点和圆、直线和圆的位置关系

至诚臻美精品教育页§24.2点和圆、直线和圆的位置关系一、知识点过关知识点1点和圆的位置关系（重点；掌握）点和圆的位置关系有三种，设点P到圆心O的距离，⊙O的半径为，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内；【命题点1根据与的数量关系判定点与圆的位置关系】例1已知⊙O的面积是16π，若，则点P在⊙O；若，则点P在⊙O；若，则点P在⊙O内.针对性训练若点在以点为圆心，2为半径的圆内，则的取值范围为（）知识点2圆的确定（重点；理解）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.【命题点2求三角形外接圆的半径】例2△ABC中，，，求△ABC的外接圆半径.针对性训练如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的任意3个点，能画圆的个数是（）A.1B.2C.3D.4知识点3直线和圆的位置关系（重点；掌握）相交、相切与相离的概念[画图板书]直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.直线与圆的位置关系如果设⊙O的半径为，圆心到直线的距离为，可归纳出下列结论：（1）直线和⊙O相离；直线和⊙O相切；直线和⊙O相交；【命题点3根据直线与圆的位置关系求半径R的取值范围】例3已知，在ON边上有一点P，，若以点P为圆心，以R为半径作圆，求满足下列条件的⊙P的半径R的取值范围.射线OM与⊙P只有一个公共点；射线OM与⊙P有两个公共点.针对性训练1、在Rt△ABC中，，，.若以点C为圆心，为半径的圆与直线AB不相离，求的取值范围.知识点4圆的切线的判定与性质（重点、难点；理解）1.切线的判定和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线是圆的切线.经过半径的外端并且垂直于这条半斤的直线是圆的切线（切线的判定定理）切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.【命题点4切线的性质定理的应用】例4如图所示，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且.连接OC.（1）求的度数；（2）若，求BD的长.

针对性训练1、已知⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B.如图①，若，求的大小；如图②，过点B作于点E，交⊙O于点D，若，求的大小.知识点5切线长的定义及定理（重点、难点；掌握）定义经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【命题点5利用切线长定理求角的度数】例5如图所示，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，BC是⊙O的直径，连接AB，AC，OP.，则的度数为（）A.50°B.70°C.110°D.40°针对性训练1、如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，已知BC是⊙O的直径，连接AB，AC，OP.求证：（1）；（2）AC∥OP.

【命题点6利用切线长定理求线段的长】例5如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为eq\o(\s\up5(︵),\s\do2(AB))上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA，PB与E，F两点，已知，求△PEF的周长.针对性训练如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O相切于点A，B，C是劣弧eq\o(\s\up5(︵),\s\do2(AB))上任意一点，过C作⊙O的切线DE，分别交PA，PB于点D，E.已知△PDE的周长为8，，点M，N分别在PB，PA的延长线上，MN与⊙O相切于点F，且DN，EM的长是方程的两根.（1）求的度数；（2）求PA的长；（3）求四边形DEMN的周长.知识点6三角形的内切圆（重点、难点；掌握）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.（内切圆与外接圆对比）三角形的内心到三角形三边的距离都相等.三角形的内切圆的作法：先作出三角形的两条角平分线，以两条角平分线的交点为圆心，交点到一边的距离为半径作圆，即而已得到三角形的内切圆.推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.【命题点6利用三角形内心求角的度数】例6如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC、CA、AB的切点分别为D，E，F，若上，则=度.针对性训练⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，，，，求⊙O的半径.知识点7圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质（重点；理解）概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.性质：圆内接多边形的对角互补.【命题点7圆内接四边形与垂径定理的综合应用】例7如图所示，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，于E，于F，求证：.针对性训练如图所示，在圆内接四边形ABCD中，，则.全方位技巧类型题1根据点与圆的位置关系求的取值范围例1已知△ABC，，，，AB的中点为M.以C为圆心，2为半径作⊙C，则点A，B，M与⊙C的位置关系如何？若以C为圆心作⊙C，使A，B，M三点至少有一点在⊙C的内部，且至少有一点在⊙C的外部，求⊙C的半径的取值范围.类型题2有关圆与一元二次方程的综合题例2设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离，且使关于的方程有实数根，试确认点P与⊙O的位置关系.

类型题3切线的判定和性质的综合应用例3如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长，与BC相交于点E.若，，求⊙O的半径；取BE的中点F，连接DF，求证DF是⊙O的切线.类型题4圆的切线与四边形的综合应用例4如图所示，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF.求证DE是半圆的切线；当时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论.类型题5圆周角定理的推论与垂径定理的综合应用例5如图所示，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分，若，，则CD的长为.类型题6巧引辅助线，构造特殊三角形解题例6如图所示，在⊙O中，，.求的度数.求⊙O的周长.

分层实战训练【基础巩固】已知点P与圆周上的点的最小距离为6cm，最大距离为16cm，求该圆的半径.2.⊙O的圆心到直线的距离为，⊙O的半径为R，若是方程的两个实数根，则直线和圆的位置关系是.如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则的正切值等于（）已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，，点C在圆上，.求证：DC是⊙O的切线.5.AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E.求证：DE是⊙O的切线.AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且︵AF=︵FC=︵CB，连接AC，AF，过点C作，交AF的延长线于点D，垂足为D.求证：CD是⊙O的切线.7.已知⊙O的直径为AB，于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得.求证：ED是⊙O的切线；当，时，求BC的长度.

【能力提升】如图所示，在△ABC中，，（定值），⊙O的圆心O在AB上，并分别与AC，BC相切于点P，Q.（1）求的大小；（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与⊙O相切于点M，E在CB的延长线上，试判断的大小是否随着D点位置的变化而变化，并说明理由.（3）在（2）的条件下，如果(为已知数)，，设，求关于的函数解析式.9.如图所示，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与轴交于点A，点是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交轴于点C.（1）求证PA是⊙O的切线；（2）求点B的坐标.如图，AB是⊙O的直线，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD的延长线交与点F