初升高数学暑假衔接（人教版）第06讲 等式性质与不等式性质（教师版）

第06讲等式性质与不等式性质1．理解不等式的概念，能在具体问题中建立不等式关系；2．掌握不等式的基本性质，能用不等式的基本性质解决一些简单问题。一、等式的基本性质性质文字表述性质内容注意1对称性可逆2传递性同向3可加、减性可逆4可乘性同向5可除性同向二、不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a可逆2传递性a>b，b>c⇒a>c同向3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6正数同向可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7正数乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正三、比较两个实数（或代数式）大小1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．【注意】（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质。考点一：利用不等式的性质判断命题的真假例1．设、、为实数，且，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为、、为实数，且，所以，，，，故A错误，D正确；当时，故B错误，因为，所以，故C错误；故选：D【变式训练】已知，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正确；∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正确；取，则，此时，故C错误；∵c＞d＞0，则，又a＞b＞0，则，故D正确．故选：C．考点二：比较两个数（式）的大小例2．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（）A．x＞yB．x＝yC．x＜yD．x，y的关系随c而定【答案】C【解析】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C.【变式训练】比较大小：（1）和；（2）和，其中．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以；（2）因为，所以，所以.考点三：求代数式的取值范围例3．已知，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,，又，，故选：C【变式训练】已知，，则的取值范围是______．【答案】【解析】设，所以，解得，因为，，则，，因此，.故答案为：.考点四：不等式的证明例4．用综合法证明:如果，那么【答案】证明见解析【解析】证明:，即显然，即.【变式训练】（1）已知，且，证明：．（2）证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）由，且，所以，且所以，所以，即；所以，即．（2）要证，只需证，即证；即证，即证；即证，显然成立；所以．1．下列命题为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，则【答案】D【解析】对于A：当时，，A错误；对于B：当时，，B错误；对于C：取满足，，而，此时，C误；对于D：当时，则，所以，即，又，所以，D正确.故选：D.2．已知，，设，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，当且仅当时，等号成立；即.故选：A3．已知，，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，得，解得：，所以，因为，，所以，，所有的范围是.故选：C4．（多选）已知，则下列结论正确的为（）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则【答案】CD【解析】对于A：当，，则，若，，，，显然满足，，但是、，此时，故选项A错误；对于B：因为若，所以，又，则，故选项B错误；对于C：因为，所以，即，所以，故选项C正确；对于D：若，则，又因为，所以根据不等式的同向可加性，得，故选项D正确；故选：CD5．（多选）对于实数，下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，【答案】BC【解析】对于A，因为，所以，所以，所以，故A错误；对于B，因为，所以，，所以，故B正确；对于C，因为，所以，，所以，故C正确；对于D，取，满足，而，故D错误.故选：BC.6．（多选）若，，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】对于A，由，则，故A正确；对于B，，由，所以，故B错误；对于C，由，可得，所以，所以，故C错误；对于D，，由，则，即，故D正确.故选：AD.7．（多选）已知，，则（）A．的取值范围为B．的取值范围为C．ab的取值范围为D．的取值范围为【答案】AC【解析】因为，，所以，，，所以，的取值范围为，的取值范围为，故A选项正确，B选项错误；因为，，所以，，，，所以，ab的取值范围为，的取值范围为故C选项正确，D选项错误.故选：AC8．已知，试比较与的大小.【答案】【解析】，，.两数作商，.9．（1）已知，求证：.（2）已知，求代数式和的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2），【解析】（1）（当且仅当等号成立）（2），∴．由，得①．由，得②．10．（1）已知，，求证：．（2）比较与的大小．【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】（1）∵，∴又∵，∴．（2）∵∴．1．下列说法中，错误的是（）A．若，则一定有B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【解析】对于A，若，则，故A错误.对于B，由，可知，所以，所以.故B正确.对于C，，因为，所以，所以.故C正确.对于D，因为，所以.又，所以.故D正确.故选：A.2．已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，因为，所以，即，故错误；对于B，取，则，故错误；对于C，由，得，所以，故错误；对于D，由，得，所以，故正确.故选：D.3．下列命题中，正确的是（）A．若，，则B．若，则C．若，，则D．若，则【答案】A【解析】对于A：由不等式的性质得，当，，则，故A正确；对于B：当时，故B错误；对于C：当，满足；当，满足，但，故C错误；对于D：当，满足，但是，故D错误；故选：A4．（多选）下列命题为真命题的是（）A．若则B．若则C．若则D．若则【答案】AD【解析】对于，因为所以成立，故选项正确；对于，因为若，，则，故选项错误；对于，因为若，则，故选项错误；对于，因为，所以，因为，则，故选项正确，故选：.5．（多选）已知，，则下列正确的有（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由，可得，又，所以，故A正确；由，可得，又，所以，故B错误；由，可得，又，所以，故C正确；因为，又，所以，故D错误.故选：AC.6．对于实数a、b、c，有下列命题：①若a＞b，则；②若a＞b，则；③若a＜b＜0，则；④若a＜b＜0，则；⑤若a＜b＜0，则；⑥若，则ac＜bd.其中，假命题的序号为______.（写出所有满足要求的命题序号）【答案】①②④⑤⑥【解析】对于①，当时，，故①错误；对于②，当时，不等式无意义，当时，由，可得，故②错误；对于③，由，则，，即，故③正确；对于④，由，根据不等式的倒数性质，则，故④错误；对于⑤，，由，则，即，，所以，故⑤误；对于⑥，由，根据不等式的性质，可得，故⑥错误.故答案为：①②④⑤⑥.7．若，则与的大小关系为______．【答案】【解析】，故.故答案为：.8．已知，，试比较与的大小；【答案】（当且仅当时取等号）【解析】方法一：由题意，因为，，所以，，，所以，当且仅当时等号成立，所以（当且仅当时取等号）.方法二：由，当且仅当时等号成立，所以（当且仅当时取等号）.9．实数、满足，.（1）求实数、的取值范围；（