2025版新教材高中数学课时作业十正弦定理1湘教版必修第二册

课时作业(十)正弦定理(1)[练基础]1．在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，若A＝45°，B＝60°，a＝2，则b＝()A．eq\r(6)B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2eq\r(6)2．在△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°，则△ABC的面积为()A．eq\f(3\r(3),2)B．3eq\r(3)C．eq\f(3,2)D．33．设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝eq\r(2)，c＝eq\r(3)，C＝60°，则角B＝()A．45°B．30°C．45°或135°D．30°或150°4．已知△ABC中，a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝eq\f(π,6)，角B等于()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)D．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)5．在锐角△ABC中，已知a＝3，c＝eq\r(7)，C＝60°，则△ABC的面积为()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(3\r(3),2)或eq\f(3\r(3),4)C．eq\f(3\r(3),2)D．eq\f(3\r(3),4)6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列各组条件中使得△ABC有两个解的是()A．a＝2eq\r(3)，b＝4，cosA＝－eq\f(1,4)B．a＝2eq\r(3)，b＝8，cosA＝eq\f(\r(13),4)C．a＝eq\r(15)，b＝4，A＝eq\f(π,3)D．a＝2eq\r(3)，b＝4，A＝eq\f(π,6)7．在△ABC中，∠B＝eq\f(π,4)，∠C＝eq\f(π,3)，c＝eq\f(\r(3),2)，则最长边长为________．8．在△ABC中，若(sinA＋sinB)(sinA－sinB)＝sin2C，则△ABC的形态是________．9．在△ABC中，A＝60°，sinB＝eq\f(1,2)，a＝3，求三角形中其他边与角的大小．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝6，b＝14，B＝eq\f(2π,3).(1)求sinA的值；(2)求△ABC的面积．[提实力]11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝1，则C的范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))12．(多选)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是()A．若A>B，则sinA>sinBB．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解C．若△ABC为钝角三角形，则a2＋b2>c2D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为eq\r(3)13．在△ABC中，若满意C＝eq\f(π,6)，c＝5，a＝x的三角形有两个，则实数x的取值范围为________．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若C＝eq\f(π,3)，a＝1，c＝eq\r(3)，则sinA＝________；b＝________．15．在①b＝4，②cosB＝－eq\f(\r(5),5)，③(b2＋c2－a2)sinA＝eq\r(3)bccosA(A为锐角).这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin(A＋B)的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝eq\r(2)，c＝eq\r(10)，________？注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[培优生]16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满意eq\r(3)c＝b(sinA＋eq\r(3)cosA).(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝2，求b的取值范围．课时作业(十)正弦定理(1)1．解析：由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(2sin60°,sin45°)＝eq\r(6).答案：A2．解析：因为AC＝2，BC＝3，C＝60°，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)CB·CA·sinC＝eq\f(1,2)×3×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).答案：A3．解析：∵b＝eq\r(2)，c＝eq\r(3)，C＝60°，∴b<c，B<C，即0°<B<60°.由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(\r(2)·\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝45°.答案：A4．解析：由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(2\r(3),\f(1,2))＝eq\f(6,sinB)，可得sinB＝eq\f(\r(3),2)，因为b>a，所以B>A，且0<A＋B<π，所以B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)，均满意题意．答案：C5．解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即7＝9＋b2－3b，解得b＝1或b＝2，若b＝1，则由b2＋c2－a2＝－1<0得A>90°，不合题意，所以b＝2，S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3×2×sin60°＝eq\f(3\r(3),2).答案：C6．解析：对于A，b>a，所以B>A，又cosA＝－eq\f(1,4)<0，所以B>eq\f(π,2)，这与A＋B＋C＝π冲突，所以△ABC无解；对于B，因为cosA＝eq\f(\r(13),4)，所以A为锐角，且sinA＝eq\f(\r(3),4)，则a＝bsinA，所以△ABC只有一解；对于C，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得sinB＝eq\f(2\r(5),5)>sineq\f(π,3)，又a<b，所以B有两解，即△ABC有两解；对于D，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得sinB＝eq\f(\r(3),3)>sineq\f(π,6).又a<b，所以B有两解，即△ABC有两解．答案：CD7．解析：在△ABC中，∠B＝eq\f(π,4)，∠C＝eq\f(π,3)，c＝eq\f(\r(3),2)，则：∠A＝π－eq\f(π,4)－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,12)，∴∠A>∠C>∠B，∴a>c>b，利用正弦定理：eq\f(c,sin∠C)＝eq\f(a,sin∠A)，解得：a＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).答案：eq\f(\r(6)＋\r(2),4)8．解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，设△ABC的外接圆的半径为R，依据正弦定理知sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2R)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2R)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2R)))eq\s\up12(2)，即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．答案：直角三角形9．解析：由sinB＝eq\f(1,2)且A＝60°，即0<B<120°，可知：B＝30°.∴C＝90°，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(3sin30°,sin60°)＝eq\r(3)，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(3sin90°,sin60°)＝2eq\r(3).10．解析：(1)在△ABC中，a＝6，b＝14，B＝eq\f(2π,3).依据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq\f(3\r(3),14).(2)由(1)得cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(13,14)，则sinC＝sin(A＋B)＝eq\f(3\r(3),14)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\f(13,14)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),14)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)ab·sinC＝eq\f(1,2)×6×14×eq\f(5\r(3),14)＝15eq\r(3).11．解析：∵c＝1<2＝a，∴C为锐角．由正弦定理可得：eq\f(2,sinA)＝eq\f(1,sinC)，即sinC＝eq\f(1,2)sinA，因为sinA∈(0，1]∴sinC∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴0<C≤eq\f(π,6)，∴角C的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))).答案：D12．解析：若A>B，则a>b，由正弦定理可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinA>sinB，A选项正确；bsinA＝4sin30°＝2，则bsinA<a<b，如图：所以△ABC有两解，B选项正确；若△ABC为钝角三角形且C为钝角，则cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，可得a2＋b2<c2，C选项错误；由余弦定理与基本不等式可得4＝a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)bc≤eq\r(3)，D选项正确．答案：ABD13．解析：由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得sinA＝eq\f(x,10).因为满意条件的三角形有两个，所以sineq\f(π,6)<eq\f(x,10)<1，得5<x<10.答案：(5，10)14．解析：∵C＝eq\f(π,3)，a＝1，c＝eq\r(3)，∴由正弦定理得sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(1,2)，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得3＝1＋b2－b，即b2－b－2＝0，解得b＝2，或b＝－1(舍去)，答案：eq\f(1,2)215．解析：选择①：在△ABC中，a＝eq\r(2)，c＝eq\r(10)，b＝4，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(（\r(2)）2＋42－（\r(10)）2,2×\r(2)×4)＝eq\f(\r(2),2)，因为C∈(0，π)，所以sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(\r(2),2)，在△ABC中，A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC＝eq\f(\r(2),2).所以，若选择①，该三角形存在，且sin(A＋B)＝eq\f(\r(2),2).选择②：因为cosB＝－eq\f(\r(5),5)，B∈(0，π)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(2\r(5),5)，因为a＝eq\r(2)，c＝eq\r(10)，cosB＝－eq\f(\r(5),5)，所以b2＝a2＋c2－2accosB＝(eq\r(2))2＋(eq\r(10))2－2×eq\r(2)×eq\r(10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＝16，解得b＝4，结合正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得到eq\f(4,\f(2\r(5),5))＝eq\f(\r(10),sinC)，解得sinC＝eq\f(\r(2),2)，在△ABC中，A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC＝eq\f(\r(2),2).所以，若选择②，该三角形存在，且sin(A＋B)＝eq\f(\r(2),2).选择③：因为(b2＋c2－a2)sinA＝eq\r(3)bccosA，所以2bccosAsinA