初升高数学暑假衔接（人教版）第24讲 诱导公式（教师版）

第24讲诱导公式1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式；2．能够熟练地运用诱导公式，将任意角的三角函数化归为锐角的三角函数，进行求值、化简和证明。3．通过三角函数诱导公式的学习，体验“把未知转化为已知”这种重要的化归思想。一、诱导公式1、诱导公式二：角与角的终边关于原点对称，，，其中2、诱导公式三：角与角的终边关于轴对称，，，其中3、诱导公式四：角与角的终边关于轴对称，，，其中4、诱导公式五：，，其中诱导公式六：，，其中5、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.二、用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．三、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤1、“负化正”：用公式一或三来转化．2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．四、利用诱导公式求值与求解解题策略1、条件求值问题的策略（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．3、观察互余、互补关系：如eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)－α与eq\f(π,4)＋α等互余，eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．考点一：利用诱导公式给角求值例1．（）A．B．C．D．【答案】B【解析】故选：B．【变式训练1】计算：______.【答案】【解析】原式.故答案为：.【变式训练2】计算：___________.【答案】0【解析】故答案为：0考点二：利用诱导公式给值求值例2．若且是第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，又由为第二象限角，所以．故选：B.【变式训练1】设，若则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以.故选：C.【变式训练2】设，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以.故选：C.考点三：互余互补关系的应用例3．已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴.故选:D．【变式训练1】已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选：A.【变式训练2】已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.【答案】0【解析】∵，，.故答案为：0.考点四：利用诱导公式化简求值例4．化简的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，故选：C【变式训练】（多选）已知角满足，则的取值可能为（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】因为，则且，当为奇数时，原式；当为偶数时，原式.故原式的取值可能为、.故选：AC.考点五：利用诱导公式证明恒等式例5．已知、、为的三个内角，求证：【答案】证明见解析【解析】证明：在中，，则.所以，，故原等式得证.【变式训练】求证：＝．【答案】证明见解析【解析】左边.右边.∴左边＝右边，故原等式成立．考点六：诱导公式综合应用例6．已知.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得：（2）∵，∴.∴为第一或第二象限角，∴，∴【变式训练】（1）化简：（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）原式；（2）因为，所以函数的周期为6，，，，，，；由于，所以＋＋＋…＋.1．（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选：C2．已知，且为第三象限角，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，又因为为第三象限角，所以，则，故选：D.3．已知，那么（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，，因此，.故选：C.4．已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，且，则，，.故选：C.5．若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以．故选：A.6．已知，则（）A．B．C．-D．【答案】A【解析】.故选：A.7．（多选）已知，则角的终边可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．轴的负半轴上【答案】BCD【解析】由，得，所以，所以角的终边可能在第二象限、第三象限、轴的负半轴及轴上.故选：BCD.8．求证【答案】证明见解析【解析】9．计算下列两个小题（1）计算；（2）已知角终边上有一点，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）（2）因为角终边上有一点，所以，，，所以.10．已知函数.（1）化简函数的解析式；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）由题意，因为，所以，由得，所以，所以.1．若，则角x等于（）A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】∵，∴，∴，∵，∴，∴或.故选：D.2．若，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，而，于是，所以.故选：C3．已知s，则的值为（）A．B．－C．D．－【答案】D【解析】，故选：D4．化简：得（）A．B．C．D．【答案】C【解析】又因为角时第二象限角，所以，所以.故选：C.5．（多选）下列三角函数式的值与的值相同的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】，故A不正确；，故B正确；，故C正确；，故D不正确.故选：BC.6．_________．【答案】/【解析】因为，，，，，所以.故答案为：.7．化简：________．【答案】【解析】.故答案为：8．设，化简：【答案】【解析】由三角函数的诱导公式，可得当为偶数时，；当为奇数时，，综上可得，9．求下列各式的值:（1）cos+tan;（2）sin810°+tan765°+tan1125°+cos360°.【答案】（1）；（2）4【解析】（1）cos+tan=c