八年级数学上册最短路径问题专项练习

八年级数学上册最短路径问题专项练习

一、单选题

1.如图，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,EF是BC的垂直平分线，尸是直线EF上的任意一点，则PA+PB

的最小值是()

A.3B.4C.5D.6

2.已知线段AB和点C,E),且C4=CB,D4=r>B,那么直线CD是线段AB的()

A.垂线B.平行线

C.垂直平分线D.过中点的直线

3.如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,4),B(4,2),在x轴上取一点P,使点P到点A和点B的

距离之和最小，则点P的坐标是()

y

B

X

A.(-2,0)B.(0,0)C.(2,0)D.(4,0)

4.如图，AABC中，/BAC=90°,AB=6,BC=10,AC=8,BO是ZA8C的平分线.若P、Q分别是BO

和43上的动点，贝IJP4+PQ的最小值是()

Q

BC

A.U24

B.4C.D.5

5T

5.为解决村庄灌溉问题，政府投资由水库向A,B,C,D这四个村庄铺设管道，现已知这四个村庄与水

库以及村与村之间的距离（单位：km）如图所示，则把水库的水输送到这四个村庄铺设管道的总长度最短应

是（）

A.16kmB.17kmC.18kmD.20km

6.A,B,C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小,

则加油站应建在（）

----・・・

ARC

A.在A的左侧B.在AB之间C.在BC之间D.B处

7.A、B是直线1上的两点，P是直线1上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P的位置应在（）

A.线段AB上B.线段AB的延长线上

C.线段AB的反向延长线上D.直线1上

8.如图，4408=30。，M,N分别是边08上的定点，P,Q分别是边。仇04上的动点，记

40PM=a/OQN=13,当MP+PQ+QN的值最小时，关于a,4的数量关系正确的是（）

A.夕-a=60°B,Z?+a=210°C,夕-2a=30°D,〃+2a=240°

试卷第2页，总6页

二、填空题

9.如图，在中，4?=3,4。=4,48_147,£/垂直平分8。，点P为直线EF上一动点，则△A8P周

长的最小值是.

10.如图，已知/MON=40。，P为NMON内一定点,0M上有一点4,ON上有一点8,当△南8的周长

取最小值时，NAPB的度数是°.

11.已知：如图所示，M(3,2),N(1,-1).点P在y轴上使PM+PN最短，则P点坐标为

12.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2,G,H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接

AP,BP,则AP+BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为.

三、解答题

13.已知力(1,2),8(7,4),M,N是x轴上两动点(”在N左边)，MN=3,请在x轴上画出当AM+MN+A®

的值最小时，M,N两点的位置.

■〉

•B

14.如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B,两村要在河上合修一座桥，桥修在什么位置可以使两村到

桥的距离之和最短？保留作图痕迹并说明理由.

B.

A.

15.如图，一个五棱柱的盒子(有盖)，有一只蚂蚁在A处发现一只虫子在D处，立刻赶去捕捉，你知道它

怎样去的吗?请在图中画出它的爬行路线，如果虫子正沿着DI方向爬行，蚂蚁预想在点I处将它捕捉，应

沿着什么方向?请在图中画出它的爬行路线.

16.如图所示，一只昆虫要从正方体的一个顶点A爬到相距它最远的另一个顶点B,哪条路径最短？说明

理由.

试卷第4页，总6页

A

17.有两棵树位置如图，树脚分别为A,B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行.小树顶。处一

只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，间小鸟飞至A8之间何处时，飞行距离最短，在图

中画出该点的位置.

18.作图题：（写出作法，保留作图痕迹）

M、N为ZkABC为AB、AC上的两个定点，请你在BC边上找一点P,使PMN周长最小?

Bc

19.如图所示的是某风景区的旅游路线示意图，其中B,C,D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数

据为两相应点间的距离(单位：千米).一位游客从A处出发，以2千米/时的速度步行游览，每个景点的

3

逗留时间均为了小时.

(1)当他沿着路线ATDTCTETA游览回到A处时，共用了4小时，求CE的长;

(2)若此学生打算从A处出发，步行速度与景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到

A处，请你为他设计一条步行路线，说明这样设计的理由.

20.如图，在AABC的一边AB上有一点P.

(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N,使得APMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置,

若不能，请说明理由；

(2)若/ACB=52。，在⑴的条件下，求出/MPN的度数.

试卷第6页，总6页

参考答案

1.B

【解析】解：如图:

VEF垂直平分BC,

.•.B、C关于EF对称，

当AC交EF于P时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为4,

故选：B.

2.C

【解析】解：根据线段垂直平分线的性质的逆定理，点C和D都在AB的垂直平分线上,

那么直线CD是线段AB的垂直平分线.

故选C.

3.C

【解析】如图:

答案第7页，总10页

作A关于x轴的对称点C,连接AC交x轴于D,连接BC交交x轴于P,连接AP,则此

时AP+PB最小，

即此时点P到点A和点B的距离之和最小,

VA(-2,4),

AC(-2,-4),

设直线CB的解析式是y=kx+b,

2=4%+6

把C、B的坐标代入得:

-4=-2k+b

解得：k=l,b=-2,

y=x-2,

把y=o代入得：0=x-2,

x=2,

即P的坐标是（2,0）,

故选C.

4.C

【解析】解：在BC上截取连接PQ',如图,

BD是ZABC的平分线NABD=ZCBD,

在“80和APB。'中，

QB=Q'B

<NABD=ZCBD

BP=BP

.,.△△PBQ丝APB。(SAS),

APQ'=PQ,

答案第8页，总10页

/.PA+PQ=PA+PQ,

当4p、Q'三点共线且AQ'^BC时，PA+PQ的值最小,

过点A作AFLBC于点F,则PA+PQ的最小值即为AF的长,

SZMVKiZfrC=-2ABAC=2-BCAF,

BC105

即PA+P0的最小值为三24.

故选C.

5.A

【解析】最短总长度应该是:水库到A,再从4到8、。,然后从D到C,总长度为:4+5+3+4=16

(km).

故选A.

6.D

【解析】设P、B的距离为xkm,

如图1：

P

•・・・------

ABC

图1

路程之和为PA+PC+PB=(AC+x)km;

答案第9页，总10页

如图2:

P

♦・・♦

ABC

图2

路程之和为PA+PC+PB=(AC+x)km;

综上所述：路程之和为=(AC+x)km,

当x=0时，路程之和为AC的长度，则加油站应建在B处.

故选D

7.A

【解析】当P点在线段AB的延长线上，则PA+PB=PB+AB+PB=AB+2PB;

当P点在线段AB的反向延长线上，则PA+PB=PA+AB+PB=AB+2PA;

当P点在线段AB上，则PA+PB=AB,

所以当P点在线段AB上时PA+PB的值最小.

故选：A.

8.B

【解析】如图，作M关于08的对称点,N关于OA的对称点V,连接用M交OA于Q,

交0B于P,则此时MP+PQ+QN的值最小.

易知NOPM=ZOPM'=NNPQ,NOQP=ZAQN'=ZAQN.

•：NOQN=180°-30°-4ONQ,ZOPM=ZNPQ=30°+Z.OQP

NOQP=ZAQN=30°+ZONQ,

答案第10页，总10页

/.c+6=30°+30°+NONQ+180°-30°—NONQ=210°.

故选：B.

9.7

【解析】解：...EF垂直平分8C,

；.B,C关于直线EP对称.设4C交EF于点D,

.•.当P和D重合时，A尸+8P的值最小，最小值等于AC的长,

△A3P周长的最小值是4+3=7.

10.100

【解析】分别作点P关于OM、ON的对称点尸、P",连接0/、OP\P'P",PP交OM、

ON于点4、B,连接w、PB,此时△附B周长的最小值等于PP".

由轴对称性质可得，OP，=OP"=OP,ZP'OA=ZPOA,NP"OB=NPOB,

：.zP'OP"=2ZMON=2x40°=80°,

ZOP'P"=ZOP"P'=(180°-80°)+2=50°,

又ZBPO=ZOP"8=50°,ZAPO=ZAP'O=50°,

答案第11页，总10页

・•・ZAPB=ZAPO+ZBPO=100°.

故答案为100.

11.(o,—；)

4

【解析】如图，根据题意画出图形,找出点N关于y轴的对称点M,连接MM,与y轴交点为所

求的点P,

因为Ml,-1),所以M(-1,-1),设直线MN'的解析式为y=H+〃,把M(3,2),N(1,1)代入得：

［手”=2解得4所以9令户0,求得产则点「坐标为(0,二).

\-k+b=-\,14444

Ib=——

4

故答案为:

4

12.60°

【解析】如图，因为点A关于GH的对称点是F,所以连接BF交GH于点P,

则PA+PB=PF+PB=BF,

所以PA+PB的最小值是BF.

因为NBAF=180°x(6-2)+6=120。，AB=AF,

所以/AFB=30°.

因为NHGF=90。，

所以NGPF=60。.

答案第12页，总10页

故答案为：60°.

13.见解析

【解析】如图，作点A关于x轴的对称点4(1,-2),再将点B向左平移3个单位得到点B',

连接A0,与x轴的交点即为点将A向右平移3个单位得到点C,连接CB,与x轴的

交点即为N.点N即为所求.

14.见解析

【解析】如图，作点4关于河岸的对称点C,连接BC交河岸于点P,点P就是桥的位置.

理由：两点之间，线段最短.

15.第一问：如图沿线段AO爬行；第二问取线段EJ的中点M,连结AM和此路线为

蚂蚁爬行的路线.

【解析】解：第一问：如图沿线段AO爬行；

第二问取线段EJ的中点M,连结AM和Ml,此路线为蚂蚁爬行的路线.

答案第13页，总10页

理由都是：两点之间线段最短.

16.详见解析.

【解析】如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短''知，线段AB即为最短路线.

17.见解析

【解析】如图，作。关于AB的对称点。，连接交AB于点E,则点E就是所求的点.

【解析】作法：(1)作M关于BC的对称点M,,

(2)连接"N交8C于P点，

(3)连线MP^t^PMN周长最小,P为所求作的点.

答案第14页，总10页

X

19.(1)CE=0.2千米；(2)步行路线应为A—D—C—ETBTE—A(或

A-E—B-E-C-D—A),见解析.