2025版新教材高中数学同步练习36平面与平面垂直的性质新人教A版必修第二册

同步练习36平面与平面垂直的性质必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．若平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则()A．l∥βB．l⊥βC．l⊂βD．l∥β或l⊂β2．α、β、γ表示平面，a、b表示直线，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，则()A．∀b⊂β，b⊥γB．∀b⊂β，b∥γC．∃a⊂α，a⊥γD．∃a⊂α，a∥γ3．在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直4．已知直线m、n，平面α、β满意α∩β＝n且α⊥β，则“m⊥β”是“m⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．[2024·河北唐山高一期末]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α6．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是()A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAD⊥平面PDCC．AB⊥PDD．平面PAD⊥平面PBC7．把边长为4的正方形ABCD，沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的对角线AC的长为()A.4B．4eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)8．(多选)下列命题中正确的是()A．假如平面α⊥平面β，那么平面α内肯定存在直线平行于平面βB．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内肯定不存在直线垂直于平面βC．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．假如平面α⊥平面β，那么平面α内全部直线都垂直于平面β9．(多选)如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A­BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是()A．平面ACD⊥平面ABDB．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACDD．AD⊥平面ABC二、填空题(每小题5分，共15分)10．平面α⊥平面β，a⊂α，b⊂β，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．11．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．12.[2024·江苏苏州高一期末]如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，直线AB与平面α，β所成的角分别为45°，30°，过A，B作两平面交线的垂线，垂足分别为A1，B1，则A1B1∶AB＝________．三、解答题(共20分)13.(10分)把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面相互垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD.14.(10分)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.关键实力提升练15.(5分)如图A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2)，等边三角形ADB以AB为轴旋转，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝()A．eq\r(3)B．2C．eq\r(5)D．116.(5分)如图所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．17.(10分)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．同步练习36平面与平面垂直的性质必备学问基础练1．答案：D解析：平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，直线l可以是平面β内与两平面交线垂直的直线，即l⊂β，若l不在平面β内，l∥β.故选D.2．答案：D解析：设β∩γ＝l，依据面面垂直的性质定理，只有β内且与l垂直的直线b才与γ垂直．故A错误．β内且与l垂直的直线b与γ相交，b与γ不平行．B错误．假如∃a⊂α，a⊥γ，依据面面垂直的判定定理，可以得出α⊥γ，与α与γ相交但不垂直冲突．C错误．设α与γ相交于m，则在α内与m平行的直线a与γ平行．D正确．故选D.3．答案：C解析：如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.故选C.4．答案：A解析：因为α∩β＝n，所以n⊂β，又因为m⊥β，所以m⊥n，即“m⊥β”是“m⊥n”的充分条件；如图，在长方体中，设平面ABCD为平面α、平面BCEF为平面β，则m⊥n，且m与平面β不垂直，即“m⊥β”不是“m⊥n”的必要条件；所以“m⊥β”是“m⊥n”的充分不必要条件．故选A.5．答案：C解析：对于A，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，故A错误；对于B，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，故B错误；对于C，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故C正确；对于D，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，故D错误．故选C.6．答案：D解析：∵平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.故A，C正确；同理可证平面PAD⊥平面PDC.故B正确；D明显不正确．故选D.7．答案：A解析：如图所示，正方形ABCD，对角线交于O点，则AC⊥BD，沿对角线BD折成空间四边形ABCD后，有AO⊥BD，CO＝OA＝2eq\r(2)，而平面ABD⊥平面BCD，交线是BD，故AO⊥平面BCD，即AO⊥OC，所以△AOC是等腰直角三角形，故AC＝4.故选A.8．答案：ABC解析：由平面与平面垂直的有关性质可以推断出ABC正确，D项错误．故选ABC.9．答案：ABC解析：选项A，由平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，又BD⊥CD，且CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面ABD.由CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABD，故A正确；选项B，由上有CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，则AB⊥CD，故B正确；选项C，由上可知AB⊥AD，AB⊥CD，且AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ACD,又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD，故C正确；选项D，由上有CD⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，则AD⊥CD.若AD⊥平面ABC，由AC⊂平面ABC，则AD⊥AC，这与AD⊥CD相冲突，故D不正确．故选ABC.10．答案：a⊥β解析：设α∩β＝m，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(b∥α,α∩β＝m,b⊂β)))⇒b∥m，又因为a⊥b，所以a⊥m，所以eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝m,a⊂α,a⊥m)))⇒a⊥β.11．答案：①③④⇒②或②③④⇒①解析：选择①③④为条件，②为结论：m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面．∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也相互垂直，从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.选择②③④为条件，①为结论：若两个平面垂直，明显与它们分别垂直的两条直线垂直，即α⊥β，n⊥β，m⊥α，能得出m⊥n.选择①②③为条件，④为结论：若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m可能与α平行或相交，不能得出m⊥α.选择①②④为条件，③为结论：若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n可能与β平行或相交，不能得出n⊥β.12．答案：1∶2解析：连接AB1，A1B，设AB＝a，因为平面α⊥平面β，α∩β＝A1B1，BB1⊥A1B1，所以BB1⊥α，所以∠BAB1是AB与平面α所成的角，所以∠BAB1＝45°，在Rt△BAB1中，AB1＝eq\f(\r(2),2)a，同理可得∠ABA1是AB与平面β所成的角，所以∠ABA1＝30°，在Rt△ABA1中，A1A＝eq\f(1,2)a，在Rt△AA1B1中，A1B1＝eq\r(ABeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－AAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝eq\r(（\f(\r(2),2)a）2－（\f(1,2)a）2)＝eq\f(1,2)a，所以A1B1∶AB＝eq\f(1,2)a∶a＝1∶2.13．证明：∵平面ABC⊥平面BCD，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC.又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB，又AB⊥AC，CD∩AC＝C，∴AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD.14．解析：(1)连接BD，∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，又∵G为AD的中点，∴BG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如图，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.关键实力提升练15．答案：B解析：取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，DE⊂平面ADB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得，DE＝eq\r(BD2－BE2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2)，所以CA2＋CB2＝AB2，所以CA⊥CB,EC＝eq\f(1,2)AB＝1，在Rt△DEC中，CD＝eq\r(DE2＋CE2)＝eq\r(（\r(3)）2＋12)＝2.故选B.16．答案：2eq\r(7)解析：连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝eq\r(PC2＋CM2).要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可．在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时有CM＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，所以PM的最小值为2eq\r(7).17．解析：(1)证明：如图，设G为AD的中点，连接BG，PG.因为△PAD为正三角形，所以PG⊥AD.在菱形