且D^AB,

依据过一条直线及这条直线外一点，有且仅

有一个平面，a及丫重合.

同理，B及丫重合.

a及8重合，这及题设冲突.

AB,必不能平行.

3.平行六面体力版一48《〃中，求证：办所在直线及6C所在直线是异面直线.

证明：假设3所在直线及园所在直线不是异面

直线.”7弋

设直线以及阳共面a.Q4A-----\

,：C,D\GC",B,C\GBC、,：.C,仄,B,gGa.V\\V\\

'：CC\〃BB\,:.CC”跖确定平面能GC,\八一》

：.C,B,gw平面仍gC.\/Z

•.•不共线三点C,B,G只有一个平面，D'c

•••平面a及平面防CC重合.

平面88QC,冲突.

因此，假设错误，即勿所在直线及阳所在直线是异面直线.

基础巩固训练

1、下列推断中，错误是（）oC

A.A€l,Awa,Bel,Bea=>luaB.Awa,Aeea,3e/?napl/7=AB

C.I（Za,Ael=>A^aD.A,B,Cwa,A,B,Cw0,且A、B、C不共线na,仅重合

2、推断下列命题真假，真打“J"，假打“X”。

(1)空间三点可以确定一个平面()。(2)两条直线可以确定一个平面()«

(3)两条相交直线可以确定一个平面()。(4)一条直线和一个点可以确定一个平面()。

(5)三条平行直线可以确定三个平面().(6)两两相交三条直线确定一个平面

().(7)两个平面若有不同三个公共点，则两个平面重合()«(8)若四点不共面，那么

每三个点肯定不共线(),.(1)X(2)X(3)V(4)X(5)X(6)X(7)X(8)V»

3、如下图，正四面体$一ABC中，D为$C中点，则BD及SA所成角余弦值是()。

B旦B旦

A.3B：3c,6D：6

解析：取AC中点E,连结DE、BE,则DE〃SA,

AC

B

，ZBDE就是BD及SA所成角:设SA=a,则BD=BE=2aDE=2a,cosZBDE==不。答案：C

异面直线

题型：异面直线判定或求异面直线所成角及距离

［例4］、A是△3C£)平面外一点，E、尸分别是BC、AO中点，\F

(1)求证：直线EF及BD是异面直线；\

(2)若AC=BD,求EF及所成角。B.D

(1)证明：用反证法。E''G

假设E尸及8。不是异面直线，则EF及8。共面，C

从而DF及BE共面,即A£>及8C共面，所以4、B、C、。在同一平面内，这及4是△BCD平面

外一点相冲突故直线EF及BD是异面直线。

(2)解：取中点G,连结EG、FG,贝ljEG〃BO,所以相交直线EF及EG所成锐角或直角即

为异面直线EF及8。所成角在Rl^EGF中，求得NFEG=45°,即异面直线EF及BO所成角为

45°。

［反思归纳］①证明两条直线是异面直线常用反证法；②求两条异面直线所成角，首先要推断两条

异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成角为90。；若不垂直，则利用平移法求角，一般步骤是

“作(找)一证一算”留意，异面直线所成角范围是(0,-L

2

［例5］、长方体ABC。-AqC］£)|中，己知AB=a,BC=b.AAt=c,且a>b,求：

(1)下列异面直线之间距离：AB及CC”AB及AC；AB及80。

(2)异面直线QB及AC所成角余弦值。

(1)解：BC为异面直线AB及CG公垂线段，故AB及CG距离为b。

AA为异面直线AB及AG公垂线段，故AB及AG距离为c。

过B作BEJ.8C，垂足为E,则BE为异面直线AB及BQ公垂线，BE==,即AB及8c距离为。

(2)解法一：连结BD交AC于点0,取。A中点F,连结OF、AF,则OF〃。内，,NA0F就是异

面直线。田及AC所成角。

VA0=,0F=2D［B=,ALBt

AF=,.,.aAA0F4,,A

cosZA0F=="（♦+〃）面+〃+c2）

解法二：建立空间直角坐标系，写出坐标，用向量夹角公式计算。

［反思归纳］1、两条异面直线公垂线在这两条异面直线间线段(公垂线段)长度，叫做两条异面

直线间距离。两条异面直线公垂线有且只有一条。计算方法：①几何法；②向量法。2、求异面直

线所成角方法：几何法：(1)通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另始终线平行线；(2)

找出及一条直线平行且及另一条相交直线，那么这两条相交直线所成角即为所求。向量法：用向

量夹角公式。

空间中平行关系

(I)、直线及平面平行

1.直线和平面位置关系：(1)直线在平面内(多数个公共点)；符号表示为：a0a,(2)直线和

平面相交(有且只有一个公共点)；符号表示为：a(］a=A,(3)直线和平面平行(没有公共点)

一一用两分法进行两次分类.符号表示为：alia.

2.线面平行判定定理：假如不在一个平面内一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这

个平面平行.推理模式：l(za,m0a,l//m=^l//a.

3.直线及平面平行证明方法：

①证明直线和这个平面内一条直线相互平行；

②证明这条直线方向量和这个平面内一个向量相互平行；

③证明这条直线方向量和这个平面法向量相互垂直。

4,线面平行性质定理：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线平面和这个平面相交，那么这条

直线和交线平行.推理模式：U/a,l0p,aJ3=m=>l//m.

(II)、平面及平面平行

1.平行平面：假如两个平面没有公共点，那么这两个平面相互平行.

2.图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面平行四边形相邻两边分别画成平行.

3.平行平面判定定理：假如一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平

面相互平行.推理模式：：au尸，bu。,ah=P,alia,hIIa/3IIa.

平行平面判定定理推论：假如一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内两条相交直

线，那么这两个平面相互平行.

推理模式：ab=勿暇/a,a刎尸Mp,alla',bllb'^allp.

4.证明两平面平行方法：

(1)利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出冲突。

(2)判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理

可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：aClb,aCa,bCa,a〃6,b〃B,则。〃

Bo

(3)垂直于同始终线两个平面平行。用符号表示是：ala,2，6则&〃0

(4)平行于同一个平面两个平面平行。a〃夕,a〃/=尸〃/

5.两个平面平行性质有五条：

(1)两个平面平行，其中一个平面内任始终线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面

平行，则线面平行”。用符号表示是：a〃B,aUa,则a〃B。

(2)假如两个平行平面同时及第三个平面相交，那么它们交线平行，这个定理可简记为：“面面

平行，则线线平行”。用符号表示是：a〃B,any=a,3ny=b,则a〃b。

(3)一条直线垂直于两平行平面中一个平面，它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂

直。用符号表示是：a〃B,a±a,则a_L6。

（4）夹在两个平行平面间平行线段相等。

（5）过平面外一点只有一个平面及已知平面平行。

（III）、线线平行、线面平行、面面平行间㈣互转换

|面面平行的判定

（三）、基础巩固训练

1、若两条直线m,n分别在平面a、B内，且&〃6,则m,n关

系肯定是（）。D

（A）平行（B）相交（C）异面（D）平行或异面

2、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线及这

两个平面交线位置关系是（）.C

A异面B相交C平行D不能确定

3、a、b是两条异面直线，A是不在a、b上点，则下列结论成立

是（）«（如图）D

A过A有且只有一个平面平行于a、bB过A至少有一个平面平行于a、b

C过A有多数个平面平行于a、bD过A且平行a、b平面可能不存在

5、a、b、c为三条不重合直线，a、8、丫为三个不重合平面，直线均不在平面内，给出六个命

题:

Y//y

>=>a〃匕;②=>a〃匕;③二>a

①工p//c

//c^.a//v'

④“/c、二>a〃a;⑤$=>a〃笈⑥qa/7a.

I尸〃”

其中正确命题是

（将正确序号都填上）。①©©⑥。

考点：线面平行判定及性质

题型：证明线面平行及线面平行性质运用

例1、如下图，两个全等正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,MFAC,NGFB且AM=FN,求证:

MN〃平面BCE.

证法一：过M作MPJ_BC,NQ_LBE,P、Q为垂足，连结PQ.；MP〃AB,NQ〃AB,；.MP〃NQ，

6旦

又NQ=2BN=2CM=MP,，MPQN是平行四边彩

；.MN〃PQ,PQ。平面BCE,而MNC平面BCE,MN〃平面BCE,

证法二：过M作MG〃BC,交AB于点G（如下图），连结NG

VMG/7BC,BC0平面BCE,MG&平面BCE,

BGCMBN

；.MG〃平面BCE又GA=MA=NF,

.♦.GN〃AF〃BE,同样可证明GN〃平面BCE

又面MGCNG=G,，平面MNG〃平面BCE,又MN0平面MNG；.MN〃平面BCE»

［反思归纳］证明直线和平面平行通常采纳如下两种方法：①利用直线和平面平行判定定理，通过

，，线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行性质定理，通过“面面”平行，证得“线

面”平行

例2、如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b公垂线，过AB中点0作平面a及a、b分别平行,

M、N分别是a、b上随意两点，MN及a交于点P,求证：P是MN中点

证明：连结AN,交平面a于点Q,连结PQ,

■：b//a,bu平面ABN,平面ABNAa=0Q,；.b〃OQ,又0为AB中点,

，Q为AN中点，'.'a//a,a0平面AMN且平面AMNCa=PQ,

.，.a〃PQ；.P为MN中点.

［反思归纳］本题重点考查直线及平面平行性质

考点：面面平行判定及性质

题型：证明面面平行及面面平行性质运用

例3、如图，在四棱锥P-ABCD中，M,N分别是侧棱PA和底面BC边中点，。是底面平行四边形

ABCD对角线AC中点.

求证：过0、M,N三点平面及侧面PCD平行.

证明：：0、M分别是AC、PA中点,连接0M,则0M〃PC。

•.•OMN平面PCD,PCU平面PCD,...OM〃平面PCB.

连结ON,则ON〃AB,由AB//CD,知ON//CD.

VON(Z平面PCD,CDc平面PCD,；.0N〃平面PCD.

又：OMnON=O,...0M、ON确定一个平面OMN.

由两个平面平行判定定理，知平面OMN及平面PCD平行，即过D、M、N三点平面及侧面PCD平行。

（二）、强化巩固训练

1、如下图，正方体ABCD—ABCD中,侧面对角线ABi、BC上分别有两点E、F,且BiE=GF求证:

EF〃平面ABCD。

证法一：分别过E、F作EMLAB于点M,FNLBC于点N,连结MN

：BBi_L平面ABCD,.•.BBi_LAB,BB,±BC

FN〃BB".EM〃FN又RE=CF,/.EM=FN

故四边形MNFE是平行四边形二EF〃MN又MN在平面ABCD中,

；.EF〃平面ABCD

BtEB］G

证法二：过E作EG〃AB交BBi于点G,连结GF,则B|"=B出

C,FB,G

CBBB

VBiE=CiF,B,A=C>B,A