2025版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.1对数的概念课前预学案新人教A版必修第一册

4.3.1对数的概念一、对数的概念❶1．对数的定义：一般地，假如ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝________，其中a叫做对数的________，N叫做________．2．两种特别的对数(1)常用对数：通常，我们将以________为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为________．(2)自然对数：以________为底数的对数称为自然对数，并把logeN记为________.微点拨❶(1)对数式logaN＝b是由指数式ab＝N而来的．两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中幂的值N，而对数式的值b是指数式中的幂指数．在指数式ab＝N中，若已知a，N的值，求幂指数b的值，便是对数运算b＝logaN.(2)对数logaN只有在a＞0，且a≠1，N＞0时才有意义，理由如下：①若a＜0，且N为某些数值时，b不存在．例如，因为式子(－2)x＝3没有实数根，所以log(－2)3不存在，为此，规定a不能小于0.②若a＝0，且N≠0，则logaN不存在；若a＝0，N＝0，则b有多数个值，不能确定，为此，规定a≠0，且N≠0.③若a＝1，又N不为1，则b不存在，如log12不存在；而a＝1，N＝1时，b可以为任何实数，不能确定，为此，规定a≠1.④由于正数的任何次幂都是正数，即ab＞0(a＞0)，因此N＝ab＞0.在规定了a＞0，且a≠1，N＞0后，对数logaN便随着a，N的确定而唯一确定．依据这一规定可知，并不是每一个指数式都能干脆改写成对数式．例如＝4不能写成log(－2)4＝2.(3)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫做对数运算，不过对数运算的符号要写在数的前面．【即时练习】使loga(2－3a)有意义的实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(0，1)C．(0，)D．(，＋∞)二、指数与对数的关系❷若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔__________．微点拨❷指数式ab＝N，根式＝a和对数式logaN＝b(N＞0，a＞0，且a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式，详细对应如下：表达形式abN对应的运算ab＝N底数指数幂乘方，由a，b求N＝a方根根指数被开方数开方，由N，b求alogaN＝b底数对数真数对数，由N，a求b由此可知：①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；②弄清对数式与指数式的互换规则是驾驭对数意义及其运算的关键．【即时练习】1．下列对数式中，与指数式7x＝9等价的是()A.log7x＝9B．log9x＝7C.log79＝xD．logx9＝72．lgx＝－1，指数式为________．三、对数的性质1．对数的基本性质(1)________和________没有对数．(2)loga1＝________(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝________(a>0，且a≠1)．2．对数恒等式alogaN＝________(a>0且a≠1，N>0)．【即时练习】计算＋2log31－3lg10＋3ln1＝________．4．3.1对数的概念一、1．logaN底数真数2．(1)10lgN(2)无理数e＝2.71828…lnN[即时练习]解析：由题意知，解得0<a<，所以实数a的取值范围是(0，).故选C.答案：C二、x＝logaN[即时练习]1．解析：依据指数式和对数式的关系，7x＝9等价于log79＝x.故选C.答案：C2．解析：lgx＝－1，指数式为10－1＝x.答案：10－1＝x三、1．(1)负数零(2)0