2024-2025学年新教材高中数学第六章统计学初步6.4用样本估计总体6.4.3用频率分布直方图估计总体分布6.4.4百分位数学生用书湘教版必修第一册

PAGEPAGE16．4.3用频率分布直方图估计总体分布6．4.4百分位数最新课程标准能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计．结合实例，能利用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．学科核心素养1.会计算频率分布直方图有关的问题．(数学运算)2．理解百分位数的概念，会用样本常用百分位数估计总体百分位数．(数学运算、数学分析)教材要点要点百分位数1．定义：百分位数是位于按肯定依次排列的一组数据中某一个________位置的数值，以Pr表示，其中r是区间[1，99]上的整数．一个百分位数Pr将总体或样本的全部观测值分为两部分，至少有r%的观测值小于或等于它，且至少有(100－r)%的观测值大于或等于它，当r%＝50%时，即Pr对应________数．2．求一组观测数据的百分位数的一般步骤：第一步：将全部数值按从小到大的依次排列；其次步：计算c＝n×r%；第三步：假如c不是整数，用m表示比c大的最小整数，则所求的Pr是xm，假如c是整数，则所求的Pr是xc基础自测1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数．()(2)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.()(3)若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.()(4)一组数据的第25百分位数与第75百分位数相同．()2．下列关于一组数据的第50分位数的说法正确的是()A．第50分位数就是中位数B．总体数据中的随意一个数小于它的可能性肯定是50%C．它肯定是这组数据中的一个数据D．它适用于总体是离散型的数据3．数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是()A．14B．17C．19D．234．100辆汽车通过某一段马路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60，70)km的汽车大约有________辆．题型1用频率分布直方图估计总体分布例1为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，随机抽取20台，其无故障连续运用时限(单位：h)统计如下：分组频数频率频率/组距[180，200)10.050.0025[200，220)10.050.0025[220，240)20.100.0050[240，260)30.150.0075[260，280)40.200.0100[280，300)60.300.0150[300，320)20.100.0050[320，340]10.050.0025合计2010.0500(1)作出频率分布直方图；(2)估计8万台电风扇中无故障连续运用时限不低于280h的有多少台；(3)假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替，估计这8万台电风扇的平均无故障连续运用时限．方法归纳频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，因为抽样的代表性利用了样本在某一范围内的频率，所以可近似地估计在这一范围内的可能性．跟踪训练1为了了解高一年级学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，其次小组的频数为12.(1)其次小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？题型2百分位数的计算例2现有甲、乙两组数据如下表所示．序号1234567891011121314151617181920甲组1222233355668891010121313乙组00001123456677101414141415试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．方法归纳百分位数的关注点(1)求百分位数时，肯定要将数据依据从小到大的依次排列．(2)第p百分位数的特点是：在总体中任一个数小于或等于它的可能性是p%.跟踪训练2求下列数据的四分位数．13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20.题型3百分位数的综合应用例3教化厅为了了解和驾驭2024年高考考生的实际答卷状况，随机地取出了100名考生的数学成果(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如图所示的频率分布表：分组频数频率[80，85)10.01[85，90)20.02[90，95)40.04[95，100)140.14[100，105)240.24[105，110)150.15[110，115)120.12[115，120)90.09[120，125)110.11[125，130)60.06[130，135]20.02合计1001(1)求样本数据的60，80百分位数；(2)估计2024年高考考生的数学成果的90百分位数．方法归纳由频率分布直方图求百分位数的方法(1)要留意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率．(2)一般采纳方程的思想，设出k百分位数，依据其意义列出方程并求解即可．跟踪训练3某年级120名学生在一次百米测试中，成果全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．假如从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成果的70%分位数约为__________秒．课堂非常钟1．视察新生儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2700，3000)的频率为()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.42．下列一组数据2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6的第25百分位数是()A．3.2B．3.0C．4.4D．2.53．为了探讨某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，全部志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的依次分别编号为第一组，其次组，…，第五组，如图是依据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与其次组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6B．8C．12D．184．如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的状况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是()A．－2B．0C．1D．25．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________．6．4.3用频率分布直方图估计总体分布6．4.4百分位数要点1．百分中位[基础自测]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：由百分位数的意义可知选项B、C、D错误．答案：A3．解析：因为8×70%＝5.6，所以70%分位数是第六项数据23.故选D.答案：D4．解析：0.04×10×100＝40.答案：40题型探究·课堂解透例1解析：(1)频率分布直方图如图所示．(2)由题意得8×(0.30＋0.10＋0.05)＝3.6，所以估计8万台电风扇中无故障连续运用时限不低于280h的有3.6万台．(3)由频率分布直方图得x＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269(h)．故估计这8万台电风扇的平均无故障连续运用时限为269h．跟踪训练1解析：(1)其次小组的频率为42+又因为其次小组的频率＝第二小组的频数样本容量所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝12(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为17+15+9+32+例2解析：因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15，因此，甲组数的25%分位数为x5+x甲组数的75%分位数为x15+x乙组数的25%分位数为x5+x乙组的75%分位数为x15+x跟踪训练2解析：把12个数据按从小到大的依次排列可得：12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31，计算12×25%＝3，12×50%＝6，12×75%＝9，所以数据的第25百分位数为15+18第50百分位数为20+22第75百分位数为27+28例3解析：(1)从频率分布表得，前六组的频率之和为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60，前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72，前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81，前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92.由前六组的频率之和为0.60，得样本数据的60百分位数为110，样本数据的80百分位数肯定在第八组[115，120)内，由115＋5×0.80−0.720.81−估计样本数据的80百分位数约为119.4.(2)由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，知90百分位数肯定在第九组[120，125)内，由120＋5×0.9−0.810.92−估计2024年高考考生的数学成果的90百分位数为124.1.跟踪训练3解析：设成果的70%分位数为x，因为1+3+71+3+7+6+3＝0.55，1+3+7+6所以x∈[16，17)，所以0.55＋(x－16)×61+3+7+6+3解得x＝16.5(秒)．答案：16.5[课堂非常钟]1．解析：由题图可得，新生儿体重在[2700，3000)的频率为0.001×300＝0.3.故选C.答案：C2．解析：把这组数据依据由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8,4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数．故选A.答案：A3．解析：志愿者的总人数为20（0.24+0.16）×1＝50，所以第三组人数为50×0.36×1＝18，所以有疗效的人数为18－6＝12，故选C答案：C4．解析：由折线图可知，这10天的