新教材适用2024-2025学年高中数学第6章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.5平面向量数量积的坐标表示素养作业新人教A版必修第二册

第六章6.36.3.5A组·素养自测一、选择题1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于(B)A．－1 B．0C．1 D．2[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝1×(－3)＋1×3＝0.2．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝(B)A．eq\f(10,3) B．－eq\f(10,3)C．eq\f(\r(10),3) D．－eq\f(\r(10),3)[解析]c＝(3＋k,1)，a·c＝0⇔3(3＋k)＋1＝0.所以k＝－eq\f(10,3).3．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝(C)A．1 B．eq\r(2)C．2 D．4[解析]由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，即2a·b－b2＝0.故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3.所以，|a|＝eq\r(1＋n2)＝eq\r(1＋3)＝2.4．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k等于(C)A．－1＋eq\r(3) B．－1－eq\r(3)C．－1±eq\r(3) D．1[解析]∵|ka－b|＝eq\r(k2＋k＋22)，|a＋b|＝eq\r(12＋－12)＝eq\r(2)，∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，又ka－b与a＋b的夹角为120°，∴cos120°＝eq\f(ka－b·a＋b,|ka－b||a＋b|)，即－eq\f(1,2)＝eq\f(－2,\r(2)×\r(k2＋k＋22))，化简并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±eq\r(3).5．(2024·浙江温州)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb(t∈R)，若eq\f(a·c,|a|)＝eq\f(b·c,|b|)，则实数t＝(C)A．－6 B．－5C．5 D．6[解析]a＝(3,4)，b＝(1,0)，所以c＝a＋tb＝(3,4)＋t(1,0)＝(3＋t,4)，|a|＝eq\r(32＋42)＝5，|b|＝1，因为eq\f(a·c,|a|)＝eq\f(b·c,|b|)，所以eq\f(3·3＋t＋4×4,5)＝eq\f(1·3＋t＋0×4,1)，解得t＝5.故选C．二、填空题6．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝－eq\f(\r(2),10).[解析]∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，|b|＝eq\r(－82＋62)＝10.∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－4,2\r(2)×10)＝－eq\f(\r(2),10).7．(2024·云南昆明)已知向量a＝(1,3)，b＝(2，y)，(a＋b)⊥a，则a在b方向上的投影向量是_(－1,2)__.(用坐标表示)[解析]由(a＋b)⊥a得(a＋b)·a＝a2＋a·b＝10＋2＋3y＝0，y＝－4，即b＝(2，－4)，∴a·b＝2－12＝－10，又|b|＝eq\r(22＋－42)＝2eq\r(5)，∴a在b方向上的投影向量是eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)＝eq\f(－10,2\r(5))·eq\f(1,2\r(5))(2，－4)＝(－1,2)．故答案为(－1,2)．8．(2024·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满意eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(5)；eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝_－1__.[解析]以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2,0)＋eq\f(1,2)(2,2)＝(2,1)，则点P(2,1)，∴eq\o(PD,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(0，－1)，因此，|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(－22＋12)＝eq\r(5)，eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝0×(－2)＋1×(－1)＝－1.三、解答题9．(2024·山东潍坊)在如图的方格纸(每个小方格边长为1)上有A，B，C三点，已知向量a以A为始点．(1)试以B为始点画出向量b，使b·a＝2，且|b|＝eq\r(2)，并求向量b的坐标；(2)在(1)的条件下，求(a＋b)·eq\o(BC,\s\up6(→)).[解析](1)向量b满意b·a＝2，且|b|＝eq\r(2)，则如图，这两个向量均满意题意，证明如下：向量a＝(2,0)，b＝(x，y)，则2x＝2，得x＝1，因为|b|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(2)，解得y＝±1，所以b＝(1，±1)．(2)若b＝(1,1)，a＋b＝(3,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，－1)，所以(a＋b)·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×3＋1×(－1)＝8.若b＝(1，－1)，a＋b＝(3，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，－1)．所以(a＋b)·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×3＋(－1)×(－1)＝10.10．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，求|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值．[解析]建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝h，则A(2,0)，B(1，h)，设P(0，y)，(0≤y≤h)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1，h－y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))＝(5,3h－4y)，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(25＋3h－4y2)≥eq\r(25)＝5，当且仅当3h＝4y，即DP＝eq\f(3,4)DC时，等号成立，故|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值为5.B组·素养提升一、选择题1．已知向量a＝(5,12)，b＝(2,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(C)A．－eq\f(11,2) B．－eq\f(13,2)C．eq\f(13,2) D．eq\f(11,2)[解析]因为a＝(5,12)，b＝(2,0)，c＝a＋tb，则c＝(5,12)＋t(2,0)＝(5＋2t,12)，所以a·c＝5(5＋2t)＋122，b·c＝2(5＋2t)，|a|＝eq\r(52＋122)＝13，|b|＝2，|c|＝eq\r(5＋2t2＋122)≠0，因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，所以eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(b·c,|b||c|)，即eq\f(55＋2t＋122,13|c|)＝eq\f(25＋2t,2|c|)，解得t＝eq\f(13,2).故选C．2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满意(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(D)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))[解析]不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－eq\f(7,9)，n＝－eq\f(7,3)，故选D．3．(2024·湖南长沙)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1,3)，则向量a在b方向上的投影向量为(C)A．eq\f(1,\r(10))b B．－eq\f(1,\r(10))bC．eq\f(1,10)b D．－eq\f(1,10)b[解析]因为向量a＝(2,1)，b＝(－1,3)，所以向量a在b方向上的投影向量为eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)＝eq\f(－2＋3,1＋9)b＝eq\f(1,10)b，故选C．二、填空题4．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(10),10)，\f(\r(10),10)))；(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为－eq\f(2\r(5),5).[解析](1)∵2a＋b＝(3,1)，∴|2a＋b|＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).∴与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为eq\f(2a＋b,|2a＋b|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(10),10)，\f(\r(10),10))).(2)∵b－3a＝(－2,1)，∴|b－3a|＝eq\r(5)，|a|＝1，(b－3a)·a＝(－2,1)·(1,0)，＝－2，∴cos<b－3a，a>＝eq\f(b－3a·a,|b－3a||a|)＝eq\f(－2,\r(5))＝eq\f(－2\r(5),5).5．已知点A(0,2)，B(2,3)，C(3,3)，D(6,7)，则eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))上的投影向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(8,5))).(用坐标表示)[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))上的投影向量为|eq\o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉e，其中e＝eq\f(\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|)为与eq\o(CD,\s\up6(→))同向的单位向量，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉e＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(CD,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|2)·eq\o(CD,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3,4)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝10，|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝25，则eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|2)·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(8,5))).故答案为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(8,5))).三、解答题6．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2eq\r(5)，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.[解析](1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2eq\r(5)，∴eq\r(x2＋y2)＝2eq\r(5)，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2eq\r(5)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1·y－2·x＝0，,x2＋y2＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－4.))故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×eq\f(5,4)＝0，整理得a·b＝－eq\f(5,2)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.C组·探究创新已知eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,7)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．(1)求eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))取得最小值时eq\o(OC,\s\up6(→))的坐标；(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB．[解析](1)∵点C是直线OP上的一点，∴向量eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(OP,\s\up6(