初升高数学暑假衔接（人教版）第29讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)（教师版）

第29讲函数y＝Asin(ωx＋φ)1．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，能借助图象理解参数A、ω、φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；2．掌握y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确指出其变换步骤。一、A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响1、A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.2、φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.3、ω决定了函数的周期二、三角函数图象变换1、振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．2、平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．3、周期变换：要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到．4、函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径5、三角函数图象变换中的三个注意点（1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；例如：sint=cos⁡(t−（2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向；（3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中函数y＝Asinx到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，函数y＝Asinωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))个单位．三、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0考点一：根据函数图象求解析式例1．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图可得，所以，则，又，则，所以，则，又因，所以.故选：A.【变式训练】函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数在一个周期内的图像如图，观察选项，不妨设，，，由函数图像可得，，，，又，故，则函数的解析式可化为，将点代入得，即，又，取，得，此时.故选：A．考点二：同名函数的图象变换过程例2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】只需将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象故选：C【变式训练】要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．把各点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位B．把各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位C．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位D．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位【答案】A【解析】将函数的图象各点的横坐标缩短到原来的倍，即可得到的图象；再把的图象向右平移个单位，可得的图象.故选：A.考点三：异名函数的图象变换过程例3．为得到函数的图象，可将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，故选：B．【变式训练】要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的（）A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度【答案】C【解析】因为，则将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象，再把所得的图象向左平移个单位长度，即可得到的图象．故选：C．考点四：函数图象变换前后的解析式例4．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到图象对应的函数解析式为，将的图象向左平移个单位得到的图象对应的解析式为.故选：B.【变式训练】把函数图象上的所有点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的解析式是，则函数的解析式为．【答案】【解析】将函数的图象横坐标缩短到原来的得到函数的图象，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以.故答案为：.考点五：函数图象变换前后的重合问题例5．若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为．【答案】【解析】由题设，将的图象向右平移个单位长度后，有与图象重合，所以，则，又，故的最小值为.故答案为：【变式训练】（多选）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象与图像重合，则的值可以为（）A．－6B．6C．8D．12【答案】ABD【解析】由题意可知，，因为函数的图象与图像重合，所以，解得.当时，，故A正确；当时，，故B正确；当时，，故D正确；故选：ABD.考点六：由图象变换研究函数的性质例6．将函数图象上的所有点向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数图象上的所有点向左平移m个单位长度，所得图象对应的函数为，所以即.又m>0，所以m的最小值为.故选：B．【变式训练】将函数的图象向右平移个单位长度后的图象过原点，则m的最小值是.【答案】【解析】由题意可知，平移后函数解析式为，因为函数的图象过原点，所以，即，解得，即，又，故时，m取最小值故答案为：.考点七：三角函数图象性质综合应用例7．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；（2）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在内的零点.【答案】（1）；（2）零点为0与.【解析】（1）由图象可得，，则，即，∴由图象得，即，∴，，则，，又，∴，故；（2）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函，∴，令，则或，解得，，或，，又，∴或，即函数在内的零点为0与.【变式训练】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0x030（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象，若图象的一个对称中心为，求的最小值.【答案】（1）表格见解析，;（2）【解析】（1）0x030-30由表格可知，周期，可得，代入点，可得，又，所以时，，故.（2）由（1）可以得到函数，将的图象向左平移个单位长度，可以得到函数，而函数的一个对称中心为，故，则，当时，.1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）.A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】将向左移动个单位长度有，∴只需将函数的图象向左平移个单位长度，即可得的图象.故选：C2．若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，则的最小值为（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】函数的图象向右平移个单位长度所得函数为：，则关于y轴对称，即，则，因为，所以当时，的最小值为，故选：D.3．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将的图象向右平移个单位长度，得到图象的解析式为，再将的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为，故选：D．4．将函数的图像向左平移个单位长度，再将得到的图像上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），最后得到函数的图像，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的图像向左平移个单位长度得，再将得到的图像上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，即，故选：C5．为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】A【解析】，将函数向左平移个长度单位，得到，故，解得，即向左平移个长度单位.故选：A6．已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（）A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D【解析】对于曲线，，要得到，则把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，即得到曲线.故选：D.7．将函数的图象向左平移a(a>0)个单位长度得到函数g(x)=cos2x的图象，则a的最小值为（）A．B．C．D．π【答案】B【解析】将函数f(x)=sin(2x-)的图象向左平移a(a>0)个单位长度，可得函数y=sin[2(x+a)-]=sin[2x+(2a-)]的图象，所以y=sin[2x+(2a-)]的图象与g(x)=cos2x的图象重合.因为g(x)=cos2x=sin(2x+)，所以2a-=2kπ+，k∈Z，即a=kπ+，k∈Z.当k=0时，可得amin=.故选：B.8．（多选）函数(，，)在一个周期内的图像如图所示，则（）A．该函数的解析式为B．该函数图像的对称中心为，C．该函数的增区间是，D．把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图像【答案】ACD【解析】由题图可知，，周期，所以，则，因为当时，，即，所以，，即，，又，故，从而，故A正确；令，，得，，故B错误；令，，得，，故C正确；函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到，故D正确．故选:ACD9．已知函数.（1）若把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移，得到函数的图象，写出的函数解析式；（2）在（1）的基础上求在的单调区间及值域.【答案】（1）；（2）增区间为，减区间为；【解析】（1）把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到，再将所得函数图象向右平移得到，则，（2）由，则，所以，所以，令，解得，即的单调递增区间为，令，解得，即的单调递减区间为，所以；即在上的单调递增区间为，单调递减区间为，值域为；10．某同学用“五点法“画图数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整；（2）直接写出函数的解析式，并求在上的值域；（3）将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数图象的一个对称中心为，求的最小值0050【答案】（1）详见解析；（2），值域为；（3）【解析】（1）由条件可知，解得：，，所以，解得：，当，解得：，当时，解得：，当时，0x0500（2）由（1）可知，当时，，所以，即当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值5，所以函数的值域是（3）函数图象上所有点向左平移个单位长度，得，因为的对称中心是，因为函数图象的一个对称中心为，所以，解得：,因为，当时，的最小值是.1．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】因为,所以要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位,故选:B.2．把函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y=sin(x+)的图象，则f(x)为（）A．sin(x+)B．sin(x+)C．sin(x+)D．sin(x-)【答案】C【解析】向右平移个单位后得到，则即为向左平移个单位，即．故选：C3．若将函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，则所得函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再向右平移个单位，得的图象,令，，解得，；时，得函数图象的一个对称中心为，．故选：A4．把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移个单位，则所得图象表示的函数的解析式为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】把的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，得到，再把纵坐标扩大到原来的两倍，得到；然后把图象向左平移个单位，得到，故选：B.5．已知函数的图像关于轴对称，则函数的图像可由函数的图像（）A．向右平移个单位长度得到B．向右平移个单位长度得到C．向左平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到【答案】B【解析】的图像关于轴对称，，，，，的图像可由的图像向右平移个单位长度得到.故选:B6．函数的图象向右平移φ(0<φ<)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，因为为偶函数，所以，所以，，又因为，所以．答案：B7．(多选)已知曲线:，:，则下面结论正确的是（）A．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线B．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】AD【解析】把向左平移个单位长度，得到的图像，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图像