适用于新教材2025版高中数学课时素养检测二十一立体图形的直观图新人教A版必修第二册

PAGE二十一立体图形的直观图(25分钟55分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是()A．三角形的直观图仍旧是一个三角形B．90°的角的直观图会变为45°的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．原来平行的线段仍旧平行【解析】选B.依据斜二测画法，三角形的直观图仍旧是一个三角形，故A正确；90°的角的直观图不肯定为45°的角，例如也可以为135°，所以B不正确；由斜二测画法可知，与y轴平行的线段长度变为原来的一半，故C正确；依据斜二测画法的作法可得原来平行的线段仍旧平行，故D正确．2．用斜二测画法画如图所示直角三角形的水平放置的直观图，正确的是()【解析】选B.以直角顶点为坐标原点建立坐标系，由斜二测画法规则知，在直观图中此角变为钝角，解除C和D，又原三角形的高在y轴上，在直观图中在y′轴上，长度减半，故B正确．3．(2024·洛阳高一检测)已知水平放置的平面四边形ABCD，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则四边形ABCD的周长为()A.2B．6C．4eq\r(2)＋2D．8【解析】选D.由直观图可得原图形如图，依据斜二测画法可知，AB＝CD＝1，AC＝2eq\r(2)，在Rt△ABC中，BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(（2\r(2)）2＋12)＝3，又AD＝BC，所以四边形ABCD的周长为2×3＋2×1＝8.4．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)B．1＋eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\r(2)D．2＋eq\r(2)【解析】选D.由题图可知，原平面图形为直角梯形，其上底长为1，下底长为1＋2×1×cos45°＝1＋eq\r(2)，高为2，所以其面积为S＝eq\f(（1＋1＋\r(2)）×2,2)＝2＋eq\r(2).5．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A．4cm，1cm，2cm，1.6cmB．4cm，0.5cm，2cm，0.8cmC．4cm，0.5cm，2cm，1.6cmD．2cm，0.5cm，1cm，0.8cm【解析】选C.由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.二、填空题(每小题5分，共10分)6．如图，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填形态)，面积为________cm2.【解析】由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2).答案：矩形87．如图所示为水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中点B的坐标为(2，2)，用斜二测画法画出它的直观图A′B′C′O′，则点B′到x′轴的距离为________．【解析】在直观图A′B′C′O′中，B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故点B′到x′轴的距离为eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)三、解答题(每小题10分，共20分)8．如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形面积．【解析】由已知中A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示：这是一个底边长为2，高为eq\r(2)的平行四边形，故原图的面积为2eq\r(2).【补偿训练】如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．【解析】(1)画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；(3)连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．9．已知梯形ABCD，依据斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′，如图所示，其中A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，求：(1)梯形ABCD的面积；(2)梯形ABCD以BC为旋转轴旋转一周形成的几何体是什么？【解析】(1)依据题意，四边形A′B′C′D′还原成直角梯形ABCD，如图，其中AB＝AD＝2，BC＝4，则梯形ABCD的面积为eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6；(2)可知旋转后形成的几何体为一个圆柱和一个圆锥形成的组合体．(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2024·天津高一检测)用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′如图所示，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．ABB．ADC．BCD．AC【解析】选D.依据△A′B′C′的形态可知△ABC的形态如下图：由图可知最长的线段为AC.2．如图，边长为1的正方形O′A′B′C′是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则平面图形OABC以OA为轴旋转一周所围成的几何体是()A.一个圆柱B．一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体C．一个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体D．两个同底的圆锥的组合体【解析】选C.由直观图O′A′B′C′画出原图OABC，如下图所示，因为O′B′＝eq\r(2)，所以OB＝2eq\r(2)，OA＝1，则平面图形OABC以OA为轴旋转一周所围成的几何体为一个圆锥和一个圆柱(里面挖去一个圆锥).3．已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为eq\r(2)a的正三角形，则原△ABC的面积为()A．eq\r(2)a2B．eq\f(\r(3),2)a2C．eq\f(\r(6),2)a2D．eq\r(6)a2【解析】选D.正三角形A′B′C′还原回原三角形如图，过C′作C′D垂直于x′轴于D，因为△A′B′C′是边长为eq\r(2)a的正三角形，所以C′D＝eq\f(\r(6)a,2)，过C′作C′E平行于x′轴交y′轴于E，则A′E＝eq\r(2)C′D＝eq\r(3)a，所以，C′对应的原图形中的点C在平面直角坐标系xOy下的纵坐标为2eq\r(3)a，即原三角形ABC底边AB上的高为2eq\r(3)a，所以，原三角形ABC面积S＝eq\f(1,2)×eq\r(2)a×2eq\r(3)a＝eq\r(6)a2.【补偿训练】(2024·杭州高一检测)下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()【解析】选C.对于A、B、D选项，两个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB不变，底边上的高变为原来的eq\f(1,2)，如图：选项A选项B选项D所以两个图形的直观图全等；对于C中，第一个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB不变，底边上的高变为原来的eq\f(1,2)，其次个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB变为原来的eq\f(1,2)，底边上的高OC不变，如图所以这两个图形的直观图不全等．2．已知正三角形ABC的边长为a，那么用斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A．eq\f(\r(3),4)a2B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2D．eq\f(\r(6),16)a2【解析】选D.依据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再依据斜二测画法画出其直观图，如图②中△A′B′C′所示．易知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a.过点C′作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.4．如图Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝eq\r(2)，则这个平面图形的面积是()A．1B．eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4eq\r(2)【解析】选C.由直观图可知，原平面图形是Rt△OAB，其中OA⊥OB，则OB＝O′B′＝eq\r(2)，OA＝2O′A′＝4，所以S△OAB＝eq\f(1,2)OB·OA＝2eq\r(2).【点评】平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系：设一个平面多边形的面积为S原，它的斜二测画法直观图的面积为S直，则有S直＝eq\f(\r(2),4)S原(或S原＝2eq\r(2)S直).二、填空题(每小题5分，共10分)5．假如一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中O′A′＝2，∠B′A′O′＝45°，B′C′∥O′A′.则原平面图形的面积为________．【解析】∠B′A′O′＝45°＝∠B′O′A′，则△O′A′B′是等腰直角三角形，所以A′B′＝O′B′＝eq\r(2)，又O′C′⊥C′B′，∠C′O′B′＝45°，所以B′C′＝1，在直角坐标系中作出原图形为可得BC＝1，OA＝2，OB＝2eq\r(2)，所以S梯形OABC＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2eq\r(2)＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)6．如图为△ABO水平放置的直观图△A′B′O′，由图推断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的依次是__________.【解析】由题图可知，还原直角坐标的图形△ABO中，OD和横轴重合长度不变故OD＝2，BD和纵轴平行，长度变为原来的2倍，故BD＝4，这样就画出原图形了．由勾股得到AB＝eq\r(17)，BO＝2eq\r(5).故OD<BD<AB<BO.答案：OD<BD<AB<BO【补偿训练】如上图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为__________．【解析】因为OA＝6，CB＝2，所以OD＝2.又因为∠COD＝45°，所以CD＝2.梯形的直观图如图，则C′D′＝1.所以梯形的高C′E′＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)Ｋ三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′＝4，且△AOB的面积为16，A′B′∥y′轴，过A′作A′C′⊥x′轴，求A′C′的长度．【解析】因为A′B′∥y′轴，所以△ABO中，AB⊥OB，又S△ABO＝16，OB＝O′B′＝4，所以eq\f(1,2)AB·OB＝16，所以AB＝8，所以A′B′＝4，在Rt△A′B′C′中，A′C′＝A′B′·sin45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2).8．用斜二测画法画出图中水平放置的图形的直观图．【解析】步骤是：①在图(1)中，取O点为原点，以水平方向的直线为x轴，竖直方向的直线为y轴；过A，B点分别作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N.②取任一点O′，画出相应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)；在x′轴上取O′M′＝OM，O′N′＝ON，过M′，N′分别作M′A′∥O′y′、N′B′∥O′y′，且M′A′＝eq\f(1,2)MA，N′B′＝eq\f(1,2)NB.③连接O′，A′，