2025版新教材高中数学第二章三角恒等变换2.1两角和与差的三角函数2.1.2两角和与差的正弦公式导学案湘教版必修第二册

2.1.2两角和与差的正弦公式教材要点要点两角和与差的正弦公式名称简记符号公式运用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝______________________α，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝____________________α，β∈R状元随笔公式的记忆方法(1)理顺公式间的联系．C(α＋β)以-β代βC(α－β)(2)留意公式的结构特征和符号规律．对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)，sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)，cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)．基础自测1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对随意的α，β角，都有sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.()(2)存在α，β角，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.()(3)存在α，β角，使得sin(α－β)＝sinα＋sinβ.()(4)∀α，β，有sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β.()2．sin35°cos25°＋cos35°sin25°的值等于()A．14B．12C．23．sin15°cos225°＋cos15°sin45°的值为()A．－32B．－12C．14．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα题型1给角求值例1(1)化简sin200°cos140°－cos160°sin40°，得()A．32B．sin20°C．cos20°D．(2)2sin方法归纳(1)对于非特别角的三角函数式求值问题，肯定要本着先整体后局部的基本原则，假如整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有：将非特别角化为特别角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要留意逆用或变用公式．跟踪训练1(1)化简：sin(x＋27°)cos(18°－x)＋sin(63°－x)·sin(18°－x)＝________．(2)求值：sin47题型2给值求值角度1干脆法求值例2已知sinα＝35，cosβ＝－513，且α为第一象限角，β为其次象限角，求sin(α＋方法归纳(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)已知角的一个弦值，求另一个弦值时，肯定留意已知角的范围．角度2拆角变换求值例3已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35跟踪训练2(1)已知α，β均为锐角，cosα＝22，cos(α＋β)＝－23，则sinA．10+226B．C．10-2(2)已知θ是其次象限角且cosθ＝－45，则sinθ题型3已知三角函数值求角例4已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2方法归纳(1)要求一个角，一般可以先求这个角的某种三角函数值，详细求哪种三角函数值，应依据所求角的范围确定．(2)考虑角的拼凑，留意到β＝α－(α－β)，故sinβ＝sin[α－(α－β)]，或cosβ＝cos[α－(α－β)].(3)本题还可以将cos(α－β)绽开，结合同角三角函数的关系求解，但比较困难．跟踪训练3已知cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，0＜α＜π2，0＜β＜课堂非常钟1．sin105°的值为()A．3+2C．6-22．(多选)下面各式中，正确的是()A．sinπ4+π3＝sinπB．cos5π12＝22sinπ3C．cos-π12＝cosπD．cosπ12＝cosπ33．cos16°cos44°－cos74°sin44°的值为()A．32B．－C．12D．－4．已知sinA＝45，且A∈π2，5．已知：α∈0，π2，β∈-π2，0，且cos(α－β)＝32.1.2两角和与差的正弦公式新知初探·课前预习要点sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ[基础自测]1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：由题得sin35°cos25°＋cos35°sin25°＝sin(35°＋25°)＝sin60°＝32答案：D3．解析：∵cos225°＝cos(45°＋180°)＝－cos45°，因此，sin15°cos225°＋cos15°sin45°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12答案：C4．解析：因为cosα＝－45，α是第三象限的角，所以sinα＝－35，由两角和的正弦公式可得sinα+π4＝sinαcosπ4＋cosαsin答案：－7题型探究·课堂解透例1解析：(1)sin200°cos140°－cos160°sin40°＝sin20°cos40°＋cos20°sin40°＝sin60°＝32(2)原式＝2＝2＝2＝3cos20°答案：(1)A(2)3跟踪训练1解析：(1)因为sin(63°－x)＝sin[90°－(27°＋x)]＝cos(27°＋x)，所以，原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(27°＋x)sin(18°－x)＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin45°＝22(2)∵sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos答案：(1)22(2)例2解析：因为α为第一象限角，β为其次象限角，sinα＝35，cosβ＝－5所以cosα＝45，sinβ＝12所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝35×(－513)＋45例3解析：∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α又∵cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－3∴sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－56sin2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)＝－1665跟踪训练2解析：(1)因为α，β均为锐角，故α＋β∈(0，π)，因为cosα＝22，cos(α＋β)＝－2所以sinα＝1-12＝22，sin(α＋β)＝所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝53×2(2)∵θ是其次象限角且cosθ＝－45，∴sinθ＝1-cos∴sinθ+π4＝sinθcosπ4＝3＝－210答案：(1)A(2)－2例4解析：由0＜β＜α＜π2可知，0＜α－β＜π2，故sinα＝437，sin(α－故sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝4＝32又0＜β＜π2，因此β＝π跟踪训练3解析：因为0<α<π2，cosα＝17，所以sinα＝又因为0<β<π2，所以0<α＋β因为sin(α＋β)＝5314<sinα，所以cos(α＋β)＝－所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×又因为0<β<π2，所以β＝π[课堂非常钟]1．解析：sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝22×1答案：D2．解析：∵sinπ4+π3＝sinπ4cosπ3＋cosπ4sinπ3＝sinπ4cosπ3+32cosπ4，∴A正确；∵cos∵cos-π12＝cosπ4-π3＝cosπ4cosπ3+答案：ABC3．解析：方法一cos16°cos44°－cos74°sin44°＝cos16°cos44°－sin16°sin44°＝cos(16°＋44°)＝cos60°＝12方法二cos16°cos44°－cos74°sin44°＝sin74°cos44°－cos74°sin44°＝sin(74°－44°)＝sin30°＝12答案：C4．解析：